GIẢI PHÁP GIẢNG dạy PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG mẫu mực

Trong quá trình giảng dạy chương I đại số- Lớp 11: “ Hàm số lượnggiác và phương trình lượng giác ” tôi nhận thấy phương trình lượng giác là mộttrong những kiến thức cơ bản, thường gặp tr

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

GIÁC KHÔNG MẪU MỰC"

PHẦN I : MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Có thể khẳng định rằng nhiệm vụ cao cả của trường THPT và ngườigiáo viên là đào tạo và xây dựng thế hệ trẻ có đầy đủ phẩm chất đạo đức và trítuệ để làm chủ tương lai

Trong quá trình giảng dạy chương I đại số- Lớp 11: “ Hàm số lượnggiác và phương trình lượng giác ” tôi nhận thấy phương trình lượng giác là mộttrong những kiến thức cơ bản, thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng vàthi học sinh giỏi Trong chương học này học sinh đã nắm được các dạngphương trình lượng giác cơ bản và phương trình lượng giác thường gặp Tuynhiên phương trình lượng giác không mẫu mực rất đa dạng và không thể cóphương pháp chung nào đề giải mọi phương trình lượng giác đó nên học sinhthường thấy lúng túng trong việc phân tích, lựa chọn cách giải phù hợp, ngắngọn

Để giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và phương trình lượnggiác nói riêng đạt kết quả tốt đã có rất nhiều tài liệu, sách báo đề cập đến, tuynhiên tài liệu riêng về phương trình lượng giác không mẫu mực còn ít chính vìthế học sinh còn khá bỡ ngỡ và gặp khó khăn khi gặp các phương trình dạngnày

Là người giáo viên trực tiếp giảng dạy cho các em tôi thấy rằng mìnhkhông chỉ nắm được các kiến thức mà điều cần thiết là vận dụng các phươngpháp linh hoạt, hệ thống kiến thức một cách sáng tạo, truyền thụ cho học sinh

dễ hiểu nhất

Chính điều đó đã thôi thúc tôi suy nghĩ, thu thập tài liệu nhằm giúp họcsinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả caonhất khi giải phương trình và đạt kết quả cao trong các kì thi tôi chọn đề tài:

“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC ”

đích giúp các thầy cô giáo giảng dạy có hiệu quả và các em học sinh có đượccái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của mỗi vấn đề đặt ra, từ đó đưa raphương pháp giải mạch lạc phù hợp với mỗi bài toán Đồng thời nhằm nâng caochất lượng hiệu quả của quá trình giảng dạy và học tập của học sinh lớp 11, mởrộng kiến thức cho học sinh, nhằm phát huy tinh thần tự giác học tập cũng nhưkhả năng sáng tạo trong học tập của học sinh Sau khi đề tài được thực hiện,qua việc hướng dẫn phương pháp chung và giải một số bài tập mẫu học sinh cóthể vận dụng giải những bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, bài tập nângcao phần nào giúp học sinh thuận tiện hơn trong quá trình học và quá trình ôntập củng cố kiến thức chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng

3- Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khối 11, học sinh ôn thi đại học

4- Giới hạn phạm vi và nội dung nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu: Nội dung chương trình toán THPT

Tập trung nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn đúc rút kinh nghiệm ương

ph-pháp dạy học sinh giải các phương trình lượng giác

Có thể khẳng định phương trình lượng giác rất đa dạng nhưng có thể nói

có hai dạng riêng biệt là: Phương trình lượng giác mẫu mực và phương trìnhkhông lượng giác không mẫu mực Những phương trình lượng giác mẫu mực

đã có cách giải cụ thể ở sách giáo khoa vì vậy trong đề tài tôi chỉ nghiên cứumột số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

Áp dụng đề tài:

Khối lớp 11 – Năm học 2011 - 2012

Khối lớp 11 – Năm học 2012 – 2013

Trường THPT Trần Nhật Duật-Yên Bình- Yên Bái

5- Nhiệm vụ của đề tài

Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản, vững vàng khi giải phương

trình lượng giác

- Phân loại các phương trình lượng giác không mẫu mực

- Chỉ ra các phương pháp giải mỗi dạng phương trình lượng giác đó

- Giúp cho học sinh có những kỹ năng và thao tác khi giải phương trình lượnggiác

6- Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý thuyết qua sách giáo khoa

+ Nghiên cứu tài liệu tham khảo

+ Điều tra, khảo sát thực tế học sinh

+ Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn

+ Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

* Xây dựng một hệ thống bài tập hợp lý, phân loại các dạng bài tập từ đó lựachọn các ví dụ cụ thể hướng dẫn cụ thể từng loại

7- Thời gian nghiên cứu

Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thôngtrung học Từ năm 2009 cho đến nay

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lí luận

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể chế hoá trongLuật giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đàotạo Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá và hiện đại hoá vớimục tiêu đến

năm 2020 Việt Nam sẽ từ một nước nông nghiệp về cơ bản trở thành nước côngnghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định thắng lợi của côngcuộc

CNH- HĐH là hội nhập con người, là nguồn lực người Việt Nam được pháttriển về số lượng và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao Vìvậy mỗi người

giáo viên phải xây dựng và hình thành một nền tảng kiến thức, kĩ năng đủ vàchắc chắn

Chúng ta đều đã biết năm học này là năm học tiếp tục phát động các

cuộc vận động “Mỗi thầy giáo, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và

sáng tạo”, “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ”, thực hiện

tốt công tác “Đổi mới quản lý giáo dục và thực hiện đồng bộ các giải pháp

để nâng cao chất lượng giáo dục, nhằm mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh” Để hưởng ứng các cuộc vận động đó cá nhân tôi với những việc làm cụ

thể: làm đồ dùng học tập, sáng tạo trong phương pháp dạy học để tạo niềmhứng thú say mê học toán cho học sinh

Trong thực tế các đề thi vào các trường đại học đều xuất hiện phươngtrình lượng giác đối với học sinh nhận thức trung bình khá như đa số học sinhtrong trường thì không phải lúc nào các em cũng giải thành thạo.Trong khi học

lí thuyết các em học sinh chỉ được học các phương trình cơ bản, mẫu mựcchính vì vậy tôi luôn băn khoăn và tìm cách đưa đến cho học sinh nhữngphương trình lượng giác không mẫu mực để học sinh làm quen Để giải thànhthạo các phương trình lượng giác điều đầu tiên là học sinh phải nắm vững và ápdụng linh hoạt các công thức biến đổi, học sinh dựa vào kiến thức về cung vàgóc lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, giá trị lượng giác của cung cóliên quan đặc biệt ở đại số lớp 10, nắm vững phương pháp giải các phươngtrình lượng giác cơ bản và phương trình lượng giác mẫu mực (Đại số và giảitích lớp 11)

2 Cơ sở thực tiễn

- Dựa vào yêu cầu của các đề thi vào các truờng Cao đẳng và Đại học

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT

Với mục đích giúp nâng cao năng lực học tập, rèn luyện kiến thức , kĩ năngnhận dạng và cách tập dượt làm bài nhanh nhất Có được điều đó thì học sinhmới có

thể đạt được kết quả tốt trong các kì thi quan trọng

CHƯƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Ngay từ những năm học trước tôi đã thu thập các tài liệu, các bài tậpphương trình lượng giác không mẫu mực, tiếp thu các ý kiến của các đồngnghiệp để xây

dựng nội dung cho đề tài Với cách thức là phát huy các kiến thức cơ bản vềphương

trình mà học sinh đã biết cách giải tôi đưa ra một số phương trình đặc biệt đểhọc

sinh khai thác, tôi thấy học sinh thực sự say mê và hứng thú Sau khi giảng dạytôi đã khảo sát và bước đầu thấy kết quả khá tốt Lúc đầu chưa hướng dẫn hầuhết các

em không thể làm được, hoặc làm được rất ít sau khi học xong các em đều làmtốt

Kết quả đạt được Trước khi bồi dưỡng Sau khi bồi dưỡng

Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm

Kết quả đạt được Trước khi bồi dưỡng Sau khi bồi dưỡng

Yếu 57 37 % 10 6,5 %

Qua khảo sát thực tiễn và thực tế giảng dạy trong chương trình toán học 11tôi thấy rằng học sinh còn bộc lộ nhiều yếu kém và nhược điểm:

+ Học sinh kỹ năng giải bài tập còn yếu

+ Không biết phân biệt dạng bài tập

+ Học sinh yếu ở việc vận dụng kiến thức toán để giải bài toán

Qua khảo sát thực tế chất lượng tôi rất băn khoăn và tìm ra nguyên nhân chính:

+ Do giáo viên chưa có phương pháp tốt giúp học sinh nắm chắc kiếnthức, có kỹ năng để giải bài tập

+ Chưa tạo ra hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập

Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ những kiếnthức đầu tiên Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổ sungkịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến bàihọc

Trong đề tài này tôi sẽ cố gắng đưa ra một phương pháp giải phương trìnhlượng giác không mẫu mực để từ đó giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và

Chính vì thế trong nhiều năm học qua tôi đã áp dụng những gì mình đượctìm

hiểu, được trao đổi với đồng nghiệp áp dụng vào việc giảng dạy Và tôi nhậnthấy

hiệu quả và chất lượng dạy học được nâng lên rất rõ rệt

Để đề tài được thực hiện có hiệu quả tôi đã thực hiện theo các bước:

Giai đoạn 1: Thu thập tài liệu

Đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, đề thi tuyển sinh đại học, xem tài liệutrên mạng và qua ý kiến của đồng nghiệp nhờ vậy tôi đã có một hệ thống cácdạng bài tập, tôi sắp xếp thành hệ thống từ dễ đến khó

Giai đoạn 2: Thực hiện nội dung nghiên cứu

Tôi đưa ra hai dạng phương trình không mẫu mực thường gặp nhất

* Phương trình lượng giác có sử dụng công thức hạ bậc

* Phương trình lượng giác biến đổi về dạng tích

B KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Thông thường để giải phương trình lượng giác ta phải thực hiện các bước sau:

* Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì sử dụng phépbiến đổi tương đương đưa về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác

* Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của các cung khác nhau thì sửdụng phép biến đổi tương đương đưa về phương trình chỉ chứa các hàm lượnggiác của một cung

- Biến đổi phương trình đã cho về các phương trình đơn giản quen thuộc Cácphương pháp biến đổi theo hướng này gồm có

+ Phương pháp đặt ẩn phụ : Đưa phương trình lượng giác về việc giải phươngtrình đại số

+ Phương pháp hạ bậc : Nếu phương trình cần giải có bậc cao thì dùng côngthức hạ bậc để biến đổi về bậc thấp hơn

+ Phương pháp biến đổi thành phương trình tích

+ Phương pháp đánh giá hai vế

Dạng 1: Áp dụng phương pháp hạ bậc

Nếu phương trình cần giải có bậc cao thì dùng công thức hạ bậc để biến đổi

về bậc thấp hơn.

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa (nếu cần)

Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng một trong các công thức

 cos2x c os6x c os4x 0

2cos 2 os4 os4 0 os4 2cos 2 1 0 os4 0 (2)

1 sin  x c os x để phương trình trở nên đơn giản hơn.

Ví dụ 5: Giải phương trình: sin 4x cos 4 1

Ví dụ 7: Giải phương trình cos 2 2 x sin 4x  3 0 (1)

Giải: (1)  (1 2sin )  2x 2  4sin 4 x  3 0

4 sin cos sin

x

x x

2sin 3sin 4sin 4sin 1

4sin 4sin sin 1 0

Ví dụ 10: Giải phương trình cos10x 2 os 4c 2 x 6 os3 cosc x x cosx 8cos os 3x c 3 x (1)

Giải:  1  cos10x  1 cos8x cosx 2cos (4 os 3x c 3 x 3 os3 )c x

 2 os9 cosc x x  1 cosx 2cos os9x c x

Giải: Điều kiện: sin 2 0

2

x  x k  k Z (*)

4(1 sin 2 ) 6cos 2 2(2cos 2 1) 0

7 (2)

tan cot sin 2 2

Điều kiện: sin 2

Bài tập tự rèn luyện: Giải các phương trình sau

4, sin 3x 3 cos 3x sin cosx 2x 3 sin 2xcosx

5, sinx cos sin 2x x 3 cos3x 2(cos 4x sin ) 3x

6, 4(sin 4 x cos ) cos 4 4 x  x sin 2x 0

7, 3cos 4x 8cos 6x 2cos 2x  3 0

8, 4(sin 3x cos ) cos 3x  x 3sinx

Dạng 2: Biến đổi phương trình lượng giác đã cho thành phương trình tích

Phương pháp chung : Việc biến đổi phương trình lượng giác thành phươngtrình tích cần lựa chọn một trong các cách sau

Cách 1 : Biến đổi tổng, hiệu thành tích

Cách 2 : Lựa chọn phép biến đổi cos2 ;sin 2x x

Ví dụ 1: Giải phương trình cos3x 4 cos 2x 3cosx 4 0,   x 0;14

Giải: Ta có cos3x 4cos 2x 3cosx 4 0 

 (4cos 3x 3cos ) 4(2cosx  2 x 1) 3cos  x 4 0 

3 2

4cos x 8cos x 0

Ví dụ 2: Giải phương trình (1 cos )2 (1 cos )2 2 1 2

tan sin (1 sin ) tan

(1)  (1 cos2 ) (cosx  x c os3 ) 0x 

 2cos 2x 2cos 2 cosx x 0

 2cos (cosx x c os2 ) 0x 

2cos3 .cos cos 0

x

cos 0

cos 0 2

2 2

2 3

x k

Giải: Điều kiện : cosx sinx 0  (*)

Với điều kiện (*) thì phương trình tương đương với

cos3x cosx c os2x 0

(1 2sin cosx 2x 6sin cosx x 2 3.cos 3x 6 3 cos 2 x 3 3 8( 3.cos  x sin ) 3 3 0x  

2 cos 2 ( 3 cos sin ) 6 cos ( 3 cos sin ) 8 ( 3 cos sin ) 0

, 2

Giải: Điều kiện sinx  0 x k  k Z

Với điều kiện trên thì phương trình (1)

 sin 2x(1 sin2  x cos 2 ) 2 2 sinx  2 xcosx

1 sin 2x cos 2x 2 2 cosx

(1)  9sinx 6cosx 6sinxcosx  1 2sin x 8

 6cosx 6sinxcosx 2sin x2  9sinx 7  0

(*)  (cos 2x cos 4x)  sinx (cos 3x 2 sin 3x cos 3x)  0

 ( 2 sinxsin 3x sinx)  ( 2 sin 3xcos 3x cos 3x)  0

 ( 2 sin 3x 1 )(sinx cos 3x)  0

Ví dụ 9 : Giải phương trình tanx tan 3x 2sin 2 1x 

Giải : Điều kiện cos 0, os3 0

x c x  x k k Z (*) Với điều kiện (*) thì phương trình

( 1)  sin 2 

2sin 2 cos os3

Ví dụ 10: Giải phương trình x x x

sin

2 cos 3 2 cot

Giải: Điều kiện sinx  0 x k  k Z

Với điều kiện trên thì (1)

4 cosx 2sinx 3 cos 2x

(1)  sin 3x 3sin 2x cos 2x 3sinx 3cosx 2 0 

(sin 3x sin ) 2sinx x 3sin 2x (cos 2x 2 3cos ) 0x

1 sin

2 (2sin 1)(2cos 3cos 1) 0 cos 1

1 cos

Ví dụ 13: Giải phương trình cos 2x cosx2 tan 2x 1  2 (1)

Giải: Điều kiện cos 0

2

x  x k, k  Z (*)Với điều kiện (*) thì phương trình

x x

(1)  (cos 2x cos 4x)  sinx (cos 3x 2 sin 3x cos 3x)  0

 ( 2 sinxsin 3x sinx)  ( 2 sin 3xcos 3x cos 3x)  0

 ( 2 sin 3x 1 )(sinx cos 3x)  0

1 sin 3

2 cos3 cos

(1) 4sin 2 12sin 3 3cos 2

8sin cos 12sin 6sin

2sin 4cos 3sin 6 0

(2)  x k  k Z

Nghiệm của phương trình là x k  k Z

Ví dụ 16: Giải phương trình cos 2x cosx2 tan 2x 1  2 (1)

Giải.

Điều kiện cos 0

2

x  x k k Z (*) Với điều kiện (*) thì

Ví dụ 17: Giải phương trình cos3x c os2x c x os  1 0 

Giải: Ta có cos3x c os2x c x os  1 0 

 4cos 3x 3cosx 2cos 2x  1 c xos  1 0 

Giải: Ta có sin 3 sin 2 os

; 2

24 2 2

42 7

k x

k x

* 2 2  sinx cosx sinxcosx 0 1 

Đặt t sinx cosx  với t   2, 2 

Giải: Điều kiện:sinx 0 (*)

Với điều kiện (*) ta có:

2 6

2) cos 2 3 sin 2 4sin 1

4sin 2sin 2 3 sin cos 0

Vậy phương trình có nghiệm: 2 ,

8, 3 tan  xtanx 2sinx 6cosx 0

9, sin cos 2x x cos 2x(tan 2x 1) 2sin  3x 0

10, sin4 cos4 1cot 2 1

và nhận thấy có hiệu quả cao đối với học sinh Chính vì vậy người giáo viêncần phải trang bị cho mình những hiểu biết cơ bản và cách nhìn khái quát tổnghợp Điều đó sẽ giúp cho người giáo viên khi giảng dạy về vấn đề này có đượcphương pháp truyền tải tốt nhất giúp học sinh tiếp thu có hiệu quả các em họcsinh có sự nhìn nhận đúng đắn, đầy đủ, chắc chắn hơn về những bài toán có liênquan

Thông qua quá trình giảng dạy học sinh khối 11 tôi đã áp dụng đề tài trên vàkết quả cho thấy:

+ Học sinh đã biết nhìn nhận đúng đắn hiểu rõ bản chất của mỗi bài toán và biếtcách trình bày bài giải Học sinh khá giỏi rất hứng thú với các phương trình

lượng giác và bài tập ra các em làm khá thành thạo.

+ Học sinh đã biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ thể.Trên đây là phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực trongquá trình giải toán tôi gặp phải và đã vận dụng,vì vậy tôi đưa ra một số ví dụ đểcác bạn đồng nghiệp cùng tham khảo

Các vấn đề đã đưa ra có thể còn có những thiếu sót nhất định, rất mong được

sự góp ý của các đồng nghiệp để bản sáng kiến này được hoàn chỉnh và mangtính khả thi hơn Tôi muốn mượn lời của một nhà khoa học để kết thúc bài viết

của mình “ Giải toán là một nghệ thuật, thực hành cũng giống như bơi lội,

trượt tuyết hay chơi đàn Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành Không có chìa khoá thần kì để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kì để biến mọi kim loại thành vàng”

Xin chân thành cảm ơn !