Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì heä coù nghieäm... 83 Höôùng Daãn Vaø Giaûi Toùm Taét.[r]
Trang 1Bài 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Dạng : (I) f(x,y) 0
g(x,y) 0
=
⎧
⎩ với f(x,y) f(y,x)= và g(x,y) g(y,x)=
2 Cách giải: Đưa hệ (I) về hệ :
F(S,P) 0 (II)
G(S,P) 0
=
⎧
⎩ với S = x + y , P = xy Giải hệ (II) ⇒S,P và x,y là nghiệm của phương trình :
2
t −St P 0+ = Điều kiện để (I) có nghiệm là hệ (II) có nghiệm thỏa: S2−4P 0≥
II CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình : x2 y2 xy 7
x y xy 5
⎧ + + =
⎪
⎨ + + =
⎪⎩
Giải Đặt s = x + y, p = xy, ta có:
Hệ s2 p 7 s2 s 12 0 s 4
p 9
s p 5 p 5 s
⎧ − = ⎧ + − = ⎧ = −
=
(loại vì không thỏa s2−4p 0≥ )
s 3 x 1 x 2
p 2 y 2 y 1
∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨
⎩ ⎩ ⎩ vậy nghiệm (1, 2), (2, 1)
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
1 1
x y
1 1
x y
⎧ + + + =
⎪
⎨
⎪ + + + =
⎪⎩
(ĐH Ngoại Thương TPHCM, Khối A, D năm 1997)
Giải Đặt
2
2
1
u x
⎧
⎪
⎪⎪ ⇔⎪
⎪ = + ⎪ + = −
Hệ u v 52 2 u v 52 u v 5
uv 6
u v 13 (u v) 2uv 13
=
u,v
⇒ là nghiệm của phương trình : α − α + = 2 5 6 0
u 2 u 3
3 x 2
v 3 v 2
⇔ α = ∨ = ⇒⎨ ∨⎨
* u = 2, v = 3:
x
y
⎧ + = ⎧ = ⎧ =
⇔⎨ ⇔⎨ + ∨⎨ −
⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩
⎪⎩
* u = 3, v = 2:
2
3 5
y
−
⇔⎨ ⇔⎨ − ∨⎨
=
⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩ =
⎪⎩
⇒ nghiệm hệ: 1,3 5 ; 1,3 5
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 5,1 ; 3 5,1
⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞
Trang 2Ví dụ 3:
Tìm các giá trị của a để hệ sau đây có đúng 2 nghiệm
2 2 2
x y 2(1 a) (x y) 4
⎧ + = +
⎪
⎨ + =
⎪⎩
(ĐH Y Dược TPHCM năm 1998)
Giải
Ta có: x2 y22 2(1 a) (x y)22 2xy 2(1 a)
(x y) 4 (x y) 4
⎧ + = + ⎧ + − = +
xy 1 a xy 1 a
x y 2 x y 2
+ = + = −
Điều kiện hệ có nghiệm là:
(x y)h2 4xy 0+ − ≥ ⇔ −4 4(1 a) 0− ≥ ⇔ ≥ a 0
x,y
⇒ là nghiệm của phương trình : α − α + − = hoặc 2 2 1 a 0
2 2 1 a 0
α + α + − =
Có cùng biệt số: ' 1 (1 a) a∆ = − − =
Và có 4 nghiệm khác nhau: α = ±1 a, 'α = − ±1 a khi a > 0
Nên chỉ đúng 2 nghiệm khi a = 0
x y 1,
⇒ α = = = ' x yα = = = − 1
Tóm lại hệ có đúng hai nghiệm: (1, 1); (-1, -1) khi a = 0
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
1 (x y) 1 5
xy 1 (x y ) 1 49
x y
⎪
⎪ + ⎜ + = ⎟
⎩ (ĐH Ngoại Thương Khối A năm 1999)
Giải
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + =
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎪
⇔ ⎨
⎛ ⎞
⎪⎛ + ⎞ + + =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎩
Đặt
1
x 1
y
⎧ + =
⎪⎪
⎨
⎪ + =
⎪⎩
uv 14
u v 53 (u v) 2uv 53
= −
u,v
⇒ là nghiệm phương trình: 2 u 7 u 2
x 5x 14 0
v 2 v 7
= = −
− − = ⇔⎨ ∨⎨
= − =
Với
1
1
y
⎪ + = − ⎪⎩ = − ⎪⎩ = −
⎪⎩
Với
7 45 7 45
y
⎧ + = − ⎧ = − ⎧ = −
⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩
⎪⎩
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2.1 Cho hệ phương trình: x y 2a 12 2 2
x y a 2a 3
+ = −
⎧⎪
⎨ + = + −
⎪⎩
Định a để hệ có nghiệm (x, y) và xy nhỏ nhất
2.2 Cho hệ phương trình: (x 1)(y 1) m 4
xy(x y) 3m
+ + = +
⎧
⎨ + =
⎩
1 Định m để hệ có nghiệm
2 Định m để hệ có 4 nghiệm phân biệt 2.3 Cho hệ phương trình: x y yx a 12 2
x y y x a
+ + = +
⎧⎪
⎨ + =
⎪⎩
Định a để hệ có ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y >
0
2.4 Cho hệ phương trình: x y xy a2 2
x y xy 3a 8
+ + =
⎧⎪
⎨ + = −
⎪⎩
a Giải hệ với a 7
2
=
b Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm
Trang 3Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt
2.1 Đặt s x y
p xy
= +
⎧
⎨ =
s 2a 1 s 2a 1
s 2p a 2a 3 2p 3a 6a 4
⇔⎨ − = + − ⇔⎨ = − +
2
s 2a 1
2p 3a 6a 4
⎧
⎪ = −
⎪⎪
⇔⎨ = − +
⎪
⎪ − ≤ ≤ +
⎪⎩
Đặt f(a) 3a2 3a 2,
2
= − + f '(a) 3a 3,= − f '(a) 0= ⇔ = a 1
Bảng biến thiên:
Từ Bảng biến thiên f(a)Min a 2 2
2
2.2
1 Hệ x y xy m 3
xy(x y) 3m
+ + = +
⎧
⇔ ⎨ + =
⎩ Đặt S = x + y, P = xy S P m 3
PS 3m
+ = +
⎧
⇔ ⎨ =
⎩ s
⇒ và p là nghiệm của phương trình: α −2 (m 3)x 3m 0+ + =
(m 3) 0
P 3 P m
∆ = − ≥ ⇒⎨ ∨⎨
* S m
P 3
=
⎧
⎨ =
⎩ thì x và y là nghiệm phương trình: t2−mt 3 0+ =
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ =1 m2−12 0≥ ⇔m≤ −2 3 m 2 3∨ ≥
* S 3
P m
=
⎧
⎨ =
⎩ thì x và y là nghiệm phương trình: t2− +3t m 0= Phương trình có nghiệm 2 9 4m 0 m 9
4
⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤ Tóm lại hệ có nghiệm m 2 3 m 2 3 m 9
4
⇔ ≤ − ∨ ≥ ∨ ≤
2 Để hệ có 4 nghiệm phân biệt 1
2
0
m 2 3 0
∆ >
⎧
⇔⎨∆ >⎩ ⇔ < −
2.3 Hệ S P a 1 S a S 1
* Với S a
P 1
=
⎧
⎨ =
⎩ Điều kiện x > 0, y > 0 là:
2
S 0
P 0 a 2
S 4 0
⎧ >
⎪
> ⇔ ≥
⎨
⎪ − ≥
⎩
* Với S 1
P a
=
⎧
⎨ =
⎩ Điều kiện x > 0, y > 0 là:
2
S 0
1
4
S 4P 0
⎧ >
⎪
> ⇔ < ≤
⎨
⎪ − ≥
⎩ Đáp số: a 2 0 a 1
4
≥ ∨ < ≤
2.4 x y xy a2 2 S P a
SP 3a 8
x y xy 3a 8
+ + =
+ = −
P xy
= +
⎧
⎨ =
⎩
a
S 1 (loại) 5
S P
a :
5
(nhận)
P 1
⎡⎧ =
⎪
⎢⎨
⎧ + = ⎢ =
⎪
⎧
⎪ = ⎢⎪ =
⎢⎪ =
⎢⎩
⎣
x, y là nghiệm phương trình: 2 5 1 0 2 x 1
α − α + = ⇔ α = ∨ =
Trang 4x 2 x 1
2
1
2
=
⇒⎨ ∨⎨
=
b S P a
SP 3a 8
+ =
⎧
⎩ thì s, p là 2 nghiệm của phương trình:
2 a 3a 8 0 (1)
α − α + − = Phương trình có nghiệm
2
a 4(3a 8) 0 a 4 a 8
Với điều kiện đó, phương trình (1) có nghiệm:
2
1 a a 12a 32 ,
2
2
α = Chọn
2
a a 12a 32
2
2
= thì hệ sẽ có nghiệm
2
s 4p 0 (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (2)
Chọn
2
a a 12a 32
2
2
= thì hệ có nghiệm
2
s 4p (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (3)
Từ (2) và (3)⇒ − (a 2)(a 8) − ≥ − + a 4 (a 4)(a 8) (4) − −
Vì (a 2)(a 8) 0 a 2
a 8
≤
⎡
− − ≥ ⇔ ⎢ ≥
⎣ thì (4) thỏa
Khi a∈(2,4] thì (a 2)(a 8) 0− − <
(4)⇔ −(a 2) (a 8)− ≤ +(a 4) (a 4)(a 8)− −
2 13 3 33 13 3 33
Kết hợp với các điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm khi
13 3 33 a
8 +
≤ hay a 8≥