Tính Taut yếu và Taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach

14 2 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach 17 2.1 Một số kiến thức ban đầu.. 21 2.3 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian

PHẠM THỊ KIM DUNG

TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNGCỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC

Thái Nguyên - Năm 2014

Mục lục

1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi 4

1.2 Không gian phức hyperbolic 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Một số tính chất 5

1.3 Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi 7

1.3.1 Metric vi phân Royden-Kobayashi 7

1.3.2 Định lý 9

1.3.3 Hệ quả 9

1.4 Không gian phức taut 9

1.4.1 Định nghĩa 9

1.4.2 Định lý Kiernan 10

1.4.3 Định nghĩa 10

1.4.4 Bổ đề 10

1.4.5 Ví dụ 11

1.5 Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới 12

1.5.1 Định nghĩa 12

1.5.2 Mệnh đề 13

1.5.3 Bổ đề 13

1.5.4 Định lý 14

1.5.5 Định lý 14

2 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach 17 2.1 Một số kiến thức ban đầu 17

2.1.1 Định nghĩa 17

2.1.2 Định nghĩa 17

2.1.3 Định lý 18

2.1.4 Định nghĩa 19

2.1.5 Định nghĩa 19

2.1.6 Định nghĩa 19

2.1.7 Định nghĩa 20

2.1.8 Định nghĩa 20

2.2 Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach 20 2.2.1 Định lý 21

2.3 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach 24

2.3.1 Định lý 24

2.3.2 Bổ đề 25

2.3.3 Định lý 29

Mở đầu

Một trong những bài toán quan trọng của Giải tích phức hyperbolic

là tìm các đặc trưng khác nhau cho tính hyperbolic của một không gianphức Như ta đã biết mỗi không gian phức taut là hyperbolic Do đó ta cóthể nghiên cứu tính hyperbolic của không gian phức thông qua việc tìmhiểu tính taut của không gian đó Điều đó cho thấy tính taut là một công

cụ hữu hiệu để nghiên cứu lớp các không gian phức hyperbolic hữu hạnchiều

Tuy nhiên khái niệm taut không tồn tại trong hoàn cảnh các miền trongkhông gian Banach Bằng cách đưa ra khái niệm taut yếu và taut yếu địaphương của một miền trong không gian Banach, Lê Mậu Hải và PhạmKhắc Ban [4] đã thiết lập được mối liên hệ giữa tính taut yếu với tínhhyperbolic của một đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh đượcmối liên hệ giữa tính taut yếu địa phương với tính taut yếu của một miềnkhông bị chặn trong không gian Banach

Mục đích của luận văn này là trình bày tường minh kết quả nói trên.Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trìnhbày các kiến thức chuẩn bị về không gian phức hyperbolic, không gianphức taut và một số kết quả liên quan đến chương sau trong trường hợphữu hạn chiều

Chương 2: Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trongkhông gian Banach Nội dung của chương này bao gồm một số khái niệmban đầu về giải tích hyperbolic trong không gian Banach; mối liên hệ giữatính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach Cuối chương

là một số tiêu chuẩn cho tính taut yếu của một miền không bị chặn trongkhông gian Banach.

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm

- Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn khoa học của PGS TS PhạmViệt Đức Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đưa ra đề tài và tận tìnhhướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả Đồng thời tác giảcũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, Phòng Sau Đại học

- Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiệncho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bảnluận văn này Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn tronglớp Cao học Toán K20a, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình họctập và làm luận văn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014

Tác giảPhạm Thị Kim Dung

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X

Hol(∆, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X, được trang

bị tôpô compact mở Xét dãy các điểm p0 = x, p1, , pk = y của X, dãycác điểm a1, a2, , ak của ∆ và dãy các ánh xạ f1, , fk trong Hol(∆, X)

thỏa mãn

fi(0) = pi - 1, fi(ai) = pi, ∀i = 1, , k

Tập hợp α = {p0, , pk, a1, , ak, f1, , fk} thỏa mãn các điều kiệntrên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình (hay các đĩa chỉnh hình) nối

1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

1.1.2.1 Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phứcthì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆n,

n = dimX Ta có

d∆ n((x1, , xn), (y1, , yn)) = max{d∆(xi, yi), i = 1, , n}

Vì U song chỉnh hình với ∆n nên theo tính chất của giả khoảng cáchKobayashi ta có dU = d∆n liên tục

Do đó, dX(yn, y) ≤ dU(yn, y) → 0 khi yn → y Vậy dX liên tục

1.2 Không gian phức hyperbolic

1.2.1 Định nghĩa

Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩaKobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X, tứclà

dX(p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p,q ∈ X

Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic

và đầy đối với khoảng cách Kobayashi dX, tức là mọi dãy cơ bản đối vớikhoảng cách dX đều hội tụ

Nhận xét Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạchỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biến songchỉnh hình

1.2.2 Một số tính chất

1.2.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gianhyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic

1.2.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu

Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không giancon của một không gian hyperbolic là hyperbolic

1.2.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông.Nếu X là hyperbolic thì dX sinh ra tô pô tự nhiên của X

Chứng minh Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pôđếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn Vìvậy có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X Ta phải chứngminh dX và ρ là so sánh được, tức là với {xn} ⊂ X ta có

ρ(xn, x) → 0 ⇔ dX(xn, x) → 0 khi n → ∞

Do dX liên tục nên từ ρ(xn, x) → 0 suy ra dX(xn, x) → 0 khi n → ∞

Ngược lại, giả sử dX(xn, x) → 0 mà ρ(xn, x) 6→ 0 khi n → ∞ Khi đótồn tại s > 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là {xn}) mà các xn nằmngoài ρ−cầu tâm x, bán kính s

Nối xn với x bởi một dây chuyền chỉnh hình Gọi γ là ảnh của các trắcđịa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X

Xét hàm t 7→ ρ(γ(t), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tạit0 ∈ [a, b]

sao cho ρ(γ(t0), x) = s Vậy điểm yn = γ(t0) nằm trên mặt cầu tâm x

bán kính s (đối với metric ρ) Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cáchKobayashi ta có

dX(yn, x) ≤ dX(xn, x) → 0 khi n → ∞

Do tính compact địa phương, dãy {yn} có dãy con {ynk} hội tụ tới y

thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ)

+) Đĩa ∆r và đa đĩa ∆mr là hyperbolic

+) Một miền bị chặn trong Cm là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tíchcác đa đĩa

+) Cm không là hyperbolic, vì dCm ≡ 0

1.3 Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi

1.3.1 Metric vi phân Royden-Kobayashi

1.3.1.1 Định nghĩa

Giả sử M là một đa tạp phức và T M là phân thớ tiếp xúc củaM Mộtánh xạ F : T M → R+ được gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏamãn các điều kiện sau:

(i) F (0x) = 0, trong đó 0x là véctơ không của TxM;

(ii) Với mọi ξx ∈ TxM và a ∈ C thì F (aξx) = |a|F (ξx)

Hơn nữa, nếu F liên tục và F (ξx) 6= 0, ∀ξx ∈ TxM \{0} thì F được gọi

trong đó ||u|| là độ dài của véctơ tiếp xúc u được đo bởi metric Poincaré

ds2 của đĩa đơn vị ∆ và infimum lấy với mọi f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆

sao cho f∗(u) = v

Nếuxlà điểm chính quy, thì với mỗiv ∈ TxX luôn tồn tại véctơ u ∈ T ∆

sao cho f∗(u) = v, do đó FX(v) < ∞

Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt

FX(v) = ∞

Khi đó FX là metric vi phân và gọi là metric vi phân Royden-Kobayashitrên không gian phức X.

1.3.1.3 Tính chất

a) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì

FY(f∗(v)) ≤ FX(v) với f ∈ Hol(X, Y ), v ∈ ˜T X

Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình

b) + Trong đĩa đơn vị ∆,F∆ đồng nhất với metric Bergman - Poincaré,tức là F∆2 = ds2 = 4dzdz

(1 − |z|2)2, ∀z ∈ ∆.+ FCm = 0

c) Trong không gian phức X ta có

FX(f∗u) ≤ ||u||, ∀f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆

Hơn nữa, nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên T X˜ thỏa mãn

E(f∗u) ≤ ||u|| với f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆,

thì

E(v) ≤ FX(v), ∀v ∈ ˜T X

d) Giả sử X, Y là các không gian phức, ta có

FX×Y(u, v) = max{FX(u), FY(v)} với u ∈ ˜T X, v ∈ ˜T Y

e) Giả sử X, Y là các không gian phức và π : ˜X → X là không gianphủ chỉnh hình của X Khi đó FX˜ = π∗FX

f ) Nếu X là đa tạp phức, thì FX là hàm nửa liên tục trên T X Nếu X

là không gian phức hyperbolic đầy thì FX liên tục

Kết quả sau được chứng minh bởi Royden, đây là một biểu diễn tíchphân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức

số C > 0 sao cho FX(ξx) ≥ CH(ξx) với mọi ξx ∈ TxX với x ∈ U.

1.4 Không gian phức taut

1.4.1 Định nghĩa

Giả sử X, Y là các không gian phức

Kí hiệu Hol(Y, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình f : Y → X vàtrên Hol(Y, X) ta trang bị tô pô compact mở

i) Dãy {fi}∞

i=1 ⊂ Hol(Y, X) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗitập con compact K của Y, mỗi tập con compact K0 của X, tồn tại j0 ∈ N

sao cho fj(K) ∩ K0 = ∅, ∀j ≥ j0

ii) Họ Hol(Y, X) được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi dãy {fi}∞i=1 trong

Hol(Y, X) chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compacthoặc là phân kỳ compact

iii) Không gian phức X được gọi là taut nếu họ Hol(Y, X) là họ chuẩntắc với mỗi không gian phức Y

1.4.2 Định lý Kiernan

i) Mỗi miền taut trong không gian phức X là miền hyperbolic

ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phứcX cũng là miền taut

iii) Các khẳng định ngược lại đều không đúng

Để chứng minh Định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau:Giả sử pvà q là hai điểm phân biệt của miền M trong không gian phức

X Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử p = 0 và

Chứng minh (Định lý Kiernan).

i) Giả sử M không hyperbolic Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt p, q

sao cho dM(p, q) = 0 Theo Bổ đề 1.4.4, cặp (1

ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên

Hol(∆, M ) là đồng liên tục Mặt khác, M là hyperbolic đầy nên mỗi tậpcon bị chặn trong M là compact tương đối Vì vậy, Hol(∆, M ) là chuẩntắc Do đó, M là taut

Chú ý Điều ngược lại không đúng

1.4.5 Ví dụ

Có những không gian phức taut mà không là hyperbolic đầy Ví dụ sau

là của Barth Ta xây dựng một không gian phức taut Y bằng cách "buộc"một số đếm được các đĩa đơn vị ∆1, ∆2, theo cùng cách sau: Trong đĩathứ n: ∆n, chọn điểm an sao cho khoảng cách Poincaré ρ∆n(0, an) = 1

2n

Ta "buộc" đĩa thứ 2∆2 vào đĩa thứ nhất ∆1 bằng cách đồng nhất a1 ∈ ∆1

vào gốc O của ∆2 Ta "buộc" đĩa thứ 3 ∆3 vào đĩa ∆2 bằng cách đồngnhất a2 ∈ ∆2 vào gốc O của ∆3 Bằng cách lập luận tương tự, ta đồngnhất an ∈ ∆n vào gốc O của ∆n+1

Cuối cùng ta được một không gian phức ký hiệu là Y Các đĩa ∆n, với

n = 1, 2, là thành phần bất khả quy của Y Từ đó ∀f ∈ Hol(∆, Y )

biến ∆ vào một trong những thành phần bất khả quy ∆n, họ Hol(∆, Y )

là hợp của những họ con Hol(∆, ∆n) Cho{fj} ⊂ Hol(∆, Y ) Giả sử {fj}

không có dãy con hội tụ Lấy {fnj} là dãy con bao gồm những ánh xạ fj

biến ∆ thành ∆n Do Hol(∆, ∆n) là chuẩn tắc, dãy {fnj} phải là phân

kỳ compact Mỗi tập con compact L ⊂ Y được phủ bởi ∆1 ∪ ∪ ∆k,với k nào đó Khi đó, với mỗi tập compact K ⊂ ∆ và với mỗi n cố định

n ≤ k, ta có fnj(K) ∩ L = ∅ trừ một số hữu hạn fnj Đối với n > k,

fnj(K) ∩ L = ∅, do ∆n∩ L = ∅ Như vậy, {fj} là phân kỳ compact, chứng

tỏ rằng Hol(∆, Y ) là chuẩn tắc Vậy Y là taut

Lấy pn là một điểm thuộc Y ứng với an ∈ ∆n, tức là pn ∈ ∆n và

dY(pn−1, pn) = dY(0, an), trong đó 0 là gốc của ∆n (ta có thể chọn pn =

an)

Khi đó dãy {pn} phân kỳ trong Y nhưng lại là dãy Cauchy vì

dY(pn−1, pn) ≤ d∆n(0, an) = 1

2n.Vậy Y không là hyperbolic đầy

Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong C3 là taut mà không làhyperbolic đầy

2||2 + || 1

2n||2 < 1

4+

14n <

Vậy fn ∈ Hol(∆, X) Ta có lim

hòa dưới trên U ∩ M, tức là liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn

(

ϕ(p) = 0ϕ(z) < 0 với mọi z ∈ (U ∩ M )\{p}

ii) Một hàm ψ được gọi là đa điều hòa dưới antipeak địa phương tạimột điểm p trong ∂M nếu có một lân cận U của p sao cho ψ là đa điềuhòa dưới trên U ∩ M, tức là liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn

sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D) mà f (0) ∈ ˜U thì suy ra

Với bất kỳ tập K compact tương đối trong ∆, có hằng số thực dương rK

sao cho với mỗi tự đẳng cấu g của ∆ thỏa mãn

g(0) ∈ K ⇒ ∆(g(0), rK) ⊂ g(∆1

2),

trong đó ∆(g(0), rK) = {λ ∈ ∆ : |λ − g(0)| < rK}

Chứng minh Giả sử ξ là một điểm trong K, θ là số thực trong [0, 2π) và

gξ,θ là tự đẳng cấu của ∆ Ta chỉ cần chứng minh

inf

|λ|= 1 2

Cho Ω là một miền trong Cn Giả sử có các hàm đa điều hòa dưới peak

và antipeak địa phương tại vô cùng Khi đó Ω là miền hyperbolic

Chứng minh Giả sử ngược lại Ω không là hyperbolic Khi đó tồn tại điểm

z0 trong Ω và dãy {yγ}γ các điểm trong Ω hội tụ tới z0 và dãy {Vγ}γ cácvéctơ đơn vị trong Cn sao cho FΩ(yγ, Vγ) ≤ 1γ Từ đó tồn tại dãy {fγ}γ

các đĩa giải tích tâm tại yγ sao cho |fγ0(0)| ≥ γ Theo Định lý Montel, códãy {pγ}γ các điểm của ∆ hội tụ tới 0 sao cho lim

γ→∞|fγ(pγ)| = ∞.Hợp thành fγ với phép biến đổi Moebius, ta có họ { ˜fγ}γ các đĩa giải tíchsao cho f˜γ(0) = fγ(pγ) và f˜γ(pγ) = yγ.

Điều này mâu thuẫn với Mệnh đề 1.5.2 Vậy Định lý được chứng minh

1.5.5 Định lý

Cho D là một miền trong Cn Giả sử D là taut địa phương tại mỗi điểmbiên ∂D của D và tồn tại các hàm đa điều hòa dưới peak và antipeak địaphương tại vô cùng Khi đó, D là taut

Chứng minh Lấy một dãy bất kì các hàm chỉnh hình{fj}∞j=1 ⊂ Hol(∆, D)

Ta chứng minh {fj}∞j=1 là dãy hàm chuẩn tắc

Trường hợp 1: Giả sử rằng tồn tại một điểm ξ ∈ ∆ và dãy {fjk}∞k=1 ⊂{fj}∞j=1 sao cho

Với mỗi ξ ∈ E, ta có lim

k→∞|fjk ◦ gξ,θ| = ∞ hội tụ đều trên ∆1

2 (theoMệnh đề 1.5.2)

Theo Mệnh đề 1.5.3, do tập {ξ} là compact, nên tồn tại rξ sao cho

k→∞|fvk| = ∞ đều trên mỗi B(ξn, r)

Theo Định lý Montel, ta có lim

trên tập compact K tới hàm chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D) Ta chứng minh

{fj}∞

j=1 hoặc phân kỳ compact hoặc hội tụ đều trên các tập con compact.Thật vậy, gọi E = {λ ∈ ∆|f (λ) ∈ ∂∆\{∞}} Rõ ràng E là tập đóng,

do ∂D là đóng

Giả sử E 6= ∅ Lấy λ ∈ E ⇒ f (λ) ∈ ∂∆ Do D là taut địa phương tại

f (λ), suy ra tồn tại lân cận V của f (λ) sao cho V ∩ D là taut

Do fjk hội tụ đều trên tập compact K tới hàm chỉnh hình f, suy ra tồntại lân cận U -mở của λ và V0 của f (λ), V0 ⊂ V sao cho fjk(U ) ⊂ D ∩ V0

với k đủ lớn, suy ra fjk|V : U → D ∩ V là taut

Vậy f (U ) ⊂ ∂D (do f (λ) ⊂ ∂D)

Vậy U -mở trong E Suy ra E là tập mở Do ∆ liên thông nên ta có

E = ∆ Do đó f (∆) ⊂ ∂D ⇒ {fj}∞j=1 là phân kỳ compact Do vậy D làtaut Vậy Định lý đã được chứng minh

Chương 2

Tính taut yếu và taut yếu địa

phương của một miền trong không gian Banach

2.1 Một số kiến thức ban đầu

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử X là không gian giải tích Banach Ta nói rằng X là hyperbolicnếu dX là một khoảng cách xác định tô pô của X, trong đó dX là giảkhoảng cách Kobayashi trên X

Chú ý : Theo Định lý 1.2.2.3, khi dimX < ∞, nếu dX là khoảng cáchthì nó xác định tôpô tự nhiên của X Tuy nhiên trong không gian Banach

vô hạn chiều thì điều này không còn đúng nữa [10]