SKKN nâng cao kết quả học tập phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan bằng việc sửa chữa những sai lầm và nêu hướng kh

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giải tích 12, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, cùng các bài tập liên quan bằng ứng dụng đạo hàm có một vị trí đặc biệtquan trọng, chiếm hầu

MỤC LỤC

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

2.2 Thực trạng của vấn đề

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2.4 Hiệu quả của sáng kiến

4-6 7 8-20 21 3 Kết luận 22

Tài liệu tham khảo: 1 SGK Giải tích 12 – CB NXB Giáo dục 2008 2 SGV Giải tích 12 – CB NXB Giáo dục 2008

3 SBT Giải tích 12 – CB NXB Giáo dục 2008

4 Chuẩn kiến thức kỹ năng bộ môn Toán NXB Giáo dục năm 2009

5 Hướng dẫn ôn tập thi TN THPT môn Toán năm học 2012-2013 NXB Giáo dục năm 2013

6 Tham khảo các tài liệu của đồng nghiệp: Bài báo trên internet, Tạp chí Toán học tuổi trẻ, SKKN của đồng nghiệp

Phần 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình giải tích 12, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị của hàm

số, cùng các bài tập liên quan bằng ứng dụng đạo hàm có một vị trí đặc biệtquan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình, số điểm cũng khá trongcấu trúc điểm của đề thi TN THPT hàng năm Là một công cụ khá hữu dụng đểgiải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổthông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toánliên quan đến khảo sát hàm số

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh lớp 12 trườngTHPT số 4 TP Lào Cai hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đếnviệc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Học sinh thườngmắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có

sự hướng dẫn của thầy cô giáo

Chẳng hạn, với bài tập: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3( 2m-1)x +1

1 Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định

2 Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu ?

Đa số các em đã sử dụng phương pháp sai để giải, số liệu thống kê qua bảng sau đây:

" Nâng cao kết quả học tập phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên

quan bằng việc sửa chữa những sai lầm và nêu hướng khắc phục cho học sinh."

- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải Qua đó, họcsinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó, họcsinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

III Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việcứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan(Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh vàchính xác

IV Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu

- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảosát và vẽ đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12

- Học sinh 02 lớp phụ trách 12A1, 12A3 (tổng số học sinh 44) trườngTHPT số 4 thành phố Lào Cai, năm học 2013 – 2014 và kinh nghiệm một sốnăm học trước

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phần 2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

I Cơ sở lý luận

1 Nội dung chương trình (Chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung vàphạm vi nghiên cứu của đề tài)

1.1 Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:

* Hàm số y = f(x) đồng biến ( tăng ) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc

1.3 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí:

* Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K Nếu f ' x  0

( f ' x  0) với   x K và f’(x) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x)đồng biến ( nghịch biến ) trên K

1.4 Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:

* Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng

K (x   h; x  h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x 0 , với h > 0

a Nếu f ' x   0trên khoảng (x 0  h; x ) 0 và f ' x   0 trên khoảng

0 0

(x ; x  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b Nếu f ' x   0trên khoảng (x 0  h; x ) 0 và f ' x   0 trên khoảng

0 0

(x  h; x ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

* Định lý 2 (Quy tắc II): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trongkhoảng (x 0  h; x 0  h), với h > 0 Khi đó:

a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

+ Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phảiđiều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng

1.5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:

x D f x m

  : ( )  (hay  x0 D : f (x ) M0  ) thì dấu "=" không xảy ra Khi đó,không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D + Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền

D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) vớiphép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương 1.6 Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):

* Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình:

2 Sai sót thường gặp khi giải toán

2.1 Sai sót trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắmvững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tớihạn của hàm số

2.2 Sai sót trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chínhxác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của cáchàm đồng biến, nghịch biến

2.3 Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụngsai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực 2.4 Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khivận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệutrên khoảng (a;b).

2.5 Sai sót trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm

số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương

2.6 Sai sót trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua mộtđiểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát

và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm

số trên một miền D

- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểmthuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ qua một điểm bất kỳ đến đồ thị hàm số đã cho

CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

I BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiêncứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, giải thích rõ hơn các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinhnắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,định lý

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống

và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán

3 Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảngsinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn

sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tửkết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trựctiếp tới bài giảng

4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với các mức độ nhậnthức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng ở mức độ cao

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh

5 Giáo viên có đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho

phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm

thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số, một số bài toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làmbài tập

6 Phân loại bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kếtquả mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo

II NGHIÊN CỨU THỰC TẾ, PHÂN TÍCH NHỮNG SAI SÓT THÔNG QUA MỘT SỐ VÍ DỤ.

1 Sai sót khi xét tính đơn điệu của hàm số

* Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn

Lời giải trên có vẻ đúng, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán Chú

ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D,

x1 < x2  f(x1) < f(x2) Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x 1 =- Î 1 D và

Suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ -; 1) và ( 1;- +¥ ).

* Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc

xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số: 2

2 Sai sót khi chứng minh bất đẳng thức

*Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh

thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.

Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 10, SGK Giải tích 12 CB)

Chứng minh rằng: tanx > x, với x 0;

" Î ç ÷÷

çè ø.

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá khó để phát hiện

sự không chặt chẽ Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng 0;

ë , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy

ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng 0;

Một số học sinh trình bày như sau:

Xét các hàm số f(x) = x, g(x) = ex là các hàm đồng biến trên ¡ Suy ra hàm sốh(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡ Suy ra, từ

Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ 0," ³ - x 1, dấu "=" xảy ra chỉ tại

x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ - 1;+¥ ) Từ x > - 1 Þ

* Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức ( )u ' a =a u a- 1 u ',

Phân tích: Sai sót ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ

không nguyên thì cơ số phải dương Vì vậy, viết ( 1)- - 13 là không đúng (!)

 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số học sinh quên rằng đó

là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Quy tắc:

 y ' 0 , x (a;b) > " Î Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)

Điều ngược lại nói chung là không đúng.

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - mx 2 + - x 1

* Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, nhiều học sinh cũng

quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ìïïf '(0)f ''(0) 0=0

íï <

ïî

4m.0 0 12m.0 0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0

Lời giải trên sai ở đâu?

Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn 0

0 0

+ m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x0 làđiểm cực đại của hàm số.

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0

Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m

4 x

4

ì " Î ïï

4 x

4

ì " Î ïï ï

1

số không có cực trị tại x = 0.

Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0

5 Sai sót khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

* Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất

(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.

Một số học sinh trình bày như sau:

cos x + = t2 - 2

Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 ³ - 4, t " Î ¡

Vậy min f (x)=- , khi t = - 1.4

Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương Giá trị nhỏ

nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), " Î ¡ t

Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để cosx 1

cosx + = - 1

1

cos x + = - Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3

Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ 2):

t

G(t)

-3 5Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: mmin f(x)D = min g(t)t 2 3

Đạt được khi t = - 2 cosx 1 2

-Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a y = - (7 x) x 5 3 + b y = cosx - sinx c y = sin2x

Bài 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực tiểu tại x = 2:

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

b y = 2sinx + sin2x trên đoạn 0;3

c y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5

Bài 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếptuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)

Bài 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a ex 1 x x2, x>0

2

> + + "

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Gọi (d): 2x –y +m =0 CMR (d) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A,

B trên 2 nhánh của đồ thị hàm số

Bài 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: x2- 2 x = m( x 1)

-có 4 nghiệm thực phân biệt ?

III Kết quả nghiên cứu

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kếtquả đạt được có khả quan hơn Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khikiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh 2 lớp 12A1 và 12A3 như sau:

Số liệu thống kê qua bảng sau :

- Khi chưa áp dụng đề tài:

và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trìnhthực nghiệm.

PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

I Kết luận

Thông qua những sai sót và cách hiểu sai các định nghĩa, khái niệm, định

lý của học sinh, nếu giáo viên phát hiện ra, tìm ra nguyên nhân, kịp thời uốn nắn

và sửa chữa các sai sót đó thì sẽ giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn, hiểu đúng bảnchất toán học của tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp học sinh tránh đượcnhững sai sót tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy

Thông qua bài viết này, cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinhnhư một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và cácứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìnsâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, quanhững sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giảitoán cho riêng mình ; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lýthuyết đã được trang bị để làm toán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nóichung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm làmột công cụ rất hữu hiệu để giải quyết rất nhiều bài toán, hơn nữa, những bàitoán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đễhiểu

Đối với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó,nhất là đối với những học sinh có lực học trung bình trở xuống Học sinh thườngquen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa,định lý cũng như những kiến thức liên quan đã được học Đó là chưa kể sáchgiáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng vàthậm chí mang tính hàn lâm; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêmkhi có cơ hội học sâu hơn Ở cấp độ trường trung học phổ thông , đề tài có thể

áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, chia sẻ cùng đồng nghiệp,củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Giúp