Bài giảng giải tích một biến

Khái niệm tiếp tuyến : Xét đường cong y = fx với P là một điểm cố định trên đường cong này.. + Trên thực tế ta gặp nhiều bài toán chằng hạn bài toán tính vận tốc tức thời cuả một chuyển

Bài số 1: Hàm số một biến và giới hạn

I Hàm số một biến số

1 Định nghĩa hàm số

Cho 2 tập hợp D và E: D ⊆
, E ⊆
, tương ứng f D : → Echo tương ứng mỗi phần

tử x ∈ Dvới một phần tử duy nhất y ∈ E được gọi là một hàm số một biến số thực + Tập D được gọi là miền xác định, kí hiệu Df của hàm số f

+ Tập f(X) được gọi là miền giá trị, kí hiệu Rf của hàm số f

+ x∈Df : biến số độc lập ( hay đối số)

+ f(x) ∈Rf: biến số phụ thuộc ( hay hàm số)

+ Cách viết: f D : → E hoặc x f x( ) hoặc y= f x( )

x y= f x( )

2 Đồ thị của hàm số: Gf = { ( , ( ) x f x x ∈ D }

+ Cách nhận biết đồ thị: Một đường cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đồ thị của một hàm số nếu và chỉ nếu đường thẳng cùng phương với Oy cắt đường cong đó tại nhiều nhất một điểm

Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số

định tại những điểm thuộc lân cận của điểm đó

→ víi bÊt k× δ > 0: x − x0 < δ , lu«n cã f x ( ) − C = C − C = 0 < ε

VÝ dô : Cho f(x) = x Chøng minh

0 0

3 Tính chất của giới hạn hàm số

x a f x L x ag x L

1 2 1

1 2

1 2 2

Định lí: Giả sử hàm số f(x), g(x) và h(x) thoả m*n bất đẳng thức: f x ( ) ≤ g x ( ) ≤ h x ( ),

trong lân cận của x0 Khi đó: nếu

Vấn đề: Khi giới hạn có dạng vô định thì sẽ tìm đ−ợc giá trị của giới hạn theo cách nào? GiảI quyết: Ta sẽ tìm cách biến đổi để khử dạng vô định

4 Một số ví dụ về khử dạng vô định

Ví dụ : Tính

1

1lim

1

n

m x

x x

∞)

Ta cã:

11

1 lim

1

x

x

x x

0

x

x x

x x

cos lim cos 2

x x

x

e x

VÝ dô : y = sinx lµ 1 VCB khi x → 0 y= 1- cosx lµ 1 VCB khi x→ 0

VËy 1- cosx lµ VCB cã bËc cao h¬n sinx khi x → 0

VÝ dô : sinx ∼ x khi x→ 0 v×

e x

1 lim

ln(1 sin 3 )

x x

x x

x x

m x

x

e x

a

a x

x

m x

e x

Bµi sè 2 Giíi h¹n mét phÝa Hµm liªn tôc

3

x

x L

3

x x

3

x

x L

+ Ta nãi hµm sè ( )f x cã giíi h¹n tr¸i lµ L t¹i x = a

khi vµ chØ khi víi ∀ >ε 0 nhá tïy ý, ∃δ >0 sao cho víi

nh÷ng ®iÓm x thuéc l©n cËn tr¸i cña a th× ta ph¶i cã

khi vµ chØ khi víi ∀ > ε 0 nhá tïy ý, ∃δ >0 sao cho víi

nh÷ng ®iÓm x thuéc l©n cËn ph¶i cña a th× ta ph¶i cã

lim x x

2 2 2 2

Hàm số y=f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D

Chú ý: Từ Định nghĩa 1 ta thấy: Hàm số y=f(x) liên

tục tại x0 đòi hỏi thỏa mHn 3 điều kiện sau:

Xác định a, b sao cho hàm số liên tục trên

Giải: + Dễ thấy hàm số xác định trên

+ Hàm số liên tục trên miền (ư∞, 2)∪(2, 3)∪(3,+∞ )

+ Do đó hàm số sẽ liên tục trên
khi và chỉ khi nó liên tục tại x =2 và x =3, tức là khi và chỉ khi

đó x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x)

Từ Định nghĩa 3 suy ra: x0 là điểm gián đoạn của f(x) nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau:

iii) x0 ∈ Df nh−ng không tồn tại giới hạn khi x→x0

Trên hình vẽ, các điểm gián đoạn là x = − −4, 2, 2, 4, 6,8

Định nghĩa 4: Cho x0 là điểm gián đoạn của f(x) Khi đó:

1) Điểm x0 đ−ợc gọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu:

là điểm gián đoạn bỏ đ−ợc

+ Hoặc tồn tại lim ( )

Định lí :

1) Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liênt ục trong (a, b) Khi đó:

a) ( )f x ±g x( ) là hàm liên tục trong (a, b)

b) f(x).g(x) là hàm liên tục trong (a, b)

c) ( )

( )

f x

g x là hàm liên tục trong (a, b), trừ những điểm làm g(x) = 0

2) Nếu ( )g x liên tục tại x = a và ( )f x liên tục tại ( )g b thì hàm hợp f g liên tục tại

2 Các tính chất của hàm liên tục

a Định lí về giá trị trung gian 1: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trongt khoảng I=(α, β) Cho a, b ∈I: a < b và f(a).f(b) < 0 Khi đó: ∃ c∈( a,b): f(c) = 0

Ví dụ : Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trong khoảg (0,3):

x3 – x – 1 = 0 (1) Giải: Đặt f(x) = x3 – x – 1: là hàm xác định và liên tục trên (0,3)

Nhận thấy: f(1) = -1 < 0, f(2) = 5 > 0 → f(1).f(2) < 0, theo Định lý

∃x0∈[1,2]: f(x0) = 0 → x0 chính là nghiệm của phương trình (1)

Vậy phương trình x3 – x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0, 3)

b Định lý giá trị trung gian 2: Cho f(x) là hàm số xác định, liên tục trong [a,b] Khi đó f(x) lấy ít nhất một lần mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b) Nói cách khác nếu ( )f x liên tục trong đoạn [a,b] và cho N là là một số nằm giữa f(a) và f(b), ở đó ( )f a ≠ f b( ); khi đó sẽ tồn tại c∈( , ) : ( )a b f c =N

Ví dụ : Xét hàm số f(x) = sinx Ta có: f(x) = sinx liên tục trên R

Cú hàm số ngược fư1( )x Khụng cú hàm số ngược

trong đú x= fư1( )y chớnh là cụng thức nghiệm duy nhất của phương trỡnh (*)

3 Điều kiện tồn tại hàm số ngược

a Khỏi niệm : Hàm số y= f x( ) được gọi là hàm một – một nếu với x1 ≠x2 thỡ ta cú

Không là hàm một – một Nhận xét : + Hàm y= f x( ) là hàm một – một trên một miền nào đó thì một đường thẳng cùng phương với trục hoành sẽ cắt đồ thị của hàm số trên miền đó nhiều nhất tại một điểm + Một hàm số đơn điệu là hàm một – một

b Điều kiện : Nếu y= f x( ) là hàm số một – một có TXĐ là X và MGT là Y Khi đó tồn

Khi đó sẽ tồn tại hàm ngược : y=cos−1x.

d Hàm ngược của hàm tang

ChuNn bị cho Bài số 3

Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số

Hình 9.19

Bài số 3

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

ĐẠO HÀM HÀM HỢP, HÀM ẨN VI PHÂN

I BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VÀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

Hình 2.3 Ý tưởng của Fermat

1 Khái niệm tiếp tuyến : Xét đường cong y = f(x) với P là một điểm cố định trên đường cong này Gọi Q là điểm thứ hai gần P trên đường cong, ta vẽ cát tuyến PQ Khi đó, tiếp tuyến tại P là

vị trí giới hạn của cát tuyến, khi Q trượt dọc theo đường cong đến P

2 Tính độ dốc tiếp tuyến

Hình 2.4

Cho P = (x 0, y0) là điểm cố định bất kỳ trên parabol y = x 2 Ta sẽ tính độ dốc của tiếp tuyến của parabol này tại điểm P

+ Đầu tiên, ta chọn điểm thứ hai Q = (x 1, y1) trên đường cong, gần với P

+ Vẽ cát tuyến PQ , độ dốc của cát tuyến : msec = độ dốc 1 0

2 0 2 1

0 1

0 1 sec

x x

x x x x

y y m

và (2) trở thành : lim lim( 1 0)

0 1

0 1

0 0

x x x

x

y y m

x x x

x x m

∆

−

∆+

0 1

2 0 2 1 sec

)(

(7) + Rút gọn kết quả, sẽ có :

(x0 + ∆x)2 - x = 02 x + 2x002 ∆x + (∆x)2 - x 02

= 2x0∆x + (∆x)2 = ∆x(2x0 + ∆x) + Vì vậy : msec = 2x0 + ∆x

+ Lúc này : x1→x0 tương đương với ∆x→0, và khi đó ta nhận được kết quả như trước

0 0

=

→

Tổng quát : đối với đồ thị của hàm bất kỳ y = f(x)

+ Đầu tiên, ta tính độ dốc của cát tuyến qua 2 điểm P và Q ứng với x0 và x0 + ∆x,

x

x f x x f m

∆

−

∆+

y

m 2

m =

(1, 1)

x

+ Sau đó, ta tìm giới hạn (nếu tồn tại) của m sec khi ∆x tiến đến 0 để nhận được độ dốc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm P :

x

x f x x f m

−

∆+

=

→

∆

)()(

0

+ Giá trị của giới hạn này thường được ký hiệu là f’(x 0), đọc là ‘‘f ph y tại x 0’’ để nhấn mạnh

sự phụ thuộc của nó vào cả x 0 và hàm f(x):

x

x f x x f x

f

−

∆+

=

→

∆

)()(

lim)(

324)()(

0 0

∆

−

∆+

x x

x

x f x x f

Chú ý : Những lập luận trên đúng với giả thiết là đường cong

thực sự có một tiếp tuyến xác định ở điểm P

+ Có đường cong không có tiếp tuyến tại một điểm nào đó(hình

2.7)

+ Khi tồn tại một tiếp tuyến, rõ ràng là cát tuyến PQ cần phải tiến

đến cùng vị trí giới hạn khi Q tiến đến P từ bên phải hoặc từ bên

trái : tương ứng với ∆x tiến dần tới 0 theo cả hai phía

+ Trên thực tế ta gặp nhiều bài toán (chằng hạn bài toán tính vận

tốc tức thời cuả một chuyển động) mà mô hình toán học của nó

trong quá trinh tính toán dẫn đến việc cần tính giới hạn dạng :

+ Nếu giới hạn tồn tại với x = a, thì hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại a

+ Hàm khả vi là một hàm khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó

● Chú ý : f’(x) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại P

+ Nếu y= f x( ) thì dy

dx còn được gọi là suất biến đổi của y theo x

+ Nếu y= f t( ) mô tả một chuyển động thì dy v t( )

dt = là vận tốc của chuyển động đó, và

khi đó dy v t( ) f t'( )

dt = = được gọi là tốc độ

b Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm :

● Bước 1 Tìm số gia f(x + ∆x) - f(x) đối với hàm được xét và nếu có thể rút gọn nó để đưa ∆x thành một thừa số

● Bước 2 Chia cho ∆x để tìm tỷ số

x

x f x x f

● Bước 3 Tính giới hạn của tỷ số trên khi ∆x→0

Nếu giới hạn đó tồn tại thì đó chính là đạo hàm của hàm số tại điểm cần tìm :

)()(33

)()(33

)()()(

2 2

3 2

2

3 3 2

2 3 3

x x x x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x x x f x x f

∆+

∆+

∆

=

∆+

∆+

∆

=

−

∆+

∆+

∆+

=

∆+

=

−

∆+

B ước 2

2 2

0 0

)(33)()(

x x x x x

x f x x f

∆+

∆+

=

∆

−

∆+

B ước 3

2 2 2

lim)(

∆+

B ước 1:

)()(

)(

11)()(

x x x

x x

x x

x x x

x x x x f x x f

∆+

∆

−

=

∆+

∆+

−

=

−

∆+

=

−

∆+

B ước 2

)(

1)

()

x x x x

x f x x f

∆+

B ước 3

2 0

1)(

1lim)('

x x x x x

+ Đầu tiên, dễ thấy f’(x) = - 1/x 2 là âm với mọi x≠0 và đây là độ dốc của tiếp tuyến, vậy tất cả

các tiếp tuyến phải đi xuống theo chiều trái qua phải

+ Khi x gần điểm 0 thì f’(x) sẽ rất lớn, điều đó có nghĩa rằng các đường tiếp tuyến này rất dốc + Khi x lớn thì f’(x) lại nhỏ nên các tiếp tuyến này sẽ gần như nằm ngang

Như vậy : đạo hàm có thể cho ta biết nhiều điều về tính chất của hàm số và các tính chất trên đồ thị của nó

Ví dụ 3 Tìm f’(x) nếu f(x) = x

B ước 1

x x x x f x x

f( +∆ )− ( )= +∆ −

B ước 2

x

x x x x

x f x x f

∆

−

∆+

1)

xxx(x

x)xx(

xxx

xxx.x

xxxx

)x()xx

+

∆+

=+

∆+

∆

−

∆+

=

+

∆+

+

∆+

∆

−

∆+

=

∆

−

∆+

B ước 3

x x

x x x x x

f

11

1lim

)('

0

=+

=+

∆+

(

x f dx

d và dx

x df

Ở cách viết thứ hai này, ký hiệu

dx

d được coi là một phép toán mà khi tác động vào hàm f(x) sẽ

dy

=, hoặc f’(3)

Chú ý: +Nếu hàm số y= f x( ) liên tục tại điểm x thì :

0lim0

+ Một hàm số không liên tục tại x0 thì sẽ không khả vi tại điểm đó

II MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1 Các phép toán cơ bản về đạo hàm

1 Đạo hàm của hàm hằng: f x( )= ⇒c f '( )x = 0

2 Đạo hàm của đối số: f x( )=x⇒ f'( ) 1x =

3 Giả sử f(x), g(x) có đạo hàm trong (a, b) Khi đó f(x) + g(x) , f(x).g(x), Cf(x) ( C=const),

8xx12xx48x12

)4x)(

2x()x12)(

xx(

)xx(dx

d)2x()2x(dx

d)xx(dxdy

2 4 6

2 4 6 4 6

2 4

3 3

3 4

4 4

3

−+

−

=

−+

−+

−

=

−+

+

−

=

−+

++

+ Ngược lại, bằng việc thay thế u vào y = u5 ;ta có thể lập lại (1) nhờ các hàm này

+ Hàm như vậy được gọi là hàm hợp, hoặc đôi khi là hàm của hàm

Nói chung, nếu y là một hàm của u, trong đó u là hàm của x, thì ta nói:

6 4

12)13(7)13()13(

dx

d x

dx

dy

⋅+

=++

Sau khi làm quen được với thủ tục này, ta có thể bớt đi một vài bước trung gian để viết nhanh ra kết quả

Ví dụ 3 Nếu y = [(1 - 2x)/(1 + 2x)]4, thì nhờ (12) và quy tắc đạo hàm một thương, ta có

2()1(

)1()1()1()1(

2 2 2 2 3

2 3

2

3 2 2 2 2 2 3 2

x x

x x x

x

x dx

d x

x dx

d x

dx dy

−

⋅++

++

2 2 2

3 2

2 2

2 2

2 2 3 2

2 2

2

)1(

)5()1(2)

1(

)1(3)1(2)1(2

)1(

3)

1(

)1(2)1(2

x x

x x

x x

x x

x x

x dx dy

3 Hàm n

a Hàm n : Hàm y là hàm của x và được xác định bởi phương trình

F(x, y) = 0 không giải được đối với y, nhưng trong đó x và y ít nhiều có liên quan với nhau Khi đó, ta nói phương trình (1) xác định y như là một (hoặc nhiều) hàm Nn của x

Ví dụ 2 (i) Ta có thể coi phương trình xy = 1 biểu thị hai hàm theo x (xy và 1) bằng nhau

Vì thế, đạo hàm của chúng phải bằng nhau, tức là

dy

−

(ii) Từ phương trình x2 + y2 = 25 ta có : 0

dx

dyy

x+ = hoặc

y

xdx

4 Đạo hàm của hàm ngược

Cho hàm y= f x( ) là hàm liên tục, một – một trên khoảng ( , )a b Khi đó tồn tại hàm ngược

1

( )

x= f− y xác định trong lân cận của y với 0 y0 = f x( 0) Giả sử y= f x( ) có đạo hàm tại x 0

và f x( )0 ≠ , thì hàm ngược 0 x= f−1( )y sẽ có đạo hàm tại y và 0

( )

' 1 0

0

1( )

= 12'cos

y

x

= − 12'

sin

y

x y’ = ax lna y’ = ex

y

x a

=1'yx

=

− 2

1'1

1

y

x

=+ 2

1'1

y

x

−

=+ 2

1'1

 Ví dụ 2 Tìm đạo hàm của các hàm dưới đây:

a) y = sin5x; b)y =sin x; c) y = cos(2 – 3x4)

Giải :

)32sin(

12)32()32

sin(

)

cos2

1)(cos

)

5cos5)5(5

cos

)

4 3

4 4

x x

x dx

d x dx

dy

c

x x

x dx

d x

dx

dy

b

x x

dx

d x

 Ví dụ 3 Tìm đạo hàm của các hàm dưới đây :

a) y = sin34x b)y = ecosx c) y = ln(sinx) d)y = sin(lnx)

Giải:

)cos(ln

1

)

cotcos

sin

1

)

sin)(cos)

4cos4sin12)4(sin)

2 2

x x

dx

dy

d

gx x

dx

d x dx

dy

a

x x

cos3

1coscos

thì ta nói rằng hàm số y= f x( ) khả vi tại x0 và biểu thức A x∆ được gọi là vi phân của hàm số ( )

=

y f x tại x0 và được ký hiệu là dy

Như vậy : dy=df =A x.∆

b Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân

+ Nếu hàm số y= f x( ) khả vi tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0; ngược lại nếu hàm số ( )

=

y f x có đạo hàm tại x0 thì nó khả vi tại x0 và : dy=df = f x'( ).∆ x

+ Tuy nhiên : Nếu y= f x( )=x thì f x ='( ) 1 nên dy=dx= ∆ , do đó : x dy=df = f x dx'( ) + Và từ đó ta có : f x'( ) dy

Quy tắc đối với việc tính đạo hàm dẫn đến các công thức vi phân tương ứng

0

d c

+

x

x )

Gi ải: + Dùng công thức vi phân của một thương:

d(

2 2

)

11

x x

=

++

3 2

2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy - 2ydx - 2xdy = 0

Chú ý: Để ý rằng tiếp tuyến với đường cong ôm sát đường

cong ở gần tiếp điểm Điều này có nghĩa rằng khi dx đủ nhỏ,

thì đường cong thực sự gần với tiếp tuyến của nó, và vì thế vi

phân dy dễ dàng được tính toán, nó cho xấp xỉ tốt đối với số

gia ∆y

d Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng

Xét hàm số y= f x( ) khả vi trong lân cận của x0∈( , )a b Theo công thức số gia của hàm khả vi

Đọc trước các mục: 3.5; 4.3 ; 4.4 ; 4.6 ; 12.1 ; 12.2 ; 12.3 chuNn bị cho Bài số 4

Đạo hàm và vi phân cấp cao Bài toán cực trị Phương pháp Newton

Định lý giá trị trung bình Quy tắc L’Hospital

x + dx x

dx f(x)

f(x + dx) f(x) + dy dy

Hình 5.3

Bài số 4

ĐẠO HÀM CẤP CAO BÀI TOÁN CỰC TRN PHƯƠNG PHÁP NEWTON

I §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao

n

n k

VÝ dô 4: Cho hµm sè f(x) = x2 Suy ra df = 2xdx vµ d2f = 2(dx)2 = 2dx2

Chó ý: Khi t×m vi ph©n cÊp cao cña hµm sè ta lu«n coi dx lµ h»ng sè

d2y = d(dy) = d(y’dx) = y”(dx)2 =y”dx2

a) Định nghĩa: Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a,b], ta nói :

b) Cách tìm : + Tìm các điểm tới hạn của f(x) trong đoạn [a,b ]: chẳng hạn là c

Chú ý : 1) Nếu hàm số = ( )y f x liên tục trên D, và trên đó nó có duy nhất một cực trị

+ Nếu cực trị đó là cực tiểu thì đó cũng là GTNN của hàm số trên miền đó

+ Nếu cực trị đó là cực đại thì đó cũng là GTLN của hàm số trên miền đó

2) Nếu hàm số y= f x đồng biến trên ( ) [a b, ] thì

 Ví dụ 1: Tìm hai số dương mà tổng của chúng bằng 16 và tích của chúng đạt giá trị lớn nhất

cạnh của mảnh vườn được bảo vệ bởi bức tường của một kho thóc, thì kích

thước chiều dài của tường rào ngắn nhất là bao nhiêu?

Giải: + Gọi x là chiều rộng của vườn, y là chiều dài của mảnh vườn, L là

chiều dài của hàng rào, chúng ta cần tìm GTNN của :

d L

dx x , nên L đạt cực tiểu khi x=15;y=30

+ Hơn nữa khi đó L cũng đạt GTNN

+ Vì vậy mảnh vườn có hàng rào ngắn nhất là 15 và 30, và khi đó

=

minL 60( )m

 Ví dụ 3: Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà nó có thể nội tiếp trong nửa

đường tròn bán kính là a

Giải : + Xét nửa trên của đường tròn : x 2 + y 2 = a 2

+ Chúng ta phải tìm GTLN của: A = 2xy (7)

với điều kiện : x 2 + y 2 = a 2 (8) + Từ (8) ta có =y a2−x2 =(a2−x2)1, khi đó (7) trở thành:

x suy ra GT cực đại của A

+ Giá trị tương ứng của y là 2

2

a

 Ví dụ 4: Một cái dây dài L được cắt thành hai đoạn Một đoạn bị nối thành dạng hình vuông và

đoạn kia thành hình tròn Cái dây sẽ bị cắt như thế nào sao cho tổng diện tích bao gồm bởi 2 đoạn dây:

Lx + Hơn nữa : A sẽ đạt GTNN khi L

Ví d ụ 5: Một người bán hàng dự định bán 500kg khoai tây bóc vỏ với giá 1,5 USD/kg (giá gốc

là 70 cent /kg) Tuy nhiên nếu cứ hạ giá một cent thì sẽ bán thêm được 25 kg Hỏi người bán hàng nên bán với giá nào để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Giải: + Gọi x là số cent mà người bán hàng đã hạ giá,

+ Lợi nhuận của mỗi một kg khoai tây gọt vỏ là (80 - x) cent

+ Số lượng bán được là 500 + 25x

+ Vì vậy toàn bộ lợi nhuận sẽ là (bằng cent)

P = (80 - x)(500 + 25x) = 40000 + 1500x - 25x 2

+ Ta có : dP =0⇔dP =1500 50− x=0→x=30

+ Từ việc xét dấu của dP

dx rồi suy ra GTcực đại của P, và từ đó ta nhận được GTLN của lợi nhuận

+ Giá bán thuận lợi nhất là 1,2 đô la/kg

Hình 4.21

 Ví d ụ 6: Một nhà máy sản xuất các hộp đựng xà phòng hình trụ nhận a đơn đặt hàng đối với các hộp có thể tích được chỉ rõ V 0 Với kích thước nào thì diện tích toàn phần của một cái hộp như vậy sẽ đạt GTNN và số lượng kim loại cần đến cho nhà máy là bao nhiêu?

Vh

dt rồi suy ra cực trị rồi suy ra GTLN của A

+ Ta thu được : kích thuốc hộp cần tìm là : 2r=h

+ Kết quả: “hình lớn nhất” là hộp hình trụ là nó có chiều cao bằng bán kính đáy

III PH ƯƠNG PHÁP NEWTON ĐỂ GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH

giải chính xác được

Ý tưởng của phương pháp : Xét phương trình f x( )=0

+ Xét một sự xấp xỉ đầu tiên x = x 1 cho nghiệm (chính xác) r của phương trình

+ Nghiệm này là một điểm ở đó đường cung y= f x( )cắt trục x

+ Xét tiếp tuyến của đường cong tại điểm (x 1,f(x1)), đường này cắt trục Ox tại điểm x = x 2 : là nghiệm xấp xỉ tốt hơn

+ Ta sử dụng tiếp tuyến tại (x 2, f(x2) dần tới điểm x = x 3 : nó là 1 nghiệm xấp xỉ tốt hơn …

+ Hệ số góc của tiếp tuyến đầu tiên là f'(x) Nếu chúng ta xem đường thẳng này được xác định

bởi bằng điểm ( , 0)x2 và (x 2, f(x2) vậy thì hệ số góc cũng là :

 Ví d ụ 2: Tìm giá trị xấp xỉ của 62với độ chính xác đến 8 chữ số sau dấu phNy

Gi ải : - Giá trị đúng của 62 là nghiệm dương của phương trình x −6 2= 0

- Đến đây ta dừng quá trình lặp và giá trị xấp xỉ cần tìm là: 62
1,12246205

Nhận xét : + Phương pháp Newton dễ sử dụng, tuy nhiên độ chính xác không cao

+ Trong một số trường hợp, dãy các xấp xỉ được tính bằng phương pháp Newton có thể không hội tụ tới một nghiệm chính xác

IV ĐNNH LÝ VỀ GIÁ TRN TRUNG BÌNH

Nhận xét hình học : Giữa hai điểm bất kỳ P và Q

trên đồ thị của hàm số khả vi, tồn tại ít nhất một điểm mà

tại đó có đường tiếp tuyến song song với dây cung nối hai

điểm P và Q, nói cách khác : Tồn tại ít nhất một điểm c

nằm giữa a và b (a < c < b) thoả mãn điều kiện:

(a,b) và n ếu f(a) = f(b) = 0 thì khi đó tồn tại ít nhất một số c nằm giữa a và b thoả mãn f’(c) = 0

Ý nghĩa hình học: Định lý này phát biểu rằng nếu một đường cong trơn cắt trục x tại 2

điểm, thì khi đó sẽ có ít nhất một điểm của đường cong này nằm giữa 2 điểm trên mà tại đó tiếp tuyến nằm ngang Tương tự như vậy, giá trị 0 của một hàm số luôn khả vi, được phân biệt với giá trị 0 của đạo hàm của hàm số đó

Hàm số này có giá trị bằng 0 tại x = 0 và x = 2, và liên tục

trên khoảng đóng 0 ≤ x ≤ 2 Hàm số khả vi trong khoảng mở 0 <

x < 2 , trừ điểm x = 1 vì khi đó đạo hàm của nó không tồn tại

Đạo hàm f’(x) rõ ràng là không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào trên

khoảng đó Đây là một thất bại trong kết luận của Định lý Rolle

vì thực tế là hàm số không khả vi tại một điểm đơn lẻ

Ví d ụ 2 Hàm số

Hàm số bằng 0 tại x = 0 và x = 1, và có vi phân trong khoảng

0 < x < 1 Hàm số liên tục trên đoạn 0 ≤ x ≤ 1 , trừ điểm x =1 Đạo

0

y

x 2 1

hàm f’(x) không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào trên khoảng này, và trong trường hợp này kết luận của

Vậy ta được cần chứng minh

b) Định lý 2 (Định lý giá trị trung bình) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b),

khi đó tồn tại ít nhất một số c nằm giữa a và b thoả mãn:

+ Định lý giá trị trung bình sẽ cho ta câu trả lời

c) Định lý 3 Nếu một hàm số f(x) liên tục trên khoảng đóng I, và nếu f’(x) tồn tại và bằng 0

trong miền mở I, khi đó hàm f(x) là một hằng số trên I

 Ví dụ 4: Một dây dài L cắt thành hai đoạn Một đoạn bị nối thành dạng hình vng

đoạn thành hình trịn Cái dây bị cắt cho tổng diện tích bao gồm đoạn dây:

Bài số

ĐẠO HÀM CẤP CAO BÀI TOÁN CC TRN PHNG PHP NEWTON

I Đạo hàm vi ph©n cÊp cao

n