Chuyên đề môn toán ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH và góc vào một số bài TOÁN HÌNH học tọa độ PHẲNG

- Giáo viên: Nguyễn Huy Nguyện về hình học phẳng như các hệ thức lượng trong tam giác, trong tam giác vuông, các kiến thức về các hình như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi,

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌCỨNG DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC VÀO MỘT

SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG A/ PHẦN MỞ ĐẦU.

I/ Tác giả viết chuyên đề.

- Giáo viên: Nguyễn Huy Nguyện

về hình học phẳng như các hệ thức lượng trong tam giác, trong tam giác vuông, các kiến thức về các hình như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang…

- Trong quá trình giảng dạy và làm các đề thi tôi thấy xuất hiện khá nhiều các bài toán về hình học tọa độ phẳng cần tính các góc, khoảng cách và

sử dụng các công thức tính góc và khoảng cách để giải quyết bài toán Thông thường các giả thiết về góc và khoảng cách đều được ẩn bên trong hình vẽ

- Chính vì các lý do trên nên tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích có thêm tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy của mình và làm tài liệu cho họcsinh ôn tập

IV/ Phạm vi nghiên cứu và sử dụng.

B/ NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ.

ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC VÀO MỘT

SỐ BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

*/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và 1  song song với nhau bằng khoảng2

cách từ một điểm M bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia

*/ Trong tam giác vuông:

- Định lý pitago: Tam giác ABC vuông tại A ta có: BC2 AB2 AC2

- Các công thức tính sin, cosin, tang, cotang trong tam giác vuông.

*/ Trong tam giác bất kỳ:

Định lý cosin trong tam giác ABC:

cos

2

AB AC BC A

AB AC

 

II/ Một số bài tập áp dụng.

1/ Bài tập cơ bản Ta xét hai bài tập cơ bản sau:

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng  qua A 1;1 và khoảng cách từ điểm

là véctơ pháp tuyến của đường thẳng 

Do đường thẳng  qua A 1;1 nên phương trình của  có dạng:

Gọi n a b               1 ;                0

là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  1

Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng  là 2 n 21;3

Trên đây là hai bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng liên quan

tới khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng Cách giải quyết loại bài tập này là ta gọi n a b  ;  0

là véctơ pháp tuyến của đường thẳng cần viết phương trình Sau đó dựa vào đề bài để tìm liên hệ giữa a và b từ đó chúng ta sẽ chọn được một véctơ pháp tuyến của đường thẳng khi đó sẽ viết được phương trình đường thẳng đó.

Dưới đây tôi xin trình bày một số bài tập phức tạp hơn nhưng có thể đưa được

về phương pháp của hai bài toán trên để giải

2 Bài tập liên quan đến góc giữa hai đường thẳng.

Bài 1: trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân có đáy là BC nằm trên đường thẳng d có phương trình là: 1 2x 5y  1 0, cạnh bên AB nằm trên đườngthẳng d có phương trình là: 2 12x y 23 0  Viết phương trình cạnh AC biết rằng AC đi qua điểm M 3,1

Vậy chỉ có một phương trình đường thẳng AC thỏa mãn ycbt là: 8x9y 33 0

Bài 2 (Đại học khối A, A 1 năm 2012):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử

*/ Phân tích: Đây là đề thi đại học khối A năm 2012, là một bài toán khá khó

với học sinh Khi giải học sinh sẽ khó phát hiện ra dữ kiện để có thể tìm được tọa độ điểm A

Trong đáp án của Bộ GD&ĐT có trình bày cách giải như sau:

Gọi H là giao điểm của AN và BD Kẻ đường thẳng qua H và song song với

AM 

là rất khó khăn đối với học sinh

Với bài toán này nếu ta viết được phương trình của đường thẳng AM thì việc tìm tọa độ của điểm A trở lên đơn giản vì A AM AN

Để viết được phương trình của đường thẳng AM ta chỉ cần xác định được góc

MAN

 là xong bằng cách dựa vào định lý cosin trong tam giác AMN

Với ý tưởng đó tôi xin trình bày một cách giải khác như sau:

Gọi cạnh của hình vuông là x khi đó ta có: 2 2

,

2 3

x

MN 

,

5 2

x

AM 

,

10 3

*/ Nhận xét: Với hai cách giải trên ta thấy việc tính ra góc MAN đễ dàng hơn

so với việc chứng minh được AH HM , AH HM và

3 10 2

*/ Phân tích: Với bài toán trên nếu ta viết được phương trình đường thẳng AC

thì bài toán được giải quyết

Lời giải từ đáp án của đề thi:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Xét ABD có:

m 

(loại)Với m 0 D0; 1 

Đường thẳng AB đi qua A và có véctơ pháp tuyến AD   1; 2

Vì vậy tôi có một hướng giải quyết khác như sau:

Do đỉnh A đã biết tọa độ nên tôi nghĩ đến việc viết phương trình đường thẳng

5

ADB

như vậy ta sẽ viết được phương trình đường thẳng AD từ

đó tìm ra được tọa độ điểm D Từ đó ta tìm ra các đỉnh còn lại

DA DB 

.Gọi n a b  ;  0

  loại vì D có hoành độ không âm

Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D Phương trình đường thẳng AD là: 2x y  6 0  , điểm M2,5 là trung điểm của cạnh BC và CDBC 2  2AB Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết điểm A

có tung độ dương

CDBC  AB nên nếu gọi E là trung điểm của DC thì BEC vuông cân suy ra BCE 45 0 BMN từ đó ta viết được phương trình của BC và ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh của hình thang.

Lời giải:

Gọi N E, lần lượt là trung điểm của AD và DC

Gọi F là giao điểm của AD vàBC

2/ Bài tập liên quan đến khoảng cách.

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình (x 2)2(y1)225 theo một dây cung có độ dài bằng 8

D C

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông

ABCD có phương trình: x 22y 32 10 Xác định tọa độ các đỉnh của hình

vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M   3; 2 và điểm A có

hoành độ dương

Do  C tiếp xúc với AB nên hay

Với a 3b chọn a  3 b 1 phương trình đường thẳng AB: 3x y  7 0

Gọi A t t  ;3 7 (với t 0) ta có IA2  2.R2  20 nên

Do AD BC/ / nên ta chỉ cần viết phương trình một đường.

Do ABCD là hình thoi nên ta có d AB CD , d M BC ;  mà khoảng cách

Bài 4: Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết các cạnh AB,

BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M2;1, N0;1; P3;5; Q   3; 1

Do đề bài cho hình vuông nên ta có d AB CD ;  d AD BC ;  mà tất cả các cạnh này đều đi qua một điểm cho trước nên ta nghĩ đế sử dụng khoảng cách để viết phương trình một cạnh bất kì nào đó của hình vuông, các cạnh còn lại ta sẽ viết được phương trình dựa vào quan hệ vuông góc và song song

Lời giải:

Gọi n a b 1 ;  0 là véctơ pháp tuyến của ABsuy ra n b a2 ;    0

là véctơ pháp tuyến của BC

Với a 7b chọn a  7 b 1 phương trình của AB: 7x y 15 0 ,

bằng nhau Xác định tọa độ các điểm A B,

*/ Phân tích:

Với giả thiết d A BC ;  d D BC ;  ta nghĩ đến viết phương trình của đường thẳng

BC đi qua C5;1 nhưng tọa độ điểm A lại chưa biết Theo đề bài thì N0;1 là trung điểm của AM nên ta có d A BC ; 2d N BC ;  do đó d D BC ;  2d N BC ; 

từ đây ta viết được phương trình của BC từ đó ta suy ra tọa độ điểm B M  A

như vậy bài toán được giải quyết

Do N là trung điểm của AM nên ta có d A BC ; 2d N BC ; 

Mà theo giả thiết thì d A BC ;  d D BC ; suy ra d D BC ;  2d N BC ; 

Với a 2b chọn a  2 b 1 phương trình của BC là: 2x y 11 0

Suy ra B17; 23  M11; 11  A11;13 loại vì A và D cùng phía đối với BC

Bài 6: (trích đề thi thử đại học khối B lần 2 Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc

đường thẳng d x y:   4 0, đường thẳng BC đi qua điểm M(4;0), đường thẳng

CD đi qua điểm N(0;2). Biết tam giác AMN cân tại A, viết phương trình đường

thẳng BC.

*/ Phân tích:

d A

III/ Bài tập tương tự.

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B2; 1 , đường cao và đường phân giác trong lần lượt qua các đỉnh A C, có phương trình lần lượt là: 3x 4y27 0 và x2y 5 0

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A1;1 và đường thẳng

: 2x 3y 4 0

    Tìm tọa độ điểm B   sao cho đường thẳng AB hợp với 

một góc 450

Bài 3: (Trích đề thi đại học khối B năm 2002).

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhậtABCD có tâm là

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d x: 7y 31 0 , điểm

đi qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Bài 6 (trích đề thi thử đại học khối A, A 1 nhóm 1 lần 1 tỉnh Vĩnh Phúc năm học

2013 – 2014).

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x1 :  2y 3 0  vàđường thẳng d2 : 2x y  1 0  cắt nhau tại I Viết phương trình đường thẳng d

đi qua và cắt d d1 , 2 lần lượt tại A B, sao cho 2IA IB

Bài 7: (Trích đề thi thử đại học khối A, A 1 nhóm 2 lần 1 Vĩnh phúc năm học

Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho đường tròn

 C x: 2y2 6x 2y  6 0 và điểm P1;3 Viết phương trình các tiếp tuyến PE

và PF tới  C với E F, là các tiếp điểm Tính diện tích tam giác PEF

Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

( ) :C x  – 2 – 2 1 0y x y   và ( ') :C x2 y24 – 5 0x  cùng đi qua M1;0 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A,

B sao cho MA 2MB

O

Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn

 C x: 2 y2  4x 6y  9 0 và điểmM1; 8  Viết phương trình đường thẳng d điqua M và cắt  C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác ABI

lớn nhất (với I là tâm đường tròn C )

Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AB x:  3y 5 0 và đường chéo BD x y:  1 0 , đường chéo AC điqua M  9;2 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó

C KẾT LUẬN.

Bài tập hình học tọa độ phẳng rất đa dạng và phong phú, một bài toán tọa độ phẳng cũng có rất nhiều cách giải khác nhau Trên đây tôi đã trình bài một phương pháp sử dụng công thức tính góc và khoảng cách để giải một số bài tập Chuyên đề này hi vọng sẽ giúp ích cho giáo viên trong quá trình giảng dạy và học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện Tuy đã cố gắng rất nhiều nhưng không thể tránh những sai xót, các bài tập vẫn còn hạn chế Mong được sự đónggóp từ phía các giáo viên để chuyên đề được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

D TÀI LIỆU THAM KHẢO.

- Sách đại số 10, NXB GD

- Một số đề thi đại học, cao đẳng các năm

- Một số đề thi thử đại học của Vĩnh Phúc và các tỉnh khác

- Nguồn từ internet

- Một số bài tập của đồng nghiệp