vành địa phương và vành tự đồng cấu địa phương

NGUYỄN ĐỨC VIỆT VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60... Vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ không

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐỨC VIỆT

VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH

TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An– 2013

NGUYỄN ĐỨC VIỆT

VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH

TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An– 2013

MỤC LỤC

MỤC LỤC……… 1

MỞ ĐẦU……… .2

1 VÀNH ĐỊA PHƯƠNG……….4

1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành……… 4

1.2 Khái niệm vành địa phương………5

1.3 Một số đặc trưng của vành địa phương……… 7

2 VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG……… 11

2.1 Định nghĩa……….11

2.2 Các tính chất……… 11

KẾT LUẬN ……… 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… .22

Việc mở rộng các lớp vành là một trong những vấn đề đang được các nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm trong thời gian gần đây Đặc biệt, lớp vành địa phương có vai trò quan trọng không những bản thân lý thuyết vành mà còn có ứng dụng trong một số ngành toán học khác Năm 1938, Wolfgang Kull đưa ra khái niệm vành địa phương, cùng với các tính chất cơ bản của chúng Vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ không phân tích được có những tính chất như vành thương của nó trên căn Jacobson là một thể Một vành được gọi là vành địa phương nếu tập hợp các phần tử không khả nghịch của nó đóng kín đối với phép cộng

Dựa vào cuốn tài liệu “Modules and Rings” của F Kasch (Xem [3]) nội dung chính của luận văn nhằm tìm hiểu về vành địa phương và vành tự đồng cấu địa phương, với điều kiện nào của môđun M thì vành các tự R

đồng cấu End M( R)là vành địa phương Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là “Vành địa phương và vành tự đồng cấu địa phương”

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn được bố cục thành hai chương:

Chương 1 Vành địa phương

Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức về vành địa phương, một số tính chất đặc trưng của vành địa phương

Chương 2 Vành tự đồng cấu địa phương

Trong chương này chúng tôi trình bày với điều kiện nào của môđun

R

M thì vành các tự đồng cấu End M là vành địa phương ( R)

thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng các thầy cô giáo phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp bạn bè

đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình

Trong qua trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố gắng nỗ lực, song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn nhiều thiếu sót Kính mong sự góp ý của thầy cô và các bạn học viên để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 8 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG I

VÀNH ĐỊA PHƯƠNG

Trong suốt toàn bộ luận văn, vành luôn giả thiết là vành có đơn vị ký hiệu

1 và các môđun là môđun phải unita

Định nghĩa Cho vành R (có đơn vị 1), r R∈

r gọi là nghịch đảo phải nếu tồn tại ' r ∈R rr: ' 1=

r gọi là nghịch đảo trái nếu tồn tại ' r ∈R r r: ' = 1

r gọi là nghịch đảo nếu vừa nghịch đảo trái, vừa nghịch đảo phải

1.2 Khái niệm vành địa phương

1.2.1 Định nghĩa Cho vành R , đặt:

A = {Phần tử không khả nghịch của R }

R được gọi là vành địa phương : a a1, 2∈ ⇒A a1+a2∈ A

1.2.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Mỗi thể là một vành địa phương

Ví dụ 2 Giả sử Rlà một vành giao hoán, ℘ là một iđêan nguyên tố của

R,S R= \℘ Xét tập : F R S= ×

Trên F xác định quan hệ hai ngôi “ ∼ ” như sau:

( , ) ( , )a r ∼ b s khi và chỉ khi tồn tại một t S ∈ sao cho tsa trb=

Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương.Tập thương /F ∼ được ký hiệu

bởi R℘ hay S R− 1 .Mỗi phần tử của R℘được ký hiệu bởi a

++ = và a b ab

r s = as Có thể kiểm tra để thấy rằng với hai phép toán này R℘ là một vành địa phương Tập hợp

a x

α ∞

=

=∑ là khả nghịch trong [[ ]]R x khi và chỉ khi

hệ tử đầu tiên a0 khả nghịch trong R

Mệnh đề [[ ]]R x là vành địa phương khi và chỉ khi R là địa phương Chứng minh

[⇒ Cho [[ ]]R x địa phương, chứng minh R địa phương

Lấy r R ∈ , nếu r không khả nghịch suy ra α =rx0+1x+2x2+ không khả nghịch trong [[ ]]R x

Do [[ ]]R x địa phương nên 1− khả nghịch mà α

1.3 Một số đặc trưng của vành địa phương

1.3.1 Định lý Cho A là tập hợp các phần tử không khả nghịch của vành

R khi đó, các mệnh đề sau tương đương:

(1) R là vành địa phương

(2) A⊲R R R ( iđêan hai phía)

(3) A iđêan phải thực sự lớn nhất

(3’) A iđêan trái thực sự lớn nhất

(4) Trong R tồn tại iđêan phải thực sự lớn nhất

(4’) Trong R tồn tại iđêan trái thực sự, lớn nhất

(5) ∀ ∈r R thì hoặc r hoặc 1 r− khả nghịch phải

(5’) ∀ ∈r R thì hoặc r hoặc 1 r− khả nghịch trái

(6) ∀ ∈r R thì hoặc r hoặc 1 r− khả nghịch

Chứng minh Ta chứng minh định lý cho trường hợp “bên phải” Trường

hợp “bên trái” tương tự (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(5)⇒(6)⇒(1)

Xét bổ đề : Với giả thiết (1) khi đó phần tử khả nghịch một phía suy ra khả

Nếu ar A s ars∉ ∃, : = ⇒1 a rs( ) 1= ⇒ khả nghịch phải, theo bổ đề suy ra a

(4)⇒(5): Gọi C là iđêan thực sự lớn nhất Lấy r R∈ Giả sử r và 1 r−

không khả nghịch phải Suy ra

(5)⇒(6): Ta chỉ cần chứng minh nếu r khả nghịch bên phải thì r cũng

khả nghịch bên trái Giả sử tồn tại s R∈ sao cho rs =1(*)

Xét phần tử sr

Nếu sr không khả nghịch bên phải thì, theo (5), 1 sr− khả nghịch bên

phải Do đó tồn tại một t R∈ sao cho 1 (1= −sr t) (**) Nhân hai vế của (**) với r và kết hợp với (*), ta

được:r r= (1−sr t) =(r rsr t− ) =(r r t− ) = Trái với giả thiết 0 rs =1 Vì

thế sr khả nghịch bên phải, tức là tồn tại một u R∈ sao cho sru = Nhân 1

hai vế đẳng thức này với sr và kết hợp với (*), ta được:

nghịch

(6)⇒(1): Trước hết chứng minh nếu a A r R∈ , ∈ thì suy ra ar A∈

Nếu ar A ∉ suy ra ar khả nghịch Do đó ars= ⇒1 a rs( ) 1= suy ra a

Đặc biệt : Ảnh đẳng cấu của vành địa phương là địa phương

1.3.3 Địnhlý Môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành địa phương là môđun

tự do

Thì End M có vành đơn vị là đồng cấu đồng nhất, ta gọi ( ) End M là ( )

vành các tự đồng cấu của môđun M

2.1.2 Định nghĩa Ta nói M R là môđun không phân tích được thành tổng

nếu nó không biểu diễn được thành tổng của hai môđun con thực sự (tức

môđun con khác 0 và khác M ) R

2.2 Các tính chất

2.2.1 Hệ quả Cho phần tử r thuộc vành R khi đó:

1) Nếu r lũy linh thì r không khả nghịch, 1 r− khả nghịch

2) Nếu r lũy đẳng suy ra 1 r− lũy đẳng

3) Nếu r lũy đẳng và khả nghịch thì r =1

2.2.2 Hệ quả Cho vành R các điều kiện sau đây là tương đương:

i R không phân tích được bên trái

ii R không phân tích được bên phải

iii R chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1

A B là các iđêan trái (phải) của R thì hoặc A = hoặc 0 B = ) 0

Chứng minh

Chỉ cần chứng minh ( )i ⇔( )iii hoặc ( )ii ⇔( )iii

( )i ⇒( )iii : Giả sử e là lũy đẳng của R Suy ra 1 e− cũng lũy đẳng và có

( )iii ⇒( )i : Nếu R R = ⊕ ( ,A B A B là iđêan phải của R ) Theo Định lý

phân tích vành tổng quát (2.2.3) suy ra A=Re;B Rf= , với e2=e f, 2 = f

b) Ngược lại: Nếu vành R có họ lũy đẳng { , , , }e e1 2 e n thỏa mãn điều kiện (*) thì R Re= 1⊕Re2⊕ ⊕ Re n Hơn nữa nếu các e lũy đẳng tâm i (∀ =i 1,n ) thì các Re là iđêan hai phía i

b) Với r R∀ ∈ , do

k k n

i i i

i k

k k k k k

n

k i i k i

i M không phân tích được

ii S không phân tích được S

iii S S không phân tích được

iv S chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1

Do M không phân tích được nên :

2.2.5 Định lý Cho môđun M khác không Nếu M không phân tích được

và có độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu của M là vành địa phương

và các phần tử không khả nghịch của nó là lũy linh

Chứng minh Để chứng minh Định lý này ta sẽ chứng minh Mệnh đề nêu

Do M không phân tích được nên:

Hoặc Im( ) 0ϕn = ⇒ϕn = ⇒ lũy linh, suy ra 10 ϕ − khả nghịch ϕ

Hoặc Ker( ) 0ϕn = ⇒Kerϕ= ⇒ là đơn cấu và M Artin (do M có 0 ϕ

độ dài hữu hạn) suy ra ϕ là đẳng cấu, suy ra ϕ khả nghịch

Vậy End M là vành địa phương ( )

Nếu ϕ∈End M( ) không khả nghịch suy ra Im( ) 0ϕn = ⇒ϕn = ⇒ lũy 0 ϕ

Khi đó 1 e− là lũy đẳng và 1− ≠e 0,1− ≠ e 1

Do lũy đẳng và khả nghịch chỉ có là 1 , mà e≠1,1− ≠ ⇒ và 1 e e 1 e − không khả nghịch

Do S địa phương nên đóng kín không khả nghịch

Suy ra 1= + − không khả nghịch Suy ra vô lý Vậy hoặc e (1 e) e =0 hoặc 1

e = □

2.2.7 Định lý Cho M là môđun nội xạ không phân tích được Khi đó

vành các tự đồng cấu M là địa phương

Chứng minh Cho ϕ∈End M( ) và ϕ là đơn cấu Do M nội

xạ,ϕ∈End M( )⇒ Im( )ϕ nội xạ Suy ra Im( )ϕ ⊂⊕ M , M không phân tích

được nên Im( )ϕ =M ⇒ là đẳng cấuϕ ⇒ khả nghịch ϕ

Từ đó ta có nhận xét:

Với môđun M như giả thiết ở Định lý, ϕ∈End M( ) khả nghịch khi và chỉ khi ϕ là đơn cấu hay Ker( ) 0,ϕ = suy ra ϕ∈End M( ) không khả nghịch khi và chỉ khi Ker( ) 0.ϕ ≠ Cho ϕ ϕ1, 2∈End M( ), ,ϕ ϕ1 2 không khả nghịch nên Ker( ),ϕ1 Ker( ) 0ϕ2 ≠

Mặt khác M là môđun nội xạ không phân tích được nên M bất khả

quy Suy ra 0≠Ker( )ϕ1 ∩Ker( )ϕ2 ⊂Ker(ϕ ϕ1+ 2)⇒ϕ ϕ1+ 2 không khả nghịch

Theo 1.2.1 thì tập các phần tử không khả nghịch của End M đóng kín ( )đối với phép cộng nên End M địa phương □ ( )

2.2.8 Định lý Giả sử P ≠ R 0 là môđun xạ ảnh P R là môđun không phân tích được thành tổng khi và chỉ khi : S =End P( )R là vành địa phương

[⇒ Giả sử P không phân tích được thành tổng Ta chỉ cần chứng minh R rằng nếu s S ∈ thì hoặc s hoặc 1 s− khả nghịch Ta có

⇐ Giả sử S là vành địa phương và ] P R = + , với A và B là những A B

môđun con thực sự của P Gọi : R p P→P B/ là phép chiếu chính tắc và

1) Trường hợp M R là môđun Artin

Gọi Γ là tập các hạng tử trực tiếp B ≠0 của M R Γ ≠ ∅ vì M ∈Γ R Do

Trường hợp M R là môđun Noether

Gọi Γ là tập các hạng tử trực tiếp B M≠ R của M Γ ≠ ∅ R; vì 0∈Γ Do

R

M là môđun Noether nên Γ có phần tử tối đại, chẳng hạn, B và 0

gọi Λ là tập các môđun con C của M sao cho tồn tại những môđun con R

không phân tích được B B1, , ,2 B k mà C B= 1⊕B2⊕ ⊕ B k và C là hạng

tử trực tiếp của M Vì tồn tại hạng tử không phân tích được R A nên 0

Λ ≠ ∅ Lại vì M là môđun Noether nên trong Λ có phần tử tối đại, R

2) Nếu M là mô đun có độ dài hữu hạn thì nó là mô đun Artin R

Do đó M R có cách phân tích như trong 1) Vì M i cũng là mô đun có độ dài hữu hạn và không phân tích được nên theo định lí 2.2.5, End M là ( i)vành địa phương

KẾT LUẬN

Luận văn hoàn thành với những nội dung chính sau

1 Luận văn đã tìm hiểu vành địa phương, một số tính chất đặc trưng của vành địa phương Cụ thể đã trình bày chứng minh chi tiết Định lý 1.3.1

2 Trong chương 2: Tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, điều kiện của môđun M để vành các tự đồng cấu R End M là vành địa phương Cụ ( R)thể đã trình bày chứng minh chi tiết Hệ quả 2.2.2,2.2.6, Đinh lý 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9