Slide động lực học công trình_Chương 4

Nếu y i z là đường đàn hồi do trọng lượng các khối lượng đặt trên hệ gây ra thì thế năng U max của hệ được xác định bằng công của ngoại lực T max:... Nếu sử dụng công thức thứ 2, đường đ

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.1 Phương pháp năng lượng Rayleigh:

Tổng thế năng U và động năng K ở mọi thời điểm

là một hằng số (bỏ qua các tổn thất về năng lượng):

U + K = const

Khi hệ dao động điều hòa, tại thời điểm ở xa vị trí

cân bằng nhất thế năng đạt U max , động năng K = 0, tại

vị trí cân bằng động năng đạt K max , thế năng U = 0:

Umax + 0 = 0 + Kmax.

Xét hệ mang khối lượng

phân bố m(z) và các khối lượng

z

M U

2

) (

,

) ( )

t z

)]

sin(

) ( [ ]

) ,

(

2

EI d

z

t z

y 2

y

EI 2

2

v z

m K

2 j j

2 z

Từ phương trình dao động ta có:

) cos(

) ωi

(

) ,

(

i i

i

t

t z

) cos(

) ωi

(

) ,

(

i i

2 i

2 i

2 i

2 i

z y

m dz

z y

z m

dz z

y

EI

) (

) ( )

Nếu y i (z) là đường đàn hồi do trọng lượng các khối lượng đặt trên hệ gây ra thì thế năng U max của hệ được

xác định bằng công của ngoại lực T max:

.

) (

) ( )

j i

2

z y

m g

dz 2

z y z

m g T

U

) (

) ( ).

(

) (

)

( ).

(

2 i

j

j i

j

i 2

i

z y

m dz

z y

z m

z y m g dz

z y z m g

ω

Ví dụ1: Tìm tần số dao động

riêng của dầm đơn giản có

nhịp l, mang khối lượng phân

bố đều m và khối lượng tập

l /2

Giải:

Chọn dao động của dầm là đường đàn hồi do lực

P đặt ở giữa nhịp gây ra:

, )

3 2

3

3 2

3

l

z 4 z

l

3 f l

z 4 z

l

3 EI 48

Pl z

Với giá trị: 0 ≤ z ≤ l/2, f độ võng giữa dầm.

) (

z

Áp dụng công thức vừa thành lập:

4 2

l

0

2 3

3 2

2

2 l

0

3 2

ml

EI 48

mlf 35

18 dz

l

z 4 z

l

3 f m 2

dz l

24 f

EI

2

= +

EI l

Nếu sử dụng công thức thứ 2, đường đàn hồi

của dầm vẫn chọn như trên, song f phải là độ võng

của dầm ở giữa nhịp do trọng lượng dầm và trọng

lượng khối lượng tập trung m 1 gây ra:

.

EI 13440

mgl

319 EI

384

ql

5 EI

48

Pl f

4 4

3

= +

=

Sau khi thay vào biểu thức ta cũng tìm được:

s

1 m

EI l

* Nếu dầm không mang khối lượng tập trung

m 1 = 0 Chọn dạng dao động:

l

z

i f

z

sin )

( =

4

4 4 l

0

2

2 l

0

2

2 2

2 i

ml

EI i

dz l

z

i f

m

dz l

z

i f

l

i EI

π π

[

] sin

[

, / ,

, / ,

s

1 m

EI l

4786

39 m

EI l

2 2

i

s

1 m

EI l

8696

9 m

EI l

1 i

2 2

2 2

2 2

2 1

π ω

Nếu tính theo công thức thứ hai, đường đàn hồi

vẫn chọn như trên và f là độ võng giữa dầm:

EI

l mg 384

5 f

4

=

π

π ω

.

) cos

.(

.

i f

i 1

8886

9 f

g

4

2 1

,

=

π ω

Sai số là 0,19%

Ví dụ 2: Xác định tần số

dao động riêng của dầm

côngxôn có tiết diện thay đổi

như hình vẽ Cho biết bề

rộng tiết diện ngang b không

đổi, khối lượng, chiều cao

tiết diện ngang, mô men

quán tính tiết diện ngang

thay đổi theo quy luật:

)

( , )

(

, )

(

3

3 o

o

o

l

z I z

I

z l

h z

h

l

z m z

z

l

h o h(z)

z

l

q

* Chọn dạng dao động y(z) là

đường đàn hồi của dầm có

tiết diện không đổi do tải

trọng phân bố đều gây ra:

EI 24

ql A

l

z l

z

4 3

A z

y

4

4 4

.

, ]

[

] [

4

o l

0

2 4

4 2

o

2 4

2 2

i

ml

EI 3762 39

dz l

z l

z

4 3

A l

z m

dz l

z

12 A

l

z EI

= +

h o h(z)

EI l

275 6

o

o 2

EI l

315 5

o

o 2

ω

Sai số trong trường hợp

này 18%.

h o h(z)

o l

0

2

2 o

l

0

2 2 3

3

o 2

1

l m

EI 30

dz l

z 1

l

z m

dz l

2 l

z EI

EI l

4772 5

o

o 2

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.2 Phương pháp năng lượng Lagrange - Ritz:

Khi hệ ở trạng thái cân bằng thì thế năng toàn

phần U của hệ đạt cực tiểu - là tổng của thế năng của nội lực U * và thế năng ngoại lực T (chiều ngoại lực

hướng xuống là dương, tjees năng của nội lực luôn luôn ngược dấu với thế năng của ngoại lực), ta có:

* ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ),

j

j j

l

0

2 l

0

z y P dz

z y z q dz

z

y 2

z

EI T

U U

P j , q(z) – lực kích thích tập trung và lực kích thích

phân bố bao gồm cả các lực quán tính do các khối lượng tập trung và khối lượng phân bố gây ra khi hệ dao động.

2 j l

z y

z

EI 2

1

i i

a z

m 2

1 dz

z

a 2

z

EI U

l

0

n

1 i

2 i

i

2 j

n

1 i

2 i

i l

Từ điều kiện cực tiểu của thế năng toàn phần:

) , ,

, (

0 a

k i

i

2 j l

0

n

1 i

k i

i k

0 dz

z z

a z

m dz

z z

a z

EI a

U

) ( )]

( )[

( )

( )]

( )[

2 j k

l 0

, , , (

;

a C

a

) ,

, , , (

;

a C

a

Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần

nhất, để các nghiệm a i ≠ 0, tức là để tồn tại dao

động, thì định thức các hệ số trong hệ phương trình phải bằng không:

.

C

C C

C

C C

C

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

Nếu chọn nghiệm là dạng chính thứ j dưới dạng chuỗi với số một số hạng của chuỗi (n = 1) Phương

2 j 2

l

0

1 11

z z

m

dz z

z EI

1 l

0

2 1

l

0

2 1

; )

( )

(

)]

( )[

(

ϕ ϕ

ϕ ω

Nếu chọn với hai số hạng của chuỗi (n = 2) thì:

0 C

C

j j

l

0

2 2 l

0

2

z y P dz

z y z q

dz z

y z

m 2

1 dz

z y

z

EI 2

1 U

), (

) ( ) (

) ( )

( )]

( )[

q(z): Lực kích thích phân bố;

P j : Biên độ lực kích thích tập trung thứ j.

Chọn nghiệm dưới dạng chuỗi như phần trước

và thế vào phương trình trên:

.) (

) ( )

(

)]

( [

) ( )]

( )[

n

1 j

n

1 i

j i i j

i i

2 i

i 2

n

1 i

2 i

i

z a

P dz

z a

z

q

dz z

a z

m 2

1 dz

z a

z

EI 2

1

U

ϕ ϕ

ϕ θ

j k j

k i

i

l

0

2 k

l

0

n

1 i

i

i k

n 2

1 k

0 z

P dz

z z

q

z a

z m dz

z z

a z

EI a

U

., , ,

; )

( )

( )

(

)]

( [

) ( )

( )

( )[

(

ϕ ϕ

ϕ ϕ

θ ϕ

ϕ

j k

j

l 0

k kP

l 0

k i

2 k

i

l 0 ki

z P

dz z

z q C

z z

m dz

z z

z EI C

).

( )

( )

(

; )

( )

( )

( )

( )

(

ϕ ϕ

ϕ ϕ

θ ϕ

ϕ

Lúc này hệ phương trình có dạng:

n 2

1 k

C a

C a

C a

Ck 1 1 + k 2 2 + + kn n + kP; = , , ,

Giải hệ này ta tìm được các hệ số a i, tiếp đó sẽ tìm được chuyển vị động, nội lực động trong hệ dao động cưỡng bức Khi tính với tải trọng tĩnh ta cho

θ = 0

Chọn n = 1 và dạng dao động của dầm (trùng với

biểu thức chính xác của dao động chính) là:

z l

(sin

) sin

(

m l

EI dz

z l m

dz

z l l

EI

4

4 2

l

0

2 l

0

2

2

2 1

π π

1 m

EI l

Kết quả trùng với giá trị chính xác của tần số ω1

* Nếu chọn n = 1 và dạng dao động của dầm là đường

đàn hồi do tải trọng phân bố đều gây ra:

EI 24

ql A

l z

lz 2 z

l A

ϕ

m l

EI 56

97 dz

l

z l

z

2 l

z mA

dz

zz l

12 z

l

12 EIA

4 l

0

2 4

4 3

3 3

2 l

0

4 3

2

2

) (

)

(

= +

1 m

EI l

So với kết quả chính xác, sai số 0,1%.

* Nếu chọn n = 1 và dạng dao động của dầm là đường

đàn hồi do tải trọng tập trung ở giữa dầm gây nên:

2 l

z

0 l

z

4 l

z 3 B

ϕ

trong đó: B = l 3 /48EI

m l

EI 7085

98 dz

l

z

4 l

z 3 mB

dz l

z 24 EIB

4 2

l

0

2 3

3 2

2 l

0

2 3

2

2

) (

) (

m

EI l

9352

9

2 1

Ví dụ 4: Xác định gần đúng

độ võng, mô men uốn tại

tiết diện ở giữa dầm đơn

)

l

a z

sin

) (

) (

z l l

a z

2 1

EI z

Khi z = l/2, tại tiết diện giữa nhịp ta có:

)

/ (

; )

/

2 1

1

l

EI a

2 l

M a

2 l

Phương trình xác định hệ số a 1:

.

0 C

a

C11 1 + 1 P =

, )

(sin ]

sin

[

2

ml l

2

EI dz

z l

m dz

z l l

EI C

2 3

4 l

0

2 2

2 l

0

2

2 11

θ π

π θ

π

)

(

2

l l

P P

.

,

164

P C

Độ võng và mô men uốn tại tiết diện giữa dầm:

cm 10

94 60

a 2

l

y ( / ) = 1 = , −4

Trị số chính xác: y(l/2) = 61,094.104 cm.

,

) /

l

EI 2

Nếu chọn n = 2 và y(z) = a 1 sin(πz/l)+a 2 sin(3πz/l):

]

[ )

/ ( )

/ (

, ]

sin sin

[ )

( )

(

, )

/

(

EI l

9 a l

a 2

l y EI 2

l

M

EI

z l

3 l

9 a

z l l

a z

y EI z

M

a a

2 l

y

2

2 2

2

2 1

2

2 2

2

2 1

2 1

π π

π π

π π

a a

0 C

a a

P 2 22

21

P 1 12

11

= +

+

= +

+

sin

, sin

, )

(sin )

sin (

, sin

sin sin

sin

, )

(sin )

sin (

P 2

l l

3 P

C

P 2

l l

P C

2

l m l

2

EI

81 dz

z l

3 m

dz

z l

3 l

9 EI C

l

3 z

l

m

zdz l

3 l

9 z l l

EI C

C

2

l m l

2

EI dz

z l

m dz

z l l

EI C

4 l

0

2 2

2 l

0

2

2 22

l 0

2 2

2 l

0

2

2 21

12

2 3

4 l

0

2 2

2 l

0

2

2 11

θ

π

π θ

π π

π

π θ

π π

π π

θ

π

π θ

π π

Thay các giá trị này vào hệ phương trình trên ta tìm được các hệ số:

.

,

, 94 10 P cm a 0 128 10 P cm 60

a1 = −4 2 = − −4

Độ võng và mô men uốn tại tiết diện giữa dầm:

,

] [

) / (

.

, )

( )

/ (

kNcm P

13 245

EI l

9 a

l

a 2

l M

cm P

10 068

61 a

a 2

l

y

2

2 2

2

2 1

4 2

 Khi chọn chuỗi nghiệm với hai số hạng, kết quả nhạn được chính xác hơn khi chọn chuỗi nghiệm với một số hạng.

( )

( )]

( )

(

[ EI z y z m z y z 0

2 j j

i i

=

= n

1 i

i i

i i

2 j

n

1 i

i i 2

2

0 z

a z

m z

a z

EI

z [ ( ) ϕ ( )] ω ( ) ϕ ( ) .

Phương trình này nghiệm đúng với mọi giá trị z

và cũng nghiệm đúng khi nhân hai vế với một hàm

ϕk (z) bất kỳ Sau khi nhân hai vế với ϕk (z) và lấy tích

phân theo chiều dài thanh ta thu được:

).

( )

( )

( ]

) ( )

i i

2 j

n

1 i

i i 2

2 1 k

0 a

C a

C a

Ck 1 1 + k 2 2 + + kn n = ; = , , , ,

Với:

)

( )

( )

( )

( )]

( )

(

[ EI z z z m z z z dz z

C

l 0

k i

2 j k

i 2

.

C

C C

C

C C

C

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

0 a

)

( )

(

) ( ]

) ( )

( [

1

l 0

1 2

2

2 j

dz z

z m

dz z

z z

EI z

ϕ

ϕ

ϕ ω

Nếu ϕ1 (z) được chọn dưới dạng đa thức thì cần

thỏa mãn điều kiện:

0 z

(

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.3 Phương pháp BUPVÔV – GALOOCKIN :

4.3.2: Dao động cưỡng bức:

Khi hệ dao động cưỡng bức chịu lực kích thích

tuần hoàn q(z, t) = q(z)sinθt Phương trình vi phân dao

động có dạng (không cản):

sin

) (

) ,

( )

( ]

) ,

( )

(

z

t z

y z

m z

t z

y z

EI

2 2

2 2

( )

( )]

( )

(

[ EI z y z m z y z q z z

2 2

Thực hiện tương tự như trong dao động riêng,

ta đưa phương trình động về dạng:

0 a

C a

C a

)

( )

( )

( )

( )]

( )

(

[ EI z z z m z z z dz z

C

l 0

k i

2 k

i 2

j k

j

Ví dụ 5: Xác định tần số dao

động cơ bản ω1 của dầm

côngxôn như hình vẽ Dầm

có bề rộng tiết diện ngang

không đổi, chiều cao tiết

diện ngang, khối lượng và

mômen quán tính thay đổi

theo quy luật:

)

3 o

l

z I z

I =

, )

l

z m z

, )

l

h z

h =

h o h(z)

h o h(z)

)

4 i

l

z l

z 4 3

4 2

2 3

3 o 2

2

2

1

m l

EI 38 39

dz l

z l

z 4 3

A l

z m

dz l

z l

z

4 3

A l

z

12 A l

z EI z

,

) (

) (

] [

EI l

275 6

o

o 2

⇒ ω

h o h(z)

EI l

275 6

o

o 2

EI l

315 5

o

o 2

⇒ ω

Sai số là 18,1%.

h o h(z)

tam giác và hàm này thỏa

mãn điều kiện biên:

2 1

l

z 1

z ) ( ) ( = −

ϕ

s

1 m

EI l

477 5

m l

EI 30

dz l

z 1

l

z m

dz l

z 1

l

2 l

z EI z

0

o 2

1

o 4

o l

0

4 o

l

0

2 2

3

3 0 2

2

2

1

/ ,

) (

) ](

Nếu chọn dạng dao động ϕ1 (z)=(1-z/l) 3 thỏa mãn các điều kiện biên:

o 4

o l

0

6 o

l

0

3 2

3

3 o 2

2

2

1

m l

EI 6

33

dz l

z 1

l

z m

dz l

z 1

l

z 1

l

6 l

z EI

) (

) )(

,

s

1 m

EI l

7965 5

o

o 2

ω

Sai số so với kết quả chính xác là 9%.

Để có kết quả chính xác hơn, ta chọn nghiệm với hai số hạng:

2 1

l

z 1

z ) ( ) ( = −

2

l

z 1

z ) ( ) ( = −

ϕ

Ta thu được phương trình tần số có dạng:

0 C

C

C C

22 21

j k

j

Áp dụng biểu thức tính khi có lực kích thích:

l m

10

6 l

EI

dz l

z 1 l

z 1 l

z m l

z 1 l

z 1 l

6 l

z EI z

C C

56

l m

10

6 l

EI

dz l

z 1 l

z m l

z 1 l

z 1 l

6 l

z EI z

C

30

l m

l EI

dz l

z 1 l

z m l

z 1 l

2 l

z EI z

C

2 1 o 3

o

l

0

3 2

o

2 1

2 2

3

3 o 2

2 21

12

2 1 o 3

o

l

0

6 o

2 1

3 2

3

3 o 2

2 22

2 1 o 3

o

l

0

3 o

2 1

2 2

3

3 o 2

2 11

ω

ω ω

ω ω

) (

) )](

( [

.

) (

) )](

( [

,

) (

) ](

[

Thay các giá trị vừa tìm được vào phương trình tần số ta thu được nghiệm nhỏ nhất của phương trình là:

s

1 m

EI l

319 5

o

o 2

ω

So sánh với kết quả chính xác, sai số là 0,1%.

 Khi chọn dạng dao động càng sát với dạng dao động của hệ và lấy số hạng trong chuỗi nghiệm càng nhiều thì kết quả càng chính xác.

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.4 Phương pháp thay thế khối lượng:

Phương pháp thay thế khối lượng là một trong các phương pháp gần đúng có hiệu quả hay được

sử dụng trong thực tế để tính toán dao động công trình.

Nội dung của phương pháp này là dựa trên cơ

sở đơn giản hóa sơ đồ khối lượng nhằm giảm số bậc

tự do của hệ, nghĩa là thay khối lượng phân bố và các khối lượng tập trung bằng các khối lượng tập trung với số lượng ít hơn.

Chia khối lượng phân bố thành nhiều khoảng rồi thay thế theo:

* Tập trung khối lượng phân bố trên mỗi khoảng chia về trọng tâm khoảng chia.

* Tập trung khối lượng phân bố trên mỗi khoảng

về hai khối lượng đặt ở hai đầu doạn chia theo nguyên tác đòn bẩy

thế khối lượng như hình

vẽ Tương ứng với mỗi

Sai số

%

Kết quả

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.5 Phương pháp quy đổi về hệ có một khối lượng tương đương:

* Thay hệ có bậc tự do hữu hạn hay vô hạn bằng

hệ có bậc tự do bằng một tương đương: Hai hệ tương đương về động năng thì dao động cùng chung

một tần số: K = K *

* Giả thiết trước đường đàn hồi của hệ thực khi dao động có dạng:

) ( ).

( )

, ( )

( ).

( )

,

* Chọn trước vị trí khối lượng thay thế M trên hệ tương đương Thông thường nên chọn là vị trí tương ứng trên hệ thực nơi có chuyển vị lớn nhất khi hệ dao động Nếu trên hệ thực có đặt các khối lượng tập trung thì nên đặt khối lượng thay thế M tại vị trí tương ứng với khối lượng tập trung lớn nhất.

.

)]

( ).

( [

,

)]

( ).

( [ )]

( ).

( )[

(

*

2

t T a

y

M K

2

t T z

y

m dz

2

t T z

y z

m K

2

2 j

j 2

2

a y

z y m

z y z

m M

)]

( [

] (

[ )]

( )[

(

=

Xác định gần đúng tần số ω1 theo công thức tìm tần số dao động riêng của hệ dao động có bậc tự do bằng một.

Ví dụ 6: Xác định gần đúng

tần số dao động riêng ω1

của dầm đơn giản có khối

lượng phân bố đều m nhịp

hồi của dầm khi dao động

là đường đàn hồi khi dầm

l f

y

3 aa

2 l ) = = δ =

(

l

z 4 z

l

3 y

z

3 2

Khối lượng thay thế đặt tại giữa dầm:

ml 486

0 f

dz l

z 4 z

l

3 f

m

l 0

3

3 2

EI l

92 9

EI 48

l ml

486 0

1

2 3

* Giả định đường đàn hồi của dầm khi dao động là đường đàn hồi của dầm khi chịu tải trọng phân bố

đều với cường độ q = 1.

2 l

z 0

z lz

2 z

l l

5

16 y

EI l

* Giả định đường đàn hồi khi dao động có dạng nửa bước sóng hình sin:

l

z y

z

sin )

( )

%) ,

( /

,

7 0 s

1 m

EI l

Bây giờ xét một dầm mang khối lượng phân bố m

và các khối lượng tập trung m j (j = 1, 2, 3, …, n) có các

liên kết ở hai đầu khác nhau.

Giả định dạng dao động thứ nhât của dầm là đường đàn hồi khi dầm chịu lực tập trung tĩnh tại vị

trí tương ứng với điểm đặt khối lượng thay thế M

trên dầm tương ứng và gọi:

y aa – chuyển vị tại tiết diện có hoành độ a khi dầm chịu tải trọng tập trung bằng đơn vị tác dụng tĩnh tại

điểm đó (điểm đặt khối lượng thay thế M)

y ja , y za – chuyển vị tại các tiết diện có hoành độ z j và z

khi dầm chịu lực đơn vị đặt tại tiết diện có hoành độ

là a.

Công thức tính khối lượng thay thế:

2 aa

ja j

j 2

l

za

m l

m M

Hay

y

y m

dz y

y m

) (

EI

l y

3

aa = η

Các trị số α, η được tra theo bảng

3 3

1

Ml

EI EI

Ví dụ 7: Xác định tần số

dao động riêng cơ bản của

dầm một nhịp có hai đầu

ngàm mang khối lượng

phân bố m và khối lượng

Tần số dao động riêng cơ bản của dầm:

s 1 1

1336 10

0756 1

10 1

192 Ml

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.6 Phương pháp giải đúng dần:

Nhược điểm của 5 phương pháp đã nghiên cứu là khó đánh giá được sai số của kết quả tính khi chưa biết giá trị chính xác của tần số dao động riêng.

Phương pháp giải đúng dần sẽ khắc phục được nhược điểm trên và cho phép xác định gần đúng giá trị của tần số dao động riêng càng sát với giá trị chính xác nếu càng thực hiện hiều lần tính toán.

Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp này là quá dài và khối lượng tính toán quá lớn.

* Nội dung phương pháp:

) ( )

(

j k

2 k j j

k

2 k

z y

m z

z y

z m z

), (

j

1

j

k 1

z y

m z

z y

z m

) (

)

(

) (

z y

z

y

1 k

k

k =

ω

) (

)

(

) (

z y

z

y

1 k

k

k =

ω

Vì hàm y k (z) chưa biết nên trong lần tính gần

đúng thứ nhất cần giả thiết dạng dao động chính là hàm ϕk (z) nào đó và xác định giá trị gần đúng thứ

nhất của tần số dao động riêng theo công thức:

) (

)

(

) (

) (

z

z

1 k