Tìm hiểu về bài toán ổn định của hệ điều khiển với trễ thời gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 2KHOA TOÁN Nguyễn Thị Dung TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ THỜI GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Toán ứng dụng Người hư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Dung

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN

VỚI TRỄ THỜI GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội - 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn TrungDũng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em

có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thầy cô giáotrong khoa Toán và các thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãgiảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tại trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tớigia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợicho em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS Nguyễn TrungDũng, khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán ứng dụng với

đề tài “Tìm hiểu về bài toán ổn định của hệ điều khiển với trễthời gian” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tác giả đã kếthừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biếtơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1.CƠ SỞ TOÁN HỌC 5

1.1.Một số kết quả của hệ phương trình vi phân hàm 5

1.2.Hàm Lyapunov 8

1.3.Lớp hàm -K 13

1.4.Đạo hàm Dini 16

1.5.Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính 20

1.5.1 Bất đẳng thức cơ bản 20

1.5.2 Bất đẳng thức Park 20

1.5.3 Bất đẳng thức của Moon 21

1.5.4 Bổ đề Schur 21

Chương 2.SỰ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ THỜI GIAN 22

2.1.Định nghĩa sự ổn định Lyapunov 22

2.2.Phương pháp Lyapunov 24

2.3.Tiêu chuẩn ổn định đối với hệ điều khiển tuyến tính với trễ thời gian 35

Kết luận 39Tài liệu tham khảo 40

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Hệ được gọi là có trễ khi tốc độ biến thiên trong hệ phụ thuộc vàotrạng thái trước đó Hệ như vậy gọi là hệ trễ thời gian Hệ trễ thời gianthường xuất hiện khi nghiên cứu sự ổn định các hệ động lực học, môhình điều khiển kĩ thuật

Bài toán ổn định với trễ được nghiên cứu từ những năm 60 của thế

kỉ 20 Đầu tiên, các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bài toán ổn địnhqua các hệ phương trình vi phân tuyến tính đơn giản như các hệ phươngtrình vi phân tuyến tính có trễ hằng hoặc các hàm khả vi liên tục Tuynhiên, các nghiên cứu này vẫn còn nhiều hạn chế trong bài toán thực tếkhi gặp các hệ phương trình vi phân tuyến tính với trễ biến thiên Do

đó, em đã chọn đề tài "Tìm hiểu về bài toán ổn định của hệ điềukhiển với trễ thời gian" nhằm cung cấp một số khái niệm và kết quả

về các tiêu chuẩn ổn định của hệ với trễ thời gian Khóa luận gồm 2chương:

Chương 1: "Cơ sở toán học", trình bày các khái niệm và các kết quảcủa của hệ phương trình vi phân hàm, hàm Lyapunov, đạo hàmDini, bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các ví dụ minh họa là cơ

sở để nghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển với trễ thời gian.Chương 2: "Sự ổn định Lyapunov cho hệ điều khiển với trễ thời

gian", trình bày các định nghĩa về sự ổn định theo Lyapunov của hệđiều khiển, tìm hiểu các tiêu chuẩn ổn định dựa trên hàm Lyapunov

và các ví dụ minh họa

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nêncác vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và khôngthể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Em mong được sựgóp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

2 Mục đích, nhiệm vụ

Khóa luận đưa ra hệ thống lý thuyết ổn định của hệ điều khiển vớitrễ thời gian Đưa ra một số tiêu chuẩn ổn định theo hàm Lyapunov đểđơn giản trong việc xét tính ổn định

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về bài toán ổn định của hệ điều khiển với trễ thời gian

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mụcđích nghiên cứu

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này, ta trình bày các khái niệm và các kết quả của hệphương trình vi phân hàm, hàm Lyapunov, đạo hàm Dini, bất đẳngthức ma trận tuyến tính là cơ sở để nghiên cứu sự ổn định của hệ điềukhiển trong chương 2

hàm

Xét hệ phương trình dưới đây

dxi

dt = gi(t, x1, x2, , xn) i = 1, n, (1.1.1)trong đó, t ∈ I := (t1, t2), t1 ≥ −∞, t2 ≤ +∞, vectơ trạng thái x =(x1, x2, , xn)T ∈ Ω ⊂ Rn, gi ∈ I × Ω, R1 , 0 ∈ Ω (1.1.1) có thể đượcviết lại dưới dạng vectơ

dx

dt = g(t, x), g = (g1, g2, · · · , gn)

Giả sử gi thỏa mãn điều kiện Lipschittz, tức là,∀x, y ∈ Ω, ∀t ∈ I, ∃ hằng số L >

∂gi(t, x1, · · · , xn)

∂xj

≤ Kij là hằng số , j = 1, n trên I thìđiều kiện Lipschittz được thỏa mãn

Định lý 1.1 ( Định lý sự tồn tại và duy nhất) Nếu g(t, x) = (g1(t, x), , gn(t, x))thỏa mãn điều kiện Lipschittz, thì ∀(t0, x0) ∈ I × Ω, ∃t∗ > 0, ∃1 nghiệm

duy nhất x(t, t0, x0) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1.2), với điều kiện

ban đầu:

dx(t, t0, x0)

dt = g(t, x(t, t0, x0)), (1.1.4)trên khoảng [t0 − t∗, t0 + t∗]

Định lý 1.2 ( Định lý sự liên tục và khả vi với bài toán giá trị ban đầu)

Giả sử điều kiện của Định lý 1.1 thỏa mãn, và x(1)(t) := x(t, t0, x(1)0 ), x(2)(t) :=x(t, t0, x(2)0 ) là 2 nghiệm của (1.1.2) xác định trên [t0, t1] × Ω Khi đó,

trong đó, x ∈ Ω, t ∈ I, µ ∈ [µ1, µ2] là vectơ tham số.

Định lý 1.3 (Định lý về sự liên tục và khả vi của nghiệm theo tham

số ) Giả sử g(t, x, µ) ∈ C [I × Ω × [µ1, µ2] , Rn] , g thỏa mãn điều kiệnLipschittz với mọi giá trị tham số µ ∈ [µ1, µ2] Khi đó,

(1) ∀t0 ∈ I, x0 ∈ Ω, µ0 ∈ [µ1, µ2]thì tồn tại hằng số p > 0, a > 0 sao chokhi |µ − µ0| ≤ p, nghiệm của (1.1.2) là x(t) := x(t, t0, x0, µ) xác địnhtrên [t0 − a; t0 + a] phụ thuộc liên tục vào µ

(2) gi là giải tích đối với mọi biến số , kéo theo x(t) := x(t, t0, x0, µ)cũng giải tích đối với µ

(3) Sự khả vi liên tục của gi đối với các biến x1, · · · , xn và µ, kéo theo

sự khả vi liên tục của x(t) := x(t, t0, x0, µ) đối với µ

(1.1.6)

trong đó A và α là hằng số Khử t trong (1.1.6), thu được phương trìnhquỹ đạo ˙x2 + x2 = A2, mô tả một họ các đường tròn khi A thay đổi.Khi 0 < λ  1, theo Định lý 1.2, quỹ đạo nghiệm của hệ (1.1.6) xấp xỉnghiệm của (1.1.5) như mô hình 1.1

Hình 1.1: Minh họa cho sự liên tục của hàm số.

Giả sử W (x) ∈ C[Ω, R1], tức là , W : Ω −→ R1 là liên tục, W (0) =0; V (t, x) ∈ C[I × Ω, R1], tức là , V (t, x) : I × Ω −→ R1 là liên tục và

• W (x) được gọi là nửa xác định dương nếu W (x) ≥ 0, ∀ ∈ Ω

• W (x) được gọi là xác định âm nếu W (x) xác định dương

• W (x) được gọi là nửa xác định âm nếu W (x) ≤ 0

• Hàm xác định âm và xác định dương được gọi là hàm xác định dấu

• Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm códấu không đổi.

Định nghĩa 1.2 Hàm V (t, x) ∈ C[I × Ω, R1]( hoặc W (x) ∈ C[Ω, R1])được gọi là thay đổi dấu nếu ∃t1, t2 ∈ I và x1, x2 ∈ Ω sao cho

V (t1, x1) > 0, V (t1, x2) < 0(W (x1) > 0, W (x2) < 0)

Ví dụ 1.2 Hàm W (x1, x2) = 3x21 + 2x22 + 2x1x2 là xác định dương.Hàm W (x1, x2) = x21 + x22 + 2x1x2 = (x1 + x2)2 là nửa xác định dương.Hàm W (x1, x2) = x21 + x22 − 3x1x2 là hàm thay đổi dấu

Hàm V (t, x1, x2) = x21sin t + x22cos t là hàm thay đổi dấu

Định nghĩa 1.3 • Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương nếu tồntại một hàm xác định dương W (x) sao cho V (t, x) > W (x) và

V (t, x) ≡ 0

• Hàm V (t, x)được gọi là xác định âm nếu −V (t, x) là xác định dương

• Hàm V (t, x) ∈ C[I × Ω, R1] được gọi là nửa xác định dương nếu

V (t, x) ≥ 0, V (t, x) là nửa xác định âm nếu V (t, x) ≤ 0

Hình 1.2: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương theo thời gian.

là nửa xác định dương, vì không tồn tại một hàm xác dịnh dương W (x)sao cho V (t, x1, x2) ≥ W (x)

Định nghĩa 1.4 Hàm W (x) ∈ CRn, R1 được gọi là xác định dương

và R.u (Radially unbounded) không bị chặn nếu W (x) xác định dương

và W (x) → +∞ khi x → ∞

Định nghĩa 1.5 Hàm V (t, x) ∈ I × Rn

, R1 được gọi là xác định dương

và R.u không bị chặn nếu tồn tại một hàm W2(x) xác định dương và R.ukhông bị chặn sao cho V (t, x) ≥ W2(x) Hàm V (t, x) được gọi là I.u.b(Infinite upper bound) nếu tồn tại hàm W1(x) xác định dương sao cho

|V (t, x)| ≤ W1(x)

Ví dụ 1.5 Hàm V (x1, x2) = a2x21 + b2 + abx1x2 cos(x1 + x2)

Giả sử W (x) xác định dương với kxk ≤ H Cấu trúc của W (x) rất phứctạp, và có thể không đóng.

Ví dụ 1.7 Xét

W (x1, x2) = x

2 1

1 + x2 1

2 2

1 + x2 2

.Khi 0 < c < 1, W (x1, x2) = c là đường cong đóng, nhưng khi c ≥

1, W (x1, x2) = c không đóng

Thật vậy, với c ≥ 1

Hình 1.3: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian với I.u.b.

W (x1, 0) = x

2 1

1 + x21 = c không có nghiệm hữu hạn đối với x1.

W (0, x2) = x

2 2

1 + x22 = c không có nghiệm hữu hạn đối với x1.Vậy theo hướng x1(x2 = 0) hoặc x2(x1 = 0), W (x1, x2) = c không đóng.Tuy nhiên, khi 0 < c < 1, x2 = kx1, k 6= 0 là một số thực bất kì, thìphương trình

kx21

1 + k2x21 +

x21

1 + x21 = c

có nghiệm hữu hạn x1, do đó đường W (x1, x2) = c và đường thẳng x2 =

kx1 có hữu hạn giao điểm Tương tự, W (x1, x2) = c và x1 = kx2, k 6= 0

có hữu hạn giao điểm Do đó, W (x1, x2) = c(0 < c < 1) là một đườngđóng (nhìn hình 1.3)

1.3 Lớp hàm -K

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về lớp hàm K và mối liên hệ giữalớp hàm K và hàm xác định dương

Hình 1.4: V= c là đường trong lân cận của 0.

Định nghĩa 1.6 Cho hàm ϕ ∈ [R+, R+], với R+ := [0; +∞) hoặc ϕ ∈

C [[0; h] , R+] Khi đó, ϕ là W-hàm , K-hàm nếu thỏa mãn:

Định lý dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hàm xác định dương

và hàm thuộc lớp K

Định lý 1.4 Cho Ω := {x, kxk ≤ h} Cho W (x) ∈ Ω, R1 là hàm xácđịnh dương bất kì, khi đó tồn tại 2 hàm ϕ1, ϕ2 ∈ K sao cho

ϕ1(kxk) ≤ w(x) ≤ ϕ2(kxk) (1.3.7)Chứng minh 1.1 Với h > 0 bất kì, ta chứng minh rằng (1.3.7) đúngvới kxk ≤ h Đặt

ϕ(r) = inf

r≤kxk≤hW (x)

Rõ ràng , ta có ϕ(0) = 0, ϕ(r) > 0, với r > 0 và ϕ(r) là một hàm đơnđiệu không giảm trên đoạn [0, h] Bây giờ ta chứng minh ϕ(r) là liên tục

Vì W (x) liên tục nên ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho

Khi x0 ∈ D1 := {x | r1 ≤ kxk ≤ h}, ta lấy giao điểm của đường Ox0

Khi đó, cho ψ(0) = 0 Bằng phương pháp tương tự, ta cũng chứng minhđược ψ(r) là hàm đơn điệu tăng và liên tục.

Bằng phương pháp tương tự, ta có định lý dưới đây.

Định lý 1.5 Cho W (x) ∈ R1, R1 là một hàm xác định dương và R.ubất kì, khi đó tồn tại hai hàm ϕ1(r), ϕ2(r) ∈ KR sao cho

Cho một hàm liên tục, mối quan hệ giữa sự đơn điệu và dấu của đạohàm Dini được xác định như sau

Định lý 1.6 Điều kiện cần và đủ để f (t) ∈ CI, R1 đơn điệu tăngtrên I là D+f (t) ≥ 0, ∀t ∈ I

Chứng minh 1.2 Điều kiện cần là rõ ràng vì t2 > t1 kéo theo f (t2) >

f (t1) Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ

Trước tiên, giả sử D+f (t) ≥ 0 trên I

Nếu có 2 điểm α, β ∈ I và α < β sao cho f (α) > f (β), khi đó ∃µthỏa mãn f (α) > µ > f (β) và điểm t ∈ [α, β] sao cho f (t) > µ Đặt

ξ = sup {t : f (t) > µ} Khi đó, ξ ∈ [α, β] và sự liên tục của f (t) ta có

Chú ý: Nếu ta thay thế D+f (t) ≥ 0 bởi D+f (t) ≥ 0, khi đó điềukiện đủ của định lý 1.6 vẫn đúng

Tương tự, nếu ta thay D+f (t) ≥ 0 bởi D−f (t) ≥ 0, D−f (t) ≥ 0 hoặc

D−f (t) ≥ 0, và do đó, bất kì 1 trong 4 đạo hàm Dini không âm thì f (t)

trong đó f (t, x) ∈ C [I × Rn, Rn].

Định lý 1.7 Giả sử V (t, x) ∈ CI × Ω, R1 , Ω ⊂ Rn, 0 ∈ Ω, V (t, x)thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x, tức là

V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) = V (t + h, x + hf (t, x) + hε) − V (t, x)

< V (t + h, x + hf (t, x) + Lh [ε] − V (t, x).trong đó, ε → 0, h → +0 Do đó,

Theo Định lý 1.6, V (t, x(t)) không giảm ( không tăng) dọc theonghiệm của (1.4.14) khi và chỉ khi





−2aTN b ≤



ab

Sự ổn định của một hệ thường liên quan tới khả năng trở về trạng tháiban đầu khi sự xáo trộn bên ngoài kết thúc Sự ổn định là điều kiện cơbản cho tiêu chuẩn hoạt động của một hệ điều khiển.

Xét hệ phương trình trễ với thời gian:

(2.1.1)

Định nghĩa 2.2 Nghiệm không của hệ (2.1.1) được gọi là ổn định tiệmcận đều, nếu nó là ổn định đều nếu thỏa mãn

Định nghĩa 2.3 Nghiệm không của hệ (2.1.1) gọi là sự ổn định mũ,nếu tồn tại δ > 0, α > 0, B(δ) ≥ 1 sao cho kξk < δ và t > T ta có

kx(t, t0, ξ)k ≤ B(δ)

max

t∈Et0 kξk



e−α(t−t0 ) (2.1.2)Định nghĩa 2.4 Nghiệm không của hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận toàncục, nếu nó là ổn định và với mọi hàm giá trị ban đầu ξ(t) ta có

i=1

∂V

∂x ifi(t, x(t), x(t − τ (t))) ≤ 0) Khi

đó, nghiệm không của (2.2.3)là ổn định

Chứng minh 2.1 Vì hàm V (x, t) là xác định dương nên tồn tại

ϕ(||x| |) ≤ V (t, x), ∀(t, x) ∈ GH (2.2.5)

Vì V (t, 0) = 0, tồn tại δ(t0) sao cho khi kx0k ≤ δ(t0), ta có V (t0, x0) <ϕ(ε).

Từ (2.2.4) và (2.2.5) ta có

ϕ(||x(t)| |) ≤ V (t0, x(t)) ≤ V (t0, x0) ≤ ϕ(ε),kéo theo ||x(t)| | ≤ ε, t ≥ t0 Vậy nghiệm không của (2.2.3) là ổn định.Định lý 2.2 Nếu tồn tại hàm V (t, x) xác định dương là I.u.b trongmiền GH sao cho

D+V (t, x) |(2.2.3)≤ 0(Trong trường hợp đặc biệt, dV (t,x)dt |(2.2.3)= ∂V∂t +Pn

i=1

∂V

∂xifi(t, x(t), x(t −

τ (t))) ≤ 0 ) Khi đó nghiệm không của (2.2.3) là ổn định đều

Chứng minh 2.2 Vì V (t, x) là xác định dương và I.u.b, ∃ϕ1, ϕ2 ∈ Ksao cho

Ví dụ 2.1 Xét sự ổn định của nghiệm không của hệ trễ hai chiều:

Xét hàm Lyapunov xác định dương và I.u.b

Vì vậy nghiệm không của(2.2.6) là ổn định đều

Định lý 2.3 Nếu tồn tại một hàm V (t, x) xác định dương và I.u.b trongmiền GH sao cho

là xác định âm, thì nghiệm không của (2.2.3) là ổn định tiệm cận đều.

Khi GH = Rn thì phần kết luận của định lý trở thành ổn định tiệm cận

toàn cục

Chứng minh 2.3 Đặt V (t) := V (t, x(t)) Từ điều kiện của V (t, x) tồn

tại ϕ1, ϕ2 ∈ K sao cho

V (t0) ≤ ϕ2(kx0k) ≤ ϕ2(H)

Định lý 2.4 Nếu tồn tại hàm V (t, x) ∈ [I × GH, R] trong miền GH

thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) kxk ≤ V (t, x) ≤ k(H) kxk , x ∈ GH;

(2)dV

dt |(2.2.6)≤ −cV (t, x), khi c > 0 là 1 số không đổi ;

thì nghiệm không của (2.2.6) là ổn định theo hàm mũ.

Nếu GH = Rn, thì kết luận trong định lý 2.4 là ổn định hàm mũ toàncục

Chứng minh 2.4 Từ điều kiện (2), ta biết rằng

Bây giờ, xét hệ trễ tổng quát:

ϕ1(kxk) ≤ V (t, x) ≤ ϕ2(kxk)trong miền GH ;

(2) Đạo hàm Dini của V (t, x) theo nghiệm của (2.2.9) thỏa mãn

V (t − τ (t)), x(t − τ (t)) ≤ V (t, x(t)), (2.2.10)trong đó F (V ) > 0, khi V > 0, và F (0) = 0;

Bây giờ, ta chứng tỏ rằng với nghiệm của (2.2.9) x(t) := x(t, t0, ξ) thỏamãn kξ(t)k < δ , ta có

V (t, x(t)) := V (t) ≤ y(t), t ≥ t0 (2.2.16)Nếu trái lại, ∃t1 > t0 sao cho

V (ξ) ≤ V (t1), t1 − r ≤ ξ ≤ t1,

D+V (t1) ≤ g(t1)F (V (t1)) < g(t1)F (V (t1)) (2.2.18)Điều này mâu thuẫn với (2.2.17), nên (2.2.16) đúng Vì vậy,

ϕ1(kx(t)k) ≤ V (t) ≤ g(t) ≤ ε1 ≤ ϕ1(ε)kéo theo (kx(t)k) ≤ ε, t ≥ t0 Vì δ < y0 không phụ thuộc t0, nghiệmkhông của (2.2.9) là ổn định đều

Hệ quả 2.1 Nếu

(1) điều kiện (1) ở định lý 2.5 đúng; và

(2) điều kiện (2) ở định lý 2.5 được thay bởi

D+V (t, x) |(2.5)≤ 0,thì nghiệm không của (2.2.9) là ổn định đều

Ví dụ 2.3 Xét sự ổn định của hệ trễ thời gian 2- chiều dưới đây:

dx 2

dt = −a12x1(t) − a222x2(t) + b21x1(t − τ (t))+b22x2(t − τ (t)),

(2.2.21)

và xác định miền giá trị của các hệ số sao cho nghiệm không của hệ là

dV

dt |(2.2.21) = −2a211x21(t) − a222x22(t) + 2b11x1(t)x1(t − τ (t))

+ 2b12x1(t)x2(t − τ (t)) + b21x2(t)x1(t − τ (t))+ b22x2(t)x2(t − τ (t))

≤ −2a211x21(t) − a222x22(t) + b211x21(t) + x21(t)(t − τ (t))+ 2b212x21(t) + x

2 22

4 − b

2 22

2



x22(t)+ 2V (x1(t − τ (t)), x2(t − τ (t)))

4 − b

2 22

2



x22(t).Vậy, khi

Sự ổn định hệ thường liên quan tới khả trở trạng tháiban đầu xáo trộn bên kết thúc Sự ổn định điều kiện cơbản cho tiêu chuẩn hoạt động hệ điều khiển.

Xét hệ phương trình trễ với thời gian: ... dụ 2.1 Xét ổn định nghiệm không hệ trễ hai chiều:

Xét hàm Lyapunov xác định dương I.u.b

Vì nghiệm không của( 2.2.6) ổn định

Định lý 2.3 Nếu tồn hàm V (t, x) xác định dương... (2.2.9) ổn định

Hệ 2.1 Nếu

(1) điều kiện (1) định lý 2.5 đúng;

(2) điều kiện (2) định lý 2.5 thay

D+V (t, x) |(2.5)≤ 0,thì nghiệm không (2.2.9) ổn định