Định lý không thể có được của abel

Loài người đã biết giải phương trình bậc một từ trước Công nguyên và đến thời kì Phục hưng, khoảng thế kỉ 16 sau Công nguyên, cùng với sự ra đời của số phức người ta đã đưa ra được công

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 1

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa Toán

=====o0o=====

Bùi Vũ Ngọc NươngĐịnh lý không thể có được của ABEL

Khoá Luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội - 2008

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 2

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, các

thầy cô trong tổ Đại số, những người đã tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trong bốn năm học

vừa qua cũng như đã tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành khoá luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hưng, người đã

trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quí báu trong thời gian em thực

hiện khoá luận này

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2008

Sinh viên

Bùi Vũ Ngọc Nương

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 3

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu

Bên cạnh đó, em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa

Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận, em có tham khảo một số tài

liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Định lí không thể có được của Abel ”

không có sự trùng lặp cũng như sao chép kết quả của các đề tài khác

Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Người cam đoan

Sinh viên

Bùi Vũ Ngọc Nương

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 4

Mục lục

Trang

Lời nói đầu……… 1

Chương 1: Những kiến thức bổ trợ……… .4

1.1 Nhóm- Vành- Miền nguyên- Trường……… .4

1.2 Đa thức ………..6

1.3 Nhóm số………..9

1.4 Một số khái niệm bổ trợ khác……… 12

Chương 2: Định lí không thể có được của Abel……….14

2.1 Một số định lí bổ trợ……… 14

2.1.1 Bổ đề Abel……….14

2.1.2 Định lí Gauss……… 15

2.1.3 Định lí Schoenemann……… 17

2.1.4 Định lí Sturm……… 18

2.1.5 Định lí Waring………19

2.1.6 Định lí bất khả qui của Abel……….19

2.1.7 Định lí 2.1.7……… 21

2.1.8 Định lí 2.1.8……… 23

2.2 Định lí bất khả qui của Abel……… 25

2.2.1 Bổ đề ……… 26

2.2.2 Định lí Kronecker……… 28

Kết luận……… 33

Tài liệu tham khảo……… 34

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 5

Lời nói đầu

Bộ môn đại số có một vị trí quan trọng trong Toán học Trước đây,

nói đến đại số là nói đến việc giải phương trình Loài người đã biết giải

phương trình bậc một từ trước Công nguyên và đến thời kì Phục hưng,

khoảng thế kỉ 16 sau Công nguyên, cùng với sự ra đời của số phức người

ta đã đưa ra được công thức nghiệm của các phương trình đại số tổng quát

có bậc không vượt quá bốn Các kết quả trên đã tạo ra động lực thôi thúc

các nhà toán học của nhiều thế kỉ đi tìm công thức nghiệm tổng quát của

các phương trình đại số bậc năm

Trong công cuộc tìm kiếm đó phải kể đến nhà Vật lý người ý Paolo

Ruffini (1765 – 1822) , ông đã nhìn nhận vấn đề theo chiều hướng ngược

lại và nhận ra rằng việc đi tìm các công thức nghiệm của các phương

trình tổng quát có bậc lớn hơn hoặc bằng năm là không thể, theo ông: “

Những phương trình cao hơn bậc bốn nói chung không có phép giải đại

số ” Ruffini đã đưa ra định lí này lần đầu tiên trong cuốn sách Teoria

generale delle equazioni của mình, được xuất bản ở Bologna vào năm

1798 Tuy nhiên, chứng minh của ông không đầy đủ

Phải đến năm 1826 chứng minh đầy đủ đầu tiên của định lí này mới

được đưa ra trong tập một của cuốn Crelle’s Journal fur Mathematik bởi

nhà toán học trẻ người Na Uy Niels Henrik Abel (1802 – 1829) Chứng

minh tiếp theo của định lí không thể có được của Abel dựa trên một định

lí của Kronecker được xuất bản vào năm 1856 trong cuốn Monatsberichte

der Berliner Akademie

Sau này, dựa trên kết quả đó, E.Galois (1811 – 1832) đã chỉ ra điều

kiện để đối với một phương trình bất kì cho trước, tồn tại công thức tính

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 6

nghiệm của nó Cũng từ đó trở đi, lý thuyết phương trình không còn đóng

vai trò chủ đạo trong bộ môn Đại số nữa mà đối tượng của phân môn này

là nhóm, vành, trường,

Có thể nói, định lí không thể có được của Abel là một định lí quan

trọng, đánh dấu bước ngoặt lớn trong lịch sử phát triển Đại số

Tuy nhiên cho đến nay, ở Việt Nam, tài liệu về định lí trên chưa

nhiều, chứng minh của định lí này cũng mới chỉ là bản dịch dạng “thô”,

chưa được trình bày một cách rõ ràng, hệ thống hoá đầy đủ và ngôn ngữ

chưa thật trong sáng

Với những lí do trên, em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Định lí

không thể có được của Abel ” nhằm trình bày lại một cách tường minh và

có hệ thống, cơ sở chặt chẽ nội dung chứng minh của định lí quan trọng

này

Nội dung khoá luận gồm 2 chương lớn:

Chương 1 : Những kiến thức bổ trợ

Chương 2 : Định lí không thể có được của Abel

Trong đó, Chương 1 dành cho việc trình bày lý thuyết bổ trợ liên

quan về lý thuyết trường, về đa thức, về nhóm số và những khái niệm

phục vụ cho các chứng minh phía sau,

Chương 2 dành để đưa ra các định lí bổ trợ làm tiền đề,

căn cứ cơ sở cho việc chứng minh định lí Kronecker, định lí Kronecker

được chứng minh thì đồng thời định lí không thể có được của Abel cũng

được chứng minh

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi kinh

nghiệm

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 7

Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian nghiên cứu cũng như vốn

kiến thức và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong luận văn của em không

tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến

đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận này được

hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5, năm 2008

Sinh viên

Bùi Vũ Ngọc Nương

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 8

Chương 1 những kiến thức bổ trợ

1.1 Nhóm- Vành- Miền nguyên- Trường

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là phép toán hai ngôi (hay còn gọi tắt là

phép toán) trong một tập hợp X một ánh xạ f từ XX đến X

Một phép toán hai ngôi “ * ” trong một tập hợp X

được gọi là kết hợp nếu và chỉ nếu (x*y)*z = x*(y*z) ,  x, y, z  X; là

giao hoán nếu và chỉ nếu ta có x*y = y*x ,  x, y X

Một bộ phận A của X gọi là ổn định (đối với phép

toán “ * ” trong X ) nếu và chỉ nếu x*y A, x, y A Khi đó, phép

toán “ ** ” xác định trong bộ phận ổn định A bởi quan hệ x**y = x*y,

 x, yA gọi là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán “ * ” của X

Người ta thường kí hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X

Định nghĩa 1.1.2 Cho “ * ” là một phép toán hai ngôi trên tập hợp

X Một phần tử e của X gọi là một đơn vị trái của phép toán “ * ” nếu và

chỉ nếu e*x = x , xX; là một đơn vị phải của phép toán “ * ” nếu và

chỉ nếu x*e = x ,xX

Nếu phần tử e của X vừa là một đơn vị trái, vừa là

một đơn vị phải, thì e gọi là một đơn vị , hoặc một phần tử trung lập của

phép toán “ * ” Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung

lập

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một tập hợp khác , “ * ” là phép toán hai

ngôi trên X ( X, *) được gọi là nhóm nếu

i) x, y, z X : (x*y)*z = x*(y*z) ,

ii)  eX, xX: e*x = x*e = x ,

iii)x X, x’X: x*x’ = x’*x = e

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 9

Định nghĩa 1.1.4 Cho X là một tập hợp khác  Trên X, ta xác định

hai phép toán +,  X là một vành nếu

thì ( X, +,) được gọi là vành có đơn vị

Định nghĩa 1.1.5 Cho X là một vành a  X\{0} được gọi là một

ước của không nếu bX\{0} sao cho ab = 0

Một vành giao hoán có đơn vị, không có ước của

không được gọi là một miền nguyên

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một tập hợp khác (X, +, ) được gọi

là một trường nếu

i) (X, +) là một nhóm giao hoán, ii) (X\{0}, ) là nhóm giao hoán , iii) Phép  phân phối với phép +

Nói một cách ngắn gọn: trường là một miền nguyên mà trong đó

mọi phần tử khác không đều có phần tử khả nghịch

Cho X là một trường, A là một bộ phận của X ổn

định đối với hai phép toán trong X A là một trường con của trường X nếu

A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường, và khi đó X được

gọi là một mở rộng của trường A Kí hiệu X

A hoặc X A Mọi trường đều

có ít nhất một trường con là chính nó

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 10

Định nghĩa 1.1.7 Một trường không có trường con nào khác ngoài chính

nó được gọi là một trường nguyên tố

Định nghĩa 1.1.8 Cho trường K bất kì với phần tử đơn vị là e Nếu n là

số tự nhiên bé nhất, n ≠ 0, sao cho bội ne bằng 0 thì n được gọi là đặc số của

trường K, kí hiệu là Char(K) Trái lại, ta nói K có đặc số 0

Có thể thấy rằng nếu trường K có đặc số n ≠ 0 thì n

là một số nguyên tố p nào đó

1.2.Đa thức

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một vành giao hoán có đơn vị 1 Kí hiệu tập

A={(a a0, 1, ,a n, ) |a i A( i 0,1, 2, ) trong đó a i 0 hầu

hết, chỉ có một số các thành phần hữu hạn không bằng 0} Trên A, ta xác định

hai qui tắc sau:

Tập A cùng hai qui tắc + và  ở trên lập thành một vành giao hoán có

đơn vị, và được gọi là vành đa thức Các phần tử của nó được gọi là các đa

thức.

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 11

Định nghĩa 1.2.2: Cho vành đa thức A Kí hiệu

x x

Ta gọi x là ẩn ẩn là một đa thức đặc biệt

Định nghĩa 1.2.3: Cho vành đa thức A.    A, giả sử

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 12

nhất còn số a0 gọi là hệ số tự do Số n gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là

degP(x) = n

Một số tính chất: Cho P(x) và R(x) là những đa thức Khi đó ta có

các tính chất sau:

1 Tích của hai đa thức P(x) và R(x) là một đa thức Q(x) và

degQ(x)  degP(x) + degR(x)

2 Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và R(x) là một đa thức Q(x)

và

degQ(x)  Max[degP(x); degR(x)]

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử A là vành con của vành X và P(x) A[x]

trong đó 0, 1, , n là những nghiệm của đa thức

Định lí 1.2.2 Mọi đa thức bậc n (n  *) đều có không quá n nghiệm

Định nghĩa 1.2.5 Cho đa thức 1

( ) n n n n

(ai trường K, n  ) Đa thức f(x) K[x] được gọi là đa thức khả qui

trong K[x] hay trên K nếu tồn tại hai đa thức g(x), h(x) K[x] sao cho:

i) 1 ≤ deg g(x), deg h(x) ≤ deg f(x)

ii) f(x) = g(x).h(x)

Một đa thức không khả qui được gọi là một đa thức bất khả qui

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 13

Định nghĩa 1.2.6 : Cho P là trường nguyên tố , n *, n không chia

hết cho Char(P) Ta gọi là căn đơn vị, nghiệm của đa thức ( )f x x n 1

trong một mở rộng nào đó của trường P

1.3 Nhóm số

Định nghĩa 1.3.1: Một hệ R các số được gọi là một nhóm số hay

miền hữu tỉ khi cộng, trừ, nhân và chia hai số của hệ cũng sẽ thu được

một số của hệ đó Để ngắn gọn, ta sẽ gọi các số của hệ đó là R _số

Hai nhóm được gọi là bằng nhau khi mỗi số của

nhóm này cũng thuộc nhóm kia

Ví dụ 1.3.1 : Nhóm đơn giản nhất bao gồm tất cả các số hữu tỷ,

nhóm R các số hữu tỷ hay miền hữu tỷ tự nhiên

Định nghĩa 1.3.2 : Một hàm f(x) hay một phương trình f(x) = 0 trong

một nhóm là một hàm hay phương trình mà các hệ số của nó là các số

thuộc nhóm đó Một đa thức trong R được hiểu là hàm hữu tỷ nguyên

của biến x mà các hệ số của nó là R _ số

Một đa thức:

F x( ) A x n B x n1

hay một phương trình :

F x ( )  0

trong một nhóm R được gọi là bất khả qui trong nhóm này tùy theo F(x) có

chia hết cho một tích của các đa thức bậc thấp hơn trong R hay không

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 14

= (x  5 3 2)(x  5 3 2)

Định nghĩa 1.3.3 : Cho X là một tập hợp khác  Ta gọi là một phép

thế trên tập X, một song ánh trên tập X Tập các phép thế trên X được kí

1 1

2 2

11

Đặc biệt, một nhóm R ’ =R (  , , ) được tạo

ra bởi phép thế của các đại lượng , ,    trong nhóm R được

hiểu là tổng của tất cả các hàm hữu tỷ , ,    mà các hệ số của

nó là R _ số

Trường hợp chung nhất của phép thế trong một nhóm R bao gồm phép thế của một nghiệm  của một phương trình bất

khả qui bậc n :

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 15

( ) n 1 n 1 0

n

f x  x     

vào trongR Một số  của nhóm R ’ =R () được xác định bởi phép

thế này là một hàm hữu tỷ của  với các hệ số từ R và có thể được viết

là  =( )/( ) , trong đó  và  là các đa thức với hệ số trong R

          nên mỗi luỹ thừa  có số mũ n hay với

số mũ lớn hơn n đều có thể được biểu thị bằng các luỹ thừa n 1

,

2

n

 

,…, sao cho ta có thể viết      ( ) / ( ) , trong đó  và  là các

đa thức trong R có bậc không lớn hơn (n-1)

Định nghĩa 1.3.4: Một phương trình f(x) = 0 bậc n trong nhóm R

được gọi là có thể giải được một cách đại số khi nó giải được bằng một

loạt căn thức, nghĩa là, khi một nghiệm w có thể xác định theo phương

pháp sau:

1 Xác định  =a R là căn bậc a của một R _số R, tuy nhiên đó

không là luỹ thừa a của một R _số, và phép thế  vào trong R ,

sao cho nhóm A =R () được tạo ra;

2 Xác định = b A là căn bậc b của một A _số A, tuy nhiên đó

không là luỹ thừa b của một A _số , và phép thế  vào trong A ,

sao cho nhóm =A ( ) =R ( ,)được tạo ra;

3 Xác định  c B là căn bậc c của một _số B, tuy nhiên đó

không là luỹ thừa c của một _số , và phép thế  vào trong,

sao cho nhóm M = ( ) =R ( , , ) được tạo ra; v.v… cho

đến khi các phép thế liên tiếp này của các căn thức    , , … cuối

cùng dẫn đến một nhóm mà w, là căn tìm được, thuộc vào nhóm

đó và trong đó f(x) trở thành khả qui ( vì f(x) có ước số (x-w)) ở

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 16

đây giả định rằng tất cả các số mũ căn a,b,c… là các số nguyên tố

Điều này không thể hiện sự hạn chế vì bất kì sự khai căn nào với

các số mũ là hợp số đều có thể được thu gọn tới khai căn liên tiếp

Định nghĩa 1.4.1: (Chuỗi Sturm)

Nhà toán học người Pháp Charles Sturm (1803 - 1855) đã đưa ra

phương pháp giải bài toán đại số quan trọng : “Tìm số nghiệm thực của

một phương trình đại số với các hệ số thực trên một khoảng đã cho” bằng

một cách giải đơn giản đáng ngạc nhiên, mà trong đó, có liên quan tới

khái niệm “Chuỗi Sturm”

Cho f(x) = 0 là một phương trình đại số mà tất cả các nghiệm của

nó là đơn Khi đó, đạo hàm f x của f(x) không triệt tiêu tại các nghiệm '( )

này và ước số chung lớn nhất của hàm f(x) và f x là một hằng số K '( )

khác 0 Ta dùng thuật toán chia để tìm ước số chung lớn nhất của f(x) và

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 17

 , không triệt tiêu tại bất cứ điểm nào trong khoảng đã cho và bởi vậy

có cùng dấu trên toàn bộ khoảng đó

Khi đó, các hàm f0, f f1, 2, , fs tạo thành một “chuỗi Sturm” và được

gọi là các hàm Sturm

Các hàm Sturm có ba thuộc tính sau :

1 Hai hàm cạnh nhau không đồng thời triệt tiêu tại một điểm nào đó

thuộc khoảng đang xét

2 Tại một điểm bằng không của hàm Sturm (tức là tại điểm đó, hàm

Sturm bị triệt tiêu), hai hàm bên cạnh nó có dấu khác nhau

3 Trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bằng không của hàm f x0( )thì

1( )

f x luôn lớn hơn không (hoặc luôn nhỏ hơn không)

Định nghĩa 1.4.2: (Chuỗi dấu Sturm)

Chọn điểm x bất kì trong khoảng cần xét, lưu ý dấu của những giá trị

0( ), 1( ), 2( ), , s( )

f x f x f x f x ta thu được một chuỗi dấu Sturm (Tuy nhiên,

để thu được một dấu rõ ràng, ta phải giả định rằng không một trong (s +1

) giá trị hàm nào đã kí hiệu là bằng không)

Chuỗi dấu này sẽ chứa dãy dấu ( + + và - - ) cùng những thay đổi dấu

( + - và - +)

Ta sẽ xem xét số Z(x) những thay đổi dấu trong chuỗi dấu và những

thay đổi mà Z(x) trải qua khi x chạy trên khoảng đang xét Sự thay đổi chỉ

xảy ra khi x đi qua một điểm bằng không của f(x), và khi đó chuỗi có

đúng một sự thay đổi dấu

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 18

Chương 2 định lý không thể có được của abel

Chứng minh của định lí không thể có được của Abel được đưa ra dựa

trên khá nhiều các định lí, bổ đề khác Do đó, để thuận tiện, trước tiên, ta

sẽ dành một phần để trình bày một số kết quả quan trọng bổ trợ cho việc

chứng minh định lí này

2.1 Một số định lí bổ trợ

2.1.1 Bổ đề Abel

“Cho p là số nguyên tố Phương trình thuần tuý xp  C là bất khả qui

trong một nhóm R khi C là một số của nhóm R nhưng không là luỹ thừa p

Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán 19

Khi đó p 0

( ) 0

x x



  

Vì các nghiệm của phương trình xp  C là r r r ,   , 2, , r p1

(trong

đó r là một nghiệm của phương trình ,  là căn đơn vị phức bậc p) và các

số hạng tự do của phương trình ( )x 0 hoặc ( ) 0x  độc lập về dấu

Rõ ràng K là một số thuộc R _số Mà theo giả thiết C không là luỹ

thừa p của một số thuộc R _số Điều này dẫn tới mâu thuẫn

Mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử sai hay phương trình xp  C là bất