Đặc trưng Chern không giao hoán của C - Đại số đối với mặt cầu Sn

Minaminlần đầu tiên đã tính được đặc trưng Chern cho nhóm Lie compac và năm 2002 ĐỗNgọc Diệp và các cộng sự đã mô tả được đặc trưng Chern không giao hoán cho các C ∗ −đại số của các nhóm

2 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đại số đối với mặt cầu Sn 202.1 Đồng điều nguyên vàK − nhóm của C∗ − đại số của mặt cầu Sn 202.2 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đại số đối với mặt cầu Sn 25

Mở đầu

ChoX là một không gian tôpô,H ∗ (X)vàK ∗ (X)tương ứng là nhóm đồng điềuvới hệ số hữu tỷ vàK −nhóm của không gian tôpô của X. Khi đó đặc trưng CherncủaX là đồng cấu

ch : K ∗ (X) −→ H ∗ (X).

Trong trường hợp G là nhóm Lie compact, ký hiệu H DR ∗ (G;Q) là nhóm đồng

điều de Rham Z/(2) −phân bậc với hệ số hữu tỷ,K ∗ (G)là K −nhóm của G. Khi

đó đặc trưng Chern củaGlà đồng cấu

ch : K ∗ (G) ⊗Q −→ H ∗

DR (G;Q).

Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội của nhóm Liecompact, năm 1994 T Watanabe, L Hodgkin, R Held, U Stuter và H Minaminlần đầu tiên đã tính được đặc trưng Chern cho nhóm Lie compac và năm 2002 ĐỗNgọc Diệp và các cộng sự đã mô tả được đặc trưng Chern không giao hoán cho các

C ∗ −đại số của các nhóm Lie compact

Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đặc trưng Chernkhông giao hoán trong công trình Non-commutative Chern characters of compactLie group C ∗ −algebras of the sphers and quantum spheres", Journal of science,

Vietnam National University, Hanoi, Volume 25,No.4,(2009), 249 - 259 của tác giảNguyễn Quốc Thơ để giới thiệu lại cách tính đặc trưng Chern không giao hoán của

C ∗ −đại số của mặt cầu S n

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trìnhliên quan đến luận văn, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiếnthức liên quan như: Khái niệm vềC ∗ − đại số, đồng điều nguyên,K −nhóm và đặctrưng Chern không giao hoán của nhóm Lie.

Chương 2: Đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ − đại số đối với mặtcầuS n Đây là nội dung chính của Luận văn Trước hết chúng tôi trình bày cách xâydựng đồng điều nguyên và K − nhóm của mặt cầu S n Cuối cùng sử dụng các kếtquả trên để trình bày cách tính đặc trưng Chern không giao hoán của mặt cầuS n

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quốc Thơ Nhândịp này tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn Thầy, người đã đặt bài toán, tận tình chỉdẫn cho tác giả học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Tác giả chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đàotạo Sau đại học cùng Quý Thầy, Quý Cô trong Chuyên ngành Đại số và Lý Thuyết

số đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một học viên caohọc, đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành Luận văn Tác giảchân thành cảm ơn các bạn trong Lớp cao học khóa XX, Chuyên ngành Đại số và

Lý thuyết số, các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu

Cuối cùng tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn vô bờ bến đến cha mẹ, cảm ơn

sự hy sinh của vợ và con - niềm tin, chỗ dựa tinh thần vững chắc để tác giả vượt quamọi khó khăn hoàn thành chương trình học tập Xin trân trọng kính tặng Gia đìnhthân yêu của mình món quà tinh thần này với tấm lòng biết ơn chân thành nhất Donăng lực còn nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giảrất mong nhận được những sự góp ý của các nhà khoa học và đồng nghiệp để luậnvăn có thể được hoàn thiện tốt hơn

Nghệ An, ngày 18 tháng 5 năm 2014

Tác giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương này, trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về

C ∗ −đại số, đồng điều nguyên, K − nhóm và đặc trưng không giao hoán của nhómLie Sau đó dựa trên các khái niệm đã trình bày ở trên để xây dựng đồng điều nguyên

và K − nhóm của C ∗ − đại số của mặt cầu S n

Định nghĩa 1.1.1 ([7]) Giả sửGlà nhóm Lie compact, trên Gtồn tại độ đo bất biếnHaar, ký hiệu làdg. Xét đại số Banach đối hợp L1(G) gồm các hàm phức khả tíchtuyệt đối

quy, nghĩa là có thể xẩy ra

∥f ∗ g∥ ̸= ∥f∥.∥g∥.

Điều này làm cản trở việc nghiên cứu cấu trúc đại số L1(G).Cho nên chúng tôi

định nghĩa chuẩn mới như sau

vị hình thức vào bằng cách xét tổng trực tiếp của đại số này với C và mở rộng phépnhân một cách thích hợp) được gọi là C ∗ − đại số của nhóm Lie compact G

Định lý 1.1.2 Giả sử Glà nhóm Lie compact và bG là tập hợp tất cả các lớp tương

đương (unita) của những biểu diễn bất khả quy (unita) củaG. Khi đó ta có:

i) Tập hợp bG nói chung là không đếm được và nó là hữu hạn chỉ khi nhóm G

Định nghĩa 1.1.3 Một biểu diễn Fredholm củaC ∗ −đại sốAlà bộ ba (π1, π2, F ),

trong đó π1, π2 : A −→ Ê(H B) là các ∗− biểu diễn và F ∈ F(H B) là toán tửFredholm (có nghĩaF là một toán tử liên hợp biên trênC ∗ −môđun HilbertH B = l2

Trong trường hợp với G là nhóm Lie compact, A = C ∗ (G) và B = C thì

1.2 Đồng điều nguyên của đại số Banach đối hợp

Giả sử A là một đại số Banach đối hợp, trong [3] A Connes đã định nghĩa đối

đồng điều cyclic nguyênHE ∗ (A)và xây dựng song ánhK ∗ (A) ìHE ∗ (A) −→ C.

Sau đó Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư đã chứng minh tính chất bất biến đồngluân và bất biến Morita của HE ∗ (A). Trước hết, chúng tôi xây dựng đồng điềunguyên HE ∗ (A) của đại số Banach đối hợp A qua họ iđêan {I α } α ∈Γ trong A cùngvới ánh xạ vết τ α : I α −→ C làad A −bất biến

Giả sử A là đại số Banach đối hợp, {I α } α∈Γ là một họ các iđêan trong A cùngvới ánh xạ vết τ α : I α −→ C, thỏa mãn các điều kiện sau:

1 τ α là ánh xạ tuyến tính liên tục,∥τ α ∥ = 1,

2 τ α (aa ∗) ≥ 0 ∀a ∈ I α ,

3 τ α (aa ∗) = 0 nếu và chỉ nếu a = 0với α ∈ Γ,

4 τ α là ad A − bất biến, nghĩa là τ α(xa) = τα(ax) ∀x ∈ A, a ∈ I α

Với α ∈ Γ, ánh xạ vết τ α xác định một tích vô hướng trên mỗi một iđêan I α

được cho bởi công thức

⟨a, b⟩ τ α := τ α (ab ∗) ∀a, b ∈ I α

Ký hiệu I α là không gian được bổ sung đầy đủ của không gian I α đối với tích vôhướng trên Định nghĩa quan hệ thứ tự tự nhiên trên Γ như sau:

α 6β 6 γ ⇐⇒ I α ⊆ I β ⊆ I γ , ∀α, β, γ ∈ Γ.

Xét họ{I β , j β

α }với quan hệ thứ tự tự nhiên ở trên Γ : ∀α, β, γ ∈ Γ, α 6β 6 γ

sao cho j α β : Iα −→ I β là đồng cấu đại số liên tục thỏa mãn điều kiện

α)⊗(n+1) −→ C | φ là ánh xạ (n + 1) −tuyến tính liên tục}

là không gian các ánh xạ (n + 1) − tuyến tính liên tục

Vì eI α là không gian Hilbert, nên C n(Ieα)cũng là một không gian Hilbert Giả sử

α, β, γ ∈ Γ và α 6 β 6γ, xác định đồng cấu liên tục

Mệnh đề 1.2.1 ([4]) Các đồng cấu liên tục b, b ′ , λ và S được mở rộng thành các

Định nghĩa 1.2.2 ([4]) Giả sửAlà đại số Banach đối hợp,{I α } α ∈Γlà họ iđêan trong

A,cùng với ánh xạ vết τ α : Aα −→ C làad A − bất biến Khi đó không gian

b, b ′ , λ, S. Vì b, b ′ , λ, S là các đồng cấu liên tục, do đó b ∗ , (b ′)∗ , λ ∗ , S ∗ cũng là các

đồng cấu liên tục ([4]) Vì:

b2 = b ′2 = 0 và N (1 − λ) = (1 − λ)N = 0

nên

(b ∗)2 = (b ′ ∗)2 = 0và N ∗(1− λ ∗) = (1− λ ∗ )N ∗ = 0.

Từ các vi phân b ∗ , (b ′)∗ , λ ∗ , N ∗ chúng tôi xây dựng được phức mới như sau:

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử A là đại số Banach đối hợp Sơ đồ giao hoán sau đây(ký hiệu là C(A)) được gọi là song phức dây chuyền cyclic

∗được ký hiệu là toán tử liên hợp của toán tử tương ứng

Từ cách xây dựng C(A) ở trên, thì phức toàn phần của C(A) được định nghĩanhư sau:

T ot(C(A)) even = T ot(C(A)) odd := ⊕

Định nghĩa 1.2.5 Một dây chuyền (f n)n ≥0 ∈ C(A) được gọi là nguyên, nếu bánkính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Như vậy qua Định nghĩa 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6 chúng ta xây dựng được songphức của những dây chuyền nguyên, ký hiệu là C e (A). Song phức C e (A) là songphức con của song phứcC(A).

Định lý 1.2.7 ([4]) Giả sửC e (A)là song phức con của song phức C(A)gồm nhữngdây chuyền nguyên và

T ot(C e (A)) even = T ot(Ce(A)) odd := ⊕

Định nghĩa 1.2.8 (xem [4]) Giả sử A là đại số Banach đối hợp Đồng điều toànphần của song phức C e (A) được gọi là đồng điều nguyên của những dòng de Rhamkhông giao hoán trên đại số Banach đối hợpA,ký hiệu là HE ∗ (A).

Trong [4] Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư dùng lý thuyết dạng vi phân khônggiao hoán đã chứng minh được các tính chất của đồng điều nguyênHE ∗ (A) :

1 Tính bất biến đồng luân: Giả sửA, B là các đại số Banach đối hợp,{A λ } λ ∈Γ , {B λ } λ ∈Γ là các họ iđêan tương ứng trong A, B và φ t = (φ λ t)λ ∈ Γ, với

2 Tính bất biến Morita: Giả sử Alà đại số Banach đối hợp, {A λ } ∈Γ là họ iđêantrong A.Đồng cấu i = (i λ)λ ∈Γ ,trong đó i λ xác định như sau:

1.3 Đặc trưng Chern không giao hoán

Giả sử G là nhóm Lie compact, H DR ∗ (G,Q) là nhóm đồng điều de Rham với

hệ số hữu tỷ của Gđược mô tả như những tích phân de Rham, các phần tử đại diện

là các dạng vi phân với độ sai khác tới vi phân toàn phần, khi lấy tích phân theocác chu trình tương ứng thì ta nhận được các giá trị bằng số Mặt khác, K ∗ (G) là

K −nhóm của Gcó phần tử sinh với các đại diện là các phân thớ véctơ Khi đó đặctrưng Chern củaG được định nghĩa là đồng cấu

ch : K ∗ (G) ⊗Q −→ H ∗

DR (G;Q)

giữaK − nhóm và đồng điều de Rham tương ứng củaG.

Cũng như trong trường hợp cổ điển, đặc trưng Chern không giao hoán của

C ∗ −đại số của nhóm Lie compact là đồng cấu

ch : K ∗ (C ∗ (G)) −→ HP ∗ (C ∗ (G))

giữaK − nhóm và đồng điều cyclic tuần hoàn

Chúng tôi ứng dụng cách xây dựng đồng điều HP ∗ và HE ∗ trong 1.2 và lýthuyết KK − nhóm của G G Kasparov đã trình bày trong [5] để tính đặc trưngChern không giao hoán củaC ∗ − đại số của nhóm Lie compact G.

Mệnh đề 1.3.1 ([8]) Giả sử e là ma trận lũy đẳng trong M k (A)

(với k ∈ N) và φ = ∂ψ trong đó φ ∈ C n(Ieα) vàψ ∈ C n+1(Ieα) (với n là chẵn).Khi đó, ta có

Chứng minh Trong [3] A Connes đã xây dựng ánh xạ K n (A) ì C n (A) −→ C.

Từ Mệnh đề 1.3.1 và cách xây dựng C n (A), ta xây dựng được Hom(C n (A),C)

gồm những phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C n (A). Do đó ánh xạ

K n (A) ì C n (A) −→Cxác định cho ta ánh xạ

Định lý 1.3.3 Giả sử T và W = N T /T tương ứng là xuyến cực đại và nhóm Weylcủa nhóm Lie compact G, trong đó N T là chuẩn hóa của T trong G. Khi đó đặctrưng Chern không giao hoán

Vậy, HE ∗ (C ∗ (G)) ∼ = HE ∗ W(C(T )).

Vì những biểu diễn bất khả quy của những nhóm Lie compact G được đánh sốbởi các trọng trội của nó, nên tích ở trên được chỉ số hóa bởi modulo trọng trội dướitác động của nhóm WeylW.

Ngoài ra, theo T Watanabe ([7]) ta có K W ∗ (T ) ∼ = K W ∗ (BT ), trong đó BT làkhông gian phân loại của xuyến T.

Theo tính chất bất biến Morita của đồng điều nguyên và theo kết quả của B V.Fedosov về đặc trưng Chern và định lý chỉ số ta có biểu đồ giao hoán

Sử dụng kết quả của T Watanabe (xem [7]), đặc trưng Chern của các lớp nhóm nêu

trong đó các ρ i (với i = 1, 2, 3, , n) là các biểu diễn bất khả quy của G và

β : R[G] −→ K ∗ (G) là ánh xạ Bott T Watanabe đã sử dụng kết quả trên để xétcho trường hợp G = SU (n + 1) và SO(2n + 1) ([7]), ta có:

K ∗ (SU (n + 1)) = ΛC(β(ρ1), β(ρ2), , β(ρn))

K ∗ (SO(2n + 1)) = ΛC(β(ρ1), β(ρ2), , β(ρ n ), ϵ 2n+1)

trong đó,ϵ 2n+1 ∈ K ∗ (SO(2n + 1)) sao cho ánh xạ

p ∗ : K ∗ (SO(2n + 1)) −→ K ∗ (Spin(2n + 1))

thỏa mãn điều kiệnp ∗ (ϵ 2n+1 ) = 2β(∆ 2n+1 ),với∆2n+1 : Spin(2n + 1) −→ U(2 n)

là biểu diễn Spin

b) Giả sử G là nhóm Lie compact và T là xuyến cực đại của G, ký hiệu

c) Xét hàm

ϕ : NìNìN −→Zxác định bởi công thức

Khi đó ta có sơ đồ giao hoán:

K ∗ (G) −−→ K η ∗ (C ∗ (G)) ch

Chương 2

Đặc trưng Chern không giao

Nội dung chính của chương này là chúng tôi sử dụng những kết quả đã trình bày

ở trong Chương 1 để tính đặc trưng Chern không giao hoán củaC ∗ −đại số của mặtcầuS n Cụ thể mô tả đẳng cấu

Trong Định lý 1.3.3 Chương 1, chúng tôi đã chứng minh được đặc trưng Chernkhông giao hoán củaC ∗ − đại số của nhóm Lie compact Glà đẳng cấu

ch C ∗ : K ∗ (C ∗ (G)) −→ HE ∗ (C ∗ (G)).

Bây giờ, chúng tôi sử dụng kết quả đã thu được trong Chương 1 để tính đặc trưngChern không giao hoán của C ∗ (S n) là C ∗ − đại số của mặt cầu S n Để làm được

điều đó chúng tôi dựa vào hai sự kiện sau

1 VìO(n)là nhóm con đóng trongO(n+1)nên mặt cầuS n = O(n+1)/O(n)

là không gian thuần nhất Do đó,C ∗ − đại số của mặt cầu S n chính là C ∗ − đại sốcủa nhóm biến đổi Vậy theo [5] thì

C ∗ (S n ) ∼ = C ∗ (O(n)) ⊗ K(L2(S n )).

2 Định lý về tính ổn định của K ∗ và HE ∗ cho phép ta chuyển bài toán tính

đặc trưng Chern không giao hoán củaC ∗ (S n)về tính đặc trưng của C ∗ − đại số củanhóm con đóng O(n)trong O(n + 1).

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử T n là xuyến cực đại của O(n)và N T n là chuẩn hóa củaT n

trongO(n).Khi đó, đồng điều nguyên của C ∗ (S n) được mô tả như sau

gian HilbertL2(O(n + 1)/O(n)). VËy theo [8], ta cã

σ ∗ : H ∗ (BSO(n), R) −→ H ∗ (BSO(n), R), với R là vành giao hoán có đơn vị

và p i = σ i (t ′1, t ′2, , t ′ n) ∈ H ∗ (BT n;Z) là các lớp Pontryagin Vậy

HE ∗ (C ∗ (S n )) ∼= ΛC(x ′3, x ′7, , x ′ 2n+3 ).

Mệnh đề 2.1.2 Giả sử T n là xuyến cực đại của O(n)và N T n là chuẩn hóa củaT n

trongO(n).Khi đó, K −nhóm của C ∗ (S n) được mô tả như sau:

Do đó, để tính K ∗ (C ∗ (S n )), trước hết ta phải tính được K ∗ (SO(n + 1))/T or.

Lập luận tương tự trong trường hợp G = SU (n + 1) của T Watanabe [7], xét ánhxạ bao hàm λ1 : SU (n + 1) −→ U(n + 1),tức là λ1 ∈ R(SU(n + 1)) thì λ1 cótrọng trội ω1 = t1. Khi đó, tập hợp {t i \ i = 1, 2, , n + 1} là tập hợp các trọng

trội củaλ1.Nếu ký hiệuλ k = λ k (λ1),trong đóλ k là λ − lũy thừak trongλ − phéptoán của K − lý thuyết, khi đó theo T Watanabe [7], ta có

Từ (1), ta bổ sung hai phần tử ε n+1 ∈ K −1 (SO(n)) và ξ n+1 ∈ K0(SO(n)) saocho

Định lý 2.2.1 Giả sửT n là xuyến cực đại của O(n), T n cũng là xuyến cực đại của

SO(n) với tác động của nhóm Weyl W = N T n /T n Khi đó đặc trưng Chern của

Dựa vào sơ đồ giao hoán trên, để tính đặc trưngch C ∗ ta phải tính đặc trưng

((−1) i /i!)ϕ(n + 1, k, i + 1)x 2i+1 với k ≥ 1.

Bây giờ ta xây dựng ánh xạ

((−1) i −1 /(2i − 1)!)ϕ(2n + 1, k, 2i)(−1) i 2x ′ 2i+3

Kết luận (i)đã được chứng minh

Tóm lại, đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ (S n) là đẳng cấu

Kết luận của luận văn

Luận văn đã hoàn thành những nội dung sau đây:

1 Trình bày lại các kết quả vềC ∗ −đại số, đồng điều nguyên vàK −nhóm củanhóm Lie compact nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính củaluận văn

2 Trình bày lại khái niệm về đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ − đại sốcủa nhóm Lie compact

3 Mô tả đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ −đại số của mặt cầu S n

Tµi liÖu tham kh¶o

[5] Kasparov G G (1981) The operator K - functor and extensions of

C ∗ −algebras" English translation, Math USSR Izv, 16, 513 - 572

[6] Kirillov A A (1975) Elements of the Theory of Representations, Verlag, Berlin - Heidelberg - New York

Spsinger-[7] T Watanabe, (2004) On the Chern characters of symmetric spaces related to

SU (n), J Math.Kyoto Univ (JMKYAZ), 34 -1, 149 - 169

[8] Tho N Q., (2009) Non-commutative Chern characters of compact Lie group

C ∗ −algebras of the sphers and quantum spheres, Journal of science,

Vietnam National University, Hanoi, Volume 25,No.4,(2009), 249 - 259