đặc trưng chern không giao hoán của c∗− đại số của nhóm lie compact và nhóm lượng tử tương ứng

50 2.3 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đại số của nhóm lượng tử compact... 2.4 Phương án đại số của đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đạisố của nhóm lượng tử compact... K

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Quốc Thơ

Đặc trưng Chern không giao hoán

và nhóm lượng tử tương ứng

Luận án tiến sĩ toán học

Nghệ An - 2012

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Quốc Thơ

Đặc trưng Chern không giao hoán

Nghệ An - 2012

Mục lục

1 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ −đại số của nhóm Lie compact 13

1.1 C∗ − đại số nhóm 14

1.2 Đồng điều nguyên của đại số Banach đối hợp 17

1.3 Đặc trưng Chern không giao hoán 23

1.4 Phương án đại số của đặc trưng Chern không giao hoán 30

1.5 Kết luận Chương 1 43

2 Đặc trưng Chern không giao hoán của nhóm lượng tử compact 44 2.1 Nhóm lượng tử compact và biểu diễn 45

2.2 Tính ổn định của đồng điều nguyên của những dòng de Rham không giao hoán 50

2.3 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đại số của nhóm lượng tử compact 54

1

2.4 Phương án đại số của đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đại

số của nhóm lượng tử compact 592.5 Kết luận Chương 2 63

3 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ −đại số của mặt cầu Sn và mặt

3.1 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ −đại số của mặt cầu Sn 653.2 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ −đại số của mặt cầu lượng tử 743.3 Kết luận Chương 3 81

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chungvới tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án Cáckết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kìmột công trình nào khác

Tác giả

3

Lời cảm ơn

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của

GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc của mình tới Giáo sư, Người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu, dạy bảo

và giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt thời gian qua Tác giả xin trân trọng cảm ơn

GS TS Aderremi Oluyomi Kuku đã có nhiều sự quan tâm, giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và nghiên cứu

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp, sựchỉ bảo và giúp đỡ nhiệt tình của GS TSKH Hà Huy Khoái và

GS TSKH Ngô Việt Trung Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mìnhtới cá nhân các Giáo sư

Tác giả xin trân trọng gửi tới PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, PGS

TS Nguyễn Thành Quang, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS.Kiều Phương Chi, TS Vũ Thị Hồng Thanh, TS Nguyễn Văn Đức lời biết ơn chânthành và sâu sắc của mình về sự giúp đỡ và nhiều ý kiến đóng góp xác đáng mà cácnhà khoa học đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu cũng nhưviết và chỉnh sửa bản thảo của luận án

Tác giả xin được cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Tổ Đại số, Khoa Toán, Khoa

Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trường Đạihọc Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiêncứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, các NCS về những góp

ý, thảo luận đầy ý nghĩa

4

Cuối cùng tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn vô bờ bến đến cha mẹ, đặc biệt

là người cha quá cố của tác giả, vẫn luôn mong đợi tác giả được thành đạt trên con

đường học vấn Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con - niềm tin, chỗ dựa tinh thầnvững chắc để tác giả vượt qua mọi khó khăn hoàn thành luận án Xin trân trọng kínhtặng Gia đình thân yêu của mình món quà tinh thần này với tấm lòng biết ơn chânthành nhất Do năng lực còn nhiều hạn chế, nên luận án không tránh khỏi nhữngthiếu sót, tác giả rất mong nhận được những sự góp ý của các nhà khoa học và đồngnghiệp để luận án có thể được hoàn thiện tốt hơn

Nghệ An, ngày 28 tháng 3 năm 2012

Tác giả

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán nghiên cứu cấu trúc C ∗ −đại số nhóm và nhóm lượng tử là một bài toánquan trọng trong Hình học không giao hoán nói riêng và trong Toán học nói chung.Các cách tiếp cận thông thường đưa tới hai lý thuyết: KK − lý thuyết như là mộttổng quát hóa K − lý thuyết Atiyah-Singer và lý thuyết đồng điều không giao hoánnhư là một tổng quát hóa lý thuyết đối đồng điều de Rham Hàm tử liên quan giữahai lý thuyết này là các đặc trưng Chern không giao hoán Đặc trưng Chern khônggiao hoán xuất hiện trong nhiều bài toán của Toán học và Vật lý học, chẳng hạn nhưcông thức tính chỉ số của toán tử elliptic, công thức ký số bậc cao, Vì thế việc tính

đặc trưng Chern không giao hoán là bài toán được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu

Khi X là một không gian tôpô, H ∗ (X)là nhóm đồng điều với hệ số hữu tỷ của

X được mô tả bởi những tích phân de Rham, được đại diện bởi các dạng vi phân với

độ sai khác tới vi phân toàn phần, khi lấy tích phân theo các chu trình tương ứng thì

ta nhận được giá trị bằng số Mặt khác, K ∗ (X)là K − nhóm của không gian tôpô

X có phần tử sinh với đại diện là các phân thớ véctơ Khi đó đặc trưng Chern của X

là đồng cấu

ch : K ∗ (X) −→ H ∗ (X).

Trong trường hợp G là nhóm Lie compact, ký hiệu H DR ∗ (G;Q) là nhóm đồng

điều de Rham Z/(2) − phân bậc với hệ số hữu tỷ, K ∗ (G) là K − nhóm của G.

Khi đó đặc trưng Chern của G là đồng cấu

ch : K ∗ (G) ⊗Q−→ H ∗

DR (G;Q).

6

Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội của nhóm Lie compact,trong [23], [60], [61] các tác giả T Watanabe, L Hodgkin, R Held, U Stuter và H.Minamin đã tính được đặc trưng Chern cho các nhóm Lie compactSU (2n), Sp(n), SO(2n+1)và các không gian đối xứng compactSU (n)/Sp(n), SU (2n)/SO(2n),

SU (2n + 1)/SO(2n + 1). Ngoài những trường hợp trên, việc tính đặc trưng Cherncủa các không gian đối xứng compact địa phương nói chung và của các nhóm Liecompact địa phương nói riêng đang còn là những bài toán mở

Hình học không giao hoán ra đời vào những năm cuối thập kỷ 70, đầu thập kỷ

80 của thế kỷ XX với những công trình mở đầu của G G Kasparov ([27], [28],[29]) về lý thuyết hàm tử KK và của A Connes ([4], [5]) về đồng điều cyclic tuầnhoàn, đối đồng điều nguyên cho đại số Banach và đặc trưng Chern không giao hoán.Cũng như trong hình học giao hoán, việc xây dựng và chứng minh các tính chất của

lý thuyết đồng điều và đối đồng điều cyclic trên đại số Banach đóng một vai trò quantrọng trong sự phát triển của hình học không giao hoán Sau công trình mở đầu của

A Connes, hình học không giao hoán được các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu vàphát triển

Năm 1993, trong [44] J Cuntz và D Quillen đã đưa ra một cách tiếp cận đại sốcho lý thuyết này và biến chúng thành một nhánh mới của hình học đại số bằng cáchxây dựng một cách hệ thống lý thuyết các dạng vi phân không giao hoán trên đại sốkhông giao hoán Lý thuyết của J Cuntz và D Quillen cho phép chúng ta tính toán

và biến đổi trực tiếp trên các dạng vi phân không giao hoán

Năm 1998, trong [13], [14], Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư đã xây dựng mộtcách tiếp cận lý thuyết đồng điều nguyên của những dòng de Rham không giao hoántrên đại số Banach đối hợp A, bằng cách xây dựng đồng điều nguyên HE ∗ (A) qua

họ iđêan {I α } α ∈Γ trong A cùng với ánh xạ vết τ α : I α −→ C là ad A − bất biến và

đã chứng minh HE ∗ (A) thỏa mãn một số tính chất của đồng điều suy rộng như làtính bất biến đồng luân, tính bất biến Morita

Cũng như trong trường hợp cổ điển, đặc trưng Chern không giao hoán của đại sốBanach đối hợp có đơn vị Alà đồng cấu

ch : K ∗ (A) −→ HE ∗ (A)

giữa K − nhóm và đồng điều nguyên A Connes đã xây dựng đồng cấu trên bằngcách xây dựng phép lập cặp

K ∗ (A) ì HE ∗ (A) −→ C.

Tuy nhiên việc tính đặc trưng Chern theo lý thuyết của A Connes là bài toán khó

và phức tạp Cụ thể, khi Alà đại số Banach giao hoán, thì đặc trưng Chern của Ađã

được các nhà Toán học tính toán một cách tường minh Ngược lại trong trường hợp

A là đại số Banach không giao hoán (chẳng hạn đối với đại số toán tử compact trênkhông gian Hilbert) thì việc tính đặc trưng Chern của Acòn là bài toán mở

Trong [13], [14], Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư đã cải tiến cách xây dựng

đặc trưng Chern không giao hoán của A Connes bằng cách: Phép lập cặp

K ∗ (A) ì HE ∗ (A) −→ Ccủa A Connes, được thu gọn thành phần thứ hai xuống các iđêan và lấy giới hạnthuận theo một hệ thuận các iđêan trong A.Khi đó các tác giả đã thu được một đặctrưng Chern không giao hoán mới có liên hệ với giới hạn thuận

K ∗ (A) −→ lim −→ HE ∗ (I α ).

Tất cả vấn đề nêu trên là lý do để chúng tôi chọn đề tài: Đặc trưng Chern khônggiao hoán của C∗ −đại số của nhóm Lie compact và nhóm lượng tử tương ứng

2 Mục đích nghiên cứu

Tính toán cụ thể đặc trưng Chern không giao hoán ch : K ∗ (A) −→ HE ∗ (A)chocác lớp C ∗ − đại số:

i) Alà C ∗ − đại số của nhóm Lie compact

ii)A là C ∗ −đại số của nhóm nhóm lượng tử compact

iii) A là C ∗ − đại số của mặt cầu và mặt cầu lượng tử.

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là C ∗ − đại số của nhóm Lie compact,

C ∗ − đại số của nhóm lượng tử, C ∗ − đại số của mặt cầu và mặt cầu lượng tử

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu trong lĩnh vực lý thuyết đồng điều suy rộng, lý thuyếtKK- nhóm, lý thuyết nhóm lượng tử, lý thuyết các dạng vi phân và lý thuyết đặctrưng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của luận án là phương pháp lý thuyết: Bằng cách sử dụng

và cải tiến cách xây dựng đồng điều của A Connes, lý thuyết các dạng vi phân khônggiao hoán trên đại số của J Cuntz và D Quillen, lý thuyết biểu diễn nhóm lượng tửcủa V Chari và A Pressley để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của luận án

ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về đặctrưng Chern Cụ thể là đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ −đại số của nhómLie compact và nhóm lượng tử tương ứng

ý nghĩa thực tiễn: Luận án có thể lấy làm một tài liệu cho những người quan tâm

đến đề tài luận án

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trìnhliên quan đến luận án, nội dung luận án được trình bày trong ba chương

Chương 1: Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đại số của nhómLie compact Cho G là nhóm Lie compact, ký hiệu C ∗ (G) là C ∗ − đại số của

G. Trong chương này, chúng tôi sử dụng và cải tiến cách xây dựng đối đồng điều

của A Connes ([4], [5]), lý thuyết dạng vi phân không giao hoán của J Cuntz và

D Quillen ([44]) để tính đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ (G). Mục 1.1,chúng tôi trình bày khái niệmC ∗ −đại số nhóm và một số tính chất của nó Trong 1.2trình bày khái niệm về đồng điều nguyên của đại số Banach đối hợp, định nghĩa khônggian các dòng de Rham không giao hoán, xây dựng song phức dây chuyền cyclic,

từ đó định nghĩa đồng điều cyclic tuần hoàn toàn phần và đồng điều nguyên củanhững dòng de Rham không giao hoán trên đại số Banach đối hợp A tương ứng kýhiệu là HP ∗ (A) và HE ∗ (A). Tiếp theo, trong 1.3 chúng tôi trình bày khái niệm về

đặc trưng Chern không giao hoán, nội dung chính của mục này là tính được đặc trưngChern không giao hoán của C ∗ − đại số của nhóm Lie compact G (Định lý 1.3.3).Cuối cùng, trong 1.4, trình bày khái niệm về phương án đại số của đặc trưng Chernkhông giao hoán Nội dung chính trong mục này là chúng tôi sử dụng cách xây dựng

X − phức cho một đại số của J Cuntz và D Quillen để tính đặc trưng Chern khônggiao hoán đại số củaC ∗ (G) (Định lý 1.4.9)

Chương 2: Đặc trưng Chern không giao hoán của nhóm lượng tử compact

Ký hiệu C ϵ ∗ (G) là C ∗ − đại số của nhóm lượng tử compact G. Trong chương nàychúng tôi tiếp tục dùng lý thuyết dạng vi phân không giao hoán trên đại số của

J Cuntz và D Quillen ([44]), hình học vi phân không giao hoán của A Connes([4], [5]), lý thuyết biểu diễn nhóm lượng tử compact của V Chari và A Pressley([42]) và những kết quả đã trình bày trong Chương 1để tính đặc trưng Chern khônggiao hoán của C ϵ ∗ (G). Trong 2.1, trình bày khái niệm về nhóm lượng tử compact,

C ∗ − đại số của nhóm lượng tử compact G(Định nghĩa 2.1.7) và chứng minh đượctính chất

Tính chất trên có vai trò quan trọng trong việc tính các K − nhóm và đồng điều

HE ∗ của C ϵ ∗ (G). Nhờ tính chất này việc tính các K − nhóm và đồng điều HE ∗

của C ϵ ∗ (G) được quy về tính trên các chuẩn toán tử của xuyến cực đại Nội dung

chính của 2.2, chúng tôi đã chứng minh được tính ổn định của đồng điều HE ∗ (A)

(Định lý 2.2.2) Tiếp theo trong 2.3 trình bày khái niệm đặc trưng Chern không giaohoán của C ∗ − đại số của nhóm lượng tử compact, sau khi đưa ra các kết quả vềviệc mô tả K ∗ (C ϵ ∗ (G)) và HE ∗ (C ϵ ∗ (G)) (Bổ đề 2.3.1 và Bổ đề 2.3.2), chúng tôi đãtính được đặc trưng Chern không giao hoán của C ϵ ∗ (G) (Định lý 2.3.3) Cuối cùng,trong 2.4, chúng tôi trình bày khái niệm phương án đại số của đặc trưng Chern khônggiao hoán củaC ϵ ∗ (G).Trước hết chúng tôi tính HP ∗ (C ϵ ∗ (G)) (Bổ đề 2.4.1) và đưa ra

định nghĩa đặc trưng Chern không giao hoán đại số của C ϵ ∗ (G) (Định nghĩa 2.4.2).Nội dung trọng tâm của mục này là tính được đặc trưng Chern không giao hoán đại

số của C ϵ ∗ (G) (Định lý 2.4.4)

Chương 3: Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ − đại số của mặt cầu

Sn và mặt cầu lượng tử Sử dụng những kết quả của Chương 1 và Chương 2, trongchương này chúng tôi tính đặc trưng Chern không giao hoán củaC ∗ −đại số của mặtcầu S n và của mặt cầu lượng tử tương ứng Hai vấn đề cần giải quyết là:

i) Tính ch C ∗ : K ∗ (C ∗ (S n)) −→ HE ∗ (C ∗ (S n)) là đặc trưng Chern không giaohoán củaC ∗ −đại số của mặt cầu S n

ii) Chứng minh ch C ϵ ∗ : K ∗ (C ϵ ∗ (S 2n+1)) −→ HE ∗ (C ϵ ∗ (S 2n+1)) đặc trưng Chernkhông giao hoán củaC ∗ −đại số của mặt cầu lượng tử là một đẳng cấu

Trong 3.1, trình bày khái niệm đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ − đại

số của mặt cầu S n Vì O(n) là nhóm con đóng trong O(n + 1), nên mặt cầu

S n = O(n + 1)/O(n) là không gian thuần nhất Do đó, C ∗ − đại số của mặtcầu S n chính là C ∗ − đại số của nhóm biến đổi Khi đó, theo A J Packer ([38]),

Định lý về tính ổn định của K ∗ và HE ∗ trong Chương 2 cho phép ta tính được

đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ − đại số của mặt cầu S n (Định lý 3.1.3).Trong 3.2, chúng tôi áp dụng Định lý 2.1.8 và Định lý về tính ổn định của HE ∗ và

K ∗ ở Chương 2 để tính đặc trưng Chern không giao hoán cho trường hợp không gianthuần nhất không giao hoán là C ∗ − đại số của mặt cầu lượng tử (Định lý 3.2.8)

8 Các kết quả của luận án được thảo luận và báo cáo tại

1. Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Đại học Thái Nguyên, 12/1998

2. Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Đại học Vinh, 12/2007

3. Hội thảo khoa học Kỷ niện 50 năm thành lập trường ĐH Vinh, 10/2009

4. Xêmina Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán, Đại học Vinh

5. Xêmina Hình học - Tôpô, Phòng Hình học - Tôpô, Viện Toán học

Chương 1

Đặc trưng Chern không giao hoán của

C ∗ − đại số của nhóm Lie compact

Giả sử G là nhóm Lie compact, ký hiệu C ∗ (G) là C ∗ − đại số của G.

Trong chương này chúng tôi sử dụng và cải tiến cách xây dựng đồng điều của

A Connes ([4],[5]) bằng cách xây dựng đồng điều tuần hoàn HP ∗ như là giới hạnthuận của HP ∗ trên họ các iđêan cho trước có những tính chất thích hợp Dùng lýthuyết dạng vi phân không giao hoán trên đại số của J Cuntz và D Quillen ([44]) đểtính đặc trưng Chern không giao hoán củaC ∗ (G).Cụ thể chúng tôi sẽ chứng minh

1 Đặc trưng Chern không giao hoán

ch C ∗ : K ∗ (C ∗ (G)) −→ HE ∗ (C ∗ (G))

của C ∗ (G) là một đẳng cấu và mô tả đẳng cấu đó

2 Đặc trưng Chern không giao hoán đại số

ch alg : K ∗ alg (C ∗ (G)) −→ HP ∗ (C ∗ (G))

của C ∗ (G) là một đẳng cấu và mô tả đẳng cấu đó

Trước hết chúng tôi trình bày tóm tắt những kiến thức chuẩn bị cần thiết như: KháiniệmC ∗ −đại số, lý thuyếtK −nhóm, đồng điều nguyên của những dòng de Rhamkhông giao hoán, lý thuyết biểu diễn tương ứng,

13

1.1 C∗ − đại số nhóm

Định nghĩa 1.1.1 ([32]) Giả sử G là nhóm Lie compact, trên G tồn tại độ đo bấtbiến Haar, ký hiệu là dg. Xét đại số Banach đối hợp L1(G) gồm các hàm phức khảtích tuyệt đối

Điều này làm cản trở việc nghiên cứu cấu trúc đại số L1(G). Cho nên chúng tôi

định nghĩa chuẩn mới như sau

vị hình thức vào bằng cách xét tổng trực tiếp của đại số này với C và mở rộng phépnhân một cách thích hợp) được gọi là C ∗ − đại số của nhóm Lie compact G

Giả sử Glà nhóm Lie compact và bG là tập hợp tất cả các lớp tương đương (unita)của những biểu diễn bất khả quy (unita) của G. Khi đó, theo A A Kirillov [32]

ta có các kết quả sau

i) Tập hợp bGnói chung là không đếm được và nó là hữu hạn chỉ khi nhómGhữuhạn.

ii) Mỗi biểu diễn bất khả quy của nhóm Lie compact Gtương đương với một biểudiễn unita chiều hữu hạn

iii) Mỗi biểu diễn π củaG có thể mở rộng thành ∗− biểu diễn của C ∗ (G) bằngcông thức biến đổi Fourier- Gel'fand

Định nghĩa 1.1.2 Một biểu diễn Fredholm của C ∗ −đại sốA là bộ ba(π1, π2, F ),

trong đó π1, π2 : A −→ Ê(H B) là các ∗− biểu diễn và F ∈ F(H B) là toán tửFredholm (có nghĩaF là một toán tử liên hợp biên trênC ∗ −môđun HilbertH B = l2

Trong trường hợp với G là nhóm Lie compact, A = C ∗ (G) và B = C thì

1.2 Đồng điều nguyên của đại số Banach đối hợp

Giả sử A là một đại số Banach đối hợp, trong [4], [5] A Connes đã định nghĩa

đối đồng điều cyclic nguyên HE ∗ (A) và phép lập cặp K ∗ (A) ì HE ∗ (A) −→ C.

Sau đó trong [28], [29] M Khalkhali đã chứng minh tính chất bất biến đồng luân

và bất biến Morita của HE ∗ (A). Trước hết, chúng tôi xây dựng đồng điều nguyên

HE ∗ (A) của đại số Banach đối hợp A qua họ iđêan {I α } α∈Γ trong Acùng với ánhxạ vếtτ α : I α −→ C làad A − bất biến ([13], [14])

Giả sửAlà đại số Banach đối hợp, {I α } α∈Γ là một họ các iđêan trongAcùng với

ánh xạ vếtτ α : I α −→C, thỏa mãn các điều kiện sau:

1 τ α là ánh xạ tuyến tính liên tục,∥τ α ∥ = 1,

2 τ α (aa ∗) ≥ 0 ∀a ∈ I α ,

3 τ α (aa ∗) = 0 nếu và chỉ nếu a = 0với α ∈ Γ,

4 τ α là ad A − bất biến, nghĩa là τ α (xa) = τ α (ax) ∀x ∈ A, a ∈ I α

Với α ∈ Γ, ánh xạ vếtτ αxác định một tích vô hướng trên mỗi một iđêan I α đượccho bởi công thức

⟨a, b⟩ τ α := τ α (ab ∗) ∀a, b ∈ I α

Ký hiệu I α là không gian được bổ sung đầy đủ của không gian I α đối với tích vôhướng trên Định nghĩa quan hệ thứ tự tự nhiên trên Γ như sau:

α 6 β 6γ ⇐⇒ I α ⊆ I β ⊆ I γ , ∀α, β, γ ∈ Γ.

Xét họ {I β , j β

α }với quan hệ thứ tự tự nhiên ở trên Γ : ∀α, β, γ ∈ Γ, α 6β 6 γ

sao cho j α β : I α −→ I β là đồng cấu đại số liên tục thỏa mãn điều kiện

j β γ j α β = j α γ : I α −→ I γ và j α α = id.

Ký hiệuI α ⊗(n+1) là tích tenxơ của (n + 1) −không gian Hilbert I α Vì I α là khônggian Hilbert nên I α ⊗(n+1) cũng là không gian Hilbert

Ký hiệu eI α = I α ⊕C, ∀α ∈ Γ là đại số có đơn vị hình thức của I α và

C n(Ie

α) ={

φ : ( Ie

α)⊗(n+1) −→C | φ là ánh xạ (n + 1) −tuyến tính liên tục}

là không gian các ánh xạ (n + 1) − tuyến tính liên tục

Vì eI α là không gian Hilbert, nên C n(Ie

α) cũng là một không gian Hilbert Giả sử

α, β, γ ∈ Γ và α 6 β 6 γ,xác định đồng cấu liên tục

−→ C n(Ieα ). Trong [13], [14], Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư đã chứng minh

được Q = lim −→ C n(Ieα) là không gian Hilbert

Theo [30], [31 ], với α ∈ Γ chúng ta có các đồng cấu liên tục:

b ′ : C n(Ie

α) −→ C n+1(Ie

α)xác định bởi (b ′ φ)(a0, a1, , a n+1) =

n

∑

j=0

(−1) j φ(a0, , a j a j+1 , , a n+1)+(−1) n+1 φ(a n+1 a0, , a n −1 , a n+1 ),

S : C n+1(Ie

α) −→ C n

(Ie

α ),

b2 = (b ′)2 = 0.Các toán tử b, b ′ được gọi là những toán tử biên Hochschild.

Mệnh đề 1.2.1 ([13], [14 ]) Các đồng cấu liên tục b, b ′ , λvàS được mở rộng thànhcác đồng cấu

C n (A) := Hom(lim −→ C n(eI α ),C)gồm những phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lim−→ C n(eI α) được gọi làkhông gian các dòng de Rham không giao hoán

Từ các đồng cấu liên tụcb, b ′ , λ, S chúng ta xác định được những đồng cấu liên hợp

b ∗ , (b ′)∗ , λ ∗ , S ∗ giữa các dòng de Rham không giao hoán tương ứng với b, b ′ , λ, S.

Vì b, b ′ , λ, S là các đồng cấu liên tục, do đó b ∗ , (b ′)∗ , λ ∗ , S ∗ cũng là các đồng cấuliên tục ([13], [14 ]) Vì:

b2 = b ′2 = 0 và N (1 − λ) = (1 − λ)N = 0

nên

(b ∗)2 = (b ′ ∗)2 = 0và N ∗(1− λ ∗) = (1− λ ∗ )N ∗ = 0([30], [31]).

Từ các vi phân b ∗ , (b ′)∗ , λ ∗ , N ∗ chúng tôi xây dựng được phức mới như sau:

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử A là đại số Banach đối hợp Sơ đồ giao hoán sau đây(ký hiệu là C(A)) được gọi là song phức dây chuyền cyclic

←−−1−λ∗ C1(A) ←−−

N ∗ C1(A) ←−−1−λ∗ C1(A) ←−−

N ∗ ã ã ã C(A) (−b ′)∗

∗ được ký hiệu là toán tử liên hợp của toán tử tương ứng

Từ cách xây dựng C(A) ở trên, thì phức toàn phần của C(A) được định nghĩanhư sau:

T ot(C(A)) even = T ot(C(A)) odd := ⊕

Định nghĩa 1.2.5 Một dây chuyền (f n)n ≥0 ∈ C(A) được gọi là nguyên, nếu bánkính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Mệnh đề 1.2.6 ([13], [14]) Toán tử vi phân toàn phần của song phức cyclic C(A)

chuyển một dây chuyền nguyên thành một dây chuyền nguyên

Như vậy qua Định nghĩa 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6 chúng ta xây dựng được songphức của những dây chuyền nguyên, ký hiệu là C e (A). Song phức C e (A) là songphức con của song phức C(A).

Định lý 1.2.7 ([13], [14]) Giả sửC e (A) là song phức con của song phứcC(A)gồmnhững dây chuyền nguyên và

T ot(C e (A)) even = T ot(C e (A)) odd := ⊕

Định nghĩa 1.2.8 (xem [13], [14]) Giả sử A là đại số Banach đối hợp Đồng điềutoàn phần của song phức C e (A) được gọi là đồng điều nguyên của những dòng deRham không giao hoán trên đại số Banach đối hợpA, ký hiệu làHE ∗ (A).

Trong [13], [14], Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư dùng lý thuyết dạng vi phânkhông giao hoán đã chứng minh được các tính chất của đồng điều nguyênHE ∗ (A) :

1 Tính bất biến đồng luân: Giả sử A, B là các đại số Banach đối hợp, {A λ } λ ∈Γ , {B λ } λ∈Γ là các họ iđêan tương ứng trongA, B và φ t = (φ λ

2 Tính bất biến Morita: Giả sử A là đại số Banach đối hợp, {A λ } ∈Γ là họ iđêantrong A.Đồng cấu i = (i λ)λ∈Γ , trong đói λ xác định như sau:

1.3 Đặc trưng Chern không giao hoán

Giả sử G là nhóm Lie compact, H DR ∗ (G,Q) là nhóm đồng điều de Rham với hệ

số hữu tỷ của G được mô tả như những tích phân de Rham, các phần tử đại diện

là các dạng vi phân với độ sai khác tới vi phân toàn phần, khi lấy tích phân theocác chu trình tương ứng thì ta nhận được các giá trị bằng số Mặt khác, K ∗ (G) là

K − nhóm củaGcó phần tử sinh với các đại diện là các phân thớ véctơ Khi đó đặctrưng Chern của Gđược định nghĩa là đồng cấu

ch : K ∗ (G) ⊗Q −→ H ∗

DR (G;Q)giữaK −nhóm và đồng điều de Rham tương ứng của G.

Cũng như trong trường hợp cổ điển, đặc trưng Chern không giao hoán của

C ∗ − đại số của nhóm Lie compact là đồng cấu

ch : K ∗ (C ∗ (G)) −→ HP ∗ (C ∗ (G))

giữaK −nhóm và đồng điều cyclic tuần hoàn

Chúng tôi ứng dụng cách xây dựng đồng điều HP ∗ vàHE ∗ trong 1.2 và lý thuyết

KK − nhóm của G G Kasparov đã trình bày trong [28] để tính đặc trưng Chernkhông giao hoán củaC ∗ −đại số của nhóm Lie compact G.

Mệnh đề 1.3.1 ([6], [30], [31]) Giả sử e là ma trận lũy đẳng trong M k (A)

(với k ∈ N) và φ = ∂ψ trong đó φ ∈ C n(Ie

α) và ψ ∈ C n+1(Ie

α) (với n là chẵn).Khi đó, ta có

Chứng minh Trong [5] A Connes đã xây dựng ánh xạ K n (A) ì C n (A) −→ C.

Từ Mệnh đề 1.3.1 và cách xây dựng C n (A), ta xây dựng được Hom(C n (A),C)gồm những phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C n (A). Do đó ánh xạ

K n (A) ì C n (A) −→ Cxác định cho ta ánh xạ

Mặt khác đồng điềuHE ∗ (A) là đồng điều toàn phần của những phức nguyên của

đại số Banach đối hợpA, do vậy, từ sự tương ứng trên C n cảm sinh ánh xạ Chern

Định lý 1.3.3 Giả sử T và W = N T /T tương ứng là xuyến cực đại và nhóm Weylcủa nhóm Lie compact G, trong đó N T là chuẩn hóa của T trong G. Khi đó đặctrưng Chern không giao hoán

Vậy, HE ∗ (C ∗ (G)) ∼ = HE ∗ W(C(T )).

Vì những biểu diễn bất khả quy của những nhóm Lie compact G được đánh sốbởi các trọng trội của nó, nên tích ở trên được chỉ số hóa bởi modulo trọng trội dướitác động của nhóm Weyl W.

Ngoài ra, theo T Watanabe ([60], [61]) ta có K W ∗ (T ) ∼ = K W ∗ (BT ),trong đó BT

là không gian phân loại của xuyến T.

Theo tính chất bất biến Morita của đồng điều nguyên ([58]) và theo kết quả của

B V Fedosov về đặc trưng Chern và định lý chỉ số ([16]) ta có biểu đồ giao hoán

trong đó các ρ i (với i = 1, 2, 3, , n) là các biểu diễn bất khả quy của G và

β : R[G] −→ K ∗ (G)là ánh xạ Bott ([23]) T Watanabe đã sử dụng kết quả trên đểxét cho trường hợp G = SU (n + 1) và SO(2n + 1)([61]), ta có:

K ∗ (SU (n + 1)) = ΛC(β(ρ1), β(ρ2), , β(ρ n))

K ∗ (SO(2n + 1)) = ΛC(β(ρ1), β(ρ2), , β(ρ n ), ϵ 2n+1)

trong đó, ϵ 2n+1 ∈ K ∗ (SO(2n + 1)) sao cho ánh xạ

p ∗ : K ∗ (SO(2n + 1)) −→ K ∗ (Spin(2n + 1))

thỏa mãn điều kiệnp ∗ (ϵ 2n+1 ) = 2β(∆ 2n+1 ),với∆2n+1 : Spin(2n + 1) −→ U(2 n)

là biểu diễn Spin

b) Giả sử G là nhóm Lie compact và T là xuyến cực đại của G, ký hiệu

c¸c nhãm Lie compact SU (2n), SO(2n + 1), SU (2n + 1)vµ Sp(n) nh­ sau:

trong đó, β : R(SO(2n + 1)) −→ K ∗ (SO(2n + 1)) là ánh xạ Bott

1.4 Phương án đại số của đặc trưng Chern không giao hoán

Giả sử Glà nhóm Lie compact vàC ∗ (G)là C ∗ −đại số của G. Trong 1.3 chúngtôi đã sử dụng lý thuyết đồng điều của A Connes để tính đặc trưng Chern không giaohoán củaC ∗ (G),đó là đẳng cấu

D Quillen đã làm việc trên, bằng cách nghiên cứuX −phức và các dạng vi phân đại

số để thay thế cho phức của A Connes Đây chính là nội dung của phần dùng đồng

điềuHP hoàn toàn đại số, không dùng chuẩn và không lấy giới hạn theo chuẩn màlấy giới hạn quy nạp theo hệ đại số ([44])

Chúng tôi sử dụng cách xây dựng X − phức cho một đại số của J Cuntz và

D Quillen ([44]) để tính đặc trưng Chern không giao hoán của C ∗ (G). Cụ thể,chúng tôi sẽ tính đặc trưng Chern

ch alg : K ∗ alg (C ∗ (G)) −→ HP ∗ (C ∗ (G)).

Bổ đề 1.4.1 Giả sửGlà nhóm Lie compact, T là xuyến cực đại của Gvà {I N } N ∈N

là một họ iđêan của C ∗ (G). Khi đó,

Khi đó, bằng phương pháp lấy giới hạn thuận trên họ các iđêan I N theo thứ tự baohàm thì K ∗ (C ∗ (G)) được mô tả như sau

K ∗ (C ∗ (G)) ∼ = K ∗

(∏′ ∞ i=1

Giả sửAlà đại số Banach có đơn vị (ký hiệu phần tử đơn vị làe = 1)vàA = A/C

là không gian véctơ thương của A. Khi đó theo [44] ta có

∀(a0, a1, , a n) ∈ Ω n (A) và ∀(a n+1 , , a k) ∈ Ω k (A).

Khi đó, Ω(A) cùng với hai phép toán định nghĩa ở trên là một đại số ([44])

Bây giờ, ta xác định toán tử vi phân d bậc 1như sau

d(ab) = dab + adb, ∀a, b ∈ A, và d2 = 0.

Từ cách định nghĩa trên, đại số Ω(A) = ⊕

n ≥0Ωn (A) cùng với toán tử vi phân d

được gọi là đại số phân bậc các dạng vi phân không giao hoán trên đại sốA([44]).Nếu Ω(A) là đại số của những dạng vi phân trên A thì tích Fedosov trên Ω(A)

được xác định bởi:

ω1◦ ω2 = ω1.ω2− (−1) |ω1| dω1dω2,

trong đó |ω1| = n nếu ω1 là thuần nhất n − chiều, và nói chung tích Fedosov xác

định như trên có tính chất tuyến tính Trong trường hợp đại số của những dạng viphân trên A là Ω(A) giao hoán thì tích Fedosov trên Ω(A) có thể không giao hoán.Giả sử R là một đại số Khi đó, ánh xạ ρ : A −→ R gọi là ánh xạ tuyến tính cơ

sở, nếu ρ là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ A và R và ρ chuyển phần

tử đơn vị của A thành phần tử đơn vị của R. Độ cong của ánh xạ tuyến tính cơ sở

ρ : A −→ R là ánh xạ song tuyến tính ω, xác định như sau:

ω(a1, a2) = ρ(a1a2)− ρ(a1)ρ(a2).

Giả sử A là đại số có đơn vị, R là đại số, ρ : A −→ R là ánh xạ tuyến tínhcơ sở và T (A) = ⊕

n≥0 A ⊗n là đại số tenxơ của không gian véctơ nền của A.

Chúng ta định nghĩa đại số thương của RA như sau:

RA = T (A)/T (A)(1 T − 1 A )T (A),

trong đó 1T , 1 A tương ứng là phần tử đơn vị của T (A) và A.

Xét hợp thành bρ = πi, trong đó i là phép nhúng Avào trong T (A) và π là phépchiếuT (A)xuốngRA,khi đó bρ : A −→ RAlà ánh xạ tuyến tính cơ sở Đại sốRA

có tính chất của ánh xạ phổ dụng, nghĩa là với ánh xạ tuyến tính cơ sở ρ : A −→ R

tồn tại một đồng cấu λ : RA −→ R nâng bρ đến ρ(nghĩa là ρ = λ ρ).b

Từ định nghĩa đại số RA trên, ta thấy RA chỉ phụ thuộc vào không gian véctơnền A và phần tử đơn vị của nó Do đó, nếu ta chọn một cơ sở của A chứa 1A thì

RA là đại số tự do sinh bởi những phần tử cơ sở khác nhau của A. Lý luận tương

tự như trên, từ ánh xạ tuyến tính cơ sở bρ : A −→ RA tồn tại đồng cấu chính tắc

h : RA −→ A nâng bρ đến 1A (nghĩa là 1A = h ρ)b và giả sử IA là hạt nhân của

đồng cấu chính tắc đó Khi đó, chúng ta có thể mở rộng A = RA/IA mà bρ là ánhxạ nâng tuyến tính cơ sở Rõ ràng, đây là một mở rộng phổ dụng mà công cụ chủyếu là dùng phép nâng tuyến tính cơ sở củaA, khi đóRA là mở rộng phổ dụng của

A. Đại số RA xây dựng ở trên được gọi là đại số phổ dụng sinh bởi ánh xạ tuyếntính cơ sở của A ([44])

Trong [44] J Cuntz và D Quillen đã xây dựng khái niệmX −phức của C−đại số

và dùng khái niệm tích Fedosov để xây dựng đặc trưng Chern đại số Để tiện theo dõichúng tôi nhắc lại khái niệm đó: Giả sử A là C− đại số đối hợp (không giao hoán),

ta xét không gian của những dạng vi phân không giao hoán chẵn, Ω+(A) ∼ = RA

ρ : A −→ M (trong đó M là đại số) có thể mở rộng duy nhất thành đạo hàm

D : RA −→ M. Khi đó, đạo hàm D : RA −→ M tương ứng với đồng cấu nâng

RA −→ RA ⊕ M. Do vậy, có một sự tương ứng giữa đạo hàm D : RA −→ M

với ánh xạ tuyến tính ρ : A = A/C −→ M, xác định bởi a ∈ A 7−→ D(ρa).

Từ tính chất phổ dụng của Ω1(RA), chúng ta có đẳng cấu song môđun

RA ⊗ A ⊗ RA, ∼=

−

→ Ω1(RA)

x ⊗ a ⊗ x ′ 7−→ xδ(ρa)x ′

trong đó δ : RA −→ Ω1(RA) là đạo hàm chính tắc ([44])

Đặt Ω1(RA) ♯ := Ω1(RA)/[Ω1(RA), RA], khi đó đẳng cấu trên cảm sinh một

đẳng cấu trên không gian thương các toán tử

(a0da1da2 da 2n) 7−→ ρ(a1)ω(a1, a2) ω(a 2n−1 , a 2n ).

Do vậy, kết hợp hai đẳng cấu trên cho ta một đẳng cấu:

ϕ(a0da1da2 da 2n+1 ) = ρ(a1)ω(a1, a2) ω(a 2n −1 , a 2n )δ(ρa 2n+1 ).

Từ không gian của những dạng vi phân không giao hoán RA, trong [44] người ta

đã xây dựng phức Z/(2) −phân bậc của RA, ký hiệu làX(RA) như sau:

RA  Ω1(RA)♯ := Ω1(RA)/[Ω1(RA, RA)],

trong đó vi phân δ là đạo hàm chính tắcδ : RA −→ Ω1(RA), vi phân ϕ được cảmsinh bởi đẳng cấu:

ϕ : Ω1(RA) − → RA ∼=

xdy 7−→ [x, y].

Như vậy, chúng ta có một đẳng cấu không gian véctơ Z/(2) − phân bậc

ϕ : Ω1(RA) − → RA ∼=

Do đó, theo [44] ta có:

Ω− (A) ∼ = RA ⊗ A ∼= Ω1(RA) ♯ := Ω1(RA)/[(Ω(RA), RA)].

Bây giờ ta có thể đồng nhất cấu trúc trên phức X(RA) gồm một tích trên RA,

một đối chu trình♯(xδy)trênRAnhận giá trị trongΩ1(RA) ♯ là những dạng vi phântrên Ω(A). Khi đó, tương ứng với tích Fedosov là tích

x ◦ y = xy − dxdy

trên những dạng vi phân chẵn

Ký hiệu♯(xδy)là1−đối chu trình trên những dạng chẵn nhận giá trị trong nhữngdạng lẻ làxδy.Khi đó1−đối chu trình trênΩ+(A)được tương ứng với tích Fedosov

xδ(y ◦ z) = (x ◦ y)δz + (z ◦ x)δy,

do đó: xδa = xdavới x ∈ Ω+(A), a ∈ A.

Giả sử toán tử β : Ω − (A) −→ Ω+(A) tương ứng với vi phân b trong X(RA),

k j

)

dxy +

(∑2n j=0

k j

)

dxy.

Bằng cách đặt x = 1và với d là vi phân trongX(RA), ta có toán tử

k 2j trên Ω2n (A).

Định lý 1.4.2 ([48]) Tồn tại một đẳng cấu của Z/(2) − phức phân bậc

ϕ : RA = Ω+(A) ⊕ Ω − (A) ∼ = RA ⊕ (RA) ♯

sao choϕ : Ω+(A) ∼ = RA, được xác định bởi

ϕ(a0da1 da 2n ) = ρ(a1)ω(a1, a2) ω(a 2n−1 , a 2n)

và ϕ : Ω − (A) ∼= Ω1(RA) ♯ , được xác định bởi

ϕ(a0da1 da 2n+1 ) = ρ(a1)ω(a1, a2) ω(a 2n −1 , a 2n )δ(a 2n+1 ).

Với sự đồng nhất đó thì tích trong RA chính là tích Fedosov trên những dạng viphân chẵn và những dạng vi phân trên X − phức

k 2j và k(da1, da2, , da n ) := da n da n −1 da1.

Giả sử IA là iđêan của những dạng vi phân không giao hoán chẵn RA có chiềulớn hơn hoặc bằng 2. Khi đó theo tính chất phổ dụng của Ω1,ta có:

Ω1(RA/IA) = Ω1(RA)/((IA)Ω1(RA) + Ω1(RA).((IA) + dIA).

Nhưng Ω1(RA) = RAd(RA) = d(RA).(RA), do vậy:

Ω1RA(IA) ∼ = IAΩ1RA modulo[RA, Ω1RA],

Ω1(RA/IA) ♯ = Ω1RA/([RA, Ω1RA] + IAdRA + dIA).

Ta có IA −adic RA/(IA) n+1 , khi đó phức thương của X(RA)được cho bởi:

χ(RA/(IA) n+1) : Ω1RA/([RA, Ω1RA] + (IA) n+1 dRA + d(IA) n+1)

−→ RA/(IA) n+1

.

Chúng ta xác định phức

χ 2n+1 (RA, IA) : RA/(IA) n+1

−→ Ω1RA/([RA, Ω1RA] + (IA) n+1 dRA + d(IA) n+1)

−→ RA/(IA) n+1

χ 2n (RA, IA) : RA/((IA) n+1 + [RA, (IA) n])

−→ Ω1RA/([RA, Ω1RA] + d(IA) n dRA)

−→ RA/((IA) n+1 + [RA, (IA) n ]).

Khi đó, những dạng vi phân ở trên là những dạng vi phân trong không gian thương

χ1(RA, IA) = X(RA/IA),

χ0(RA, IA) = X(RA/IA) ♯ ,

Do vậy, ta có một dãy những ánh xạ giữa những song phức

−→ X(RA/IA) −→ χ 2n+1 (RA, IA) −→

−→ χ 2n+1

(RA, IA) −→ X(RA/IA) −→

Định lý 1.4.4 ([44]) Với những sự đồng nhất trong Định lý 1.4.2 và Bổ đề 1.4.3, thì:

H i X(RA, IA) = HPb i (A).

Bổ đề 1.4.5 Giả sửGlà nhóm Lie compact, T là xuyến cực đại của Gvà {I N } N ∈N

là một họ iđêan của C ∗ (G)). Khi đó