Luận văn thạc sỹ toán tính taut yếu của miền trong không gian banach

Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệ b ất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giả

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

BỌ GIÀO DỤ C VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

2 T ín h t a u t y ế u c ủ a m iề n tr o n g k h ô n g g ia n B a n a c h 222.1 Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy và ta u t trong không

gian p h ứ c 232.2 Tính ta u t yếu của miền trong không gian

B a n a c h 30

K ế t lu ậ n 47

MỞ ĐẦU

1 L ý d o c h ọ n đ ề tà i

Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức Trong những năm gần đây,

lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, D em ailly, Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển

m ạnh mẽ và đã hình th àn h nên một chuyên ngành mới của giải tích toán học, đó là giải tích phức hyperbolic Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệ b ất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạn của tập tấ t cả các ánh

xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức Theo quan điểm của A Weil, s Lang và p Vojta, bài toán sau cùng này có liên quan

m ật thiết với hình học đại số và hình học số học Có thể nói giải tích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau của nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số và Lý thuyết số Một trong những hướng nghiên cứu của giải tích phức hyperbolic là mở rộng các kết quả từ không gian phức hữu hạn chiều sang không gian Banach vô hạn chiều

Chúng ta có thể thấy ngay sẽ xuất hiện những khó khăn lớn về m ặt

kỹ th u ậ t khi chuyển từ việc nghiên cứu không gian phức hyperbolic hữu hạn chiều lên không gian Banach Chẳng hạn đối với miền trong không gian Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không xây dựng được khái niệm ta u t theo nghĩa của Wu.

Để khắc phục các nhà toán học đã đưa ra khái niệm ta u t theo nghĩa khác của Wu và được gọi là ta u t yếu

Với những lý do trên,cùng sự giúp đỡ tậ n tình của thầy T S L ê T ài

T h u , tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu với tên đề tài: “T ín h t a u t y ế u

c ủ a m iề n tr o n g k h ô n g g ia n B a n a c h ”

2 C ấ u t r ú c c ủ a lu ậ n v ă n

Luận văn này gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương là hệ thống một số khái niệm về giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi Sau đó đưa ra định nghĩa về không gian phức hyperbolic, hyperbolic đầy và ta u t Định nghĩa hàm điều hòa dưới và hàm đa điều hòa dưới.Chương 2: Tính ta u t yếu của miền trong không gian Banach

Mục đích của chương này là đánh giá mối quan hệ giữa tính ta u t yếu

và tính hyperbolic của đa tạp Banach và mối quan hệ giữa tính ta u t yếu địa phương và tính ta u t yếu của miền không bị chặn trong không gian Banach

Nghiên cứu các dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy

và ta u t của không gian phức

Nghiên cứu tính ta u t yếu của miền trong không gian Banach

Sử dụng kiến thức và phương pháp nghiên cứu của giải tích

Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước

7 D ự k iế n đ ó n g g ó p m ới

Luận văn đã hệ thống lại:

Hệ thống lại một số dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy và ta u t của không gian phức

Mối quan hệ giữa tính ta u t yếu và tính hyperbolic của đa tạp Banach

Mối quan hệ giữa tính ta u t yếu địa phương và tính ta u t yếu của miền không bị chặn trong không gian Banach.

Chương 1

K iến thứ c cơ bản

Nội dung của chương là hệ thống một số khái niệm về giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi Sau đó đưa ra định nghĩa về không gian phức hyperbolic, hyperbolic đầy và ta u t Định nghĩa hàm điều hòa dưới và hàm đa điều hòa dưới

1.1 G iả khoảng cách K obayashi trên không gian

phức

Với 0 < r < 00 ta đ ặt A r = {;? e c, \z\ < r}, Ai = A và gọi A r là đĩa

bán kính r, A là đĩa đơn vị trong c.

1.1.1 G iả k h o ả n g c á c h

Giả khoảng cách d trên tập X là một hàm

d : X X X -> X

thỏa mãn 3 điều kiện sau đây

(i) d (x, y) > 0 với mọi x , y £ X \

(ii) d (X, y) = d (y , x) với mọi x , y € X ;

(in ) d (x, y) < d (X, 2:) + d (z, y) với mọi x , y , z € X

Nếu d chỉ thỏa mãn (ii), ( i n ) và d ( x , y ) > 0 với mọi x , y e X Yầ X y

thì d, được gọi là khoảng cách trên X

(ii) Giả sử X là không gian phức, X và y là hai điểm tùy ý của X

Xét dãy điểm Po = pi, ,pk = y của X , dãy điểm ữi, ữ2, ữ j f c € A

và dãy ánh xạ chỉnh hình /1, /2, fk £ Hoi (A, X ) sao cho

Dễ thấy dỵ thỏa mãn các tiên đề về khoảng cách, tức là

(i) d (x, y) > 0 với mọi x , y £ X ;

Giả khoảng cách Kobayashi có các tính chất sau:

• Nếu / : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì

/ làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

Các định nghĩa sau (xem Kobayashi [2])

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic

nếu giả khoảng cách Kobayashi dx ỉà khoảng cách trên X , tức là

Đ ịn h lý 1.2.2 Nếu X , Y là các không gian phức Khi đó X X Y là không

gian hyperbolic khi và chỉ khi cả X v à Y đều là không gian hyperbolic.

là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi trên X X Y và trên X , tức là

dxxY ((z, ỳ ) , « 2 / 0 ) > dx (z, o

Lý luận tương tự với phép chiếu 7r' : X X Y —>■ Y ta có

d x x Y ( ( x , y ) , ự , y ' ) ) > d Y ( y , y ' )

Do đó dxxY ((x, y ), ự , y')) > max {dx (x, x ' ) , dY (y, y')}.

Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh

Đ ịn h lý 1.2.3 Giả sử X là không gian phức con của không gian phức

Y Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic.

nên theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta

có ngay điều phải chứng minh.

V í d ụ 1

+ Đĩa A r và đa đĩa A m là hyperbolic

+ Một miền bị chặn trong A m là hyperbolic vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa

1.3 K h ôn g gian h yp erb olic đầy

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu

mọi dãy Cauchy đối với dỵ đều hội tụ trong X

V í d ụ 2 Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy

Kobayashi [2] đã chứng minh rằng, nếu X là không gian phức hữu hạn chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mọi tập con đóng bị chặn

trong X đều là compact

1.4 K h ôn g gian phức Taut

Giả s ủ X , Y là các không gian phức Trên Hol (X , Y ) ta trang bị tô pô

compact mở

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1

(i) Dãy c H o l ( X , Y ) được gọi là phẫn kỳ compact nếu với

mỗi tập con compact K của X , mỗi tập con compact L của Y , tồn tại

jo £ N sao cho f j (K ) n L = 0, mọi Vj > j ữ.

(ii) Họ H o ỉ ( X , Y ) được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy { /i} 0^! £ Hol (X , Y ) chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact hoặc là phân kỳ compact.

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2 Không gian phức X được gọi là taut nếu họ Hol ( M , x )

là chuẩn tắc với mỗi không gian phức M

K aup đã chứng minh rằng không gian phức X là ta u t nếu và chỉ nếu họ

Hoỉ (A n, X ) là chuẩn tắc với mọi n > 1.

Sau đó B arth đã chứng minh khẳng định m ạnh hơn là không gian phức

X là ta u t khi và chỉ khi họ Hoỉ (A, X ) là chuẩn tắc.

Kiernan đã chứng tỏ rằng không gian phức X là ta u t th ì X là hyperbolic

và nếu X là hyperbolic đầy thì X là ta u t Các khẳng định ngược lại đều

không đúng

Ta có thể dễ dàng chỉ ra một miền bị chặn trong c n m à không là miền

ta u t Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong c 3 là ta u t m à không

là hyperbolic đầy Dưới đây là định lý Kiernan

Đ ịn h lý 1.4.3

(i) Mỗi miền taut trong không gian phức X là miền hyperbolic.

(ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phức X cũng là miền taut.

(Ui) Các khẳng định ngược lại đều không đúng.

Để chứng minh Định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau:

Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của miền M trong không gian phức

X Không m ất tính tổng quát, ta có thể giả sử p = 0 và

B = |(cưi, ; |lưi|2 + + |iưn| < l |

là một lân cận của p trong M sao cho q ệ B.

Chọn hằng số c > 0 sao cho (0, a) > c.d&6 (0, a), Va e A í

Kobayashi nối p với q Theo giả thiết, không m ất tính tổng quát, ta có

thể giả sử V ữ i , e A í , Po,Pi, £ B r và Pk G d B r Khi đó

Sau đây là chứng minh của định lý Kiernan

(i) Giả sử M không hyperbolic Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt

p và q sao cho d,M (P j Q) = 0- Theo Bổ đề 1.4.4, cặp ( |, - ) không thỏa

m ãn tính chất A với bất kỳ n > 0 Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình

dãy con hoặc hội tụ đều trên các tập compact hoặc phân kỳ compact

Do đó M không là tau t.

Hoỉ (A, M ) là đồng liên tục M ặt khác, M là hyperbolic đầy nên mỗi

tập con bị chặn trong M là compact tương đối Vì vậy, Hol (A , M ) là chuẩn tắc Do đó, M là tau t.

C h ú ý: Điều ngược lại không đúng

V í d ụ 3 Tồn tại không gian phức ta u t m à không là hyperbolic đầy Ví

dụ sau là của B arth Ta xây dựng một không gian phức ta u t Y bằng

cách "buộc" một số đếm được các đĩa đơn vị A i, A 2, theo cùng cách

sau: Trong đĩa thứ n : A n chọn điểm an sao cho khoảng cách Poincaré

p A n (0 ,a n) = Ặ Ta "buộc" đĩa thứ hai A2 vào đĩa th ứ nhất Ai bằng

cách đồng nhất ãị e Ai vào gốc o của A 2 Ta "buộc" đĩa thứ ba A3 vào đĩa A2 bằng cách đồng nhất a2 £ A2 vào gốc o của A 3 Bằng cách lập luận tương tự, ta đồng nhất an e A n vào gốc o của A n+1 Cuối cùng

ta được một không gian phức ký hiệu là Y Các đĩa A n, với n = 1,2,

là th àn h phần b ất khả quy của Y Từ đó V / e Hol ( A ,y ) biến A vào một trong những th àn h phần bất khả quy A n, họ Hoi (A, Y ) là hợp của những họ con Hoỉ (A, A n).

Cho { f j } £ Hoỉ (A, y ) Giả sử { f j } không có dãy con hội tụ Lấy {/n }

là dãy con bao gồm những ánh xạ f j biến A th àn h A n Do Hol (A, A n)

là chuẩn tắc, dãy {/n } phải là phân kỳ compact Mỗi tập con compact

L c Y được phủ bởi A l u u A k với k nào đó Khi đó, với mỗi tập

compact K c A và với mỗi n cố định n < k, ta có f n (K ) n L = 0 trừ một số hữu hạn f n Đối với n > k, f n (K ) n L = 0 do A n n L = 0 Như vậy, { f j } là phân kỳ compact Chứng tỏ rằng Hol ( A ,y ) là chuẩn tắc Vậy Y là ta u t.

Lấy Pn là một điểm thuộc Y ứng với an e A n, tức là Pn e A n và

dy (Pn — 1 ìPn) < d A n (0 ,a n) trong đó o là gốc của A n (ta có thể chọn

Pn = CLn) Khi đó dãy {pn} phân kỳ trong Y nhưng lại là dãy Cauchy vì

dY (pn - l,P n) < d A n (0, an) = Ặ Vậy Y không là hyperbolic đầy.

Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong c 3 là ta u t m à không là hyperbolic đầy

Còn không gian X = 5 2(0 ,1 )\ { ( |; o ) } là hyperbolic nhưng không là

Ta có / (0) = (0, 0 ) e I nhưng / (I) = ( |, o) e d x Điều này nói rằng

{fn} không là dãy hàm chuẩn tắc Vậy X không là tau t.

1.5 B iểu diễn tích phân của giả khoảng cách K obayashi

1.5.1 B iể u d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ả n g c á c h K o b a y a s h i t r ê n

đ a t ạ p

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.1 Giả sử M là một đa tạp phức và T M là phân thớ

tiếp xúc của M Một ánh xạ F : T M —>■ R + được gọi là metrtic vi phân trên M nếu nó thỏa mẫn các điều kiện sau

(i) F (Oa) = 0, trong đó Oa là vecto không của TXM ;

(ii) Với mọi £x e TXM và a e c thì F (a^a) = |a| F (£3)

là metric Finsler.

Royden [5] đã xây dựng trên mỗi đa tạ p phức X giả metric vi phân Royden - Kobayashi Fx trên không gian tiếp xúc T X như sau

Fỵ ( X, 1>) = inf { - , 3 / G Hoỉ (D rì M )) sao c h o / (0) = X và f ' (e0) = v}

Royden đã đưa ra công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi trên

trong đó £ìp q là tập hợp tấ t cả các đường cong liên tục từng khúc nối p với q, tham số hóa bởi t e [0,1]

Ngoài ra, Royden đã chứng minh rằng

(а) Fỵ là hàm nửa liên tục trên trên T M \

(б) X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi p £ X , tồn tại lân cận mở

đa tạp

u của p trong X và hằng số c > 0 sao cho Fỵ (x, V) > C H (X, V) với

mọi V £ TXM và với mọi X £ u , trong đó H là mêtric Hecmit trên T X

Mở rộng kết quả của Royden sang không gian phức ta có

1.5.2 B iể u d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ả n g c á c h K o b a y a s h i t r ê n

k h ô n g g ia n p h ứ c

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.2 Giả sử X là không gian phức, T X là không gian

tiếp xúc Zariski của X , e0 = g-\z=o £ T0D r sao cho (p' (u ) = V.

Nón Royden - Kobayashi F X được xác định

C o n X = V e T X \ 3(fHol (Dr, x ) , 3u e T0D r sao cho (p' (u ) = V.

Giả mêtric vi phẫn Royden - Kobayashi Fỵ là hàm trên T X được xác định như sau

Fx ( 2 , V) = <

inf { - : 3ipHol (Dr, x ) ,ip(0) = z,ip (e0) = nếu V £ C o n X

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.3 Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi với

mỗi p e X , tồn tại lân cận mở u của p trong X và hằng số c > 0 sao

cho Fỵ (x, V) > C.H (X, V) với mọi V e TXM và với mọi X e u , trong đó

H là mêtric Finsler trên T X

Venturini [6] cũng đã đưa ra một công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức

Giả sử X là không gian phức, X e X và u> e J ỵ { X ) x giả mêtric Venturini

được định nghĩa như sau

Đ ịn h n g h ĩa 1.6.1 Hàm hai biến thực u (X, y) trên miền D c R2 là điều

hòa nếu nó có các hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn điều kiện

Ạ _ d2u d2u _ A

— d 2x ^ d 2y ~ u

A u được gọi là toán tử Laplace.

Đ ịn h n g h ĩa 1 6.2 Giả sử Q là tập con mở trong c m.

z^z0

u (2:0) với

Một cách tương tự được W_1 ([—00, +00)) là mở với mọi —00 < a < +00

Đ ịn h n g h ĩa 1.6.3 Giả sử Q là tập con mở trong cm.

Hàm u : —>■ [—00, + 00) được gọi là hàm điều hòa dưới nếu

(a) и nửa liên tục trên;

(ò) Dối với mọi hình tròn и với и £ Q và mọi hàm điều hòa h trên

u ỉiên tục trên и từ h > и trên d u suy ra h > и trên и

Đ ịn h lý 1.6.4 Giả sử Q là tập con mở trong c m.

Hàm tp : Q —>■ [—00, +00) là một hàm nửa ỉiên tục trên Các tính chất

sau đây tương đương

(ò) Với mọi đĩa D Zữr с Q và mọi đa thức p = p ( z ) , ipịdD < Ь1еР|эд

kéo theo ự)In < R eP ln

(c) Với mọi D Zor С Çi ta có (fi (20) < (27rr)_1 J d D Zor(fids, trong đó ds

là phần tử của cung

(d) Với mọi D Zor С Q ta có

(di) Với mọi Z q tồn tại r0 < d (2:0, dQ) sao cho với mọi r < r0 thì tính

chất (d) đúng.

M ệ n h đ ề 1.6.5 Giả sử {<£>„} ỉà hàm điều hòa dưới và bị chặn đều trên

Khi đó limsup<£„ là hàm điều hòa dưới nếu nó là nửa liên tục trên.

V

Chứng minh Với mọi z G Q ta có

^ 2тг lim sup <£>„<— / lim sup ipv (z + reie) de

Do tính chất hàm điều hòa dưới của <pv.

B ổ đ ề 1.6.6 Nếu {<pv}v là một dãy giảm của các hàm điều hòa dưới

trên Q thì ífi = inf (fv cũng là hàm điều hòa dưới trên Q.

V

Chứng minh Với mọi с ta có {z e n|<y9 (z) < c} = u v {z e đĩ\<pv (z ) < c} một tập mở, do đó tp là nửa liên tục trên.

Nếu h ị d K > 4>\dK và ẳ > 0 thì K v = {z ẳ d K : ipv (2:) > h ( z ) + e } là compact và giảm với mọi к € Q Do giới hạn khi 1; Ồ> +00 là rỗng nên

tập K v phải rỗng khi V đủ lớn Do đó ipỹ (|fc < h\\K) + ẳ với mọi giá trị cua V.

Đ ịn h lý 1.6.7 Nếu {(pv}v là một dãy các hàm điều hòa dưới, bị chặn

đều trên mọi tập compact của Q và limsup<ẳ>Ầ < ỉ vối mọi z ẳ đI Khi

sup <pv (z) < 1 + ẳ, Vv > vẳk

z e k

Chứng minh Cố định Z(Ị G к với \z Ồ Zũ\ < ỗ Y ầ r < d(z(Ị, d Q ) Ồ ỏ với

ỏ ỡc r ta có trung bình dưới

ở đây có phần điều chỉnh 0 (ổ) Đối với sai số khi chuyển từ việc lấy tắch

phân trên В (z , r ) sang lấy tắch phân trên là do tắnh chặn đều của <pv

Theo bổ đề Fatou nên từ (1.1) ta có

Do lập luận về m ột phủ hữu hạn đối với к và do tính tù y ý của ố ta kết luận được lim sup sup < 1.

V z e K

1.6.2 H à m đ a đ iề u h ò a dư ớ i

Đ ịn h n g h ĩa 1.6.8 Giả sử Q là tập con mở trong c n Hàm nửa liên tục

trên tp : Q —>■ [—00, +oo) với Q là mở trong c n, lủ ф 0 hàm T —>■ (f{z + r )

là điều hòa dưới trong một lân cận của 0 G c

Kí hiệu p (Q) là tập các hàm đa điều hòa dưới trong Q.

V í d ụ 4 Nếu / G p (Q) thì l/l và log l/l là hàm đa điều hòa dưới.

Đ ịn h lý 1.6.9 Giả sử (f ỉà hàm lớp c 2 trên mở íỉ Ễ c n Khi đó ip ỉà

hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu

i,j=1 Chứng minh Định lý nhận được từ đẳng thức sau

n

* j= l

ở đây и (r) = tp (z + TU}).

Chương 2

T ính ta u t yếu của m iền trong

không gian B anach

Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền trong không gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic đã đạt được nhiều kết quả Tuy nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các tính chất hình học của miền trong không gian Banach vô hạn chiều còn ít được quan tâm Ta có thể thấy ngay rằng sẽ xuất hiện những khó khăn lớn về m ặt kỹ th u ật khi chuyển từ việc nghiên cứu miền trong không gian phức hữu hạn chiều lên vô hạn chiều Chẳng hạn đối với miền trong không gian Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không xây dựng được khái niệm ta u t theo kiểu Wu cho lớp miền này Vì vậy, trong không gian Banach người ta đưa ra khái niệm tính ta u t yếu.Mục đích của chương này là đánh giá mối quan hệ giữa tính ta u t yếu

và tính hyperbolic của đa tạp Banach và mối quan hệ giữa tính ta u t yếu địa phương và tính ta u t yếu của miền không bị chặn trong không gian