Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy được sự phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là tôpô yếu và tôpô yếu* trên một số không gian.. Mục đích nghiên cứu Nghiên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Sim

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận

tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiến cứu trong khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Sim

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị 3

§1 Không gian tôpô 3

1.1 Định nghĩa không gian tôpô 3

1.2 Tập đóng Error! Bookmark not defined 1.3 Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận 3

1.4 Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục 4

1.5 Tôpô xác định bởi họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff) 4

1.6 Tập hợp compact 4

§2 Không gian Fréchet 5

2.1 Sơ chuẩn, nửa chuẩn trên một không gian véctơ 5

2.2 Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương 6

2.3 Không gian Fréchet 9

§3 Không gian Banach, không gian Hilbert 9

3.1 Không gian Banach 9

3.2 Không gian Hilbert 10

Chương II Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát 11

§1 Tôpô yếu trong không gian Hilbert 11

1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 11

1.2 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert 13

§2 Tôpô yếu trong không gian Banach 14

2.1 Không gian liên hợp 14

2.2 Tôpô yếu 15

2.3 Không gian phản xạ 20

§3 Tôpô yếu trong không gian véctơ tôpô 24

3.1 Tôpô yếu* (X*,X ) 24

3.2 Không gian tách 27

3.3 Áp dụng 28

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ

XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổ điển Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phương trình

vi phân…

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ được

một nội dung hết sức phong phú Những phương pháp và kết quả rất mẫu mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích Ngoài ra, nó còn có

những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành

toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó

đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích

hàm, em đã chọn đề tài “Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát” làm đề

tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy được sự phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là tôpô yếu và tôpô yếu* trên một số không gian Thông qua đó thấy được vai trò quan trọng của chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết về tôpô yếu trong các không gian tổng quát để thấy

thấy được sự phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là tôpô yếu và tôpô yếu* trên một số không gian Thông qua đó thấy được vai trò quan trọng của chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác

nói chung

3 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

- Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian Fréchet,

không gian Banach, không gian Hilbert và không gian véctơ tôpô

- Các kiến thức liên quan đến tôpô yếu và tôpô yếu*

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh…

Nội dung khoá luận gồm hai chương:

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Kết luận

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị

§1 Không gian tôpô 1.1 Định nghĩa không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1 Không gian tôpô là một cặp ( , )X  , trong đó X là một tập

hợp và  là một họ những tập con của X thoã mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử ( , )X  là một không gian tôpô Tập S  X được

gọi là tập đóng trong X nếu phần bù của nó CS  X S\ là tập mở trong

X

1.3 Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận

Giả sử ( , )X  là một không gian tôpô

Định nghĩa 1.3.1 Một họ B được gọi là cơ sở đối với tôpô   nếu

Định nghĩa 1.3.3 Một họ  những lân cận của điểm xX được gọi là cơ

sở lân cận của x nếu với mọi lân cận M của x đều tồn tại N  sao cho

1.4 Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục

Định lý 1.4.1 Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y là liên tục khi và chỉ khi nó có một trong hai điều kiện dưới đây: i) Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập mở (trongY ) đều là tập mở (trong X ) ii) Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập đóng (trongY ) đều là tập đóng (trong

Định nghĩa 1.5.2 Một không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff

nếu  x yX, O O x, y sao cho  xO y x, O y và O x O y  

Ví dụ Không gian metric là không gian Hausdorff

1.6 Tập hợp compact

Định nghĩa 1.6.1 Giả sử ( , )X  là một không gian tôpô Tập K X được

gọi là compact nếu với mọi phủ mở của K đều có một phủ con hữu hạn

Chú ý

i) Ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact

ii) Hai trường hợp đầu mút:

   ,X, tôpô thô (hay tôpô không rời rạc), ở đây mọi dãy đều hội

tụ

iii) Tổng quát, những tập càng mở thì càng khó hội tụ

Bây giờ, giả sử i:X Y i i,  là các ánh xạ từ không gian tôpô X vào I

các không gian Y Liệu rằng tôpô nào yếu nhất trên X mà làm cho tất cả các i

i

 đều liên tục?

Hiển nhiên, nó phải chứa i1(O i), ở đây O là tập mở bất kì trong i Y , từ đó i

mở rộng cho hợp tuỳ ý và giao hữu hạn của các tập mở Bởi vậy, chúng ta nhận được câu trả lời là:

Giả sử X là một không gian véctơ thực hoặc phức

Định nghĩa 2.1.1 Một sơ chuẩn trên X là một ánh xạ p X : thỏa mãn các điều kiện:

ii) ( x)  ( ),x  x X, 

iii) ( ) x 0, x X

2.2 Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương

Định nghĩa 2.2.1 Ta nói một tôpô  trên không gian véctơ X gọi là tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô

đó, tức là nếu:

i) x y là một hàm liên tục của hai biến ,x y ; cụ thể, với mọi lân cận V

của điểm x y đều có một lân cận U của x và một lân cận x U của y y sao

Định nghĩa 2.2.2 Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp

với cấu trúc đại số gọi là một không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 2.2.3 Một không gian véctơ tôpô X gọi là không gian lồi địa

phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi

Trong một không gian lồi địa phương, một cơ sở của các lân cận của 0 được cho bởi các tập có dạng

Định lý 2.2.1 Một không gian lồi địa phương là Hausdorff

Chứng minh Lấy x y Khi đó,  sao cho  (x y) (trường hợp 0

Định nghĩa 2.2.5 Cho không gian tuyến tính X Một tập lồi C trong X

được gọi là cân đối hoặc tròn nếu xCxC, ,  1

Định nghĩa 2.2.6 Cho không gian tuyến tính X Một tập lồi C trong X

được gọi là hấp thu nếu

là các tập lồi, cân đối và hấp thu

Định lí 2.2.2 Giả sử X là không gian tuyến tính cùng với một tôpô

Hausdorff trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng là liên tục Khi đó X

là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi 0 có một cơ sở lân cận là các tập lồi, cân đối, hấp thu

Chứng minh

(  )Điều này có từ chú ý ở trên

(  )Điều mà chúng ta cần làm ở đây là xây dựng họ các nửa chuẩn Lấy C là

một lân cận lồi của 0 và giả sử C được xác định:

cảm sinh bởi tôpô xác định bởi các nửa chuẩn Bởi vậy, không gian X là lồi

địa phương 

Định lý 2.2.3 Giả sử X là không gian véctơ lồi địa phương, khi đó các điều

sau là tương đương:

1) X metric hóa được (tôpô là cảm sinh bởi khoảng cách)

2) 0 có một cơ sở lân cận đếm được bao gồm các tập lồi, cân đối, hấp thu 3) Tôpô được xác định bởi một họ đếm được các nửa chuẩn

Chứng minh

(1)  (2) Lấy các hình cầu có bán kính đếm được (tức là số hữu tỉ)

(2)  (3) Làm giống như sự xây dựng họ các nửa chuẩn ở phần chứng minh định lí 2.2.2 bằng cách sử dùng độ đo

(3)  (1) Khoảng cách có thể cho bởi:

2.3 Không gian Fréchet

Định nghĩa 2.3.1 Một không gian Fréchet là một không gian lồi địa phương

metric hóa được và đủ

Ví dụ 2.3.1 Lớp Schwartz S các hàm giảm nhanh:

S (đối ngẫu của S  không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên S ) được gọi là không gian các hàm phân bố nhiệt suy rộng

S là không gian Fréchet

Định nghĩa 3.1.1 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach

nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới phần tử của X

3.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 3.2.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường, K ta gọi là tích

vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes XX vào K , kí

hiệu ., thoả mãn các tiên đề sau:

i) (x y, X) : y x,  x y,

ii) (x y z, , X) : x y z,  x z,  y z,

iii) (x y, X)(  K) : x y,  x y,

iiii) ( x X) : x x,  nếu x0  và x x  nếu x, 0  

Các phần tử , ,x y z … gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x y,  được gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y Các tiên đề i),ii),iii),iiii) được gọi là hệ tiền đề vô hướng

Nếu (x y, X) : x y,  thì ,0 x y được gọi là trực giao Khi đó, ta viết

x y

Mỗi xX , ta đặt:

,

x  x x (3.2.1) thì công thức trên xác định một chuẩn trên X, và gọi là chuẩn sinh bởi tích

vô hướng

Định nghĩa 3.2.2 Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức (3.2.1)

Định nghĩa 3.2.3 Ta gọi một tập H   gồm các phần tử , , x y z… nào đó là

không gian Hilbert nếu H thoả mãn các điều kiện:

i) H là không gian tuyến tính trên trường K

ii) H được trang bị một tích vô hướng ,

iii) H là không gian Banach với chuẩn x  x x, , x H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Chương II Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

§1 Tôpô yếu trong không gian Hilbert 1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Giả sử H là không gian Hilbert

Với mỗi phần tử cố định yH phiếm hàm

là tuyến tính liên tục trên H Đảo lại, thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên một không gian Hilbert cũng đều có dạng đó Điều này được chỉ rõ trong định lí sau:

Định lý 1.1.1 (Định lí Riesz) Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất a của H sao cho

f x  x a  x H (1.1.1)

và

f  a (1.1.2)

Chứng minh Giả sử a là phần tử cố định thuộc không gian H Nhờ các

tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H

Bây giờ giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kỳ trên H Ký hiệu .

Đồng thời H là một tập con đóng trong 0 H Thật vậy, nếu dãy điểm

 x n H0 hội tụ tới điểm xH, thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm f ta có

0( ) lim ( )n 0

n



Do đó H là một không gian con của không gian 0 H

Nếu H0 H, chọn phần tử a,ta nhận được biểu diễn (1.1.1):

Cuối cùng ta chứng minh hệ thức (1.1.2) Nhờ bất đẳng thức Schwarz ta

1.2 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử H là không gian Hilbert Dãy  x n nđược gọi là hội

tụ yếu đến phần tử xH ,nếu với mọi yH ta đều có

n x y x y

Kí hiệu x n  Và tôpô sinh bởi sự hội tụ yếu trên H được gọi là y uê x

tôpô yếu trên H

Ví dụ 2.2.1 Giả sử không gian Hilbert H là khả ly, và e1, ,e là một cơ sở n

trực chuẩn đếm được của H Thế thì e  n y uê 0

Chứng minh

Thật vậy, theo đẳng thức Parseval ta có:

2 2

Định lý 2.2.1 Trong không gian Hilbert H , nếu x n  và y uê x y n  thì y

Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian định chuẩn X trên trường K ( K = hoặc

K= ) Ta gọi không gian ( , )I X K các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu X *

yếu

yếu

Như vậy, không gian liên hợp X của không gian định chuẩn X là không *

gian Banach

Không gian liên hợp của không gian X* gọi là không gian liên hợp thứ hai

của không gian định chuẩn X và kí hiệu X**, các không gian liên hợp thứ ba

***

X không gian liên hợp thứ tư X****,… của không gian định chuẩn X

được định nghĩa tương tự

hàm f X* đều liên tục Nói cách khác, nó là :   f 1(O ), ở đó O là

Chứng minh Giả sử x y Áp dụng dạng hình học của định lí Haln-Banach

cho x y khi đó f X*sao cho ( )f x   f y( ) Ta định nghĩa:

Chú ý Cho dãy  x n n , chúng ta phân biệt giữa:

yếu yếu

Khi đó f n  f và ( )f x n  f x( ),f, do dãy  x n n hội tụ yếu tới x và khi

đó dãy  x n n bị chặn bởi vì nó hội tụ yếu tới x 

Định lý 2.2.3 Nếu dim X   thì tôpô yếu và tôpô mạnh trùng nhau

Giả sử e1, ,e n là một cơ sở của X với e  i 1

Giả sử f1, , f n là một cơ sở đối ngẫu, nói cách khác f e j( )i i j, Cơ sở

đối ngẫu có tính chất là nếu chúng ta có thể mở rộng cho mọi y bất kì:

( )

i i

y f y e Khi đó tập:

0:| i( ) | r, 1,

là mở yếu, bởi vậy: 0 0



Do đó, N B x r( , )0 U Như vậy, U là mở yếu 

Ví dụ Nếu dim X   , khi đó  : 1

Chứng minh trường hợp này

Giả sử x0B X Chúng ta sẽ chỉ ra rằng mỗi lân cận yếu của x đều giao 0

Chúng ta nhận thấy rằng nó chính là B Vậy B là tập đóng yếu 

Ví dụ B X xX : x 1 không là mở yếu Nó có phần trong rỗng, do đó mọi lân cận yếu của x0B X đều chứa một phần tử của S

Định lý 2.2.4 Giả sử C X là một tập lồi Khi đó, C là đóng yếu khi và chỉ khi C là đóng mạnh

 là nửa liên tục dưới yếu

Chú ý Cho trước lồi, liên tục mạnh  nửa liên tục dưới yếu

Ví dụ x x là hàm số lồi, liên tục Do đó, nó là nửa liên tục dưới yếu, do

đó nếu x n , khi đó y uê x x liminf x n đã được chứng minh

Định lý 2.2.5 Giả sử X và Y là hai không gian Banach và T X: Y tuyến tính Khi đó là liên tục mạnh khi và chỉ khi nó liên tục từ ( ,X X*)vào