Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact

đặc trưng Chern là bài toán được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâmnghiên cứu.Khi X là một không gian tôpô, H ∗ Xlà nhóm đồng điều với hệ số hữu tỷ của X được mô tả như nhữn

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 5

1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact 8

1.3 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact 11

1.4 K - nhóm của các nhóm Lie compact 18

2 Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact 22 2.1 Đặc trưng Chern của SU(n+1) 22

2.2 Đặc trưng Chern của SO(2n+1) 23

2.3 Đặc trưng Chern của SO(2n+1) với n = 1,2,3 24

đặc trưng Chern là bài toán được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâmnghiên cứu.

Khi X là một không gian tôpô, H ∗ (X)là nhóm đồng điều với hệ số hữu tỷ của

X được mô tả như những tích phân de Rham, được đại diện bởi các dạng vi phân với

độ sai khác tới vi phân toàn phần, khi lấy tích phân theo các chu trình tương ứng thì

ta nhận được giá trị bằng số Mặt khác K ∗ (X) là K − nhóm của không gian tôpô

X có phần tử sinh với đại diện là các phân thớ véctơ Khi đó đặc trưng Chern của X

là đồng cấu

ch : K ∗ (X) −→ H ∗ (X).

Trong trường hợp G là nhóm Lie compact, ký hiệu H DR ∗ (G;Q) là nhóm đồng

điều de Rham Z/(2) −phân bậc với hệ số hữu tỷ,K ∗ (G)là K −nhóm của G. Khi

đó đặc trưng Chern củaGlà đồng cấu

ch : K ∗ (G) ⊗Q −→ H ∗

DR (G;Q).

Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội của nhóm Lie pact, năm 1994 T Watanabe, L Hodgkin, R Held, U Stuter và H Minamin lần đầutiên đã tính được đặc trưng Chern cho nhóm Lie compact SU (n + 1) và Sp(n).

com-Ngoài những trường hợp trên, việc tính đặc trưng Chern của các nhóm Lie compact

đang còn là những bài toán mở.

Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đặc trưng Chern và đặcbiệt là công trình On the Chern characters of symmetric spaces related to SU (n),

J Math.Kyoto Univ (JMKYAZ), 34 -1 (2004) 149 - 169 của tác giả T Watanabe đểtính đặc trưng Chern của nhóm Lie compact SO(2n+1)

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trìnhliên quan đến luận văn, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1: Cấu trúc của các nhóm Lie compact Trong chương này, chúng tôi

hệ thống các kiến thức liên quan như: Khái niệm về nhóm Lie, đại số Lie, lý thuyếtbiểu diễn, cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact, nhóm đối đồng điều, xây dựng

đối đồng điều và K- nhóm của các nhóm Lie compact

Chương 2: Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact Đây là nội dung chính củaLuận văn Trước hết chúng tôi trình bày kết quả đã biết về đặc trưng Chern của nhómLie compactSU (n + 1) Cuối cùng sử dụng các kết quả đã biết về đặc trưng Cherncủa nhóm Lie compact để tính đặc trưng Chern cho nhóm Lie compactSO(2n + 1)

và mô tả chi tiết cho các trường hợpn = 1, 2, 3.

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quốc Thơ Nhândịp này tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn Thầy, người đã đặt bài toán, tận tình chỉdẫn cho tác giả học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Tác giả chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán học, Phòng đào tạo Sau

đại học, Tổ Đại số cùng Quý Thầy, Quý Cô trong Chuyên ngành Đại số và Lý Thuyết

số nói riêng và các Chuyên ngành khác nói chung đã tạo điều kiện thuận lợi để tácgiả hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học, đã giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và hoàn thành Luận văn Tác giả chân thành cảm ơn các bạn trong LớpCH19, Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn vô bờ bến đến cha mẹ, đặc biệt

là người cha quá cố của tác giả, vẫn luôn mong đợi tác giả được thành đạt trên con

đường học vấn Cảm ơn sự hy sinh của vợ và con - niềm tin, chỗ dựa tinh thần vững

chắc để tác giả vượt qua mọi khó khăn hoàn thành chương trình học tập Xin trântrọng kính tặng Gia đình thân yêu của mình món quà tinh thần này với tấm lòng biết

ơn chân thành nhất Do năng lực còn nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những sự góp ý của các nhà khoa học

và đồng nghiệp để luận văn có thể được hoàn thiện tốt hơn

Nghệ An, ngày 28 tháng 3 năm 2013

Tác giả

đó dựa trên các khái niệm đã trình bày ở trên để xây dựng các đối đồng điều của

K − nhóm của các nhóm Lie compact cụ thể như SU (2n), Sp(n), SU (n + 1), SO(n + 1) và SO(2n + 1).

1.1.2 Định nghĩa Tập hợpG được gọi là nhóm Lie, nếu:

1.1.3 Định nghĩa Cho G là nhóm Lie, khi đó thành phần liên thông của đơn vị

e ∈ G được ký hiệu là G0,định nghĩa như sau:

G0 = {g ∈ G \ ∃g(t) sao cho g(0) = e, g(1) = g }

Từ định nghĩa, ta có:

+)G0 vừa đóng, vừa mở ở trong G.

+)G0 là nhóm Lie con của nhóm Lie G. Thật vậy:

Trước hết ta thấy G0 là đa tạp con, vì G0 vừa đóng, vừa mở trong G. Bây giờ tachứng minhG0 là nhóm con của G.

Giả sửg1, g2 ∈ G,khi đó theo định nghĩa củaG0ta có: Tồn tại đường congg1(t)

sao cho g1(0) = e, g1(1) = g và tồn tại đường cong g2(t) sao cho

g2(0) = e, g2(1) = g.Bây giờ ta thấy đường cong g −11 g2(t) nối g1−1 g2 với e, tức là:

g −11 g2(1) = g −11 (g2(t)) = g1−1 g2 và g1−1 g2(0) = g1−1 (g2(0)) = g −11 (e) = e. Do đó

g −11 g2 ∈ G0. Vậy G0 ⊆ G

Tóm lại:G0 là nhóm Lie con của nhóm Lie G.

1.1.4 Định nghĩa Giả sử V là C− không gian véctơ hữu hạn chiều Ký hiệu

Aut(V ) là nhóm các tự đẳng cấu của V. Một biểu diễn của nhóm hữu hạn G là

đồng cấu T : G −→ Aut(G). Biểu diễn đó được ký hiệu là (V, T ). Khi đó:

dim(T ) = dim(V, T ) = dimCV. Nếu (V, T )là một biểu diễn của nhóm hữu hạn

G, thì ta có thể xem V như là G −môđun

1.1.5 Định nghĩa Hai biểu diễn(V, T ) và (W, S) gọi là tương đương, nếu tồn tạitoán tửA ∈ Iso(V, W ) sao cho sơ đồ sau giao hoán

Chứng minh: Vì (V, T ) ∼ (W, S) khi đó tồn tại toán tử A ∈ Iso(V, W ), sao chosơ đồ sau giao hoán

Giả sử (V, T )và (W, S) là hai biểu diễn của nhóm G, ta nói (V, T )là một bội của

(W, S)nếu tồn tại một không gian véc tơX sao cho:V ∼ = W ⊕X.Khi đódim(X)

gọi là bội của(W, S) trong(V, T ).

1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact

Trong tiết này tác giả trình bày hệ thống lại các khái niệm về hệ nghiệm, trọngtrội, xuyến cực đại của các nhóm Lie compact để nhằm phục vụ cho việc tính toánsau này Những khái niệm trên chúng tôi trình bày dưới dạng các định nghĩa, hệthống lại các tính chất của nó dưới dạng các Định lý, Mệnh đề, Hệ quả và đưa ra Ví

dụ minh họa

1.2.1 Định nghĩa Giả sử V là K − không gian véctơ và ∑ là tập con của V. ∑gọi là hệ nghệm trong không gian véc tơV, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:i) ∑ là tập hữu hạn, sinh ra không gianV và không chứa véctơ không

ii) Đối với mỗi véc tơ α ∈ ∑ tồn tại phép đối xứng S α qua mặt phẳng, qua gốc vàvuông góc vớiα chuyển tập∑ vào chính nó

iii) Đối vớiα, β ∈ ∑, ta có:S α (β) − β = nα, vớin ∈ Z.

Khi đó chiều của không gian véc tơ V gọi là hạng của hệ nghiệm ∑, còn phần tử

α ∈ ∑ gọi là nghiệm của không gian V.

Hệ nghiệm ∑được gọi là hệ rút gọn, nếu đối với mỗiα ∈ ∑,thì−αlà nghiệmduy nhất cộng tuyến với α. Ngược lại nếu ∑ không phải là hệ rút gọn, khi đó nóchứa hai nghiệm có dạng α và tα trong đó 0 < t < 1. Khi đó theo tính chất iii),trong Định nghĩa 1.2.1, ta có nghiệm tα = β, do đó nghiệm cộng tuyến với α códạng:

∥y∥ cos φ = 4 cos2φ.

Sau đây ta đưa ra bảng cho biết vị trí tương đối giữa hai nghiệm bất kỳ:

1 n(x, y) = 0, n(y, x) = 0, φ = π/2

1.2.3 Mệnh đề Hệ nghiệm∑ bất biến với tất cả phép đối xứng S α

1.2.3 Định nghĩa Véctơx ∈ V được gọi là chính quy nếu (x, y) ̸= 0, ∀y ∈ ∑.

ĐặtT = {tập hợp tất cả véc tơ chính quy trongV }. Khi đó

T = {x \ (x, x i ) = 0, i ∈ ∏ ⊂ ∑}gọi là nón Nếu ta cố định nónC = ∏

0 ⊂ ∑ : gọi là buồng Weyl

W =< Sα \ α ∈ ∑ > sinh bởi các phép đối xứng Sα trong nhóm tuyến tính đầy

đủGL(V ) được gọi là nhóm Weyl của hệ nghiệm ∑.

Giả sửGlà đại số Lie phức nửa đơn, Blà đại số Cartan và∑là hệ nghiệm tươngứng Ta cố định trong hệ nghiệm một cơ sở S = {α1, α2, ã ã ã , α n } và ∑+ là tậphợp các nghiệm dương Với α ∈ ∑+, ta chọn hai phần tửX α ∈ G α và X α ∈ G −α

sao cho [X α , Y α ] = H α

1.2.7 Định nghĩa Giả sửV là G −môđun vàw ∈ B ∗ là dạng tuyến tính trên khônggianB.Ký hiệu V w là không gian gồm các phần tửv ∈ V,sao choHv = w(H)v,

đối với∀H ∈ B.Mỗi phần tử thuộc không gian đó ta nói nó có trọngw.Thứ nguyên

dim(V n) gọi là bộiw. Một dạngW gọi là trọng trong không gian V,nếuV W ̸= 0.

Khi đóV = ⊕W w là một phép phân tích thành các không gian nghiệm.

1.2.8 Định nghĩa.T được gọi là xuyến cực đại của G, nếu:

i) T là nhóm con của G.

ii) T là xuyến và với mỗi nhóm con U ⊂ G và T ⊂ U thì T = U.

1.2.9 Ví dụ Giả sử G = SU (2n).Khi đó xuyến cực đại của Gcó dạng

λ i = 0 và det(T ) = e iλ1.e iλ2ã ã ã e iλ 2n = e t = 1.

1.3 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact

Trong tiết này, chúng tôi xây dựng các đối đồng điều của các nhóm Lie compact

SU (2n), Sp(n), SU (2n + 1)và SO(2n + 1).

1.3.1 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n) Sự dụng cách xây dựng

đồng điều của các nhóm Lie compact, đối với nhóm Lie compact SU (2n), ta chọnxuyến cực đại T của SU (2n) sao cho s2(T ) ⊂ T, trong đó s2 : SU (2n) −→

SU (2n) được xác định bởi s2(A) = J n AJ n −1 , trong đó A ∈ SU(2n) và A là liênhợp phức củaA.

Giả sử L(T ) là đại số Lie của T. Khi đó ta chọn những nghiệm đơn

α1, α2, ã ã ã , α 2n −1 : L(T ) −→Rtương ứng với sơ đồ Dynkin sau:

đại số đa thức Q[α1, α2, ã ã ã , α 2n −1]

Ký hiệus2 : T −→ T là thu hẹp của s2 từT Khi đó theo [9], ta có

Bs ∗2 : H ∗ (BT ;Q) −→ H ∗ (BT ;Q),

Giả sử R i là phép chiếu vuông góc củaL(T ) ∗ lên mặt phẳng vuông góc vớiα i ,

có nghĩa ta xét siêu phẳng{x ∈ L(T ) ∗ \ (αi , x) = 0 }.Khi đó R1, R2, ã ã ã , R 2n −1

sinh ra nhóm Weyl W (SU (2n)) và tác động trên H2(BT ;Z bởi công thức sau:

Từ (1.3), ta cóBs2(t i) = −t 2n+1 −i ∀i = 1, 2n (1.4).

Giả sửRlà vành giao hoán có đơn vị 1∈ R vàσ i (x1, x2, ã ã ã , xn)là đa thức

đối xứng cơ bản trong vành đa thức R[x1, x2, ã ã ã , x n ].

Ký hiệuσ ∗ : H ∗ (BG; R) −→ H ∗ (G; R)là đối đồng điều treo vàH ∗ (BT ; R) W (G)

là đại số con của H ∗ (BT ; R) bất biến với tác động của nhóm Weyl W (G), trong

đóT là xuyến cực đại của nhóm Lie compactG.

Giả sửc i+1 = σ i+1 (t1, t2, ã ã ã , t 2n ∈ H 2i+2 (BT,Z).Vì tác động củaW (SU (2n))

trên H2(BT,Z là nhóm hoán vị trên {t1, t2, ã ã ã , t 2n },do đó chúng ta có

H ∗ (BT,Z)W (SU (2n)) = Z[c2, c3, ã ã ã , c 2n]và theo (1.4), ta có:

Bs ∗2(c i+1) = (−1) i+1 c i+1 i = 1, 2n − 1 (1.5)

Giả sử x 2i+1 = σ ∗ (c i+1) ∈ H 2i+1 (SU (2n);Z). Khi đó ta có

H ∗ (SU (2n),Z) = ΛZ(x3, x4, ã ã ã , x 4n −1) (1.6)

1.3.2 Mệnh đề Đồng cấu s ∗2 : H ∗ (SU (2n),Z) −→ H ∗ (SU (2n),Z), được xác

định bởi s ∗2(x 2i+1) = (−1) i+1 x 2i+1

Chứng minh Theo giả thiết ở trên, ta có x 2i+1 = σ ∗ (c i+1 ). Do đó

s ∗2(x 2i+1 ) = s ∗2(σ ∗ (c i+1 )) = σ ∗ (Bs2(c i+1 )) = σ ∗((−1)i + 1ci+1) = (−1) i+1 x 2i+1

Vậy s ∗2(x 2i+1) = (−1) i+1 x 2i+1

1.3.3 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact Sp(n) Lập luận tương tự nhưviệc xây dựng đối đồng điều của nhóm SU (2n)), bằng cách chọn T ′ là xuyến cực

đại của Sp(n), sao cho i2(T ′) ⊂ T, trong đó i2 : Sp(n) −→ SU(2n) được xác

Bi ∗2 : H ∗ (BT ;Q) −→ H ∗ (BT ′;Q)

1.3.4 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n + 1) Để xây dựng

đồng điều của các nhóm Lie compact SU (2n + 1), trước hết ta định nghĩa ánh xạ

s1 : SU (2n + 1) −→ SU(2n+1)xác định bởi:s1(A) = A,vớiA ∈ SU(2n+1)

vàAlà liên hợp củaA.Chọn xuyến cực đạiT củaSU (2n + 1)sao chos1(T ) ∈ T.

Khi đó chọn hệ nghiệm hệ nghiệm đơn α1, α2, ã ã ã , α 2n : L(T ) −→ R và xác

được xác định bởi: s ∗1(x 2i+1) = (−1) i+1 x 2i+1 i = 1, 2n.

Chứng minh Ta cós ∗1(x 2i+1 ) = s ∗1(δ ∗ (c i+1 )) = δ ∗ (Bs ∗1(c i+1 )) = δ ∗((−1) i+1 (c i+1)

= (−1) i+1 δ ∗ (c i+1) = (−1) i+1 x 2i+1

1.3.6 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SO(2n + 1)

Chọn T ′ là xuyến cực đại của SO(2n + 1) sao cho i1(T ′) ⊂ T, trong đó

i1 : SO(2n + 1) −→ SU(2n + 1)là phép nhúng tự nhiên Khi đó lấy hệ nghiệm:

H ∗ (SO(2n + 1); K) = Λ K (x ′3, x ′7, ã ã ã , x ′ 4n −1 ).

1.4 K - nhóm của các nhóm Lie compact

1.4.1 K - nhóm của các nhóm Lie compact SU(n+1) Khi đó một biểu diễn củanhóm Lie compact G là đồng cấu f : G −→ U(n) của nhóm tôpô, với n là sốchiều Khi đó ta có các nhận xét sau đây:

1.4.1.1 Nhận xét i) Vành biểu diễn R(G) của G có cấu trúc λ − vành được chobởi toán tử tuyến tính lũy thừa ngoàiλ k : R(G) −→ R(G)với k ≥ 0.

ii) Giả sử β : R(G) −→ Ke−1 (G) được cho bởi: β(ρ) = [i n ρ] ∈ [G, U] =

e

K −1 (G). Khi đó:

- Nếuρ1, ρ2 là các biểu diễn của Gcó số chiều lần lượt là n1 và n2,thì

β(ρ1ρ2) = n2β(ρ1) + n1β(ρ2)

- Nếuρ là biểu diễn tầm thường của Gcó số chiều là n, thì β(n) = 0, ∀n ∈ Z.

Xét bao hàm thức λ1 ∈ R(SU(2n))sao choλ1 có tác dụng trội ω1 = t i ,khi đó

ta thấy tập hợp {t i \ i = 1, 2, ã ã ã , 2n} là tập hợp các trong trội của λ1.

Ký hiệuλ k = λ k (λ1). Ta có:

R(SU (2n)) = Z[λ1, λ2, ã ã ã , λ 2n −1]và

s ∗2 : R(SU (2n)) −→ R(SU(2n))được cho bởi s ∗2(λ k ) = λ 2n −k với k = 1, 2n − 1

Vìλ1, λ2, ã ã ã , λ 2n −1là những biểu diễn bất khả quy xác định bởiα1, α2, ã ã ã , α 2n −1 ,

do đó ta có thể xemλ k có trọng trộiω k Xét toán tửλ ′1 = λ1i1 : Sp(n) −→ U(2n),

điều này có nghĩa, với phần tửλ ′1 ∈ R(Sp(n)),thì λ1 có trọng trội ω1′ = t ′1, khi đó

chúng ta thấy{±t ′ i \ i = 1, 2, ã ã ã , n} là tập hợp các trọng trội củaλ ′1. Do vậy,

nếu chúng ta đặt λ ′ k = λ k (λ ′1, theo [8], ta có

R(Sp(n)) =Z[λ ′1, λ ′2, ã ã ã , λ ′ n]

và đồng cấu

i ∗2 : R(SU (2n)) −→ R(Sp(n)) xác định bởi i ∗2(λ k ) = λ ′ k = i ∗2(λ 2n −k ), k = 1, n

Ta thấy kết quả trên trương đương với (1.7), vìλ ′1, λ ′2, ã ã ã , λ ′ n là những biểu diễn

bất khả quy xác đính bởiα ′1, α ′2, ã ã ã , α ′ n

Theo Hodgkin, với G là nhóm compact liên thông, khi đó K ∗ (G) không xoắn

và do đó nó có cấu trúc của đại số Hopf Z/(2) − phân bậc Nếu G là nửa đơn và

R(G) = Z(ρ1, ρ2, ã ã ã , ρ n ), khi đóK ∗ (G) = ΛZ(β(ρ1), β(ρ2), ã ã ã , β(ρ n)

là đại số ngoài sinh bởi β(ρ1), β(ρ2), ã ã ã , β(ρ n ).

Bây giờ với G = SU (n + 1), khi đó K −nhóm của G được mô tả như sau

K ∗ (SU (n + 1)) = ΛZ(β(λ1), β(λ2), ã ã ã , β(λ n))

1.4.2 K - nhóm của các nhóm Lie compact SO(2n+1).

Lập luận tương tự như trường hợp SU (2n + 1), trước hết ta tìm vành biểu diễn

s ∗1 : R(SU (2n+1)) −→ R(SU(2n+1)) xác định bởi s ∗1(λ k ) = λ 2n+1 −k k = 1, 2n

Ta xét hợp thành λ ′1 = λ1i1 : SO(2n + 1) −→ U(2n + 1). Với phần tử

λ ′1 ∈ R(SO(2n + 1)), thì λ ′1 chấp nhận trọng trội ω1′ t ′1, như vậy tập hợp

{±t ′ i \ i = 1, 2, ã ã ã , n} là tập hợp tất cả các trọng trội củaλ ′1.

Đặtλ ′ k = λ k (λ ′1) và theo [8], ta có

R(SO(2n + 1)) = Z[λ ′1, λ ′2, ã ã ã , λ ′ n]

và đồng cấu i ∗1 : R(SU (2n + 1)) −→ R(SO(2n + 1)) xác định bởi

i ∗1(λ k ) = λ ′ k = i ∗1(λ 2n+1 −k ), k = 1, n

Xét nhóm spinor Spin(2n + 1) là nhóm phổ dụng của SO(2n + 1). Giả sử

p : Spin(2n + 1) −→ SO(2n + 1)là phủ hai lá, khi đó xét hợp thànhλ1 = λ ′1p : Spin(2n + 1) −→ U(2n + 1).Khi đó với phần tử λ1 ∈ R(Spin(2n + 1)),ta đặt

λ k = λ k (λ1) và giả sử ∆2n+1 : Spin(2n + 1) −→ U(2 n) là phép biểu diễn Spin.Khi đó

Bæ sung hai phÇn töε 2n+1 ∈ K −1 (SO(2n + 1)) vµ ξ 2n+1 ∈ K0(SO(2n + 1)) saocho:

Chương 2

Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact

Trong Chương này, chúng tôi tính đặc trưng Chern của một số nhóm Lie compact,

đặc biệt là nhóm SO(2n + 1)

2.1 Đặc trưng Chern của SU(n+1)

Đặc trưng Chern của nhóm nhóm Lie compact SU (n + 1)đã được tính toán cụthể cho tất cản ≥ 1, (xem [12]) Cho nên trong tiết này chúng tôi nhắc lại các kếtquả của T Watanabe và sử dụng các kết quả đó để tính cho các nhóm Lie compactkhác

2.1.1 Nhận xét Để tính đặc trưng Chern của nhóm Lie compact, trước hết ta địnhnghĩa hàm