Luận văn sư phạm Ứng dụng của ước chung và bội chung

Sinh viên Nguy n Th Mùi... Sinh viên Nguyên Th Mùi... Cách tìm CLN.Thu t toán clit... Ph ng pháp:... Ph ng pháp 3: Ph ng pháp phơn tích.

HƠ n i - 2009

HƠ n i - 2009

L i c m n

hoƠn thƠnh khoá lu n nƠy em đƣ đ c s giúp đ nhi t tình c a các

th y cô giáo, các b n sinh viên trong khoa Qua đơy em xin chơn thƠnh c m

n s giúp đ c a các th y cô trong t i S , các th y cô trong khoa Toán vƠ các th y cô giáo tr ng HSP HƠ N i 2 cùng các b n sinh viên

c bi t em bƠy t lòng c m n sơu s c t i cô Nguy n Th Bình

Ng i đƣ t n tình h ng d n em trong quá trình hoƠn thƠnh khoá lu n!

Em xin chân thành c m n !

HƠ N i, ngƠy 4 tháng 5 n m 2009 Sinh viên

Nguy n Th Mùi

L i cam đoan

Khoá lu n nƠy lƠ k t qu h c t p vƠ nghiên c u c a riêng em trong khoá h c 31 t i tr ng i H c S Ph m HƠ N i 2 Khoá lu n đ c lƠm d i

s h ng d n c a cô giáo Nguy n Th Bình

Em xin cam đoan khoá lu n v đ tƠi “ ng D ng C a c Chung và

B i Chung “ không trùng v i b t kì khoá lu n nào khác

HƠ N i, ngƠy 4 Tháng 5 n m 2009

Sinh viên Nguyên Th Mùi

L i M u

1 Lí do ch n đ tƠi

c chung vƠ b i chung lƠ m t n i dung quan tr ng c a toán h c Trong ch ng trình toán ph thông c Chung vƠ B i Chung đ c gi i thi u

r t s m vƠ có nhi u ng d ng quan tr ng trong gi i toán

Tuy nhiên đ n nay tƠi li u nƠy ch a đ c nhi u Các d ng bƠi t p v

ng d ng c chung vƠ b i chung ch a đ c h th ng hoá

Vì lí do trên em ch n đ tƠi “ ng d ng c a c chung vƠ b i chung “

c N u 1 lƠ c chung l n nh t c a các s nguyên a1, a2, a3,…, an thì các

s a1, a2, a3,…, an g i lƠ nguyên t cùng nhau N u ta còn có 1 lƠ c chung

l n nh t c a m i c p s ai, aj (i,j = 1, 2,…,n ij) thì các s a1, a2, a3,…, an

đ c g i lƠ nguyên t cùng nhau t ng đôi m t hay nguyên t sánh đôi

2 Cách tìm CLN.Thu t toán clit

Chú ý: V i a b , ฀ đ u t n t i duy nh t c p s q r , sao cho: a  bq  r v i

Dƣy phép chia có d liên ti p nƠy g i lƠ thu t toán clit th c hi n trên hai s a b , Dƣy nƠy ph i h u h n vƠ thu t toán clit ph i k t thúc v i m t s

Ch ng minh:

t

( , )

ab m

D a vƠo đ nh ngh a vƠ m t s tính ch t c a quan h chia h t, c th lƠ:

nh ngh a: Cho hai s nguyên a và b, v i b  0 N u có m t s nguyên q sao cho a= bq thì ta nói r ng b chia h t cho a hay b lƠ c c a a vƠ kí hi u lƠ

b a

Ta c ng nói a chia h t cho b hay a lƠ b i c a b vƠ kí hi u lƠ a b 

-  1 a v i m i a ฀ ,ngoài  1 ra không còn s nguyên nƠo có tính





 v i m i x x x 0 , , 1 2 , xn฀

- Trong n n (  1) s nguyên liên ti p có m t vƠ ch m t s chia h t cho n

Gi s có n s t nhiên liên ti p a a 1 , 2 , , an Ta ch ng minh r ng trong phép chia cho n các s d c a n s nƠy đôi m t khác nhau Gi s ng c l i,

a b ฀ và a  b thì an  bn ( a  b ) ( n  ฀) ,

1 1 0 8

n n

a a  a a  (ho c 125)  a a a 2 1 0 8 (ho c 125) + D u hi u chia h t cho: 3;9

a.Tích c a hai s ch n liên ti p chia h t cho 8 ?

b.Tích c a 3 s nguyên liên ti p chia h t cho 6 ?

c.Tích c a 5 s nguyên liên ti p chia h t cho 120 ?

1 1

q p

V y s ph i tìm lƠ: 13540; 135045 ;135945

1234 xy  123400  xy  72.1713 64    xy 72Vì: 64  64  xy  163 nên 64  xy b ng 72 ho c 144

a Tích 4 s nguyên liên ti p chia h t cho 24

b Tích c a 6 s nguyên liên ti p chia h t cho 720

ng d ng 2 ng d ng vƠo xét M t s bƠi toán liên quan đ n chia h t

H p s lƠ s nguyên l n h n 1 vƠ có nhi u h n hai c d ng

c nguyên t nh nh t c a m t h p s a lƠ m t s không v t quá a

H qu :

S a  1 không có c nguyên t t 2 đ n a thì a lƠ m t s nguyên t

T p h p s nguyên t lƠ vô h n

Ph ng pháp:

Gi i:

G i A lƠ t ng c a 5 s đ c ch n trong dƣy s

 2 không lƠ c c a A (A,2) = 1

a 9 n  1 không chia h t cho 100

2

n   n không chia h t cho 15

Gi i:

Hay 4 không lƠ c c a 9 n  1 (1)

Ví d 3: G i N = 2.3.5…pnlƠ tích c a n s nguyên t đ u tiên ( n > 1)

Ch ng minh r ng các s nguyên liên ti p N – 1, N , N + 1 không có s nƠo lƠ

s chính ph ng

iii Vì N 3 nên nên N  1 không th lƠ s chính ph ng

Dang 3: Tìm s t nhiên n tho mƣn đi u ki n v chia h t

Ví d 1: Cho p lƠ s nguyên t vƠ m t trong hai 8p + 1 và 8p – 1 lƠ s nguyên

t H i s th ba lƠ h p s hay lƠ s nguyên t ?

Gi i:

V i p  3 ta có 8 p   1 25 lƠ h p s còn 8 p   1 23 lƠ s nguyên t

v i p  3 ta có 8 p  1, 8p , 8 p+ 1 lƠ 3 s nguyên liên ti p nên có m t s chia h t cho 3 Do p lƠ s nguyên t khác 3 nên 8 p 3 do đó 8 p  1 ho c 8 p  1

có m t s chia h t cho 3.V y s th 3 lƠ h p s

Ví d 2: Ch ng minh r ng n u pvà p  2 lƠ hai s nguyên t l n h n 3 thì

Ph ng pháp 3: Ph ng pháp phơn tích

Ví d 1: Tìm n ฀ đ :

4 BƠi t p t luy n

D ng 1:

1 Ch ng minh r ng không t n t i các s t nhiên a,b,c nào mà

a.b.c + a = 333 ; a.b.c + b = 335 ; a.b.c + c = 341

2 Có 3 s t nhiên nƠo mƠ t ng c a chúng t n cùng b ng 4 Tích c a chúng

5 Tìm t t c các s t nhiên n sao cho n  1 ! chia h t cho n

6 Tìm t t c s t nhiên n tho m t trong các đi u ki n sa nga n  11 n  1

12 Cho p, q lƠ các s nguyên t Ch ng minh r ng 2 2

15 a Tìm các s nguyên t p đ 2p + 1 lƠ l p ph ng c a m t s t nhiên

b.Tìm các s nguyên t p đ 13p + 1 lƠ l p ph ng c a m t s t nhiên

N u ( ; ) 1 a b  ph ng trình (1) luôn có nghi m nguyên + Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình (1)

nh lí 1: N u ( ; x y 0 0 )lƠ m t nghi m nguyên c a ph ng trình ax  by  c

cho b i công th c:

o o

1 1 1 1

k

q q

Ph ng pháp 1: S d ng phép chia h t vƠ chia có d

Hai v c a ph ng trình nghi m nguyên khi chia cho cùng m t s có s

d khác nhau thì ph ng trình đó không có nghi m nguyên c th đơy lƠ

m t v có s d b ng 0 m t v có s d khác 0 hay 2 v không có cùng c chung

 x0  11 , y0  4 lƠ nghi m riêng c a  1

nên  1 có nghi m t ng quát lƠ : 11 25

Ta có: k   56, t   1 lƠ nghi m riêng c a ph ng trình 4 k  225 t  1 nên

Ví d 2: Tìm s t nhiên nh nh t chia h t cho 7 và khi chia cho 2 ,3 , 4 , 5 , 6 luôn có s d lƠ 1

Th l i v i x  0 và y  4 lƠ nghi m nguyên c a ph ng trình

Ví d 2: Tìm nghi m nguyên c a các ph ng trình sau

  lƠ các nghi m nguyên c a (1) v i

m i k , đi u nƠy ch s y ra khi x 0  y 0  z 0  0 V y 0, 0, 0lƠ nghi m duy nh t

Gi s x y z t 0 , 0 , 0 , 0 lƠ nghi m nguyên c a  1 ,

1 Tìm các s nguyên n sao cho 3n – 1 chia h t cho 7 vƠ 7n – 1 chia h t cho 5

2 Tìm ngi m nguyên d ng c a các ph ng trình sau:

K t lu n

c chung vƠ b i chung có ng d ng quan tr ng trong đ i s s c p vƠ

nh ng ng d ng nƠy r t hay đ c s d ng đ gi i các bƠi toán trong các k , thi đ c bi t lƠ trong các k thi h c sinh gi i ph thông, thi Olympic toán

h c

Trong khoá lu n nƠy có trình bƠy m t s các bƠi toán th ng g p có s

d ng ng d ng c a c chung vƠ b i chung.Tuy nhiên nó còn r t nh so v i

ki n th c v ng d ng c a c chung vƠ b i chung Khoá lu n đ c th c hi n

v i mong mu n đóng góp kinh nghi m trong vi c nghiên c u vƠ h c t p toán T đ tƠi nƠy có th giúp b n đ c đi nghiên c u sơu h n, r ng h n v ng

d ng c a c chung vƠ b i chung

Do l n đ u tiên lƠm quen v i công tác nghiên c u th i gian vƠ n ng l c

b n thơn em còn nhi u h n ch nên không tránh kh i nh ng thi u xót Em r t mong đ c s đóng góp ý ki n quý báu c a các th y cô vƠ các b n sinh viên

Em xin chân thành c m n!

3 Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i trung h c c s s h c

V Thanh NhƠ xu t b n giáo d c

4 BƠi t p s h c

Nguy n Ti n Quang NhƠ xu t b n giáo d c