Tìm hiểu bước đầu về fractal và tính tự đồng dạng

Nội dung chính của luận văn là chỉ ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất của các tập bất biến và tập tự đồng dạng ứng với tập ... Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Một số kiến t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu của đề tài là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình

Học viên cao học

Phan Chí Thiện

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố

Hồ Chí Minh, Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn cao học Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn quý thầy trong tổ Giải tích, khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp học tập trong suốt quá trình học Cao học

Một cách đặc biệt, tôi xin trân trọng gửi đến thầy – Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lời cảm ơn chân thành

và sâu sắc nhất Chính thầy là người đã giúp tôi hình thành ý tưởng thực hiện luận văn, đồng thời hướng dẫn một cách rất tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ở sự động viên, giúp đỡ của bạn bè và gia đình

đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Học viên cao học

Phan Chí Thiện

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục kí hiệu

MỞ ĐẦU 1 

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU VỀ FRACTAL VÀ CHIỀU HAUSDORFF 3 

1.1 Một số kiến thức về ánh xạ trên không gian mêtric 3 

1.2 Một số ví dụ căn bản về fractal 5 

1.3 Mêtric Hausdorff 11 

1.4 Độ đo Hausdorff 12 

1.5 Chiều Hausdorff trên d 14 

1.6 Dãy các số nguyên 21 

Chương 2 TẬP BẤT BIẾN 23 

2.1. Sự tồn tại và duy nhất của tập bất biến ứng với  23 

2.2 Một số ví dụ về tập bất biến 27 

2.3 Đường cong tham số và tập bất biến 29 

2.4 Độ đo bất biến 30 

Chương 3 TÍNH TỰ ĐỒNG DẠNG 34 

3.1. Tập tự đồng dạng 34 

3.2 Điều kiện tập mở 35 

3.3 Sự tồn tại của tập tự đồng dạng 37 

3.4 Vài ví dụ khác về tập tự đồng dạng 39 

KẾT LUẬN 42 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 

n

d x A Khoảng cách giữa x và tập A

A B, 

diamE Đường kính của tập E

MỞ ĐẦU

Theo Mandelbrot các tập hợp có số chiều Hausdorff không nguyên được gọi là

“fractal” Một trong các đặc điểm chung của nhiều fractal là tính đồng dạng Trong luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết về những đối tượng tự đồng dạng Ta gọi tập compact K  n là “bất biến” nếu tồn tại tập hữu hạn S1, ,S N các ánh

xạ co trên K  n sao cho

1

( )

N i i

K S K



dựng bởi một quá trình lặp bằng cách sử dụng một đa giác chuẩn ban đầu Thật ra tập

dựng từ 

Nội dung chính của luận văn là chỉ ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất của các tập bất biến và tập tự đồng dạng ứng với tập 

Chính xác hơn, một số nội dung sau sẽ được trình bày trong luận văn:

(1) Cho  S1, ,S Nlà tập hữu hạn ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ ( , )X d

1

( )

N i i

S  S S

Ký hiệu tập bất biến K trong (1) là 

(2) Cùng với các giả thiết trong (1), giả sử rằng 1, , N(0,1) và

1

1

N i i

Ký hiệu độ đo bất biến trong (2) là ,

(3) Xét ( , )X d là không gian Euclide n với mêtric Euclide và S i là các ánh xạ

1

1

N D i i

r







(hay còn gọi là điều kiện “tách”, xem định nghĩa 3.2.1) thì ta có các kết quả sau

Nội dung luận văn được tham khảo trong các tài liệu chính [1], [2] và [3]

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức mở đầu về Fractal và chiều Hausdroff: Trình bày

một cách ngắn gọn một số khái niệm, ví dụ căn bản về fractal,… cần thiết cho việc nghiên cứu các chương sau của luận văn

Chương 2: Tập bất biến: Trình bày sự tồn tại và duy nhất của tập bất biến; thảo

luận các tính chất của tập bất biến cũng như đưa ra một số ví dụ về chúng

Chương 3: Tính tự đồng dạng: Trình bày về khái niệm tự đồng dạng, số chiều

đồng dạng và điều kiện về số chiều để một tập bất biến là tập đồng dạng

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu và soạn thảo, nhưng những sai sót là điều không thể tránh khỏi, nên tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và toàn thể bạn đọc để luận văn được tốt hơn

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU VỀ FRACTAL

VÀ CHIỀU HAUSDORFF

Chương này trình bày một số kiến thức và ví dụ căn bản nhằm chuẩn bị cho các chương sau

Mục 1.1 trình bày một số kiến thức về ánh xạ co, ánh xạ Lipschiz, ánh xạ đồng

dạng trên các không gian mêtric đầy đủ Mục 1.2 dành trình bày một số fractal đơn

giản giúp minh họa các khái niệm và kết quả lý thuyết trừu tượng ở các chương 2, 3 Mục 1.3 trình bày các định nghĩa và một vài tính chất của mêtric Hausdorff Mục 1.4 nêu định nghĩa, một số tính chất độ đo Hausdorff Mục 1.5 trình bày về chiều

1.6 trình bày một số ký hiệu và tính chất về dãy số nguyên

1.1 Một số kiến thức về ánh xạ trên không gian mêtric

1.1.1 Cho ( , )X d là không gian mêtric đầy đủ, thường trong luận văn này ta xét

( , )X d là không gian Euclide n với mêtric Euclide Ký hiệu

B a r  x X d a x  r

A và A là phần bù của c A trong X (còn kí hiệu là X A) \

,

x y

d F x F y LipF

d x y





Dĩ nhiên, nếu LipF  thì  d F x F y    , d x y , với mọi ,x y X  và LipF là

phép vị tự r , tịnh tiến b , phép biến đổi trực chuẩn O nào đó

(2) Quy ước: Trong luận văn này tất cả phép đồng dạng là phép co

(3) Quay trở về trường hợp n,d, cho phép đồng dạng S có điểm bất động a,

LipS r và O là phép biến đổi trực chuẩn được cho bởi O x r1S x a   a

O được xác định duy nhất bởi S nếu r  0

Nếu S1 a r O S1 1, , 1, 2 a r O2, ,2 2 thì S S1 2 a r O, ,  trong đó r rr 1 2 và

1 2

O O O  Biểu thức tính toán của a là

  1  

a a  I r r O O  I rO a a (4) Với số nguyên m và 2 d  , ta gọi tập 1 S1, ,S m gồm m phép biến đổi đồng dạng co trên d là một tự đồng dạng IFS với tỉ số co 0 r i 1, i1, ,m nếu

1.2.1 Ví dụ 1 (Đệm Sierpiński hoặc tam giác Sierpiński)

Đây là một trong những fractal nổi tiếng Để xây dựng nó, ta bắt đầu với tam giác

đều ABC có chiều dài cạnh đơn vị (xem Hình 1.1)

Hình 1.1. T là tam giác đều “lớn”.Ba phép xấp xỉ đầu tiên của tam giác Sierpiński

giác ABC Mỗi tam giác trong số ba tam giác còn lại AC B BAC1 1, 1 1 và CB A1 1 là bản

tam giác mở nối trung điểm các cạnh trong mỗi tam giác còn lại vô hạn lần Ba bước đầu tiên của quá trình lặp đi lặp lại vô hạn được thể hiện trên Hình 1.1 Tập hợp của những điểm không được loại bỏ trong bất kỳ bước nào của quá trình này được gọi là

tam giác Sierpiński ( hoặc đệm Sierpiński)

Ta có thể nhìn thấy cấu trúc của đệm Sierpiński từ những tam giác được giữ lại sau từng bước chứ không phải là những cái được gỡ bỏ Đầu tiên ta nhận thấy (xem Hình 1.1) rằng các tam giác “mức 1” AC B1 1,BAC1 1 và CB A1 1 là ảnh của

2

x x x

 

1 2

tách rời nhau) các bản sao đồng dạng của chính nó được gọi là tập tự đồng dạng (ta sẽ

có định nghĩa tổng quát hơn ở chương 3) Thông thường chúng ta có được một tập như vậy là kết quả của một quá trình lặp đi lặp lại vô hạn lần

Hình 1.2 Q là hình vuông “lớn” Ba phép xấp xỉ đầu tiên của thảm Sierpínski

1.2.3 Ví dụ 3 (Tập Cantor một phần ba trung tâm)

Một fractal quen thuộc nhất là tập Cantor một phần ba trung tâm Giả sử xét

hoàn toàn (đóng và trù mật trong chính nó)

0

j j

E E





hiện trong quá trình xây dựng tập Cantor được gọi là một lưới, nghĩa là hai khoảng tùy

ý hoặc rời nhau hoặc khoảng này chứa trong khoảng kia

Hãy xem xét các IFS

1 1,2

n n n

1.2.4 Ví dụ 4 (Tập Cantor -trung tâm)

Cố định  0,1 Ta bỏ phần trung tâm của khoảng  0,1 có độ dài  Bằng

trình tương tự cho các khoảng nhỏ hơn Ta lặp lại vô hạn quá trình này để có tập

1.2.5 Ví dụ 5 ( Đường cong Koch)

“Phần tử” của đường cong Koch là đường gấp khúc ABCDE ở phía trên bên trái

2

x x x

i i S i i AE n



một quả cầu đóng

S R

ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz r i 1 , ta có được

hiệu là E (hoặc diamE ) Hơn nữa, từ (1.6) ta có

1 n1 1 n

S  H S H (1.9) với mọi ( , ,i1 i n1) Điều này có nghĩa là các tập i i1 n S i i1 n H những điểm còn lại sau phép lặp n lần là

là tập những điểm còn lại sau phép lặp vô hạn lần:

một ánh xạ Lipschitz với hệ số Lipschitz rmaxn  Do đó 1

Điều này cho thấy rằng định nghĩa của  vẫn giữ nguyên nếu ta thay thế H bởi tập bất kỳ thỏa mãn (1.6) Hơn nữa, (1.12) cung cấp một sự biểu diễn tượng trưng của

: 1, ,m

(giống như trong trường hợp của tập Cantor - trung tâm), trong khi trong nhiều

của tam giác Sierpínski (xem Hình 1.1) ta có C1 (12) (2 1), ở đây i ( , , )i i

với i1, 2.Từ định nghĩa của phép chiếu tự nhiên  ta có

k S



1.3 Mêtric Hausdorff

Cho x X A ,  X , khoảng cách giữa x và A được định nghĩa bởi

d x A  d x a a A Nếu A X, 0, ta định nghĩa  -lân cận của A bởi

A B,  sup{d a B d b A a A b B ,  , , : , }

Như vậy, A B,  khi và chỉ khi  AB và BA Có thể kiểm tra  là một mêtric trên 

Từ tài liệu [5] thì , là không gian mêtric đầy đủ Hơn nữa nếu K X là tập

BA với  A  B

(i) E sup K :E K

(ii) E inf V :EV

(2) Ta định nghĩa giá của  là tập đóng spt X \V V: mở,  V 0 và khối

lượng của  được xác định bởi

Nếu :f X  là liên tục và biến tập bị chặn thành tập bị chặn (chẳng hạn f là X

Lipschitz) thì ta định nghĩa f#: bởi f# E f 1 E  Điều này tương đương với f#     f  Nhận xét rằng M f # M 

Ta định nghĩa topo yếu trên  bằng cách lấy như một cơ sở con các tập có dạng : a  b, với bất kì số thực a b và bất kì  X Dẫn đến

k

(2) Giả sử S X:  là một phép đồng dạng với LipS r X  Khi đó,

k r

k k k

k r

(i) k,a với mọi a A  suy ra k A   1  A ,

(ii) k,a với mọi a A  , suy ra k A 2k  1  A

Đặc biệt, nếu 0 A   và mật độ trên bị chặn giữa 0 và  thì ta có được

 

1.5 Chiều Hausdorff trên d

1.5.1 Chiều hausdorff trên d Cho E  d là tập bất kỳ và t là một số không âm

1 1

t t

i i

nếu chọn một t mà “quá lớn” thì t E 0 Giá trị của t mà độ đo t-chiều rơi từ vô

1.5.2 Cách tính chiều Hausdorff Việc tính chiều hausdorff của một fractal là một

nhưng khó hơn nhiều để thu được cận dưới

Ta tìm một số cách đánh giá cận dưới chiều Hausdorff Ở đây ta chỉ thể hiện hai

khối lượng nếu giá của µ là tập compact và 0(d)  Chẳng hạn  không là

phân bố khối lượng trên  Bổ đề sau là cách đơn giản nhất để đánh giá chiều

Cho µ là một phân bố khối lượng trên d t- dung lượng của µ được định nghĩa

Như vậy để chứng minh rằng chiều Hausdorff của một tập Borel cho trước ít nhất

bằng t, chỉ cần tìm một phân bố khối lượng µ giá trên E có năng lượng hữu hạn

( )( , ) :

d y x

Ví dụ 6 Chiều Hausdorff của tập Cantor một phần ba trung tâm E (xem ví dụ 3) là

slog 2 log3 0.6309 Hơn nữa s E 1

đoạn không giao nhau, mỗi đoạn có chiều dài 3n





Suy ra s( ) 1E  , vì vậy s( ) 1E  và do đó dim ( )H E s

trong mỗi bước của việc xây dựng E, ký hiệu các khoảng này bởi I I1, , 2 , ta có

 

n diamI   I   I z

Lấy bất kỳ r 0,1 và đặt N là số nguyên lớn nhất sao cho (2 )3 r N  1

log 3

s , ta có (6 )r s 3Ns 2N

Nếu B z r , 3N thì ( , )B z r có thể giao với nhiều nhất một trong những

khoảng đã dùng ở bước thứ N của việc xây dựng E và do định nghĩa, khoảng này

n B z r n I N r

Do đó, theo (1.17) ta có B z r( , )(6 )r s Theo bổ đề phân bố khối lượng ta được

Nhận xét Với tập Cantor  trung tâm (0 1)



Ví dụ 7 Chiều Hausdorff của tam giác là tam giác Sierpiński S (xem ví dụ 1) là

slog 2 log3 Hơn nữa 1   1

s s

i i

diamU 

Vì S compact nên có thể coi phủ  U i của S là họ hữu hạn các tập đóng Với

i diamU

con của S mà giao j U i nhiều nhất là

2.3j k 3 2j  sk 3 2j s.2s k

3 18.j  s

i diamU

Do U i giao với tất cả 3j tam giác con của S nên việc đếm số tam giác dẫn đến j

 

i diamU

18

s i i

diamU 

Nhận xét Nếu ta giả sử rằng 0s S   với sdim ( )H S thì có một phương pháp đơn giản để tìm dim ( )H S : chú ý rằng S có thể tách thành

Ví dụ 8 Chiều Hausdorff của đường cong Koch K (xem ví dụ 5) là

slog3 log 4 Hơn nữa 2  (s 2) s K 1

Chứng minh Giống như phần chứng minh trước, dễ dàng có được cận trên của

 

s K

i i

diamU   

i diamU

thẳng con của K mà giao j U i nhiều nhất là

Chọn j đủ lớn và đếm các đoạn thẳng, ta có 4j 4 2 j s 2  s

i i

nghĩa là   i1, ,i p và   i1, ,i i p p1, ,i p q với q0nào đó  

phép ghép của i và  Tương tự, nếu C N thì i   i 1 p1 p Cũng giống

Toán tử nâng thứ i : i C N C N  được cho bởi  i i

(4) C N được trang bị topo tích (cũng được gọi là topo yếu) được cảm sinh từ topo  

được cho bởi các tập hợp có dạng  : p  trong đói p P i , 1, ,N C N là  tập compact

(5) Ta kí hiệu i i là một dãy vô hạn ˆ ˆ1 p i i i i i i1 p1 p 1 p C N  Vì vậy,

1 ˆ 1 ˆ

p p p q

i i i  i  được xem như là phần tử hữu tỉ tổng quát của C N  

(6) Tập I được ký hiệu là một tập hữu hạn của các bộ hữu hạn có thứ tự (không nhất thiết cùng độ dài) từ 1, , N 

q i

cách tự nhiên Vì vậy, nếu I 1 , , N thì ˆI C N   Nếu I 1, 2 , 1 thì

2  p  I

(7) Với  là một bộ có thứ tự, đặt  C N :  

p length  , tồn tại I  sao cho I   Vì Ilà hữu hạn nên tồn tại

lần nữa, chúng ta luôn có thể kiểm tra trong hữu hạn bước liệu rằng I là ngặt hay không

(ii) Các khẳng định sau là tương đương

(1) Mỗi phần tử của C N có thể được phân tích dưới dạng    1 q với a iI ;

Chương 2 TẬP BẤT BIẾN

tập các ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ X d với ,  Lip S i r i và

trình bày một số ví dụ về tập bất biến Mục 2.3 trình bày về các đường cong tham số bất biến qua lớp ánh xạ co có ảnh là một tập bất biến Mục 2.4 đưa ra kết quả về các tập bất biến như là giá của các độ đo bất biến qua lớp các ánh xạ co Đồng thời mục này cũng đưa ra các điều kiện những tập khác nhau của phép biến đổi đồng dạng sinh

A được gọi là bất biến (tương ứng với ) nếu A  A

biệt, giới hạn này là tồn tại

Chứng minh a) Chứng minh tính duy nhất

hệ quả sau:

1 1

giới hạn của một dãy xác định các điểm bất động của

1 p

i i

S )

compact) Đặt  như trong (vii) Giả sử    1 p C N  và   Khi đó 0

K  là ảnh của tập mở   : i  i,i q , nên ta có  là liên tục

Việc còn lại là chứng minh sự tồn tại của một tập bất biến đóng, bị chặn Từ (v)

ta biết phải là tập như thế nào

b) Chứng minh sự tồn tại Đầu tiên, ta cần chứng minh bổ để dưới đây

Bổ đề Nếu S1, ,S N là một tập của các ánh xạ co trên một không gian mêtric đầy