Ứng dụng của ước chung và bội chung

Nghiên cứu về ứng dụng của ước chung và bội chung.. Một số ứng dụng của ước chung và bội chung.. Từ đó tìm n Thử lại các giá trị tìm được của n để có A n B n - Định nghĩa: Số chính

Hà nội - 2009

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học:

Nguyễn thị Bình

Hà nội - 2009

Đăc biệt em bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Bình

Người đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khoá luận!

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2009

Sinh viên

Nguyễn Thị Mùi

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả học tập và nghiên cứu của riêng em trong khoá học 31 tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Khoá luận được làm dưới

sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bình

Em xin cam đoan khoá luận về đề tài “ứng Dụng Của Ước Chung và Bội Chung “ không trùng với bất kì khoá luận nào khác

Hà Nội, ngày 4 Tháng 5 năm 2009

Sinh viên

Nguyên Thị Mùi

Lời Mở Đầu

1 Lí do chọn đề tài

Ước chung và bội chung là một nội dung quan trọng của toán học Trong chương trình toán phố thông Ước Chung và Bội Chung đươc giới thiệu rất sớm và có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải toán

Tuy nhiên đến nay tài liệu này chưa được nhiều Các dạng bài tập về ứng dụng ước chung và bội chung chưa đươc hệ thống hoá

Vì lí do trên em chọn đề tài “ứng dụng của ước chung và bội chung “

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logíc đặc thù của bộ môn Khắc sâu và tìm hiểu những kiến thức về ứng dụng của ước chung và bội chung

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về ứng dụng của ước chung và bội chung

4.Đối tượng nghiên cứu

Một số ứng dụng của ước chung và bội chung

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận và phân tích đánh giá tổng hợp

6 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu ,kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm 7 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: ứng dụng

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Đ 1 Ước chung

1 Định nghĩa:

a Một số nguyên được gọi là ước chung của nhiều số nguyên a1, a2,

a3,…, an khi nó là ước cuả mỗi số đó

b Một ước chung d của các số nguyên a1, a2, a3,…, an sao cho mọi ước chung của a1, a2, a3,…, an đều là ước của d thì được gọi là ước chung lớn nhất

(ƯCLN) của a1, a2, a3,…, an

c Nếu 1 là ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, a3,…, an thì các

số a1, a2, a3,…, an gọi là nguyên tố cùng nhau Nếu ta còn có 1 là ước chung

lớn nhất của mọi cặp số ai, aj (i,j = 1, 2,…,n ij) thì các số a1, a2, a3,…, an

được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một hay nguyên tố sánh đôi

2 Cách tìm ƯCLN.Thuật toán Ơclit

Chú ý: Với a b,   đều tồn tại duy nhất cặp số q r, sao cho: abqr với

Dãy phép chia có dƣ liên tiếp này gọi là thuật toán Ơclit thực hiện trên hai số a b, Dãy này phải hữu hạn và thuật toán Ơclit phải kết thúc với một số

a Một số nguyên đƣợc gọi là một bội chung của các số a1, a2, a3,…, an khi

nó là bội của mỗi số đó

b Một bội chung m của các số a1, a2, a3,…, an sao cho mọi bội chung của các số a1, a2, a3,…, an đều là bội của m đƣợc gọi là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số đó

Chứng minh:

Đặt

( , )

ab m

Hệ quả 2 Nếu mỗi số trong các số a a a1, 2, 3 ,a n nguyên tố cùng nhau từng

đôi một mà chia hết một số m thì tích của chúng cũng chia hết số m đó

Chương 2: ứng dụng ứng dụng 1: ứng dụng vào bài toán chia hết

1 Cơ sở lý luận

Dựa vào định nghĩa và một số tính chất của quan hệ chia hết, cụ thể là:

Định nghĩa: Cho hai số nguyên a và b, với b 0 Nếu có một số nguyên q sao cho a=bq thì ta nói rằng b chia hết cho a hay b là ước của a và kí hiệu là

b a

Ta cũng nói a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu là a b

- 1 a với mọi a  ,ngoài  1 ra không còn số nguyên nào có tính chất này

- 0 a với mọi a  , a 0,ngoài số 0 ra không còn só nào có tính chất này

Trái giả thiết a i a j

Do n số dƣ khác nhau chỉ nhận giá trị trong n giá trị 0,1, 2, ,n 1 nên có

a b  và ab thì a n b n (a b ) (n ) ,

1

p

a   (mod p)

Giả sử : p  và ( , ) 1a p 

Dư số khi chia a ; 2a ; … ; (p – 1).a cho p sẽ đôi một khác nhau và là những

số trong các số 1 ; 2; … ; (p – 1) Gọi r r1; ; ;2 r p1 là số dư tương ứng

trong phép chia a ; 2a ; … ; (p – 1)a cho p

- Một số dấu hiệu chia hết cơ bản

+ Dấu hiệu chia hết cho 2;5;4;25 và 8;125

Nhận xét : Dƣ trong phép chia n cho 3 (hoăc 9) cũng chính là số dƣ trong

phép chia tổng các chữ số của n cho 3 hoăc 9

a Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 ?

b Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 ?

c Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 ?

Có:

.( 1)( 2)( 3)( 4) 5 ( 1)( 2)( 3)( 4) 3 ( 1)( 2)( 3)( 4) 8( ) (3;5;8) 1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n:

q p

p p

a Tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

b Tích của 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720

2 Chứng minh rằng mọi m,n nguyên

ứng dụng 2 ứng dụng vào xét Một số bài toán liên quan đến chia hết

- A B  tồn tại một ước của B nhưng không là ước của A

- Giả sử tìm n  sao cho A n B n

Biến đổi điều kiện A n B n k B  n với k là số tự nhiên không phụ thuộc n Từ đó tìm n

Thử lại các giá trị tìm được của n để có A n B n

- Định nghĩa: Số chính phương chính là bình phương của một số.Hay

Hợp số là số nguyên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước dương

Ước nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số a là một số không vượt quá a

Hệ quả :

Số a1 không có ươc nguyên tố từ 2 đến a thì a là một số nguyên tố

Tập hợp số nguyên tố là vô hạn

Phương pháp1: Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên

Gọi A là tổng của 5 số được chọn trong dãy số

 2 không là ước của A (A,2) = 1

 không tồn tại 5 số để tổng của chúng bằng 70

Ví dụ 2: Có tồn tại hay không 4 số tự nhiên mà tổng và tích của chúng đều là

a 9n  1 không chia hết cho 100

2

n  n không chia hết cho 15

Giải:

a 9 1 mod 4    9n  1 mod 4  9n   1 2 mod 4 

Hay 4 không là ước của 9n  1 (1)

Ví dụ 3: Gọi N = 2.3.5…p n là tích của n số nguyên tố đầu tiên ( n > 1)

Chứng minh rằng các số nguyên liên tiếp N – 1, N , N + 1 không có số nào là

số chính phương

iii Vì N 3 nên nên N 1 không thể là số chính phương

Dang 3: Tìm số tự nhiên n thoả mãn điều kiện về chia hết

2x  x 3y  y 2 x y   x y y    2

Phương pháp1: Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên

Ví dụ 1: Cho p là số nguyên tố và một trong hai 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên

tố Hỏi số thứ ba là hợp số hay là số nguyên tố ?

Giải:

Với p 3 ta có 8p  1 25 là hợp số còn 8p  1 23 là số nguyên tố

với p 3 ta có 8p 1, 8p , 8 p +1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số

chia hết cho 3 Do p là số nguyên tố khác 3 nên 8 p  3 do đó 8p 1 hoặc 8p 1

có một số chia hết cho 3.Vậy số thứ 3 là hợp số

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu pvà p 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12

4 Bài tập tự luyện

Dạng 1:

1 Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên a,b,c nào mà

a.b.c + a = 333 ; a.b.c + b = 335 ; a.b.c + c = 341

2 Có 3 số tự nhiên nào mà tổng của chúng tận cùng bằng 4 Tích của chúng

5 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 1 ! chia hết cho n

6 Tìm tất cả số tự nhiên n thoả một trong các điều kiện saạnga n 11 n 1

không có nghiệm hữu tỉ

9 Tìm số hữu tỉ x sao cho 2

12 Cho p, q là các số nguyên tố Chứng minh rằng 2 2

15 a Tìm các số nguyên tố p để 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên

b.Tìm các số nguyên tố p để 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên

- Phương trình có nghiệm nguyên  ( ; )a b c

- Mở rộng đối với phương trình bậc nhất nhiều ẩn :

1 1 2 2 n n

a x a x  a x c a c k,   Có nghiệm nguyên a a1 , 2 , ,a nc

Chứng minh đối với trường hợp 2 ẩn:

Giả sử ( ;x y0 0)là nghiệm nguyên của (1) ta có ax0by0 c

Nếu ( ; ) 1a b  phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên + Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1)

Giả sử d  ( ; )a b c chia 2 vế của (1) cho d ta được

d d  d với ( ; ) 1a b

d d  Định lí 1: Nếu ( ;x y0 0)là một nghiệm nguyên của phương trình ax by c

với ( ; ) 1a b  thì (1) có vô số nghiệm nguyên và nghiệm tổng quát của (1) được cho bởi công thức:

o o

1 1 1 1

k

q q

Có thể đưa phương trình về dạng f   x.g x k với f   x.g x k với f x ,g x là các

đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải hệ

 

 

x x

Phương trình đối xứng với các ẩn của x , y , z ,… khi tìm nghiệm

nguyên dương ta có thể giả sử 1    x y z

Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính

phương liên tiếp

Một số phương pháp

Phương pháp 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dư

Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số

dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên cụ thể ở đây là một vế có số dư bằng 0 một vế có số dư khác 0 hay 2 vế không có cùng ước chung

Phương pháp2: Phương pháp phân tích

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Dạng 1: Nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất

 x0  11 , y0  4 là nghiệm riêng của  1

nên  1 có nghiệm tổng quát là : 11 25

Ta có: k  56,t  1 là nghiệm riêng của phương trình 4k 225t 1 nên

 56.101, 101   là nghiệm riêng của  2

Vậy nghiệm tổng quát của  2 là: 5656 225

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 7 và khi chia cho 2 ,3 , 4 , 5 , 6 luôn có số dư là 1

1 21

Phương pháp 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dư

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 2

2

Giải:

Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của phương trình (1)

Nếu x y0, 0  0 và x y0 , 0 là nghiệm của (1) gọi d x y0 , 0

Từ  1 và  2 suy ra phương trình không có nghiệm khác 0

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2

Phương pháp2: Phương pháp phân tích

Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Với x 0 ta có phương trình: 5y 1y  1 21.5

Do 5y 1,y  1 1 nên 5 1 21

1 5

y y

Thử lại với x 0 và y 4 là nghiệm nguyên của phương trình

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau

Vậy phương trình có hai nghiệm  0, 0 và  2, 2

Phương pháp 3: Phương pháp xuống thang

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 3 3

x  y  z  Giải:

Giả sử x y z0 , 0 , 0 là nghiệm nguyên của phương trình

  cũng là nghiệm của phương trình

Quá trình này tiếp tục thì được 0 0 0

  là các nghiệm nguyên của (1) với

mọi k , điều này chỉ sảy ra khi x0  y0 z0  0 Vậy 0, 0, 0là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2

2

x y z  t xyzt  1

Giải:

Giả sử x y z t0 , 0 , 0 , 0 là nghiệm nguyên của  1 ,

Là số nguyên với mọi n, suy ra x0  y0 z0  t0 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0, 0, 0, 0

4 Bài tập tự luyện

Dạng 1:

1 Tìm các số nguyên n sao cho 3n – 1 chia hết cho 7 và 7n – 1 chia hết cho 5

2 Tìm ngiệm nguyên dương của các phương trình sau:

Kết luận

Ước chung và bội chung có ứng dụng quan trọng trong đại số sơ cấp và những ứng dụng này rất hay được sử dụng để giải các bài toán trong các kỳ, thi đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi ở phổ thông, thi Olympic toán học

Trong khoá luận này có trình bày một số các bài toán thường gặp có sử dụng ứng dụng của ước chung và bội chung.Tuy nhiên nó còn rất nhỏ so với kiến thức về ứng dụng của ước chung và bội chung Khoá luận được thực hiện với mong muốn đóng góp kinh nghiệm trong việc nghiên cứu và học tập toán Từ đề tài này có thể giúp bạn đọc đi nghiên cứu sâu hơn, rộng hơn về ứng dụng của ước chung và bội chung

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu thời gian và năng lực bản thân em còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu xót Em rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

1 Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1

Vũ Hữu Bình Nhà xuất bản giáo dục

2 Giáo trình số học

Lại Đức Thịnh Nhà xuất bản giáo dục 1977

3 Chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi trung học cơ sở số học

Vũ Thanh Nhà xuất bản giáo dục

4 Bài tập số học

Nguyễn Tiến Quang Nhà xuất bản giáo dục