VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP

Trong quá trình học cao học và viết luận văn tốt nghiệp, tác giả đã nhận được nhiều điều kiện thuận lợi của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tỉnh Đồng Tháp

VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC

TRONG HỆ VI PHÂN TẬP

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 1

MỤC LỤCLời cảm ơn

1.1.2 Giới hạn của dãy tập

1.1.3 Không gian mêtríc Hausdorff

§1.2 Đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập

1.2.1 Đạo hàm Hukuhara của ánh xạ tập

1.2.2 Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập

§1.3 Hệ vi phân tập

1.3.1 Định nghĩa hệ vi phân tập

1.3.2 Định lý về so sánh nghiệm

Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG HỆ VI PHÂN TẬP

§2.1 Bài toán điều khiển tập

2.1.1 Bài toán điều khiển tập

2.1.2 Ổn định nghiệm

§2.2 Phân loại điều khiển tập

2.2.1 Phân loại các bài toán điều khiển tập

2.2.2 Một vài dạng toán điều khiển tập tối ưu

2.2.3 Hệ vi phân tập mờ

Chương III BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG

HỆ VI PHÂN TẬP

§3.1 Hệ vi phân tập có điều khiển

3.1.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển

3.1.2 Xấp xỉ nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển

3.1.3 Sự sai lệch nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển

§3.2 Điều khiển ngược đối với hệ vi phân tập

3.2.1 Bài toán điều khiển ngược

3.2.2 Điều khiển ngược với bài toán điều khiển được hoàn toàn

3.2.3 Điều khiển ngược với bài toán nghiệm bị chặn

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01

030405

06060808121213151515

19192024242526

29293336373737465455

2

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học cao học và viết luận văn tốt nghiệp, tác giả đã nhận đượcnhiều điều kiện thuận lợi của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tỉnh Đồng Tháp, lãnh đạo vàcác đồng nghiệp của Trường THPT Hồng Ngự I, sự giúp đỡ quý báu của Trường ĐạiHọc Cần Thơ, tất cả các thầy cô đang trực tiếp giảng dạy tại Khoa Toán của TrườngĐại Học Cần Thơ và Khoa Toán – Tin của Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – ĐạiHọc Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh Tác giả còn nhận được sự động viên, chia sẻ

và giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp, bạn bè và người thân

Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ toán học, tác giả đã nhận được sự

hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH PHƯ về chuyên môn, người thầy

luôn nhiệt tình và tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức và cung cấpnhiều tài liệu Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày những kiến thức thu được qua họctập và nghiên cứu một cách có hệ thống trong luận văn này

Luận văn này còn được các Giáo sư phản biện, các thầy đã đọc và cho những ýkiến đóng góp quý báu

Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động viên quýgiá này

TP Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2009

Tác giảNguyễn Duy Trương

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 3

K c (R ) - Không gian các tập compact khác rỗng

D(A,B) - Khoảng cách giữa hai tập không rỗng A và B

DH X,t 0 - Đạo hàm Hukuhara của X tại t0

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học có nhiềuứng dụng trong kinh tế và kĩ thuật Có nhiều loại bài toán điều khiển như điều khiểnđược hoàn toàn, điều khiển tối ưu và ổn định hóa điều khiển tối ưu Gần nửa thế kỉ qua,

lý thuyết điều khiển toán học không ngừng được phát triển vì nó có nhiều ứng dụng.Tồn tại hai xu hướng giải bài toán tối ưu: điều kiện cần và điều kiện đủ Nguyên lý cựcđại Pontriagin trở thành công cụ rất tốt đối với các hệ vi phân

Gần đây, việc nghiên cứu phương trình vi phân tập trong không gian mêtric đãđược nhiều sự quan tâm chú ý Một số kết quả chính theo hướng này đạt được do giáo

sư V Lakshmikantham và các tác giả khác xem trong [6]-[13]

Luận văn này chọn đề tài: “Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập” Trên cơ sở khảo sát lý thuyết các nguyên lý về điều khiển ngược trong hệ vi phân

tập, tác giả đưa ra một số bài toán ngược cùng với các ứng dụng của chúng

Nội dung luận văn này được chia ra làm 3 chương:

Chương I HỆ VI PHÂN TẬP

Giới thiệu một số khái niệm cơ bản về tập, dãy tập, giới hạn của dãy tập, mêtrícHausdorff, đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập, đưa ra khái niệm hệ vi phântập, các định lý về so sánh nghiệm,…

Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG HỆ VI PHÂN TẬP

Giới thiệu những khái niệm về bài toán điều khiển, bài toán điều khiển được,điều khiển trong hệ vi phân tập, điều khiển tối ưu hệ vi phân, ổn định nghiệm, hệ viphân tập mờ,.… Trong chương này, những vấn đề cơ bản đã trình bày một cách côđọng nhưng đầy đủ

Chương III BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP

Đây là nội dung chính của luận văn Giới thiệu một số khái niệm về hệ vi phântập có điều khiển như: sự tồn tại nghiệm, xấp xỉ nghiệm, sự sai lệch nghiệm của hệ viphân tập có điều khiển Từ đó đưa ra một số ứng dụng của điều khiển ngược vào một

số bài toán có liên quan như: điều khiển ngược với bài toán điều khiển được hoàn toàn,điều khiển ngược với bài toán nghiệm bị chặn

Cuối cùng là phần kết luận.

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 5

Tập M⊂ R được gọi là tập affine nếu∀x, y∈ M ,∈ R thỏa mãn:

( x y) x⎜1−⎟ y∈ M do x y 2⎜ ( x y)⎜∈ M

Chương I HỆ VI PHÂN TẬP

Nội dung của chương này là nhắc lại một số khái niệm cơ bản có liên quan trực

tiếp đến việc giới thiệu định nghĩa đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập, cuối

cùng tác giả dựa vào các khái niệm đó để xây dựng khái niệm hệ vi phân tập (xem

trong [16 – 20])

§ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Để định nghĩa được hệ vi phân tập, ta cần nắm được một số khái niệm cơ bản về

tập affine, tập lồi, giới hạn của dãy tập, không gian mêtríc Hausdorff

Tập affine M được gọi là song song affine với tập affine L⇔ M L a , hay M

là tịnh tiến affine của L trên vectơ a∈ R n

Định lí 1.1.1 Tập rỗng∅ và không gian R n là các tập affine.

Định lí 1.1.2 Các không gian con của R n đều là các tập affine qua gốc tọa độ.

Chứng minh: Thật vậy, mỗi không gian con của R n đều chứa gốc tọa độ 0,

đồng thời đóng đối với phép cộng và phép nhân hai ngôi, nên ta có:

 x (1− )0 x∈ M ,∀x∈ M , y = 0∈ R n , nên y∈ R n Ngoài ra: 1 1

2 2

⎜ 1⎜

⎜

1⎜

⎜ 2⎜ ⎜ 2⎜ (

)

Định lí 1.1.3 Mỗi tập affine khác rỗng song song với một không gian con tuyến

tính duy nhất, đó là không gian:

L M− Mx− y x∈ M , y∈ M

Ví dụ 1.1.1

Tập affine rỗng được quy ước có dim∅ = -1

Chứng minh: Mỗi tập: C ix∈ R x, b i≤i

đóng C i này là lồi nên C∩ C i là giao hữu hạn các tập lồi, do đó C là tập lồi.

Một điểm được quy ước có dimM = 0

Một đường trong R n có dimM = 1

Một mặt trong R n có dimM = 2

Một siêu phẳng trong R n có dimM = n -1.

Chúng ta biết siêu phẳng và các tập affine đều có thể nhận được từ các hệ

phương trình đại số tuyến tính, các hàm tuyến tính,… chúng ta có định lí sau:

1.1.1.2 Tập lồi

Tập C trong R n được gọi là lồi nếu với mọi điểm x, y∈ C và số thực ,

Chú ý: Nếu tập affine chứa nguyên đường thẳng thì tập lồi chỉ chứa một đoạn

của đường thẳng nối hai điểm x và y

Tổng vectơ1x12 x2 m x m được gọi là tổ hợp lồi của x1, x2 , , x m

nếu≥ 0 và m

i1

i  1

Cho tập S là lồi, khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa S được gọi là bao lồi của

S và kí hiệu là convS Như vậy, bao lồi convS là tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa

tập S.

Bao lồi của hữu hạn các điểm trong không gian R n được gọi là đa diện lồi

Định lí 1.1.4 Giao hữu hạn của các tập lồi trong R n là một tập lồi.

Định lí được chứng minh là dễ dàng bằng quy nạp

Hệ quả 1.1.4 Cho b i∈ R n ,i∈ R với i∈ I tập các chỉ số, khi đó tập:

Khi đó:12 m 1,i'≥ 0 và y là tổ hợp lồi thuộc C Ta có y∈ C nên suy ra:

x (1−1 ) y1x∈ C Hay C là tập lồi. ( )

1.1.2 Giới hạn của dãy tập

Giả sử X là không gian mêtric, K n⊂ X , n =1,2, là dãy tập con của X

1.1.2.1 Giới hạn trên của dãy tập

Giới hạn trên của dãy tập Kn là tập:

lim sup Kn : x∈ X : lim→∞inf d x, Kn 0n→∞

1.1.2.2 Giới hạn dưới của dãy tập

Giới hạn dưới của dãy tập Kn là tập:

 0 N0 n≥ N

Chú ý: Nếu lim→∞inf Kn lim sup K n , ta nói tập này là giới hạn của dãy Kn và kí

n→∞

hiệu là lim K n

1.1.3 Không gian metric Hausdorff

Cho x∈ R n , A∈ R n , A≠∅ Khoảng cách từ x tới A được định nghĩa như sau:

Đặc biệt, ta kí hiệu: S1 S1 Từ đó S A A S 1n

Chứng minh: Ta cần chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.8 Cho A, B∈ K C (R n ) , C∈ K (R n ) và A C⊆ B C thì A⊆ B

Chứng minh bổ đề: Cho a∈ A bất kì Ta cần chỉ ra rằng a∈ B Cho bất kì

c1∈ C , ta có a c1∈ B C , điều đó có nghĩa là tồn tại b1∈ B và c2∈ C sao cho

a c1 b1 c2 Một cách tương tự, tồn tại b2∈ B và c3∈ C sao cho a c2 b2 c3

Lặp lại quá trình trên và lấy tổng của n đẳng thức ta được:

n n n1

i1 i1 i2

tương đương với:

∑i 1 b i n n− 1

∑i 1 b i , thì a x n n n− 1

Ta thấy rằng x n∈ B với mọi n, vì B lồi và C là compact nên c n1 c1

a 1 n c n 1 c n

Đặt: x n 1 n c n  1 c

n

−→ 0

n n

Do đó x n hội tụ về a Vì B compact do đó a∈ B Bổ đề được chứng minh ( )

Bây giờ ta chứng minh định lí 1.1.8 Cho≥ 0 và S là hình cầu đơn vị đóng

trong không gian Ta xét các bao hàm:

(1) A S⊃ B;

(2) B S⊃ A;

(3) A C S⊃ B C;

(4) B C S⊃ A C.

Đặt: d1 D A, B và d1 D A C, B C Thì d1 là infimum của những số

dương thỏa (1) và (2) Tương tự, d2 là infimum của những số dương thỏa (3) và (4)

Vì (1) và (2) suy ra (3) và (4) bằng cách cộng thêm C nên d1≥ d 2 và (3) và (4) bằngcách xóa C suy ra (1) và (2) nên d1≤ d 2 Vậy d1 d 2

Định lí 1.1.9 Nếu A, B∈ K (R n ) thì D(coA, coB)≤ D( A, B)

hơn nữa:

trong đó:

và:

D( A− A ', B− B ')≤ D( A, B) D( A ', B ') A− A ', B− B ' là tồn tại, và với max ,

D( A, B)≤ D( A, B)− D( A, ) D( B, )

D( A, B)≤ D( A− B, ) nếu A− B là tồn tại.

(4)

(5)(6)

Chứng minh: Chứng minh (1), (2) là hiển nhiên, bây giờ ta chứng minh (3).

Với mọi a∈ A và u∈ A ' Do B và B’ là compact nên tồn tại b(a)∈ B và v(u)∈ B '

a u− b(a)− v(u)≤ a− b(a) u− v(u)

sup inf a u− b− v≤ supinf a− b supinf u− v

a∈A,u∈A ' b∈B ,v∈B ' a∈A b∈B u∈A ' v∈B '

Tiếp theo, trong không gian này ta sẽ xét tính liên tục, đạo hàm và tích phân

Hukuhara của ánh xạ tập có liên quan trực tiếp đến khái niệm hệ vi phân tập

1.2.1 Đạo hàm Hukuhara của ánh xạ tập

Định nghĩa 1.2.1

Cho I là một khoảng trong tập R và một tập ánh xạ X : I→ K C ( R n ) X được

gọi là có đạo hàm Hukuhara tại t0∈ I nếu tồn tại D H X (t0 )∈ K C (R n ) sao cho giới hạn:

( t0 ) − X (t 0 −t )

t

(1)(2)

Định lí 1.2.3 Nếu tập ánh xạ X : I→ K C ( R n ) có đạo hàm Hukuhara trên I thì

hàm thực t→ diam( X (t )) , t∈ I là không giảm trên I.

Chứng minh: Nếu X là có đạo hàm Hukuhara tại t0∈ I , thì có (t0 ) 0 sao

cho X (t0t )− X (t0 ) và X (t0 )− X (t0−t ) là xác định với 0t (t0 ) Bởi

vì A− B , A, B∈ K C (R n ) là xác định khi và chỉ khi B⊂ A , do đó A− B tồn tại khi và

chỉ khi diam( A)≥ diam( B) Cho là cố định với t1 t2 Thì với mỗi∈t1, t2 có một

 ( ) 0 sao cho diam( X (s))≤ diam( X ( )) với s∈− ( ), , và

diam( X (s))≥ diam( X ( )) với s∈ , ( ) Ta có họ:

I :∈t1, t2, I (− ( ), ( ) là một phủ mở củat1, t2 Chọn một phủ con

hữu hạn I r1 , , I rN với i i1 thì diam( X (t1 ))≤ diam( X ( 1 )) và

diam( X ( N ))≤ diam( X (t2 )) Không mất tính tổng quát giả sử I r ∩ ∪ ∩ I r1≠∅ ,

i 1, , N− 1 Do đó với mỗi i 1, , N− 1, tồn tại s i∈ I r ∩ ∪ ∩ I r1 với i s i i1 và từ

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 12

Chú ý: Sự tồn tại của giới hạn trong (1) và (2) không là không sử dụng trong

chứng minh định lí trên Thực vậy, thay cho việc sử dụng giả thiết X (t ) ta có thể sử

dụng giả thiết với mỗi t∈ I hiệu X (tt )− X (t ) và X (t )− X (t−t ) là tồn tại với

t 0 đủ nhỏ.

Ví dụ 1.2.5 Cho X (t ) (2 sin t )S 1n ( S 1n là quả cầu đóng đơn vị trong R n ) X

không có đạo hàm Hukuhara trên (0, 2 ) Bởi vì diam( X (t )) 2(2 sin t ) không giảmtrên (0,2 )

Ví dụ 1.2.6 Nếu X (t )t, 2t , 0 t 1 , thì D H (t )1, 2 , 0 t 1 và

X (t1 )⊄ X (t2 ) , X (t2 )⊄ X (t1 ) với bất kì t1, t2 , 0 t1 t2 1

Định lí 1.2.4 Ánh xạ X là ánh xạ hằng khi và chỉ khi D H X 0 xác định trên T.

Chứng minh: Nếu X là ánh xạ hằng hiển nhiên D H X 0 , ngược lại giả sử ta

D X ( t ), X ( t ) 0  t− t0

Chia 2 vế cho t− t0 Thì hàm giá trị thực: t→ D X (t1 ), X (t ) là hằng số

Mà tại t1 hàm đạt giá tri không Do đó X (t ) 0 ( )

1.2.3 Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập

Do K C ( R n ) là không gian metric nửa tuyến tính nên có thể xem như một nónđược nhúng vào không gian Banach tương ứng ta sẽ có những kết quả tương tự tíchphân Bochner

Ta thấy nếu:

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 13

Cho bất kì tập compact con R

Ta có một số tính chất của tích phân Hukuhara:

Ở đây F∈ C⎜⎜ R K C C (R n )⎜⎜ và D H X là đạo hàm Hukuhara của X.

Ánh xạ X∈ C⎜ J , K C (R n )⎜ với Jt0 , t0 a, a 0 được gọi là nghiệm của

Sau đây ta định nghĩa thế nào là hệ vi phân tập, một số tính chất về nghiệm của

hệ vi phân tập cũng trình bày trong mục này như định lý về so sánh nghiệm

Ở đây g∈ C J R , R là đơn điệu tăng theo w, với mỗi t∈ J Giả sử thêm

rằng nghiệm max r (t, t0 , w0 ) của phương trình vi phân vô hướng:

w ' g (t, w), w(t0 ) w0≥ 0 tồn tại trên J Thì nếu X (t ) , Y (t ) là hai nghiệm có giá trị

ban đầu tương ứng (t0 , X 0 ),(t0 ,Y0 ) , ta có:

Định lí 1.3.2 Giả sử giả thiết trong định lí 1.3.1 thỏa mãn ngoại trừ tính chất

hàm g (t, w) là hàm không tăng theo w Thì kết luận vẫn đúng.

Chứng minh: Cho h 0 đủ nhỏ thì khoảng cách Hukuhara X (t h)− X (t ) ,

Ở đây X ,Y∈ K C (R n ) , g∈ C J R , R và r (t, t0 , w0 ) là nghiệm max của

phương trình vi phân vô hướng w ' g (t, w), w(t0 ) w0≥ 0 tồn tại trên J

+ limsup D  ⎡ X (t h)− X ⎣ ⎢ ⎥ + limsup D⎜ F (t,Y (t )),

Nội dung chính của chương này là trình bày một số bài toán điều khiển trong hệ

vi phân tập, phân loại một số bài toán điều khiển tập như: điều khiển tập tối ưu, ổn địnhnghiệm, giới thiệu khái niệm điều khiển tập mờ,….(xem trong [17-20])

§2.1 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TẬP

Các hệ thống luôn luôn có mục đích để tồn tại Các trạng thái của hệ thống

không ngừng biến đổi và luôn đặc trưng cho hệ thống Một hệ thống muốn hoạt độngtốt phải có đủ độ tin cậy và mang tính ổn định Cần phải duy trì một chế độ kiểm soát

sự diễn biến trạng thái của hệ thống mà tiến hành công việc đó cần phải có điều khiển

2.1.1 Bài toán điều khiển tập

Hệ vi phân tập có dạng: D H X F (t, X (t ),U (t )) , X (t0 ) X 0 (SCDE)Trong đó F∈ C⎜ I K C (R n ) K C ( R p ), K C (R n )⎜ , t∈ I⊂ R , trạng thái

X (t )∈ K C (R n ) , điều khiển U (t )∈ K C ( R p )

Giả sử V∈ C⎜ R K C (R n )U , R⎜ là hàm tựa Lyapunov của SCDE Từnghiệm của phương trình vi phân tập (SDE) ta có một kết quả cho nghiệm của phươngtrình SCDE dưới đây:

Ở đây g∈ C⎜ R , R⎜ và cho t∈ R , X (t )∈ K C (R n ) , U (t )∈U Thì:

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 19

nếu X (t ) X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) là nghiệm bất kì của (SCDE) xác định trênt0 T với

=V (t h, X (t h),U (t h))− V (t h, X (t ) hF (t, X (t ),U (t )),U (t h))

+V (t h, X (t ) hF (t, X (t ),U (t )),U (t h))− V (t, X (t ),U (t ))

Vì:

Trong mục này sẽ trình bày các kết quả về ổn định nghiệm SCDE Ta có thể

giả sử F (t, ) , khi đó nghiệm tầm thường tồn tại với mọi t≥ t0

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm tầm thường của SCDE được gọi là:

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01

( )

20

(S2) Ổn định đều nếu trong (S1)() 0 là độc lập với t 0

(S3) Ổn định tiệm cận nếu thỏa (S1) và tồn tại T 0 sao cho (2.1.1) thỏa mãn

(ii) b X≤ V (t, X ,U )≤ at, X với (t, X (t ),U (t ))∈ R S ( ) K C ( R p ) ,

b, a(t,.)∈ K∈ C⎡0, , R⎤ sao cho: (0) 0 , (w) là tăng theo w.

Thì nghiệm tầm thường SCDE là ổn định.

Chứng minh: Cho 0 và t0∈ R Chọn (t0 , ) sao cho:

a(t0 , ) b( ) (2.1.3)

Chúng ta chỉ ra rằng với này sẽ có điều phải chứng minh Ngược lại sẽ tồn tại

một nghiệm: X (t ) X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) của SCDE và t1 t0 sao cho:

X (t1 ) và X (t )≤ , t0≤ t≤ t1 (2.1.4)với bất kì X 0 Theo hệ quả 2.1.1 ta có:

V (t, X (t ),U (t ))≤ V (t0 , X 0 ,U 0 ) , t0≤ t≤ t1

Từ (ii), (2.1.3), (2.1.4) ta có mâu thuẫn sau:

b( ) b X (t1 )≤ V (t1, X (t1 ),U (t1 ))≤ V (t0 , X 0 ,U 0 )≤ at0 , X 0≤ a(t0 , ) b( )

Định lí 2.1.3 Giả sử giả thiết trong định lí 2.1.1 thỏa mãn mà trong đó (2.1.2)

được thay bởi : DV (t, X ,U )≤−V (t, X ,U ) , (t, X ,U )∈ R S ( ) K C (R p ) (2.1.5) thì nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận.

Chứng minh: Dễ thấy nghiệm tầm thường của SCDE là ổn định Đặt: và

Chứng minh: Cho 0 và t0∈ R Chọn ( ) 0 sao cho

a( ) b( ) Ta chỉ ra rằng với này thì suy ra được nghiệm tầm thường SCDE là ổn

định đều Nếu không sẽ tồn tại một nghiệm X (t ) của (SCDE), và t2 t1 t0 thỏa:

b( ) b X (t2 )≤ V (t2 , X (t2 ),U (t2 ))≤ V (t1, X (t1 ),U (t1 ))≤ at1, X (t1 )≤ a( ) b( )

Từ mâu thuẫn này suy ra định lí được chứng minh ( )

Định lí 2.1.5 Giả sử giả thiết trong định lí 2.1.3 thỏa mãn mà trong đó (2.1.6)

được thay bởi:

DV (t, X ,U )≤−V (t, X ,U ) , (t, X ,U )∈ R S ( ) K C (R p

)

(2.1.9)

thì nghiệm tầm thường SCDE là ổn định tiệm cận đều.

Chứng minh: Từ định lí 2.1.3 ta có nghiệm tầm thường là ổn định đều Cho

X 0  0 suy ra X (t ) , t≥ t0 Bây giờ ta chỉ ra rằng tồn tại t * sao cho: nếu t0≤ t *≤ t0 T và T 1 a   0 

(2.1.10)

V (t, X (t ),U (t ))≤ V (t0 0 0 (t ))−∫ c X (s)ds , t0 0t T

D V (t, X ,U )≤ 0

b X (t )≤ V (t, X (t ))≤ a(t0 , )e− (t−t b( ) , t≥ t0 T

22

Do đó, tồn tại t * thỏa (2.1.10) và tính ổn định đều chỉ ra rằng :

X 0  0 suy raVậy Xt là ổn định tiệm cận đều

X (t ) , t≥ t0 T

( )

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 23

§2.2 PHÂN LOẠI ĐIỀU KHIỂN TẬP

Trong mục này, ta nghiên cứu một số dạng bài toán điều khiển tập như: bài toánđiều khiển được, điều khiển hệ phi tuyến, điều khiển hệ tuyến tính liên tục ,…

2.2.1 Phân loại các bài toán điều khiển tập

Quá trình xây dựng lớp các bài toán điều khiển tập, ví dụ lớp các bài toán điềukhiển được, điều khiển tập tối ưu và ổn định hóa điều khiển tập tối ưu

2.2.1.1 Bài toán điều khiển được

thời gian

Cặp trạng thái (X0 ,X1) được gọi là cặp điều khiển được, nếu sau khoảng

t1 tìm được một điều khiển U(t)∈ K C R n sao cho:

Hệ thống được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu hai trạng thái bất kì

(X0 ,X1) nào cũng tìm được t1 để cặp trạng thái đó điều khiển được

Hệ thống được gọi là đạt được hoàn toàn nếu hai trạng thái (, X1) luôntìm được t1 để cặp trạng thái đó điều khiển được

Hệ thống được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 nếu hai trạng tháibất kì (X1,) nào cũng tìm được t1 0 để cặp trạng thái đó điều khiển được

2.2.1.2 Bài toán điều khiển tập tối ưu

Mỗi một hệ thống tồn tại luôn kèm theo một hoặc nhiều mục đích Các

đại lượng đầu vào, đầu ra đặc trưng cho hệ Bài toán điều khiển tập để đầu ra có chất lượng tốt nhất được gọi là điều khiển tập tối ưu.

b) Tập điều khiển tối ưu

Một hệ thống có đầu ra đạt chất lượng cao bởi điều khiển tập U * (t) ,nghĩa là I(X * (t),U * (t)) max I(X(t),U(t)) hoặc I(X * (t),U * (t)) min I(X(t),U(t)) ,khi đó U * (t) được gọi là điều khiển tập tối ưu

(Trường hợp hàm mục tiêu chỉ phụ thuộc tập điều khiển thì I(U * (t)) max I(U(t))hoặc I(U * (t)) min I(U(t)) )

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 24

2.2.1.3 Bài toán ổn định hóa điều khiển tập tối ưu

Là bài toán bao gồm:

2.2.2 Một vài dạng toán điều khiển tập tối ưu

Trong bài toán điều khiển tập tối ưu thì hàm mục tiêu thể hiện chất lượng đầu racủa hệ thống, vì thế có thể phân loại các bài toán theo dạng hàm mục tiêu I

2.2.2.1 Điều khiển tập của hệ tuyến tính liên tục

Một hệ tuyến tính liên tục có điều khiển tập được mô tả bởi hệ vi phântập:

DH X  t   A(t)X (t) B(t)U (t).

Trong đó: t∈ R , X (t )∈ K C R n là tập gốc và U (t )∈ K C R n là tập điềukhiển; A(t), B(t) là các toán tử phụ thuộc t

Lớp tập U(t) khả tích địa phương và nhận giá trị trong K C R n Nghiệm của hệ có thể viết dưới dạng:

2.2.2.3 Điều khiển của hệ vi phân tập

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 25

Thông thường chúng ta quen dùng các biến ngôn ngữ để chỉ trạng thái, tính chất

sự kiện hoặc đối tương.Ví dụ:

a) Tốc độ: cực chậm, rất chậm,chậm, vừa, nhanh, rất nhanh và cực nhanh;

b) Độ chính xác: Hỏng hóc, không chuẩn, vừa, chính xác và hoàn hảo;

c) Khả năng: kém (xấu), chưa được, tạm được, được,vừa phải, tốt;

d) Giá thành: đắt, đắt vừa, trung bình, rẻ vừa, rẻ, quá rẻ;

e) Độ tin cậy: xấu tệ (không tin được), tạm chấp nhận, trung bình, chấp nhậnđược, tốt (đáng tin cậy)…

Tất cả ngôn ngữ, trạng thái có thể logic hóa chúng bằng trãi nghiệm, kinh

nghiệm tri thức, các nhận thức quy ước của con người, khi đó biến trạng thái có mộthàm giá trị: V X∈⎡0;1⎦ với X là một tập chứa biến

2.2.3.4 Các nguyên lý của điều khiển tập mờ

Cho một hệ thống tập mờ, khi đó các nguyên lý điều khiển bao gồm:

a) Tiếp cận một cách tổng quát

Mô tả các trạng thái của hệ thống, các đặc trưng tác động lên tiến trình(đều mờ) theo các luật mờ của hệ thống

Ví dụ Chuyển động của một chiếc xe ô tô có các luật như sau:

Nếu xe chạy lệch xa tâm đường thì bẻ tay lái, vòng nhẹ để xe đi vào hướng chuẩn.

Các biến trạng thái: độ lệch, vị trí, hướng đi, …Các biến điều khiển: bẻ tay lái, góc lái,…

b) Hình thức hóa các biến ngôn ngữ, trạng thái

Sau khi xác định được các biến trạng thái, biến điều khiển phải tiếnhành mã hóa chúng một cách hình thức bằng các kí hiệu và tạo ra tập các biến trạngthái ,…

c) Điều khiển tập mờ - Bộ xấp xỉ tổng quát

Có thể xem các điều khiển tập mờ như là một bộ xấp xỉ tổng quát, nghĩa

là một tập điều khiển F(U1,U2 , ,U p ) với một độ chính xác - xấp xỉ, trong đó F làtập ánh xạ liên tục xác định trên tập mờ (U1,U2 , ,U p ) - compact có số chiều hữu hạn

2.2.3.5 Các phương pháp của điều khiển tập mờ

Đối với các bài toán điều khiển tập các hệ mờ, chúng ta lần lượt làmquen với các phương pháp phổ biến sau đây:

a) Phương pháp tiếp cận lôgic mờ

Phương pháp tiếp cận logic mờ (*) là phương pháp dựa trên suyluận logic của đại số gia tử:

Cần phải xác định luật mờ: R1- Nếu V là A thì W sẽ là B;

Tích hợp các luật: R2 - Nếu W1 là B1 và W2 là B2 thì thêmvào U sẽ là C,…;

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 27