chuyên đề “phương pháp toạ độ trong không gian”

Từ đó nảy ra ý tưởng muốn tạo ra một“cầu nối” giữa khó khăn khi giải bài toán hình học không gian tổng hợp với kiếnthức hình học giải tích trong không gian, đôi khi ta có thể biến một bà

MỤC LỤC

I Mở đầu 2

II Nội dung 3

1 Hệ thống kiến thức cơ bản 3

2 Các dạng toán thường gặp 6

3 Bài tập đề nghị 15

III Kết luận 18

Tài liệu tham khảo 19

và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng đáp ứng được những điều đó.Tuy nhiên, các em học sinh lại học tương đối tốt phần kiến thức “Hình học giảitích” trong chương trình hình học lớp 12 Từ đó nảy ra ý tưởng muốn tạo ra một

“cầu nối” giữa khó khăn khi giải bài toán hình học không gian tổng hợp với kiếnthức hình học giải tích trong không gian, đôi khi ta có thể biến một bài toán hìnhhọc không gian khó thành một bài toán đơn giản, lời giải ngắn gọn, không đòi hỏinhiều khả năng tư duy, kỹ năng vẽ hình và chứng minh hình học

Với những lý do đó, tôi xây dựng nên chuyên đề “Phương pháp toạ độ trong khônggian”

Giúp các em học sinh có thêm một phương pháp hiệu quả khi phải tiếp cận vớinhững bài tập hình học không gian khó tưởng tượng, khó suy luận trong khi làmbài thi đại học, cao đẳng

Qua việc tổng hợp các đề thi đại học từ năm 2002 đến nay và thực tiễn giảng dạymôn hình học không gian kỳ II lớp 11, cả năm của lớp 12 từ đó đưa ra các phương

án gắn tọa độ đối với từng loại hình cụ thể trong các đề thi gồm 3 loại: hình chóptam giác, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ (bao gồm cả hình lập phương và hìnhhộp chữ nhật)

Nguyễn Hữu Trung

II NỘI DUNG

1 Hệ thống kiến thức sử dụng trong chuyên đề.

Trước khi giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, chúng

ta cần nắm được cách diễn đạt một số khái niệm hình học không gian bằng “ngôn ngữ” hình học giải tích, Từ đó, ta có thể chuyển bài toán hình học tổng hợp thành bài toán hình học giải tích, sau đó ta sử dụng công cụ hình học giải tích để giải bài toán

Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau (a) đi qua điểm M và có vec tơ chỉ

phương và (b) đi qua điểm N và vec tơ chỉ phương là

Khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẳng (P) song song với nhau bằng khoảngcách từ điểm M thuộc d tới (P)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất

kỳ thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất

kỳ thuộc đường thẳng này tới mặt phẳng kia

Góc giữa đường thẳng d có vec tơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến :

Góc giữa mặt phẳng (P) có vec tơ chỉ phương và mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp

tuyến :

Nhận xét: từ những công thức cơ bản đó khi kết hợp với tọa độ trong không gian từbài toán hình học không gian tổng hợp ta thu được bài toán hình học giải tích trongkhông gian

Để giải một bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần thực hiện ba bước chính:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.

Bước 2: Tìm tọa độ các đỉnh và các điểm liên quan dựa vào hệ trục đã chọn Bước 3: giải đáp các yêu cầu của bài toán.

11Equation Section (Next) Cách chọn hệ trục tọa độ trong không gian.

Trong ba bước trên thì bước 1 và 2 tỏ ra khó khăn hơn cả bởi vì khi đã tìm hết các toạ độ điểm trong bài rồi thì các yếu tố hình học khác đều được “số hoá” nên việc giải bài toán trở nên đơn giản khi học sinh đã nắm chắc kiến thức hình học giả tích

Trong các tài liệu tham khảo mà tôi có được, các tác giả chủ yếu gắn hệ trục toạ độ theo hướng tuỳ thuộc vào hình cụ thể rồi mới đưa ra được cách gắn hệ trục, mỗi hình một kiểu gắn hệ trục khác nhau rất khó nhớ và khó vận dụng với những

em học sinh mới học Để giải quyết khó khăn đó tôi đưa ra hướng tư duy cho phương pháp này như sau: ta hãy tưởng tượng ta đang phải xây dựng những công trình mà có dạng hình như hình chóp, hình lăng trụ như vậy ta phải xây móng đầu tiên rồi mới dựng các cột trụ sau đó mới lên tầng từ đó hình thành nên các công việc như sau (được gọi là chuyển bài toán hình không gian về bài toán hình phẳng).

+ công việc 1: xác định đáy của hình là mặt phẳng Oxy, trong đó O(0;0;0) làmột đỉnh và một cạnh chứa đỉnh đó là Ox, Oy ta tìm sau bằng cách dựng đường vuông góc với Ox tại O

+công việc 2: xác định toạ độ các điểm thuộc đáy với lưu ý chúng có cao độ bằng 0, như vậy ta chỉ phải tìm hoành độ và tung độ

+công việc 3: bây giờ ta mới dựng đến Oz bằng cách kẻ đường vuông góc với Ox, Oy (nhớ rằng Oy, Oz không nhất thiết phải trùng với các đường của hình) +công việc 4: tìm toạ độ những điểm không thuộc đáy Hãy tìm hình chiếu của nó trên đáy và toạ độ các hình chiếu đó kết hợp với chiều cao của điểm đó ta sẽtìm được cao độ và toạ độ của điểm đó

2 Các dạng toán thường gặp

2.1 Hình chóp tam giác

Ví dụ 1 Cho hình chóp O.ABC có OA=a, OB=b, OC=c đôi một vuông góc với nhau Điểm M có đỉnh thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích tứ diện O.ABC nhỏnhất

Giải

z

Ví dụ 2: Tứ diện S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC vuông tại C

Độ dài SA=4, AC=3, BC=1 M là trung điểm AB, H đối xứng của B qua M tinh góc giữa (SHB) và (SCB)

C

Mx

BH

Suy ra,

Ví dụ 3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là

trung điểm của SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC)

Giải

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), ta suy ra O là trọng tâm tam giác

ABC Gọi I là trung điểm BC, ta có:

Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO=h, chọn hệ trục

tọa độ như hình vẽ ta được: O(0;0;0), S(0;0;h),

sử SO=h, OA=a, OB=b Ta có:

O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0), C(-a;0;0), D(0;-b;0), S(0;0;h)

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và AB=b, tam giác SAD đều cạnh a và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AD, trong ABCD ta vẽ tia Hy vuông góc với AD Chọn hệ tọa độ Hxyz ta có:

H(0;0;0), A( ;0;0), B( ;b;0), C( ;b;0), D ,

Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC, I là giao điểm MB và AC Chứng minh

mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện

ANIB

Giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ (O trùng với A)

Gọi E là giao điểm AC và BD Ta có: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a; ;0),

với I là trọng tâm tam giác ABC

Chứng minh (SBM) vuông góc với (SAC)

Sz

D

y

CB

x

Tứ diện đều là hình chóp có đáy là tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Hình hộp có đáy là hình bình hành không nhất thiết là hình chữ nhật

Ví dụ 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 2 Gọi M, N lần lượt là

trung điểm AB và DD’

a, Chứng minh Tính MN và khoảng cách từ MN đến mặt phẳng

b, Gọi P là trung điểm C’D’ Tính thể tích của và góc giữa MN và BD

c, Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD

P

NB’

OA

M

y

B

Cx

Ta có: A’, B, D thuộc (S) nên đường tròn ngoại tiếp A’BD là giao của mặt phẳng (A’BD) và (S)

Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2003)

Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, Gọi

M, N là trung điểm của AA’, CC’

B

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ AC giao BD tai O.

Từ giả thiết ABCD là hình thoi cạnh a, nên: BD=AD=a, AC= Giả sử BB’=x, ta có:

3 Một số bài tập tham khảo

3.1 Các bài toán về hình chóp tam giác

OA

x

yD

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) AC=AD=4cm,

AB=3cm, BC=5cm Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AD, AB=2, AC=4 Trên

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy điểm S sao cho SA=6 Gọi

E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF

a, Chứng minh H là trung điểm của SD

b, Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE)

c, Tính thể tích hình chóp A.BCEF

Bài 3: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA=OB=OC=3cm và vuông góc với

nhau từng đôi một Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H trên mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

a, Tính thể tích tứ diện H.A’B’C’

b, Gọi S là điểm đối xứng của H qua O Chứng minh rằng tứ diện S.ABC là tứ diệnđều

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với

đáy Biết AB=2,((ABC),(SBC))=

a, Tính độ dài SA

b, Tính khoảng cách từ A tới (SBC)

Bài 5: (Đề thi đh khối D-2003)

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng d, trên

d lấy hai điểm A, B với AB=a Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với d và AC=BD=AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a

3.2 Các bài toán về hình chóp tứ giác

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA=a và vuông góc

với đáy Gọi E là trung điểm CD

a, Tính diện tích tam giác SBE.

b, Tính khoảng cách từ C đến (SBE)

c, (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông

góc với đáy và SA=a

a, Tính khoảng cách từ C đến (SBD)

b, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông

góc với đáy và SA=a Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB,

SC, SD tại H, M, K

a, Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD

b, Chứng minh BD song song với

c, Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của tam giác SAC

d, Tính thể tích hình ABCDKMH

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều và

vuông góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm AD

a, Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD)

b, Mặt phẳng qua H và vuông góc với SC tại I Chứng tỏ cắt SB, SD

3.3 Các bài toán về hình hộp, lăng trụ đứng

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC

b, Tính khoảng cách giữa IK và AD.

c, Tính diện tích tứ giác IKNM

Bài 2: (Đề thi đại học khối A-2003)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tính góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (A’DC)

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A Cho AB=a, AC=b, Â’=c Mặt phẳng qua B và vuông góc với B’C

a, Tìm điều kiện của a, b, c để cắt CC’ tại I (I không trùng với C, C’)

b, Cho cắt CC’ tại I Hãy xác định và tính diện tích của thiết diện

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=2, AD=4,AA’=6 Các

AB, C’D’

a, Tính khoảng cách Từ A đến (A’BD)

b, Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm M thuộc AA’ sao cho

(BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất

III KẾT LUẬN

Phương pháp hình học giải tích giải bài toán hình học không gian không thể thay thế được hoàn toàn phương pháp tổng hợp nó có một yếu điểm là đôi khi phải tính toán biểu thức cồng kềnh nhưng nó có một ưu điểm là không đòi hỏi người học cầnquá nhiều tư duy phức tạp

Trong điều kiện ở phòng thi khi học sinh không đủ bình tĩnh và thời gian để tìm ra hướng giải cho bài toán hình không gian tổng hợp trong khi đó với phương pháp của hình học giải tích thí sinh chỉ vẽ xong hình là có thể tư duy ngay hướng giải khi nắm được các kỹ năng gắn hệ trục.

Trong khuôn khổ bài viết này khi đề cập tới việc gắn tọa độ cho hình lăng trụ chưa

có điều kiện thực hiện gắn trục cho hình lăng trụ xiên có đáy là tam giác hoặc tứ giác mà chỉ thực hiện gắn hệ trục cho lăng trụ đứng Nhưng nếu ta hiểu hình lăng trụ là sự ghép lại của các hình chóp thì hướng giải sẽ sáng sủa hơn

Vì khoảng thời gian hết sức rất hạn hẹp, bài viết này không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế Rất mong sự đóng góp của các quý thầy cô đồng nghiệp để bài viết được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hà Văn Chương- Phạm Hồng Danh, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học & Cao đẳng, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2010

[2] Võ Thành Văn, chuyên đề ứng dụng tọa độ trong giải toán hình học không gian, Nhà xuất bàn Đại học Sư phạm, 2010

[3] wwww.vnmath.com

[4] toanhocvietnam.vn

[5] mathcope.vn