Bài giảng cơ học cơ sở i tĩnh học phần i

Các góc chỉ phương được xác định là góc giữa véctơ r hoặc véctơ F và chiều dương của các trục tọa độ có gốc đặt tại A như hình 2-19b.. Mômen của lực lấy đối với một diểm và một trục ực

BÀI GIẢNG CƠ HỌC KỸ THUẬT

CƠ HỌC CƠ SỞ I – TĨNH HỌC

Biên soạn: PGS.TS Nguyễn Đình Chiều

Bộ môn: Cơ học lý thuyết – Khoa Cơ khí ĐH Thủy lợi

Hà nội 2008

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC NGUYÊN LÝ TỔNG QUÁT

Việc thiết kế tên lửa và

Mục tiêu

• Giới thiệu các đại lượng cơ bản và các giả thiết cơ học

• Phát biểu các định luật Newton

• Luyện tập các nguyên tắc sử dụng hệ đơn vị quốc tế SI

• Hướng dẫn chung về giải các bài tập và tính toán số

NỘI DUNG

§ 1.1 Cơ học kỹ thuật

1.1.1 Cơ học (Vị trí và đối tượng)

• Cơ học ? ⇒ Cơ học vật rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng, cơ học chất lỏng

• Cơ học kỹ thuật ?

• Cơ học vật rắn ?

• Cơ học cơ sở I (Tĩnh học) ?

• 1687: “Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên”

• Thế kỷ XVIII và đầu thế kỷ XIX

• 1788: Lagrange: “Cơ học giải tích”

§1.2 Các khái niệm cơ bản

1.2.1 Bốn đại lượng cơ bản (khái niệm)

• Chiều dài ?

• Thời gian ?

• Khối lượng ?

• Lực ? Lực tập trung và lực phân bố ?

1.2.2 Chất điểm và vật rắn tuyệt đối (vật rắn) ?

• Mô hình lý tưởng ?

• Chất điểm ?

• Vật rắn tuyệt đối (vật rắn) ?

• Mở rộng: Cơ hệ và hệ vật rắn

§ 1.3 Các định luật Newton ( Định luật cơ bản)

1.3.1 Các định luật Newton về chuyển động của chất điểm

• Định luật 3 (Hình 1.1c)

Hình 1-1c

ft

14.5938 kg 0.3048 m

Bài giải

Do 1 km = 1000 m và 1 h = 3600 s, các hệ số chuyển đổi được thiết lập trong theo cùng bậc, do đó có thể áp dụng việc rút gọn các đơn vị tính:

s 0.3048 m

Ví dụ 1-2 Đổi các đại lượng 300lb.s và 52 slug/ft3 sang các đơn vị trong hệ SI thích hợp

§1.5 Các bước phân tích giải bài toán (Phân tích trao đổi cùng sinh viên về học Cơ học và giải bài tập cơ học).

• Nhớ ba định luật Newton về chuyển động của chất điểm và định luật vạn vật hấp dẫn Newton

• Khối lượng là thuộc tính nội tại của vật chất Nó là đại lượng không đổi khi vật chuyển từ vị trí này sang vị trí khác

• Trọng lực dung để chỉ lực vạn vật hấp dẫn của trái đất tác dụng lên một vật hoặc một đại lượng khối lượng Cường độ của nó phụ thuộc vào độ cao mà tại đó khối lượng tồn tại

• Trong hệ đơn vị quốc tế SI, đơn vị đo lực Newton (N) là một đơn vị dẫn xuất Các đơn vị đo chiều dài mét (m), thời gian giây (s), khối luợng kilogram (kg) là những đơn vị cơ bản

CHƯƠNG 2 VÉCTƠ LỰC VÀ MÔMEN CỦA LỰC

Những tháp vô tuyến được

giữ ổn định bởi các sợi cáp,

chúng tác dụng các lực lên

tháp qua những điểm nối

với tháp Trong chương này,

sẽ trình bày cách biểu diễn

các lực đó bằng các véctơ

đề các

• Đưa ra khái niệm mômen của lực và chỉ rõ phương pháp tính

• Trình bày khái niệm ngẫu lực và xác định mômen ngẫu lực

• Đưa ra phương pháp xác định hợp lực của hệ lực đồng quy và hợp các lực của hệ lực không đồng quy

a Nhân và chia véctơ với một vô hướng

• Nhân a với A được aA có:

Độ lớn: |aA| ; Cùng chiều với A nếu a dương

Ngược chiều với A nếu a âm

• Chia A cho a đưa về phép nhân: ⎛ ⎞

Hình 2-2

• Phép phân tích một véctơ (Hình 2-3)

Hình 2-3

* Các bước phân tích (Áp dụng quy tắc hình bình hành)

Áp dụng phép cộng, trừ véctơ giải các bài toán cần theo trình tự sau:

• Áp dụng quy tắc hình bình hành: Vẽ sơ đồ chỉ ra véctơ tổng hoặc các véctơ thành phần Chỉ rõ hai đại lượng chưa biết cần xác định

• Áp dụng hình học lượng giác: Vẽ lại một nửa hình bình hành mô

tả hình tam giác biểu diễn phép cộng véctơ Sử dụng các định lý hàm sin và cosin

2.1.3 Cộng các véctơ lực áp dụng quy tắc hình bình hành

• Thực nghiệm chỉ ra: Lực là một đại lượng véctơ vì nó được xác định bởi trị số, phương và chiều Do đó nó cộng được với nhau theo quy tắc hình bình hành

Hình 2-4

• Trường hợp có nhiều hơn hai lực

cùng đặt tại O (đồng quy) ta vẫn áp dụng lần lượt quy tắc hình bình hành

để nhận được hợp lực của nó

(Hình 2-4):

FR = ( F1 + F2 ) + F3

• Quy tắc hình bình hành tìm hợp lực phụ thuộc vào phép tính hình học và lượng giác khi xác định độ lớn và phương chiều

véctơ FR Để đơn giản ta thường dùng phương pháp chiếu (Trình bày phần sau)

* Ví dụ áp dụng

Hình 2-5a

Ví dụ 2-1. Đinh ốc như trên hình vẽ

(hình 2-5a) chịu tác dụng của hai lực F1

và F2 Xác định trị số và phương của

véctơ hợp lực của hai lực trên

Bài giải

1. Áp dụng quy tắc hình bình hành (hình 2-5b) Hai đại lượng

chưa biết là độ lớn của FR và góc θ

Hình 2-5

2. Áp dụng hình học lượng giác (hình 2-5c) Từ định lý hàm số côsin và hàm số sin, tính được:

Ví dụ 2-2 Lực F tác dụng lên giàn như

trên hình 2-6a có độ lớn 500 N và nó được

phân tích ra thành hai thành phần tác

dụng dọc theo thanh AB và AC Xác định

phương ngang như hình vẽ, sao cho thành

phần FAC có chiều từ A tới C và có độ lớn

là 400 N

Hình 2-6a

2 Áp dụng định lý hàm số sines góc φ được xác định như sau:

400N 500N

=sin sin60 ⇒

2.1.4 Cộng các véctơ lực áp dụng các véctơ Đềcác (Áp dụng phương pháp chiếu)

Sự phân tích các véctơ lực khi ứng dụng

giải các bài toán (đặc biệt bài toán không

gian) sẽ đơn giản hơn, nếu chúng ta biểu

diễn chúng dưới dạng các véctơ Đề các

Hệ toạ độ bàn tay phải

Hình 2-7

a Các véctơ Đề các:

• Hệ tọa độ bàn tay phải ? (Hình 2-7)

• Các thành phần vuông góc của véctơ

Hình 2-9b Hình 2-9a

• Biểu diễn véctơ Đề các

Từ (2-1) và hướng dương của i, j, k như hình 2-10a, ta viết được:

A = A i + A j + A k x y z (2-4)

Hình 2-10

Suy ra:

lớn (hình 2-10b): (2-5)

(2-6)

ể xác định các cosine chỉ hướng của A bằng cách sử dụng

vectơ đơn vị chỉ hướng của nó (2-2)

ậy nếu độ lớn và các góc của A so với hệ trục tọa độ đã biết thì

A = Au A = Acos α i +Acos β j +Acos γ k = A x i + A y j +A zk

Phép trừ là trường hợp đặc biệt của phép cộng

R’ = A − B = (Ax − Bx)i + (Ay − By)j + (Az − Bz)k

bằng tổng véctơ của tất

cả các lực trong hệ và viết như sau:

- Có thể dùng cách ký hiệu vô hướng:

¾ Sử dụng ký hiệu vô hướng:

F Rx = ∑F x ; FRy = ∑Fy (2-12a)

θ

Bài giải

- ự phân tích dưới dạng véctơ Đềcác

sẽ rất có lợi cho việc giải các bài toán

ợp các hệ lực đồng

S

không gian Khi h

phẳng sử dụng ký hiệu vô hướng

(công thức 2-12a) có hiệu quả hơn

⎝ ⎠

Ví dụ 2-4 Biểu diễn lực F cho trong

Từ hình 2-14, ta thấy α = 60o vì Fx hướng theo chiều dương trục x

các thành phần theo phương x, y, z của F phải bằng với các

thành phần theo phương x, y, z tương ứng của ( 1 + 2) Vì vậy,

ợp lực FR có độ lớn là 800 N và có chiều hướng theo

• Thường các bài toán tĩnh trong

véctơ lực được xác định bởi

đi qua hai điểm

T ng quát hơn, véctơ r xác định hướng từ điểm A đến điểm B

trong không gian (hình 2-18a,b)

r = rAB = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k (2-13)

Hình 2-18

Trở lại biểu diễn F (hình 2-16)

theo vectơ định vị r: Phương

chiều của r được xác định bởi

vectơ đơn vị u, nên:

* Các ví dụ áp dụng

í dụ 2-6. Một người đàn ông kéo một

ợi dây với một lực là 70 lb như hình

2-19a Hãy biểu diễn lự

phương chiều của nó

Bài giải

ực F được biểu diễn như hình 2-19b

ướng của véctơ này, u được xác định

Thiết lập véctơ định vị r bằng cách lấy

tọa độ x, y, z của điểm B trừ đi các tọa

độ tương ứng của điểm A ta có:

Độ lớn của véctơ r được xác định là chiều dài đoạn dây AB, nên

Các góc chỉ phương được xác định là góc giữa véctơ r (hoặc véctơ F) và chiều dương của các trục tọa độ có gốc đặt tại A như

hình 2-19b Từ các thành phần của véctơ đơn vị, ta có

Ví dụ 2-7 Mái nhà được giữ bởi

2 dây cáp như trong ảnh Nếu

FAB và FAC theo véctơ Đề các và sau

Do đó, hợp lực sẽ là:

707 70.7 80 40 80150.7 40 150.7

2.1.5 Tích vô hướng (nhắc lại)

• Định nghĩa ? (Hình 2-21)

A.B = A⋅ B cos θ (2-14)

• Các phép toán

¾ Tính giao hoán : A.B = B.A

¾ Nhân với một số: a(A.B) = (aA).B = A.(aB) = (A.B)a

¾ Tính phân phối: A(B + D) = (A.B) + (A.D)

• Công thức trong tọa độ Đềcác

AB A xi A yj A zk B xi B yj B zk A B x x A B y y A B z z (2-15)

θ

¾ Xác định các thành phần của véctơ trên phương song song

và vuông góc với đường thẳng (hình 2-22)

Biểu diễn FAB dưới dạng véctơ đề các, ta có:

ĐIỀU CẦN GHI NHỚ

¾ Phương pháp phân tích vô hướng (công thức 2-12) sử dụng giải các bài toán trong hệ lực phẳng có hiệu quả hơn khi áp dụng công thức 2-12a

Phương pháp phân tích véctơ Đềcác thường được dùng giải quyết các bài toán trong hệ lực không gian Khi này, các trục dương x,

y, z được xác định bởi các véctơ đơn vị Đề các tương ứng i, j, k

Hướng của A được xác định bởi các góc α β γ, , là góc hợp bởi

véctơ A với các trục dương tương ứng x, y, z

Nếu dùng véctơ đơn vị: u= A

A thì các thành phần của u thể hiện cosin chỉ hướng của các góc α β γ, , Tuy nhiên chỉ có hai trong ba

góc này được xác định rõ; góc thứ ba được xác định từ hệ thức:

cos α + cos β + cos γ = 1

¾ Để có hợp lực của hệ lực đồng quy, ta biểu diễn các lực theo

véctơ Đề các và thêm vào các thành phần i, j, k của tất cả các

lực.( Áp dụng công thức (2-11))

Tác dụng của các lực vào tay cầm của cờ-lê này sẽ gây nên một xu hướng quay của cờ-lê đối với một đầu của nó Trong một số trường hợp điều quan trọng để tính hiệu ứng này là có thể thu gọn hệ lực này

về một lực duy nhất và xác định vị trí của hợp lực đặt lên cờ-lê

Hướng. (Hình 2-24a) những ngón tay của bàn

tay phải nắm lại theo chiều từ véctơ A đến véctơ

B, thì ngón tay cái sẽ chỉ hướng của véctơ C

(b)

(a)

Khi biết cả độ lớn và chiều của véctơ C, chúng ta

có thể viết (hình 2-24b):

Quy luật các phép toán:

3. Công thức phân phối: A×(B D+ ) = A B× + A D ×

Hệ thức trên luôn được viết dưới dạng định thức đơn gi hơn: ản × =

.2.2 Mômen của lực lấy đối với một diểm và một trục

ực lấy đối với một điểm hay một trục định trước nào

xem giải thích, minh họa (hình 4-1) trong giáo trình

2.2.2a Công thức vô hướng

Mômen của lực F lấy đối với điểm O hoặc lấy

Xét lực F và điểm O n m trê

đối với trục đi qua O và vuông góc với mặt

phẳng trên là đại lượng véctơ MO, được biểu

diễn có cả độ lớn và hướng

Độ lớn M =F.d O (2-19)

Hướng ?

tập Cơ học gồm các lực đồng phẳng, mặt phẳng ở hình 2-25a đưa về hình

Trong các bài

2-25b

mômen của lực đối với một điểm, nhưng thực chất là lấy mômen

của lực lấy đối với trục vuông góc với mặt phẳng chứa F và d và

đi qua O

của mỗi lực thuộc hệ lấy đối với

ục z, (hình 2-26) Do các véctơ mômen cộng tuyến nên

2.2.2b Công thức véctơ Trục lấy mômen

Hình 2-27a

hoặc đối với trục lấy mômen đi qua

điểm O và vuông góc với mặt phẳng

chứa điểm O và F, nói chung được

n hữu hướng

biểu diễn bởi phép nhâ

Nhận xét: Dễ thấy trên hình (2-28):

MO = ×rA F = rB × = ×F rC F

r trong công thức (2-21) được hiểu

là véc tơ nối thẳng từ điểm O đến

một điểm bất kỳ trên đường tác

Tính MO nghĩa là khai triển (2-22), sử dụng công thức (2-17)

hận xét: Việc sử dụng tích hữ ực huận lợi khi giải các bài tập không gian tổng quát, vì lập véctơ

xác định vị trí r dễ hơn xác định cách tay đòn d

Hình 2-31

t

(*) Các ví dụ áp dụng

í dụ 2-9. Xác định hợp mômen

ủa bốn lực tác dụng lên thanh

Mômen dương có hướng theo

chiều dương k, nghĩa là có chiều

ngược chiều kim đồng hồ, ta có:

tay đòn.

Ví dụ 2-11 Ba lực tác dụng lên thanh uốn khúc như

hình 2-34a Xác định mômen tổng hợp của chúng lấy đối với điểm O và xác định các góc tạo b i nó với h

d

éctơ định vị là đường thẳng nối từ điểm O đến mỗi lực được chỉ

ẫn trên hình 2-34b Các véctơ này được biểu diễn như sau:

quay xung quanh trục của

véc tơ mômen được chỉ ra

Ví dụ 2-12 Lực F tác dụng vào

góc cuối của dầm công xôn như

ình 2-35a Xác định mômen của

ực lấy đối với điểm O

Bài giải I: (Phân tích vô hướng)

Lực được phân ra thành hai thành

ọn chiều

ợc chiều kim đồng hồ, nghĩa là theo

chiều

h

l

phần chiếu lên trục x và trục y như

trên hình 2-35b Các mômen của

các lực thành phần đối với điểm O

được tính như sau: Ch

(b)

(a)

dương của mômen là chiều ngư

+k , ta có:

i II: (Phân tích véctơ)

hương pháp véctơ, véctơlực và véctơ định vị được thể hiện

(hình 2-35c) và đượ ểu diễn

Vì vậy, mômen MO được tính bởi công thức:

ta thấy phư

2.2.2c Mômen của một lực lấy đối với một trục định trước

• Ở phần trên ta tính mômen của lực đối với một điểm Mômen

ủa lực và trục của nó luôn vuông góc với mặt phẳng chứa lực và ánh tay đòn

này đối với một trục nào đó (đặc biệt hay định trước) đi qua điểm

c

c

Nhiều bài toán hực tế t cầ tìm hành ph n mômen của lực

lấy mômen Để giải bài toán trước hết cần lưu ý: Một lực sẽ không có mômen theo một trục nếu giá của lực song song hoặc cắt trục

• Xét mômen của lực F đối với trục aa (hình 2-36) có hai cách phân tích:

Cách 1: Phân tích vô hướng

Giả sử da là khoảng cách vuông góc

T đã có mômen của lực F lấy

với điểm O trên trục aa: MO = r × F,

MO nằm trên trụ

aa’ sẽ là Ma (hình 2-36)

(*) Ví dụ áp dụng

Ví dụ 2-13 Lực F = { −40i + 20j + 10k} tác dụng tại điểm A

hư hình 2-37a Hãy xác định mô men của lực này lấy đối với rục x và trục a

n

t

Bài giải I: (phân tích véctơ)

a có thể giải bài tập này bằng cách sử dụng véctơ định vị rA Tại

ao? Vì rA = {−3i + 4j + 6k} m và ux = i nên áp dụng công thức

chỉ ra rằng chiều của Mx ngược chiều với i

Ta cũng có thể sử dụng rA để tính Ma vì rA nối từ một điểm trên

phương pháp đại số có thể đượ

dùng để giải bài toán này Từ hình

phần tạo ra mô men đối với trục x (đường tác dụng của lực 40 N song song với trục này do vậy mô men của nó theo trục x bằng không) Sử dụng quy tắc cánh tay phải, tổng đại số các thành phần mô men theo trục x như sau:

Mx = (10 N)(4 m) – (20 N)(6 m) = – 80 N.m

Cần nhớ rằng

m )(4 m)– (20 N)(3m) = 100N.m

ẽ đòi hỏi phải

2.2.3 Mômen của ngẫu lực

2.2.3a Ngẫu lực, mômen của ngẫu lực, ngẫu lực t

ệm, định nghĩa)

ương đương (khái ni

ng của ngẫu lực ?

• Ngẫu lực ? (Hình 2-38a) Hiệu ứ

Mômen của ngẫu lực ? (hình 2 38b)

= r A × F + × (− ) B M = r × F (2-26)

1 (2-26) cho công thức véctơ biểu diễn

2.2.3b Hợp mômen các ngẫu lực (Hợp hệ ngẫu lực)

ì các véctơ mômen ngẫu là các véctơ tự do, nên ta có thể đặt

húng tại một điểm bất kỳ P trên vật để cộng véctơ (hình 2-39)

Mômen ngẫu lực M1, tạo bởi các lực tại A

và B, có thể đơn giản xác định được

biểu thức

M1 = Fd = 150 N(0.4 m) = 60 N.m

Theo quy tắc bàn tay phải, M1 tác dụng

theo hướng +i, hình

M1 ={60 } N mi ⋅

Phương pháp véctơ sẽ được dùng để

xác định M2, là mô men của các lực đặt

tại C và D Nếu lấy mômen đó với điểm

ĐIỀU CẦN GHI NHỚ

• Mômen của lực chỉ hướng vật rắn chuyển động xung quanh

ục đi qua điểm O

Quy tắc bàn tay phải: Chiều nắm các ngón tay chỉ chiều chuyển

• Trong không gian ba chiều sử dụng phép nhân hữu hướng để

a F

tr

động quay; ngón tay cái chỉ hướng dọc trục mômen hay đường tác dụng của mômen

Độ lớn của mômen: M O = Fd (d là khỏang cách ngắn nhất hay là

khỏang cách vuông góc từ O đến đường tác dụng của F)

xác định mômen:

M = r O × F

r là một véctơ định vị nối từ điểm O đến điểm bất kỳ nằm trên

đường tác dụng củ

• Định lý Varinhông: Mômen của lực lấy đối với một điểm bằng tổng mômen các lực thành phần của nó lấy đối với điểm đó phẳng

a = Fd a ế

c n m i điểm trên giá của lực Khi Ma có dấu âm thì

• Ma biểu diễn như một véctơ Đềcác: Ma = M aua

Sử dụng nguyên lý này là phương pháp thuận tiện đối với hệ lực

• Mômen của lực lấy đối với một trục định trước có thể xác định

vô hướng nếu khỏang cách vuông góc từ giá lực đến trục tính