Đồ thị hàm số và bài toán liên quan”

b Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt: a Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho... b Kết quả biện luận như sau:x y b Tìm giá trị của tham số

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

Một số kí hiệu trong tài liệu 1

Phần 1 Mở đầu 2

Phần 2 Nội dung 3

I Khảo sát hàm số 3

1 Hàm số bậc ba 3

2 Hàm trùng phương 5

3 Hàm 6

II Một số bài toán liên quan 7

1 Bài toán biện luận dựa vào đồ thị hàm số 7

2 Bài toán cực trị và sự tương giao của hai đồ thị hàm số 11

3 Bài toán liên quan tới cấp số cộng và cấp số nhân 18

4 Bài toán tiếp tuyến 21

4.1 Cho biết tiếp điểm 21

4.2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc 22

4.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 24

III Bài tập củng cố: 26

Đáp số 29

Phần III Kiến nghị, đề xuất 29

Tài liệu tham khảo 30

Một số kí hiệu trong tài liệu

TN THPT Tốt nghiệp trung học phổ thông ĐH – CĐ Đại học – Cao đẳng

TCĐ Tiệm cận đứng TCN Tiệm cận ngang

Phần 1 Mở đầu

1 Cơ sở lí luận

- Xuất phát từ mục tiêu GD trong giai đoạn hiện nay là phát huy tính tự giác tích cực của người học và đào tạo ra những con người có trí tuệ, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao

- Chúng ta áp dụng các phương pháp phù hợp để bồi dưỡng HS và để HS tự bồi dưỡng nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề

- Chúng ta đã và đang đổi mới GD, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn năng lực tự học cho HS, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến vào dạy học;

- Trước hết cần truyền đạt được các kỹ năng cơ bản, kiến thức tổng quan, tác động tới tư tưởng tình cảm nhằm đem lại cảm hứng học tập cho HS

2 Cơ sở thực tiễn

- “ Đồ thị hàm số và bài toán liên quan” là bài toán chủ đạo trong các kỳ thi TN

THPT, ĐH – CĐ, THCN

- Đây là bài toán rất cơ bản của chương trình Giải tích 12, vậy nhưng HS còn chưa

nắm vững, vì các lí do như: Trên lớp không đủ thời gian, chưa có sự tổng hợp, hoặc do “ngại” không dám hỏi thầy cô giáo ngay cả những điều đơn giản,…

- Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT Nguyễn Thị Giang, tôi mạnh dạn viết

chuyên đề này, đồng thời đưa ra một số ý kiến cá nhân nhằm giúp HS trường tôi (hoặc tương đương) có thể tự học thi ĐH – CĐ hiệu quả nhất

- Đề tài được chia làm 2 phần chính: Phần 1: KSHS; Phần 2: Một số bài toán liên quan

- Cùng đồng nghiệp tìm ra phương pháp dạy học phù hợp nhất với mọi đối tượng

HS, giúp HS có hứng thú hơn với bộ môn

4 Thời gian – Địa điểm

- Đề tài được thực hiện tại trường THPT Nguyễn Thị Giang, năm học 2011 –

2012 , 2012 – 2013 trên cơ sở các tiết dạy thuộc Chương 1 của Giải tích 12

5 Dự kiến thời gian: 10 tiết

Tính giới hạn lim , lim x→+∞y x→−∞y

Tính đạo hàm và giải phương trình '( ) 0 f x = .

Lập bảng biến thiên, điền các giá trị tương ứng vào bảng.

Từ bảng biến thiên rút ra các kết luận về chiều biến thiên và cực trị.

đồng biến trên khoảng (0;2)

Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là (0;0) , điểm cực đại là (2;4)

+) Đồ thị (tìm một vài điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua)

+) Với các bước KSHS như Giải tích 12, nâng cao (như vừa trình bày), HS dễ tiếp thu và làm nhanh hơn nhiều so với Giải tích 12, cơ bản Chẳng hạn, việc Giải tích

12, CB tính giới hạn tại vô cực sau khi tìm cực trị khiến nhiều HS quên khi làm bài; Xét chiều biến thiên + tìm cực trị trước khi lập BBT làm HS phải xét dấu của y’ gây mất nhiều thời gian, thậm chí khó đối với một bộ phận không nhỏ HS.

+) HS thường viết sai như sau: Hàm số có điểm cực đại là (2;4) ,cực tiểu là(0;0) Viết đúng phải là: Đồ thị của hàm số có điểm cực đại (2;4) , điểm cực tiểu (0;0) Hoặc: Hàm số đạt cực đại tại x=2, giá trị cực đại là (2) 4 y =

Hàm số đạt cực tiểu tại x =0, giá trị cực tiểu là (0) 0 y =

+) Đối với hàm bậc ba, đồ thị của nó nhận trung điểm của đoạn thẳng nối điểm cực đại và điểm cực tiểu làm tâm đối xứng, như ví dụ trên là điểm (1;2) I

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;3), cực tiểu (− 2; 1),( 2; 1).− −

x y

Lập BBT và điền các giá trị tương ứng.

Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.

x

−

=+

LG: Để tránh nhầm lẫn, ta viết lại hàm 1

2

x y x

− +

=+

1 2 3

x y

O I

Nhận xét:

+) Trong 3 hàm số ta xét, chỉ được viết tắt giới hạn dạng trên (lim x→±∞y = −1).

+) Để HS nhớ được giới hạn x→ −lim( )2+ y = +∞, limx→ −( )2− y= −∞, với nhiều đối tượng, đôi

khi cần chỉ rõ, chẳng hạn x→ −( )2 +⇒ > − ⇒ + >x 2 x 2 0, hoặc chỉ rõ trên trục

số điều đó có nghĩa là các số x→ −2 từ phía bên phải, và do đó x> −2

II Một số bài toán liên quan

1 Bài toán biện luận dựa vào đồ thị hàm số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình

LG:

Vế trái của (1) là hàm số có đồ thị vừa vẽ ở phần a), vế phải là đường thẳng nằm

Vậy dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả biện luận như sau:

g m < f g m = f f <g m < f g m = f g m > f tương ứng là các trường hợp phương trình có 1, 2, 3, 2, 1 nghiệm (cố nhiên phải tìm ra m ).

Ví dụ 1.2 Cho hàm số 1 3 3 2

5

y = x − x +

a) Kháo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của hàm y= − x3 +3 x

HD

y = − x + x = − +x x⇔ ≥x cho nên đồ thị của hàm y với 1 x≥0

nên ta co cách vẽ sau:

phần đối xứng của nó qua trục tung Dưới đây là hình vẽ:

a) Khảo sát, vẽ (C)

từ trục hoành), lấy đối xứng phần phía dưới qua trục hoành Hình vẽ:

x y

b) Kết quả biện luận như sau:

x y

b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt

HD

b) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành (y =0) là nghiệm của phương trình

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có cực trị và cực trị có

hoành độ dương

HD

b) Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình ' 0.y =

m

m P

S = +x x P x x= từ đó theo ycbt ta có hệ điều kiện trên.

+) Nếu bài toán yêu cầu hoành độ của cực trị âm thì sao?

Ví dụ 2.3 Cho hàm số y x= −3 (2m+1)x2 +(m2 −3m+2)x+4,m là tham số

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có 2 cực trị nằm về hai

phía của trục tung

HD

b) 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung suy ra chúng phải có hoành độ trái

dấu⇔ =y' 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔3x2 −2(2m+1)x m+ 2 −3m+ =2 0

Có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có 2 cực trị và giá trị các

cực trị trái dấu

HD

b) Cần để ý rằng khi đồ thị của hàm bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì

2điểm cực trị nằm về 2 phía của trục hoành (phía trên và phía dưới)

+) Bảng chia mẫu ví dụ trên như sau (sử dụng lược đồ Hooc – ne ):

Dòng đầu ghi hệ số của phương trình bậc 3 theo thứ tự lũy thừa giảm dần.

Dòng thứ 2 (trừ ô đầu là nghiệm nhẩm được) ghi hệ số tam thức bậc 2 (lũy thừa giảm) và cách tính các hệ số đó.

Phép chia hết nên dư r=0

Ví dụ 2.5 Cho hàm số y x= −3 3x+2 có đồ thị (C)

a) Khảo sát, vẽ (C)

tại 3 điểm phân biệt

m m

+ − −

=−

1(3 1) ( 3 1) 0

Nhận xét: HS cần nhớ phương trình đường thẳng đi qua M x y , hệ số góc k có ( ; )0 0dạng y k x x= ( − 0)+ y0.

Ví dụ 2.6 Cho hàm số y x= −3 3x2 +4 có đồ thị (C)

a) Khảo sát, vẽ (C)

cắt (C) tại 3 điểm phân biệt , ,I A B và I là trung điểm của ,A B

biệt và x=1 không phải là nghiệm của (1)

Suy ra (d) luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I A x y B x y x x là nghiệm , ( ; ), ( ; ); ,1 1 2 2 1 2

b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt có hoành độ x x x thỏa: 1, ,2 3 2 2 2

b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt có hoành độ x x x thỏa: 1, ,2 3 2 2 2

x + + <x x

HD

Nhận xét: Lời giải trên dựa vào việc chứng minh mệnh đề sau đây

Mệnh đề: Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của đồ thị hàm số

y ax= +bx + +cx d a≠ là phần dư của phép chia y cho ' y

Ta có y' 3= ax2+2bx c y+ ; = y x'( ).(αx+β)+mx n+ ;

Giả sử đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, là A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2

( x x là nghiệm của phương trình ' 0)1, 2 y = thì

Muốn làm theo cách trên HS phải thành thạo việc chia đa thức.

Nếu các nghiệm của phương trình ' 0 y = là dễ tìm (không phức tạp) thì cũng

không cần làm như trên, chúng ta tìm luôn 2 điểm cực trị rồi viết phương trình đi qua chúng ( Hình học 10).

HS luyện tập ví dụ sau

Ví dụ 2.10 Cho hàm số y x= +3 mx2 +7x+3 (Cm).Tìm m đường thẳng đi qua

cực đại, cực tiểu của hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng có phương trình ( ) :d y=3x−7

2

m= ±

Ví dụ 2.11 Tìm m để hàm số y x= −3 3x2 +m x m2 + có điểm cực đại, điểm cực

b) Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình ' 0y =

x x

HS cần nhớ lại công thức tính khoảng cách.

Khoảng cách từ M x y tới đường thẳng (d) ( ; )0 0 ax by c+ + =0 được tính theo công thức: ( ) 0 0

+

=

a) Khảo sát, vẽ (C)

sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3.

x m

≠ −

+ = − + ⇔ 

Phương trình (1) có ∆ =m2 + > ∀8 0, m nên (d) luôn cắt (C) tại ,A B phân biệt.

Gọi x x là hai nghiệm phân biệt của (1).1, 2

trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

LG: Gọi x x x thứ tự là hoành độ giao điểm của (1, ,2 3 Cm với Ox thì ) x x x thứ 1, ,2 3

trình hoành độ giao điểm có một nghiệm), nên trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ =m 0 loại

+) Với m= ⇒ = −1 y x3 3x2+6x+8

Có x3 −3x2 +6x+ = ⇔ = − ∨ = ∨ =8 0 x 2 x 1 x 4 và nghiệm theo thứ tự lập thành

Nhận xét: để hiểu rõ và ghi nhớ lời giải trên ta có thể chứng minh mệnh đề sau

biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là

3

b x a

−

=

Chứng minh: Gọi x x x thứ tự là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox 1, ,2 3

thì x x x thứ tự lập thành cấp số cộng 1, ,2 3 ⇒ + =x1 x3 2 (1)x2

Mặt khác x x x là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:1, ,2 3

Thay (1) vào (2): 2

3

b x

Các em HS luyện tập bài tập sau

Ví dụ 3.2 Cho y =3x3 −3x2 −9x m Cm+ ( ) Tìm m để ( Cm cắt trục hoành tại 3 )

điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng

HD: m=11

Ví dụ 3.3 Cho hàm số y x= −3 (3m+1)x2 +(5m+4)x−8 (Cm). Tìm m để ( Cm )

cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân

LG: Gọi x x x thứ tự là hoành độ giao điểm của (1, ,2 3 Cm với Ox thì ) x x x thứ 1, ,2 3

Nhận xét: để hiểu rõ và ghi nhớ lời giải trên ta có thể chứng minh mệnh đề sau

biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân thì phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x 3 d

cấp số cộng.

LG: Gọi x x x x lần lượt là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số với trục 1, , ,2 3 4

hoành, thì x x x x là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm: 1, , ,2 3 4

Mệnh đề: Đồ thị hàm trùng phương y ax= 4 +bx4 +c a( ≠0) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì điều kiện là phương trình trung gian (at2 + + =bt c 0) có 2 nghiệm dương phân biệt và nghiệm lớn bằng 9 lần nghiệm nhỏ.

Chứng minh: Gọi x x x x lần lượt là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm 1, , ,2 3 4

số với trục hoành, thì x x x x là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành 1, , ,2 3 4

4 Bài toán tiếp tuyến

Để viết phương trình tiếp tuyến của đường cong bài toán thường cho biết:

Tiếp điểm

Hệ số góc

Một điểm mà tiếp tuyến đi qua

Sau đây ta luyện tập từng điều kiện trên

4.1 Cho biết tiếp điểm

a)Bài toán: Viết pttt của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm M x y ( ; )0 0

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f x( ) tại điểm M x y có phương trình là: ( ; )0 0

+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f x( ) tại điểm y y= 0, thì tính x từ phương trình 0

0 ( )

y = f x ,tính f x rồi thay vào (1).'( )0

+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f x( ) tại giao điểm của đồ thị và trục tung, ta cho

0 0

x = ,tính y0 = f x( ), '( )0 f x0 rồi thay vao (1).

+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f x( ) tại giao điểm của đồ thị và trục hoành, ta cho

0 0

y = ,tính x từ phương trình 0 y0 = f x( ),tính f x rồi thay vào (1).'( )0

Ví dụ 4.1.1 Viết pttt của đồ thị hàm y = f x( )= −x3 3x2 +1 tại điểm (1; 1)A − .

4.2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc

Bài toán: Viết pttt của đồ thị hàm số y = f x( ) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k Phương pháp: Gọi M x y là tiếp điểm.( ; )0 0

Phương trình tiếp tuyến tại M x y là: ( ; )0 0 y = f x'( ).(0 x x− 0)+ y0

.( ) (1)

11

x

x x

Thay vào (1) thì được hai pttt là: y = − +4x 2;y= − +4x 10.

Ví dụ 4.2.2 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f x( )=x2(2−x2) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 24d x y− +2012 0.=

Do tiếp tuyến song song với ( ) :d y=24x+2012, hsg k =24 nên

HD: Làm như trên, tìm được hai đường thẳng y =3 ;x y=3x−4 nhưng do y =3x

trùng với ( )d nên bị loại Vậy pttt cần tìm là y =3x−4

.( ) (1)

11

x

x x

4.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bài toán: Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f x( ) biết tiếp tuyến đi qua điểm

Để ( ) d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

 (còn gọi là điều kiện tiếp xúc).

Từ hệ tìm được k , và do đó pttt ( ) :d y k x x= ( − 0)+ y0 là viết được.

Ví dụ 4.3.1 Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f x( )= −x3 3x2 +2 biết tiếp tuyến đi qua điểm ( 1;2).A −

+) Có thể áp dụng phương pháp làm ở mục 1) để làm bài toán này?

Có thể làm được và làm như sau:

Tiếp tuyến tại M x y ( ; )0 0 thuộc đồ thị có dạng

Đến đây, ta có thể dễ dàng viết được pttt (T).

Ví dụ 4.3.2 Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số ( ) 1

Gọi ( )d là đường thẳng đi qua (3;1) P và có hệ số góc k

3

(2)1

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ x , biết 0 f x''( )0 = −1

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng – 2

3 Cho hàm số y= f x( )= −x3 3 x

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc là 9

4 Cho hàm số y x= −4 2(m+1)x2 +m2 (1),m là tham số thực

b) Tìm m để đồ thị của hàm (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một

tam giác vuông

5 Cho hàm số y x= −3 3mx2 +3 (1),m3 m là tham số thực

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm ( 7 / 3;1 / 3)

A −

7 Cho hàm số y x= +3 3x2 +1

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm (1; 3).A −

(Cm) tạo với trục hoành góc 450

1

x y x

+

=

−

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng ( ) : d y=2x m− cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ,A B sao

2

x y x

b) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại

tích không đổi

11 Cho hàm y x= 2(4−x2)

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt

=

−

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng ( ) : d y= − +x m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

13 Cho hàm số y x= −3 6x2 +9x−6

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng ( ) : d y mx= −2m−4 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

x y x

− +

=

−

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=1

b) Tìm m để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x sao cho1, 2

1 2 2( 1 2) 1

x x + x +x =

16 Cho hàm số y x= −4 2(m+1)x2 +m (1),m là tham số

a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm (1) khi m=1

độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là 2 điểm cực trị còn lại.

2 1

x y

x

−

=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C), biết tiếp tuyến cắtOx Oy, tạiA B, phân biệt vàOA OB=