Biểu diễn hoán vị và đặc trưng của nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ LÀI BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn kh

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ LÀI

BIỂU DIỄN HOÁN VỊ

VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Lài

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

7 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ĐA TUYẾN TÍNH 4

1.1.1 Cơ sở đại số tuyến tính 4

1.1.2 Các khái niệm cơ bản của đại số đa tuyến tính 11

1.2 BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHÓM HỮU HẠN 15

1.3 G-ĐỒNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY 18

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ CỦA NHÓM HỮU HẠN 28

2.1 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ 28

2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIỂU DIỄN HOÁN VỊ 32

2.3 PHÉP TÍNH TOÁN CÁC BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA 35

2.4 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ MỞ RỘNG 37

CHƯƠNG 3 ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN 41

3.1 ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM LỚP CỦA NHÓM HỮU HẠN 41

3.2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG 48

3.3 CÁC BẢNG ĐẶC TRƯNG 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu và phân lớp các biểu diễn của nhóm hữu hạn là một trong các bài toán quan trọng và mang tính thời sự trong lý thuyết cấu trúc và biểu diễn nhóm Nhiều nhà toán học đã quan tâm lĩnh vực này và giải quyết trọn vẹn cho nhiều lớp nhóm cụ thể, đặc biệt là các nhóm hữu hạn

Đóng vai trò quan trọng cho việc khảo sát biểu diễn của nhóm hữu hạn

là lý thuyết đặc trưng cho phép chuyển việc nghiên cứu biểu diễn của nhóm

về lớp các hàm đặc trưng tương ứng

Với mong muốn tìm hiểu thêm về lý thuyết biểu diễn nhóm và được sự

gợi ý của PGS TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Biểu diễn hoán vị và đặc trưng của nhóm hữu hạn” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu biểu diễn hoán vị của nhóm hữu

hạn, tức là lớp các biểu diễn của một nhóm hữu hạn G trên các G-tập hữu hạn

Từ đó ứng dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát biểu diễn hoán vị của một số nhóm hữu hạn cụ thể

Để đạt được mục tiêu nêu trên, luận văn tập trung khảo sát các tính chất

cơ bản của biểu diễn hoán vị và ứng dụng lý thuyết đặc trưng để mô tả các biểu diễn hoán vị của nhóm hữu hạn và thể hiện cho một số nhóm cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ sở

- Nghiên cứu về biểu diễn hoán vị của nhóm hữu hạn

- Nghiên cứu về đặc trưng của nhóm hữu hạn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là biểu diễn hoán vị và đặc trưng của một số nhóm hữu hạn Phạm vi nghiên cứu của đề tài là lý thuyết cấu trúc và biểu diễn nhóm

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài

- Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt được trong luận văn

- Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi seminar với giáo viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Tổng quan một số kết quả liên quan đến biểu diễn của nhóm hữu hạn

- Góp phần làm rõ biểu diễn hoán vị của nhóm hữu hạn qua một số tính chất và ví dụ minh họa

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu những kiến thức cơ sở như đại số tuyến tính và đa tuyến tính, biểu diễn tuyến tính của nhóm hữu hạn và đặc trưng của biểu diễn Các khái niện và các tính chất đó liên quan đến việc nghiên cứu những chương tiếp theo

Chương 2: BIỂU DIỄN HOÁN VỊ CỦA NHÓM HỮU HẠN

Trong chương chúng tôi tập trung khảo sát các tính chất của biểu diễn hoán vị và biểu diễn hoán vị mở rộng của nhóm hữu hạn

Chương 3: ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chương này chúng tôi áp dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát các đặc trưng, tích vô hướng của đặc trưng, các bảng đặc trưng và vận dụng vào việc tìm các đặc trưng của một số nhóm hữu hạn cụ thể

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất cơ bản về đại số tuyến tính và đa tuyến tính, biểu diễn tuyến tính, đặc trưng của biểu diễn và các khái niệm liên quan như ma trận, thương và phần bù,… cần thiết cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo Các khái niệm và tính chất trình bày trong chương này có thể tham khảo từ các tài liệu [1], [4]

1.1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ĐA TUYẾN TÍNH

1.1.1 Cơ sở đại số tuyến tính

Trong luận văn này, được kí hiệu là một trường, nghĩa là một vành

giao hoán với phần tử đơn vị 1 sao cho mỗi phần tử khác không đều có phần

tử nghịch đảo Phần lớn các nội dung trình bày về lý thuyết biểu diễn sẽ làm việc trên trường số phức và trường số thực Tuy nhiên, chúng ta cũng làm việc trên một số trường tổng quát hơn, bao gồm các trường có đặc số hữu hạn như trường p  / p các số nguyên môđulô p, với p là số nguyên tố Ở đây, đặc số của trường được định nghĩa là số tự nhiên nhỏ nhất p sao cho

1 1 1 1 0,

p     trong trường hợp này được gọi là có đặc số hữu hạn hoặc

đặc số dương; trường hợp ngược lại (không tồn tại số tự nhiên p thỏa điều

kiện trên), được gọi là có đặc số 0 Khi đặc trưng của là số hữu hạn p, ta

có thể suy ra p là số nguyên tố

Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên , nghĩa là một - không gian vectơ Nhớ lại rằng một cở sở trên V là một tập sinh độc lập tuyến tính trong V Số chiều của V (trên ) được định nghĩa là số các phần tử trong một cơ sở nào đó (có thể chứng minh số các phần tử trong các cơ sở của V là

không đổi) và được ký hiệu là dim V Chúng ta thường xét như là một không gian vectơ 1-chiều với cơ sở {1} hay một tập {x} bất kỳ với x 0 Cho hai -không gian vectơ V và W, một phép biến đổi tuyến tính (hay ánh xạ tuyến tính) từ V đến W là một ánh xạ :VW sao cho:

tuyến tính từ V lên W

Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các phép biến đổi tuyến tính VW là

 , .

Hom V W Khi đó Hom V W,  là một -không gian vectơ với phép cộng

và phép nhân với vô hướng được định nghĩa như sau:

(   )( )u  ( )u  ( )u ( , Hom V W( , )),

(t)( )u t( ( )) u  ( )tu (t ).

Kết quả dưới đâylàmột tính chấtquan trọng của cơ sở

Mệnh đề 1.1 Cho V, W là hai -không gian vectơ với V hữu hạn chiều,

và {v 1 ,…, v m} là một cơ sở của V với m dim V Xét ánh xạ

Chúng ta có thể thể hiện điều này thông qua sơ đồ giao hoán sau:

Chứng minh Xét tương ứng :VW xác định bởi:

Khi đó  chính là phép biến đổi tuyến tính duy nhất cần xác định

Phép biến đổi tuyến tính  được gọi là mở rộng tuyến tính của  và

thường cũng được kí hiệu là 

Cho V W, là hai - không gian vectơ hữu hạn chiều có các cơ sở tương

ứng { , ,v1 v m} và {w , , w }1 n , với m dim V và n dim W Theo Mệnh đề 1.1,

có một mở rộng duy nhất đến một phép biến đổi tuyến tính ij:V W Hơn

nữa, chúng ta thu được kết quả sau:

Mệnh đề 1.2 Tập hợp tất cả các ánh xạ ij:V W (1  i m,1  j n) lập

thành một cơ sở của Hom V W( , ) Từ đó dim Hom V W( , )  dim Vdim W m n.

Một trường hợp đặc biệt và quan trọng của khẳng định trên là không

gian đối ngẫu của V ,



V Hom V( , ) Chú ý rằng dim V  dim V Thật vậy, với bất kỳ cơ sở { , ,v1 v m} của V ,

ta xác định được các phần tử v iV (i 1, , )m theo công thức

v v i ( )k  ik,

trong đó ij cho bởi

1 0

là một đẳng cấu tuyến tính Nói cách khác, V và V là đẳng cấu với nhau

Bây giờ xét tập hợp V (V ) , không gian đối ngẫu của V Khi đó, tương tự như trên ta có các không gian vectơ *

phép nhân là phép hợp thành ánh xạ Hơn nữa, ta có 2

dim End V( )  (dim V)

Xét GL V( ) là nhóm gồm tất cả các -biến đổi tuyến tính khả nghịch

V V của End V( ) Nhóm này thường được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát

nếu i j, nếu i j

của V hay là nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính của V và còn được kí hiệu là ( )

Cho v { , ,v1 v m} và w  {w , , w }1 n lần lượt là các cơ sở của V và W Khi

đó, với mỗi phép biến đổi tuyến tính :VW, chúng ta có thể xác định ma trận của  tương ứng với các cơ sở v và w là ma trận cấp n m với hệ số trong

,

m

j rj r r

Cho WV là một không gian vectơ con Khi đó ta định nghĩa không gian thương V W/ là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ tương đương  trên V xác định bởi

và phần tử không là W= 0 + W Hơn nữa, tồn tại một phép biến đổi tuyến

tính, thường gọi là ánh xạ thương q V: V W/ , xác định bởi

( )

q v  v W

Khi đó q là toàn ánh, hạt nhân ker q = W và ta có tính chất phổ dụng thể hiện

trong Định lý sau đây

Định lý 1.4 Cho f V: U là một phép biến đổi tuyến tính với

ker

W  f Khi đó tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính f V W: / U

thoả f  f q Kết quả này có thể phát biểu qua sơ đồ giao hoán sau:

Chứng minh Xác định f theo công thức

Từ định nghĩa của V W/ và kết quả trên suy ra:

dim V W/  dim V dim W. (1.1)

Phần bù tuyến tính (trong V) của một không gian con WV là không gian con '

W Vsao cho ánh xạ thu hẹp '

W V là hai không gian

vectơ con của -không gian vectơ V với dim V n Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(a) '

W là một phần bù tuyến tính của W trong V

(b) Cho w , , w 1 r là một cơ sở của W và wr1 , , wn là một cơ sở của

W’ Khi đó w , , w 1 n  w , , w 1 r  wr1 , , wn là một cơ sở của V

(c) Với mỗi v V tồn tại một biểu thị duy nhất dưới dạng v v1 v2, với

(e) W là một phần bù tuyến tính của W’ trong V

Các khái niệm và kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp của r

không gian con V1, ,V r V sao cho 1

1

r

r j j j j

1 k 1

V  V trong (V1  V k)

Một phần bù tuyến tính đối với một không gian con WV luôn luôn tồn

tại do mỗi cơ sở w , , w 1 rcủa W có thể mở rộng đến một cơ sở

w , , w , w 1 r r1 , , wn của V, và với W’ là không gian con được sinh bởi

wr1 , , wn, Định lý 1.5(b) suy ra rằng W’ là một phần bù tuyến tính

1.1.2 Các khái niệm cơ bản của đại số đa tuyến tính

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát tích tensor của r không gian vectơ

Cho V1, ,V r và W là các - không gian vectơ Một ánh xạ

F V   V Wđược gọi là -đa tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

v v V và t Ánh xạ - đa tuyến tính F được gọi là đối xứng

nếu với bất kỳ hoán vị S r (nhóm hoán vị bậc r), ta có

trong đó sign( )   1 là dấu của 

Tích tensor của V1, ,V r là một -không gian vectơ V1  V2 V r cùng với một ánh xạ :V1      V r V1 V2 V r thỏa mãn tính chất phổ dụng sau đây: Với bất kỳ -không gian vectơ W và ánh xạ đa tuyến tính

với mũi tên bên phải thể hiện một phép biến đổi tuyến tính duy nhất sao cho

sơ đồ giao hoán Trường hợp V1V2   V r V, ta gọi V  V là lũy thừa

tensor bậc r và được viết dưới dạng T V r

Kết quả dưới đây cho một thể hiện tường minh của tích tensor

Mệnh đề 1.6 [4, Proposition 1.17] Nếu -không gian vectơ hữu hạn

Để kết thúc phần này, ta có một số kết quả sau:

Mệnh đề 1.7 Cho V1 , ,V V r, là các -không gian vectơ hữu hạn chiều

Khi đó tồn tại một đẳng cấu tuyến tính

biến đổi tuyến tính thoả mãn các yêu cầu của mệnh đề

Mệnh đề 1.8 Cho V W, là hai -không gian vectơ hữu hạn chiều Khi

đó tồn tại một -đẳng cấu tuyến tính

cho ứng v k với wj nếu k = i và với 0 trong các trường hợp còn lại Áp dụng

các Mệnh đề 1.2 và [4, Proposition 1.17], ta suy ra các ánh xạ này là độc lập tuyến tính và sinh ra không gian Hom ( ,V W)

Mệnh đề 1.9 Cho V1 , ,V r và W1 , ,W r là hai -không gian vectơ hữu hạn chiều, và với mỗi 1 k r, xét k:V k W k là một phép biến đổi tuyến tính Khi đó tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính

       

xác định trên mỗi tensor v1  v r theo công thức

1 r(v1 v r) 1 ( )v1 1 ( )v r

       

Chứng minh: Áp dụng tính chất phổ dụng của định nghĩa

1.2 BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHÓM HỮU HẠN

Trong phần này, G được kí hiệu là một nhóm hữu hạn Một đồng cấu

nhóm :GGL V( ) xác định một -tác động tuyến tính của G trên V

Một không gian vectơ con W của V bất biến qua tác động của các phần

tử của G được gọi là một G-môđun con hoặc G-không gian con; đôi khi chúng ta nói rằng W là ổn định qua tác động của G Thông thường, người ta xét W như là một biểu diễn, bằng cách sử dụng ánh xạ |W :GGL W( ) được xác định bởi

Mỗi cặp W và  được gọi là biểu diễn con của biểu diễn ban đầu 

Bây giờ cho một cơ sở v { , , }v1 v n của V với dim V n, với mỗi gG

ta có ma trận liên kết của  ( )g tương ứng với v, [ ( )]r g ij , được xác định bởi

1

( )

n

g j kj k k







Ví dụ 1.10 Cho :GGL V( ) trong đó dimV  1 Xét bất kỳ một phần

tử khác 0, v V (lập thành một cơ sở của V), ta có với mỗi gG, tồn tại g

thỏa g v  g v Khi đó với g h, G, ta có hg v  h g v, và do đó hg   h g.

Từ đây dễ dàng thấy rằng g  0 Do đó có một đồng cấu : G = k \{0}

  hay g là một căn nghiệm bậc |g| của đơn vị Từ đó, một biểu diễn 1- chiều của một nhóm có thể xét như là một đồng cấu dạng *

ở trên

Dưới đây là hai trường hợp minh họa của Ví dụ 1.10

Ví dụ 1.11 Xét = Khi đó, chỉ có các căn nghiệm của đơn vị trong

là  1, do đó chúng ta có thể giả sử rằng đối với một biểu diễn 1-chiều trên , :G{1, -1}, với miền giá trị là một nhóm với phép nhân Chú ý rằng hàm dấu sign S: n  {1, -1} cung cấp cho chúng ta một ví dụ quan trọng và thú

vị về điều này

Ví dụ 1.12 Xét = Khi đó với mỗi số tự nhiên n, chúng ta có n căn

nghiệm bậc n phân biệt của đơn vị trong * Ký hiệu tập hợp tất cả các căn

nghiệm bậc n của đơn vị là n, và tập hợp tất cả các căn nghiệm của đơn vị được xác định bởi

,

n n

Chẳng hạn, cho G =C là nhóm cyclic bậc N Khi đó, với bất kỳ một biểu

diễn 1- chiều nào của C, ta có  :CN Hơn nữa, có đúng N đồng cấu như

thế

Ví dụ 1.13 Cho G là một nhóm đơn không aben Khi đó với mỗi biểu

diễn 1- chiều :GGL V( ) của G, đồng cấu tương ứng  :G | |G có ảnh giao hoán, do đó ker  phải lớn hơn { }e G Do G không có nhóm con chuẩn tắc

thực sự, chúng ta phải cóker  G Từ đó, ( )g Id V

Ngoài ra, đối với bất kỳ biểu diễn :GGL V( ) ta có ker G

hoặcker  { }e G Do đó, hoặc biểu diễn là tầm thường hoặc  là đơn cấu, từ

đó có thể nhúng G vào GL V( ) Điều này giới hạn chiều nhỏ nhất của các biểu diễn không tầm thường của các nhóm đơn không giao hoán

Ví dụ 1.14 Cho G={ , }e  / 2 và V là biểu diễn bất kỳ trên một trường

có đặc số khác 2 Khi đó tồn tại các -không gian vectơ con V, V của V sao

cho V VV và tác động của G được cho bởi

1.3 G-ĐỒNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY

Giả sử rằng chúng ta có hai biểu diễn :GGL V( )và :GGL W( ) Khi đó một biểu diễn tuyến tính f V: W được gọi là G- tương đương (G- tuyến tính hoặc G- đồng cấu) đối với  và  , nếu cho gG, ta có sơ đồ sau giao hoán

Định nghĩa một tác động của G lên Hom V W( , ), không gian vectơ của

các -biến đổi tuyến tính V W, xác định bởi

Hom V W Hom V W trùng với tập hợp tất cả các G- đồng cấu

Nếu V chỉ có các G-không gian con duy nhất là {0} và V, được gọi là bất khả quy (hay đơn)

Bây giờ xét một biểu diễn con WV , khi đó không gian vectơ thương

V/W cũng có một tác động tuyến tính của G, ký hiệu W :GGL V W( / ), được gọi là biểu diễn thương, xác định bởi,

    Công thức trên thực sự được xác định do với bất kỳ '

(a) ker f là một G- không gian con của V;

(b) im f là một G- không gian con của W

Chứng minh:

(a) Cho v ker f Khi đó, với gG, ta có

( ) ( ) 0

do vậy g v ker f Từ đó ker f là một G- không gian con của V

(b) Cho w im f với w=f(u), u V Ta có

(a) Nếu f không phải là ánh xạ không, thì f là một đẳng cấu

(b) Nếu V=W và   , thì với mọi  , f được xác định bởi

( ) ( )

Chú ý 1.17

Phần (a) vẫn còn đúng với mọi trường tùy ý

Phần (b) vẫn còn đúng với bất kỳ trường đóng đại số

Chứng minh:

(a) Áp dụng Mệnh đề 1.15 ta có ker f V và im f W là các G- không gian con Áp dụng tính bất khả quy của V, ta suy ra hoặc ker f = V (trong trường hợp f là ánh xạ không) hoặc ker f ={0} (trong trường hợp f là đơn ánh) Tương tự, tính bất khả quy của W suy ra hoặc im f = {0} (trong trường hợp f là ánh xạ không) hoặc im f = W trong trường hợp f là toàn ánh.Từ đó, nếu f không phải là ánh xạ không, thì phải là một đẳng cấu

(b) Cho   là một giá trị riêng của f, với vectơ riêng v0  0 Xét

:

f V V là một biến đổi tuyến tính sao cho

f v  f v v v V Khi đó, vói mỗi gG,

( ) ( ) = ( ) , = ( ),

g g g

g g g

có thể không còn đúng với các biểu diễn xác định trên thể hiện trong ví dụ dưới đây

Ví dụ 1.18 Cho  và V  được xét như là một - không gian vectơ 2-chiều Cho

là nhóm tất cả các nghiệm bậc 4 của phần tử đơn vị, với  : 4 GL V( ) xác định bởi

Tuy nhiên, phép biến đổi tuyến tính :VV xác định bởi

Do  là đơn ánh, ta đồng nhất với một vành con của D và xét  như là

một phép nhúng Khi đó D trở thành một -không gian vectơ với phép nhân

vô hướng là t.x = tx Nếu D là hữu hạn chiều và mỗi phần tử khác không

xD là khả nghịch, thì D được gọi là một - đại số chia được ( -division

algebara); nếu là tâm của D, thì D được gọi là một - đại số chia được

trung tâm ( -central division algebara) Trường hợp  , khi đó sai khác một đẳng cấu, các - đại số chia được chỉ là , và H (Đại số quaternion

4 chiều)

Mệnh đề 1.19 Nếu là đóng đại số thì chỉ có -đại số thương trung

tâm duy nhất là

Chứng minh: Giả sử rằng D là một -đại số thương trung tâm Cho

zD là một phần tử khác không Phép nhân với z xác định một -biến đổi

tuyến tính z:DD Áp dụng lý thuyết thông thường của các giá trị riêng trên trường đóng đại số, suy ra z có một giá trị riêng λ, với vectơ riêng vD,

có nghĩa là v 0 và

(z v)  0 Nhân hai vế với 1

v ta được ( z) 0, do đó z  Kết quả tiếp theo được chứng minh tương tự như phần (a) của Bổ đề Schur

Định lý 1.20 ( Bổ đề Schur mở rộng) Cho là một trường và G là một

nhóm hữu hạn Cho :GGL W( ) là một -biểu diễn bất khả quy Khi đó ( , )

G

Kết quả tiếp theo cũng đúng với tất cả các trường sao cho |G| là khả nghịch

Định lý 1.21 (Định lý Maschke) Cho V là một -không gian vectơ và

  là một -biểu diễn Cho WV là một G-không gian con của

V Khi đó tồn tại một phép chiếu lên W là G- tương đương Tương tự, tồn tại

một phần bù tuyến tính W ’ của W cũng là một G- không gian con

Chứng minh: Cho p V: V là một phép chiếu lên W Xét một phép

biến đổi tuyến tính p V0: V xác định bởi

1 0

1 1

1

1

| | 1 = w

| | 1 = w

| | 1 = (| | w) w.

Định lý 1.22 Cho :GGL V( ) là một biểu diễn tuyến tính của một

nhóm hữu hạn với V không tầm thường Khi đó tồn tại các G- không gian

n V Nếu n = 1, kết quả trên đúng với U1 V

Giả thiết kết quả trên đúng với bất kỳdim Vn Bây giờ hoặc V là bất khả quy hoặc tồn tại một G-không gian con thực sự U1V Theo định lý

1.21, tồn tại một G- phần bù '

1

U của U1 trong V với '

1

quy nạp tồn tại các G-không gian con bất khả quy '

Một ví dụ quan trọng của một G- không gian con của một biểu diễn bất kỳ 

trên V là G- không gian con bất biến

G

g

Chúng ta có thể xây dựng một phép chiếu từ G

V V là G- tuyến tính, trong trường hợp đặc số của không chia hết |G| Trong thực tế, chúng ta

thường quan tâm đến trường hợp khi  , do đó trong phần này, chúng ta sẽ giả thiết rằng có đặc trưng là 0

Mệnh đề 1.23 Cho :VV là một -biến đổi tuyến tính được xác định bởi

1 ( )=

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ CỦA NHÓM HỮU HẠN

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số tính chất của biểu diễn hoán vị

và ứng dụng chúng vào việc xác định các biểu diễn hoán vị và biểu diễn hoán vị mở rộng Các tính chất và kết quả chủ yếu được tham khảo trong tài liệu [4], [6]

2.1 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ

Cho G là một nhóm hữu hạn và X là một G-tập hữu hạn, nghĩa là một tập hữu hạn X được trang bị với một tác động của G lên X, ký hiệu là gx, với

gG xX

Một G-biểu diễn hữu hạn chiều :GGL V( ) trên được gọi là biểu

diễn hoán vị trên X nếu tồn tại một G-ánh xạ đơn ánh j X: V sao cho

im = ( )j j X V là một -cơ sở trên V Từ định nghĩa suy ra rằng một biểu diễn hoán vị thực sự phụ thuộc vào phép đơn ánh j Chúng ta cũng thường xét đến

trường hợp khi X V và j là phép nhúng của tập con của X Ở đây điều kiện

j là một G- ánh xạ tương ứng với yêu cầu sau:

Chú ý rằng từ tính đơn ánh của j2 suy ra tồn tại một G-ánh xạ duy nhất

tra được rằng : X1X2 là một G- tương đương

Bây giờ chúng ta sẽ xét sự tồn tại của các biểu diễn hoán vị, được tiến hành như sau:

Cho X là một tập hữu hạn được trang bị một G-tác động Ký hiệu

[ ]X Map X( , ) là tập hợp tất cả các ánh xạ X  Đây là một - không

gian vecto hữu hạn chiều với phép cộng và phép nhân với vô hướng được xác định như sau:

1 2 1 2

(f  f )( )x  f x( )  f x( ), ( )( )tf x t f x( ( )), trong đó f f1, 2,f Map X( , ), t và xX Từ định nghĩa suy ra tồn tại một

tác động của G lên Map X( , ) xác định bởi 1

a) Với một G-tập hữu hạn X, [ ]X là một biểu diễn hoán vị hữu hạn chiều có chiều dim [ ] |X  X|

x y

  



Khi đó ánh xạ j X:  [ ]X cho bởi j x( ) x trở thành một phép đơn ánh

Hơn nữa, j cũng là một G-ánh xạ, suy ra từ tính chất

 (xX ) sinh ra không gian [ ]X

Hơn nữa, chúng cũng là hệ độc lập tuyến tính, vì nếu hàm hằng lấy giá trị 0 được biểu diễn dưới dạng x x

nên suy ra tất cả các hệ số t x phải bằng 0

b) Tính -tuyến tính của  suy ra từ định nghĩa Để chứng tỏ  là một



2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIỂU DIỄN HOÁN VỊ

Cho X là một G-tập hữu hạn Kết quả dưới đây cho thấy làm thế nào để thể hiện một biểu diễn hoán vị tùy ý dưới dạng một tổng trực tiếp của các G-

tập hợp cảm sinh từ tính bắc cầu

Mệnh đề 2.3 Cho X  X1 X2 với X X1, 2  X là các tập con bất biến qua

tác động của G Khi đó tồn tại một G- đẳng cấu

1 2

Chứng minh: Cho j1 :X1 X và j2 :X2  X là các ánh xạ bao hàm,

chúng là các G-ánh xạ Theo Định lý 2.2(b), tồn tại các G-biến đổi tuyến tính

1 2 1 1 2 2

Cuối cùng, đây là một G-ánh xạ do ánh xạ ngược vừa xác định là tổng của hai

G-ánh xạ, do đó nghịch đảo của ánh xạ này là một G-ánh xạ

Cho X1 và X2 là các G-tập hợp Khi đó X X1X2 trở thành một G- tập

hợp với tác động được cho bởi g x x.( , 1 2 )  (gx gx1 , 2 )

Mệnh đề 2.4 Cho X1 và X2 là các tập hợp Khi đó tồn tại một

G-đẳng cấu

1 2 1 2

Chứng minh: Trước hết, ta có ánh xạ F: [X1]  [X2]  [X1 X ]2 xác định bởi

Kiểm tra trực tiếp suy ra F’ là một G- đẳng cấu tuyến tính

Định nghĩa 2.5 Cho G là một nhóm hữu hạn Biểu diễn chính qui trên

được định nghĩa là G- biểu diễn [G] Biểu diễn này có số chiều là

Mệnh đề 2.6 Biểu diễn chính qui của một nhóm hữu hạn G trên trường

là một vành (hơn nữa là một -đại số) Ngoài ra, vành này là giao hoán nếu

và chỉ nếu G là giao hoán