Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Nhiệm vụ nghiên cứu: Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán, các biểu diễn bất khả qui chính của một nửa nhóm.. + Một iđêa

Nguyễn Thị Thu 1 K31G – SP Toán

Lời cảm ơn

Trong thời gian học tập tại khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp khoa học mới, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen với công việc đó, em đã nhận được sự giúp, động viên của các thầy cô và bạn bè trong khoa Qua đây em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy các cô và bạn bè trong khoa Đặc biệt em xin gửi

lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, người đã tận tình

giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này

Qua đây em cũng xin gửi lời cảm ơn tới cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị

Kiều Nga

Hà Nội, tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

Nguyễn Thị Thu 2 K31G – SP Toán

Lời cam đoan

Khoá luận của em được hoàn thanh dưới sự hướng dẫn của cô giáo,

Thạc sĩ Hà Thi Thu Hiền cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình

nghiên cứu và thực hiện khoá luận, em có tham khảo, kế thừa một số kết quả của các tác giả trong một số tài liệu (có nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận này là thành quả nghiên cứu nỗ lực của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

Nguyễn Thị Thu 3 K31G – SP Toán

1.2 Nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử không 9

2.1 Biểu diễn của các đại số nửa đơn hữu hạn chiều 11 2.2 Các đại số nửa nhóm 22 2.3 Định nghĩa và ví dụ 29 2.4 Các biểu diễn bất khả qui chính của một nửa nhóm 31 2.5 Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán 39

Nguyễn Thị Thu 4 K31G – SP Toán

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học Toán học

Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại Ngày nay nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô dạy Toán và những người quan tâm tới Toán học nói chung và môn Đại số nói riêng, ngày càng gia tăng Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp

đỡ của cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em xin trình bày những hiểu biết của mình về đề tài:” Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm”

2 Mục đích nghiên cứu:

Quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài đẵ giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về đại số, đăc biệt

là về nửa nhóm thông qua biểu diễn của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán, các biểu diễn bất khả qui chính của một

nửa nhóm

4 Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá

5 Cấu trúc khoá luận:

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 3 chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Lý thuyết biểu diễn

Chương 3: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Nguyễn Thị Thu 5 K31G – SP Toán

Trong suốt quá trình nghiên cứu, được sự giúp đỡ tận tình của cô giáo,

Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em đã hoàn thành khoá luận này Một lần nữa cho

em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn trong khoa, để đề tài này được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

Nguyễn Thị Thu 6 K31G – SP Toán

+ Phép toán hai ngôi ( ) trên tập 𝑆 được gọi là kết hợp nếu ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈

Một nửa nhóm có phần tử đơn vị được gọi là vị nhóm

Một nửa nhóm gọi là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán

một nửa nhóm

Nguyễn Thị Thu 7 K31G – SP Toán

trận là một nửa nhóm

Định nghĩa 1.1.3 Nửa nhóm con

Cho (𝑆,∙) là một nửa nhóm, ∅ ≠ 𝑇 ⊂ 𝑆 khi đó 𝑇 được gọi là nửa nhóm con của 𝑆, nếu 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑇 ⇒ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑇

Định nghĩa 1.1.4 Phần tử không

Cho 𝑆 là một nửa nhóm, phần tử 𝑧 ∈ 𝑆 được gọi là phần tử không bên trái, bên phải nếu tương ứng 𝑧 𝑎 = 𝑧 , 𝑎 𝑧 = 𝑧 ∀𝑎 ∈ 𝑆, z được gọi là phần tử không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải

Cho 𝑆 là một nửa nhóm, 𝑎 ∈ 𝑆 được gọi là một luỹ đẳng nếu 𝑎 𝑎 = 𝑎

VD: Các phần tử đơn vị một phía, các phần tử không là những luỹ đẳng

∀𝑎 ∈ 𝑆, 𝑎 đều là luỹ đẳng thì 𝑆 được gọi là nửa nhóm luỹ đẳng hay một băng

Nguyễn Thị Thu 8 K31G – SP Toán

+ 𝐴 ⊆ 𝑆, giao tất cả các iđêan trái của 𝑆, chứa 𝐴 là một iđêan trái của 𝑆 chứa 𝐴 và được chứa trong mọi iđêan trái khác có tính chất đó Ta gọi nó là iđêan trái của 𝑆 sinh bởi 𝐴, kí hiệu < 𝐴 >𝑡 Dễ thấy < 𝐴 >𝑡= 𝐴 ∪ 𝑆𝐴 = 𝑆1𝐴

+ Tương tự ta cũng có iđêan phải của 𝑆 sinh bởi 𝐴, kí hiệu < 𝐴 >𝑝 và iđêan sinh bởi 𝐴, kí hiệu < 𝐴 > Ta cũng dễ thấy < 𝐴 >𝑝= 𝐴 ∪ 𝐴𝑆 = 𝐴𝑆1 và

< 𝐴 > = 𝐴 ∪ 𝑆𝐴 ∪ 𝐴𝑆 = 𝑆1𝐴𝑆1

+ Nếu 𝐴 = 𝑎 thì ta gọi 𝐿 𝑎 = 𝑆1𝑎; 𝑅 𝑎 = 𝑎𝑆1; 𝐽 𝑎 = 𝑆1𝑎𝑆1tương ứng là các iđêan chính trái, phải, hai phía của 𝑆 sinh bởi 𝑎

+ Một iđêan 𝑀 hai phía, trái, phải, của nửa nhóm 𝑆 được gọi là tối tiểu nếu tương ứng nó không chứa thực sự các iđêan hai phía, trái, phải, khác của

Ta gọi ủ là tương đẳng Rixơ theo mod 𝐼, các lớp tương đương của nửa nhóm

𝑆 theo mod ủ chính là 𝐼 và các tập một phần tử {𝑎}, trong đó 𝑎 ∈ 𝑆\𝐼

Ta viết 𝑆/𝐼 thay cho 𝑆/ủ Ta gọi 𝑆/𝐼 là nửa nhóm thương Rixơ của nửa nhóm

Nguyễn Thị Thu 9 K31G – SP Toán

Chú ý! Nửa nhóm 𝑆 là đơn phải ⇔ 𝑎𝑆 = 𝑆 , ∀𝑎 ∈ 𝑆

Vậy nửa nhóm là đơn trái, đơn phải khi và chỉ khi nó là nhóm

VD: 1, Các nhóm giao hoán là các nửa nhóm đơn

2, Nửa nhóm các phần tử không bên phải là nửa nhóm đơn phải

Và nửa nhóm các phần tử không bên trái là nửa nhóm đơn trái

Nếu 0 ∈ 𝑆, 𝑓 ∈ 𝐸 đựơc gọi là luỹ đẳng nguyên thuỷ nếu thoả mãn 2

điều kiện sau:

1, 𝑓 ≠ 0

2, 𝑒 ≤ 𝑓 thì 𝑒 = 0𝑒 = 𝑓

Định nghĩa 1.1.13

Nửa nhóm đơn hoàn toàn là nửa nhóm đơn chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ

Nửa nhóm 0 −đơn hoàn toàn là nửa nhóm 0 −đơn chứa luỹ đẳng

nguyên thuỷ

VD: 1, Nửa nhóm đơn hữu hạn là nửa nhóm đơn hoàn toàn

Định nghĩa 1.1.14 Phần tử chính qui

Nguyễn Thị Thu 10 K31G – SP Toán

Cho 𝑆 là nửa nhóm, 𝑎 ∈ 𝑆 được gọi là phần tử chính qui nếu

∃𝑥 ∈ 𝑆: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑎

Nửa nhóm 𝑆 được gọi là chính qui nếu ∀𝑎 ∈ 𝑆, thì 𝑎 là phần tử chính qui

Chú ý! 1, Nếu 𝑎𝑥𝑎 = 𝑎 thì các phần tử 𝑓 = 𝑎𝑥, 𝑔 = 𝑥𝑎 là các phần tử luỹ đẳng

Hơn nữa 𝑓𝑎 = 𝑎, 𝑎𝑔 = 𝑎

2, Nếu 𝑎 ∈ 𝑆, 𝑎 là phần tử chính qui thì 𝑎𝑆1 = 𝑎𝑆 và 𝑆1𝑎 = 𝑆𝑎 Thật vậy: Ta có 𝑎𝑆1 = 𝑎 ∪ 𝑎𝑆 và 𝑎 = 𝑎𝑔 ∈ 𝑎𝑆 Do đó 𝑎𝑆1 = 𝑎𝑆

⟹ Hiển nhiên theo định nghĩa

⟸ Giả sử a là chính qui, suy ra ∃ 𝑥 ∈ 𝑆: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑎

Đặt 𝑏 = 𝑥𝑎𝑥, ta chứng minh rằng 𝑎, 𝑏 ngược nhau

Định nghĩa 1.1.17 Các quan hệ Grin

Cho nửa nhóm 𝑆, trên đó ta xét các quan hệ sau:

1 Quan hệ ℒ:

Nguyễn Thị Thu 11 K31G – SP Toán

𝑎ℒ𝑏 ⇔ 𝐿 𝑎 = 𝐿(𝑏) Tức 𝑎, 𝑏 cùng sinh ra iđêan chính trái của 𝑆

Dễ thấy ℒ là một quan hệ tương đương

Nếu 𝑎ℒ𝑏 thì ta nói 𝑎 và 𝑏 ℒ −tương đương

𝐿𝑎 = 𝑏 ∈ 𝑆 𝑎ℒ𝑏 được gọi là ℒ −lớp chứa 𝑎

𝑎𝒥𝑏 ⇔ 𝑆1𝑎𝑆1 = 𝑆1𝑏𝑆1, tức 𝑎, 𝑏 cùng sinh ra iđêan chính của S

𝒥 cũng là quan hệ tương đương

Nguyễn Thị Thu 12 K31G – SP Toán

gọi là chuỗi chính của 𝑆 nếu giữa các 𝑆𝑖, 𝑆𝑖+1 không có iđêan nào của 𝑆 nữa

+ Các thương của chuỗi (1) là các nửa nhóm thương Rixơ 𝑆𝑖

𝑆𝑖+1(𝑖 = 1, 𝑚 )

Định nghĩa 1.1.20 Nửa nhóm nửa đơn

Một nửa nhóm 𝑆 được gọi là nửa đơn nếu mỗi thương chính của nó là đơn hoặc 0 −đơn

1.2 Nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử 0

Định nghĩa 1.2.1

Giả sử 𝑋, 𝑌 là các tập nào đó, 𝐺0 là nhóm với phần tử 0

ánh xạ 𝐴: 𝑋ì𝑌 ⟶ 𝐺0

𝑖, 𝑗 ⟼ 𝐴 𝑖, 𝑗 ≔ (𝑎𝑖𝑗) Với 𝑎𝑖𝑗 là phần tử ∈ 𝐴 nằm ở dòng 𝑖 côt 𝑗

+ 𝐴 là 𝑋ì𝑌 ma trận trên 𝐺0, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)

𝐵 là 𝑌ì𝑍 ma trận trên 𝐺0 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)

Nếu (𝑗, 𝑘) ∈ 𝑋ì𝑍, tổng 𝑐𝑗𝑘 = 𝑗 ∈𝑌𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑘 xác định thì ta định nghĩa ma trận tích là 𝑋ì𝑍 ma trận trên 𝐺0, 𝐶 = (𝑐𝑗𝑘)

+ Giả sử 𝑆 là tập 𝑋ì𝑋 ma trận trên 𝐺0 sao cho ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 thì 𝐴 𝐵 ∈

Nguyễn Thị Thu 13 K31G – SP Toán

Kí hiệu (𝑎)𝑖ở là ẫìậ ma trận Rixơ trên 𝐺0 có 𝑎 nằm ở dòng 𝑖 cột ở, còn

các chỗ khác toàn là 0 Với 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑖 ∈ 𝐼, ở ∈ ậ

+ Phép toán hai ngôi (.) trên 𝐺0

Giả sử 𝑃 = (𝑝𝑖𝑗) là ẫìậ ma trận tuỳ ý cố định trên 𝐺0

𝐴, 𝐵 là các ẫìậ ma trận Rixơ trên 𝐺0

𝐴 𝐵 ≔ 𝐴𝑃𝐵 cũng là ma trận Rixơ trên 𝐺0

Thật vậy: Với

𝐴 = 𝑎)𝑖ở, 𝑃 = (𝑝ở𝑖 , 𝐵 = (𝑏)𝑗ỡ , ta có

𝐴 𝐵 = 𝐴𝑃𝐵 = (𝑎𝑝ở𝑖𝑏)𝑗ỡ Hơn nữa phép toán (.) có tính chất kết hợp

Tập tất cả các ẫìậ ma trận Rixơ trên 𝐺0 là một nửa nhóm với phép toán

(∙) Ta gọi nó là nửa nhóm ma trận Rixơ trên 𝐺0 với ma trận đệm 𝑃

Kí hiệu là 𝑀0(𝐺; 𝐼, ậ; 𝑃)

Bổ đề 1.2.2

Nửa nhóm ma trận Rixơ 𝑀0(𝐺; 𝐼, ậ; 𝑃) là nửa nhóm chính qui khi và

chỉ khi mỗi dòng và mỗi cột của 𝑃 chứa một phần tử khác không

ở𝑗 ≠ 0 và 𝑝

ỡ𝑖 ≠ 0 với j ∈ 𝐼, ở ∈ ậ khi và chỉ khi dòng thứ ở và cột

thứ 𝑖 của 𝑃 chứa một phần tử khác 0 của 𝐺 ∎

Định lí 1.2.3

Nửa nhóm ma trận Rixơ 0 −đơn khi và chỉ khi nó là chính qui

Định lí 1.2.4

Một nửa nhóm là 0 −đơn hoàn toàn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một

nửa nhóm ma trận Rixo chính qui trên một nhóm với phần không

Nguyễn Thị Thu 14 K31G – SP Toán

chương 2:

Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Để tìm hiểu lý thuyết biểu diễn của nửa nhóm 𝑆 trên trường ệ ta tìm hiểu thông qua đại số ệ[𝑆] của 𝑆 trên ệ

Nếu 𝑆 là một nửa nhóm hữu hạn, thì rõ ràng có một tương ứng một – một giữa các biểu diễn của 𝑆 và biểu diễn của đại số ệ[𝑆] của 𝑆 trên ệ, tương ứng đó bảo tồn sự khả qui và sự phân tích Do đó tính khả qui hoàn toàn đúng đối với các biểu diễn của 𝑆 khi và chỉ khi ệ[𝑆] là nửa đơn Trong muc 2.1 chúng ta tóm tắt lý thuyết về các đại số nửa đơn Sau đó ta đi tìm điều kiện cần và đủ về một nửa nhóm hữu hạn 𝑆 sao cho ệ[𝑆] là nửa đơn, và điều đó được trình bày trong mục 2.2 Với nửa nhóm hữu hạn ta có thể xác định được

tất cả các biểu diễn của nó (hệ quả 2.4.4)

Với 𝑆 nửa nhóm không nhất thiết là hữu hạn, ta xem xét các biểu diễn

bất khả qui chính của nó Và kết quả là (định lí 2.4.3)

Phần cuối cùng mục 2.5 ta nghiên cứu các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán 𝑆

2.1 Biểu diễn của các đại số nửa đơn hữu hạn chiều

Nguyễn Thị Thu 15 K31G – SP Toán

Phép nhân vô hướng trong ệ: ệì𝒜 ⟶ 𝒜 thoả mãn:

Định nghĩa 2.1.3 Iđêan của đại số

Tập ℬ ⊆ 𝒜 được gọi là iđêan của đại số 𝒜 nếu nó vừa là iđêan của vành 𝒜 vừa là không gian vectơ con của 𝒜

Định nghĩa 2.1.4

Luỹ thừa 𝑘 của một iđêan ℬ của 𝒜 là một không gian con tuyến tính của sinh bởi tập tất cả các tích 𝑏1 𝑏2… 𝑏𝑘 của 𝑘 phần tử 𝑏𝑖 ∈ ℬ, 𝑖 = 1, 𝑘 Nó cũng là iđêan của 𝒜

+ Iđêan của 𝒜 được gọi là luỹ linh nếu một luỹ thừa 𝑘 ≠ 0 nào đó của

nó bằng không

+ Căn 𝒩 của 𝒜 là hợp tất cả các iđêan luỹ linh của 𝒜

+ Đại số 𝒜 được gọi là đơn nếu nó không chứa iđêan thực sự nào khác không và không phải là một đại số một chiều với phép nhân không

Ta thừa nhận định lí sau

Nguyễn Thị Thu 16 K31G – SP Toán

Định lí 2.1.5 (Định lí Vecđécbớc)

Một đại số 𝒜 hữu hạn chiều là nửa đơn khi và chỉ khi nó là một tổng trực tiếp 𝒜 = 𝒜1⨁𝒜2⨁ ⨁𝒜𝑐 (1) của các iđêan 𝒜ọ (ọ = 1, 𝑐 ) với

𝒜ọ là các đại số đơn Các 𝒜ọ được xác định duy nhất bởi 𝒜

Ta gọi các 𝒜ọ là các thành phần đơn của 𝒜, 𝑐 được gọi là số lớp của

ℬ𝑖+1)

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp

Với 𝑚 = 2 Nếu ℬ là một iđêan của 𝒜 thì định lí được pháp biểu lại như sau:

𝒜 là nửa đơn ⇔ 𝒜 ℬℬ đều là các nửa đơn và 𝒞ℓ 𝒜 = 𝒞ℓ ℬ +𝒞ℓ(𝒜 ℬ )

Với ℬ là một iđêan thực sự khác không của 𝒜

⟹ Giả sử 𝒜 là nửa đơn

Nguyễn Thị Thu 17 K31G – SP Toán

Theo Định lí thứ nhất của Vécđécbớc thì 𝒜 là tổng trực tiếp của các

đại số đơn 𝒜ọ

ℬ = 𝒜1⨁𝒜2⨁ … ⨁𝒜𝑐 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑐),

𝒜 ℬ ≅ 𝒜𝑘+1⨁𝒜𝑘+2⨁ ∙∙∙ ⨁𝒜𝑐 Vậy ℬ, 𝒜 ℬ đều là các nửa đơn

Ta có 𝒞ℓ ℬ + 𝒞ℓ 𝒜 ℬ = 𝑘 + 𝑐 − 𝑘 = 𝑐 = 𝒞ℓ(𝒜)

⟸ Ngược lại giả sử ℬ và 𝒜 ℬ là các nửa đơn

𝒜 là một phần tử luỹ linh thật sự của 𝒜, suy ra 𝑎 + ℬ là một phần tử luỹ linh thật sự của 𝒜 ℬ Vì 𝒜 ℬ là nửa đơn ⇒ 𝑎 + ℬ = 0 + ℬ ⇒ 𝑎 ∈ ℬ,

mà ℬ cũng là nửa đơn nên 𝑎 = 0

Vậy 𝒜 có duy nhất một phần tử luỹ linh thật sự

Nên 𝒜 là nửa đơn

Giả sử định lí đúng với 𝑚 > 2, ta chứng minh nó đúng với 𝑚 + 1 Điều này là hiển nhiên ∎

Chú ý! 1, 𝑢 ∈ 𝒟 là một phần tử đơn vị thì (𝒟)𝑛 chứa ma trận đơn vị

U𝑛 có 𝑢 trên đường chéo chính và các chỗ khác bằng 0

2, Một đại số đơn có một phần tử đơn vị duy nhất

Định nghĩa 2.1.9

Nguyễn Thị Thu 18 K31G – SP Toán

Giả sử 𝒜 là một đại số trên ệ, một biểu diễn của 𝒜 bậc 𝑛 trên ệ là một đồng cấu à từ 𝒜 vào (ệ)𝑛 Như vậy mỗi 𝑎 ∈ 𝒜 được đặt tương ứng bởi ma trận Ã(𝑎) cấp 𝑛 sao cho: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜 , ỏ ∈ ệ

Định nghĩa 2.1.12 Biểu diễn bất khả qui

Nếu 𝑉 không chứa một không gian con bất biến nào thực sự khác 0, thì biểu diễn à và chính không gian 𝑉 được gọi là bất khả qui

Nguyễn Thị Thu 19 K31G – SP Toán

Với à là biểu diễn bậc 𝑛 của 𝒜 trên ệ, 𝑉 là không gian biểu diễn cho à Khi đó chuỗi hữu hạn 0 = 𝑉0 ⊂ 𝑉1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑉𝑚 = 𝑉 (3) các không gian con bất biến 𝑉𝑖 của 𝑉 sao cho giữa 𝑉𝑖−1 , 𝑉𝑖 không có không gian con bất biến thực sự nào của 𝑉, ∀ 𝑖 = 1 𝑚

Thế thì các biểu diễn Ã𝑖 của 𝒜 mà không gian biểu diễn là 𝑉𝑖

𝑉𝑖−1 là bất khả qui

Nếu ta chọn cơ sở của 𝑉 cho chuỗi (3), thì ma trận của Ã(𝑎):

Ã1(𝑎) ⋯ 0

Ã𝑚1(𝑎) ⋯ Ã𝑚(𝑎) (4) (4) là sự thu gọn tối đa của à bởi các bộ phận bất khả qui à 𝑖 của nó

Đặc biệt khi 𝑊⨁𝑊′ = 𝑉 , 𝑊, 𝑊′ là các không gian con bất biến của

Nguyễn Thị Thu 20 K31G – SP Toán

Khi đó ta có Ã1(𝑎) ⋯⋮ ⋱ 0⋮

0 ⋯ Ã𝑚(𝑎) (*) Thì Ã = Ã1⨁Ã2⨁ … ⨁ Ã𝑚 Và Ã được gọi là hoàn toàn khả qui ∎

bất khả qui của 𝒜

Bổ đề Sua

Giả sử Ã, Ä là các biểu diễn bất khả qui trên đại số 𝒜, nếu tồn tại hằng

ma trận 𝐶 ∈ (ệ)𝑛: 𝐶 Ã 𝑎 = Ä 𝑎 𝐶 ∀𝑎 ∈ 𝒜 thì hoặc 𝐶 = 0 hoặc

𝐶 không suy biến và Ã, Ä là tương đương

Nếu à là bất khả qui tuyệt đối và 𝐶 à 𝑎 = à 𝑎 𝐶 ∀𝑎 ∈ 𝐴 thì

𝐶 = ỏ𝐼𝑛 (ỏ ∈ ệ)

Với mỗi 𝑎 ∈ 𝒜, ta định nghĩa ủ𝑎: 𝒜 ⟶ 𝒜

𝑥 ⟼ 𝑥𝑎

Khi đó ánh xạ ủ: 𝒜 ⟶ (ệ)𝑛 là một biểu diễn của 𝒜

Thật vậy: Ta chứng minh nó thoả mãn điều kiện là một đồng cấu đại số

Nguyễn Thị Thu 21 K31G – SP Toán

Và ta gọi ủ là biểu diễn chính qui bên phải của 𝒜

Tương tự ta có biểu diễn chính qui bên trái của 𝒜,

ó𝑎 = 𝑎𝑥, ó: 𝑎 → ó𝑎

Ta quy ước gọi biểu diễn chính qui bên phải là biểu diễn chính qui

Giả sử 𝒜 là một đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên ệ, thế thì 𝒜 là tổng trực tiếp của một tập hữu hạn các iđêan phải tối tiểu Tức biểu diễn chính qui

bên ủ bên phải của 𝒜 là hoàn toàn khả qui

Mỗi biểu diễn chính qui của 𝒜 là hoàn toàn khả qui và mỗi biểu diễn bất khả qui khác không của 𝒜 được chứa trong ủ (tức tương đương với biểu

diễn cảm sinh bởi ủ trong một iđêan phải tối tiểu nào đó của)

Mỗi biểu diễn phải của 𝒜 được chứa trong một thành phần đơn 𝒜ọ của

𝒜 và 2 iđêan phải của 𝒜 là đẳng cấu toán tử khi và chỉ khi chúng được chứa trong một thành phần đơn 𝒜ọ

Nếu Ãọ tương ứng với 𝒜ọ thì Ãọ biểu trung thành của 𝒜 và Ãọ 𝑎ụ =

Định nghĩa 2.1.14

Nguyễn Thị Thu 22 K31G – SP Toán

Cho 𝒜 là một đại số 𝑛 chiều trên ệ, Ã là một biểu diễn bậc 𝑟 của 𝒜 trên ệ, với 𝑚 là số nguyên dương bất kỳ Với mỗi ma trận (𝑎𝑖𝑗) ∈ (𝒜)𝑚 Ta định nghĩa ma trận cấp 𝑚𝑟 như sau: Ã𝑚 𝑎𝑖𝑗 = (Ã(𝑎𝑖𝑗)) Như vậy Ã𝑚 là một biểu diễn của (𝒜)𝑚 𝑎𝑖𝑗 trong (𝑎𝑖𝑗) được thay bởi ma trận Ã(𝑎𝑖𝑗)

=Ã𝑚[(𝑎𝑖𝑗)] Ã𝑚[(𝑏𝑖𝑗)]

ii, Ã𝑚[(𝑎𝑖𝑗) + (𝑏𝑖𝑗)] = Ã𝑚[(𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)]

=(Ã(aij + bij)) =(Ã(𝑎𝑖𝑗)) + (Ã(𝑏𝑖𝑗))

Nguyễn Thị Thu 23 K31G – SP Toán

Khi đó ∀𝑤 ∈ 𝑊, 𝑊 là không gian con bất biến thực sự của 𝐴 thì 𝑤∆(𝑎) ∈ 𝑊

Do ∆ là biểu diễn chính qui bên phải nên 𝑤∆ 𝑎 = 𝑤𝑎 ∈ 𝑊 nên 𝑊 là iđêan phải của 𝒟 ∎

Định lí 2.1.16

Giả sử 𝒜 là một đại số hữu hạn chiều trên trường ệ, và 𝒩 là căn của

nó Một biểu diễn bất khả qui khác không của 𝒜 ánh xạ 𝒩 vào 0, và do đó nó

là một biểu diễn của đại số nửa đơn 𝒜 𝒩

Chứng minh:

Giả sử V là không gian biểu diễn của biểu diễn bất khả qui à của 𝒜 Khi đó 𝑉𝒩 là không gian con bất biến của V

Do V là bất khả qui nên 𝑉𝒩 = 0𝑉𝒩 = 𝑉 , nếu 𝑉𝒩 = 𝑉 thì 𝑉𝒩𝑘 = 𝑉 với 𝑘

là một số nguyên dương nào đó trong khi 𝒩𝑘 = 0 Vậy 𝑉𝒩 = 0 suy ra

à 𝒩 = 0 ∎

Định lí 2.1.17

Mỗi đại số bất khả qui các phép biến đổi tuyến tính là đơn

Chứng minh:

Giả sử 𝒜 là đại số các phép biến đổi tuyến tính

Xét ánh xạ 𝑖: 𝒜 ⟶ 𝒜, 𝑎 ⟼ 𝑎 Vậy 𝑖 là biểu diễn bất khả qui của 𝒜, theo

bổ đề 2.1.16 thì 𝒩 = 0 Như vậy 𝒜 là nửa đơn

Giả sử 𝒜ọ (ọ = 1, 𝑐 ), là các thành phần đơn của 𝒜 và Ãọ là biểu diễn bất khả qui của 𝒜 ứng với 𝒜ọ (tức Ãọ là biểu diễn trung thànhcủa 𝒜ọ)

Vì 𝒜 là nửa đơn nên 𝑖 phải là một trong các Ãọ Không mất tổng quát giả sử 𝑖 = Ã1, do Ã1: 𝒜ọ → 0 với ọ ≠ 1 , mà Ã1 là biểu diễn trung thành của

𝒜 nên suy ra rằng không tồn tại Ãọ nào như vậy

Nguyễn Thị Thu 24 K31G – SP Toán

Nghĩa là 𝑐 = 1, tức 𝒜 = 𝒜1 Vậy 𝒜 là đại số đơn ∎

Bổ đề 2.1.18

Giả sử 𝒜 là đại số hữu hạn chiều trên trường ệ Nếu 𝑎 ∈ 𝒜 không phải

là ước bên phải (trái) của không thì 𝒜 chứa một đơn vị phải (trái) 𝑒 sao cho

với 𝑒 phần tử 𝑎 có nghịch đảo 2 phía 𝑥, tức ( 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥 = 𝑒)

Chứng minh:

Giả sủ 𝑛 là số nguyên dương bé nhất sao cho 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 phụ thuộc

tuyến tính

Vậy hiển nhiên 𝑛 > 2

⇒ ∃ ỏ1, ỏ2, , ỏ𝑛 ∈ ệ, ỏ𝑖 không đồng thời bằng không (ỏ𝑛 ≠ 0)

Sao cho:

ỏ𝑖𝑎𝑖 = 0 ⟺ ỏ1𝑎 + ⋯ + ỏ𝑛𝑎𝑛 𝑛

Nguyễn Thị Thu 25 K31G – SP Toán

Giả sử 𝒜 là một đại số hữu hạn chiều trên trường ệ không phải là ước bên phải và ước bên trái của 0 thì 𝒜 chứa một phần tử đơn vị 𝑢 và 𝑎 là một phần tử khả nghịch, tức là ∃ 𝑥 ∈ 𝒜 ∶ 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥 = 𝑢

Hệ quả 2.1.20

Giả sử 𝒜 là một đại số hữu hạn chiều trên trường ệ, 𝑚 là một số nguyên dương P ∈ (𝒜)𝑚 Nếu 𝑃 không phải là ước bên phải và bên trái của không trong (𝒜)𝑚 Thì 𝒜 có một phần tử đơn vị và 𝑃 không suy biến

Giả sử 𝑃1 là ước bên phải của không trong (𝒜)𝑚, tức ∃𝑋1 ∈(𝒜)𝑚: 𝑃1𝑋1 = 0

Với 𝑋 = (𝑋1 0) là ma trận cấp 𝑚ì𝑛

Khi đó ta có 𝑋𝑃 = 𝑋1 0 𝑃𝑃1

2 = 𝑋1 𝑃1 = 0 Vậy ta giả sử 𝑃1 không phải là ước bên phải của không trong (𝒜)𝑚

Theo Bổ đề 2.1.18 (𝒜)𝑚 chứa một phần tử đơn vị phải 𝐸, và 𝑃1có nghịch đảo 2 phía 𝑄1 trong (𝒜)𝑚 Tức 𝑄1 𝑃1 = 𝑃1 𝑄1 = 𝐸