MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN NGƯỜI VIẾT: PHÙNG THỊ ĐIỆP... LỜI MỞ ĐẦU Trong đề thi tốt nghiệp THPT , đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng hàng năm của Bộ GD&ĐT bài
Trang 1
MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
NGƯỜI VIẾT: PHÙNG THỊ ĐIỆP
Trang 2
LỜI MỞ ĐẦU
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng hàng năm của
Bộ GD&ĐT bài toán tích phân hầu như không thể thiếu,là câu IV trong đề thi Tính tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân Tuy nhiên các đề thi Đại học -Cao đẳng gần đây câu tính tích phân lại không quá khó cho nên trong quá trình giảng dạy tôi
cố gắng dạy chi tiết ,cụ thể từng phương pháp để học sinh của tôi có thể đạt điểm tối đa trong câu hỏi này.Và tôi đã viết chuyên đề “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
để đưa ra một số phương pháp hay dùng khi tính tích phân giúp các em nhân diện và đưa
ra cách giải một cách nhanh nhất
Chuyên đề gồm 3 phần:
Phần 1: Hệ thống kiến thức cơ bản
Phần 2: Các phương pháp tính tích phân
Phần 3: Tuyển tập các bài tính tích phân trong các đề thi đại học
Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi Tốt nghiệp THPT ,ĐH, CĐ cho học sinh khối 12.
Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 6 tiết học chuyên đề và 6 tiết học ở nhà.
Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập
Trang 3
Phần I: Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa tích phân
Cho hàm số f x liên tục trên [a b; ].Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f x trên đoạn [
;
a b] Hiệu số F b( )- F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên [
;
a b] của hàm số f x kí hiệu
b
a
f x dx
b
a
b
a
Chú ý : Tích phân
b
a
f x dx
chỉ phụ thuộc vào a ,b và hàm số f x( ) mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Vì vậy ta có thể viết
F b F a f x dxf t dt
2 Các tính chất của tích phân:
Giả sử các hàm f x và g x liên tục trên các khoảng K và a, b , c là 3 điểm của
K, dựa vào định nghĩa tích phân ta có các tính chất sau:
Tính chất 1: 0
a
a
f x dx
Tính chất 2:
f x dx f x dx
Tính chất 3:
kf x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f x dx f x dx
Tính chất 6: Nếu f x 0, x a b; thì 0
b
a
f x dx
Tính chất 7: Nếu f x g x , x a b; thì
f x dx g x dx
3.Bảng nguyên hàm, tích phân
Trang 4
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp
dx x C
1
1 1
x
dx
x C x
e dx e C
0 1
ln
x
a
cosxdxsinx C
sinxdx cosx C
2
1
tan cos x dx x C
2
1
cot sin x dx x C
1
a
1 1
1 1
ax b
a
1
dx
ax b C x
1
a
1
cos ax b dx sin ax b C
a
1
a
2
tan cos ax b dxa ax b C
2
cot sin ax b dx a ax b C
du u C
1
1 1
u
du
u C u
e du e C
0 1
ln
u
a
cosudusinu C
sinudu cosu C
2
1
tan cos u du u C
2
1
cot sin u du u C
Phần II: Các phương pháp tính tích phân
1/Tính tích phân bằng cách sử dung bảng nguyên hàm
Công thức cần nhớ
2
2
1
a
Các ví dụ
Ví dụ 1 :Tính tích phân : a )
2
ln
e
e
dx I
b)
ln3
3
0 ( 1)
x x
e dx I
e
Giải
Trang 5
a)
2
2
ln
ln ln ln 2 ln
e
e e e
x
1
ln 3 2
0 0
1
1 2
x
Ví dụ 2: Tính tích phân
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
2 sin 0 ( x cos ) cos
Giải
a)
4
ln 1 sin 2 ln 2
0
b)
sin
sin
1 cos 2 sin
2
x
x
x
x
Ví dụ 3 Tính tích phân 4 3
0
cos (sin cos )
x
Hướng dẫn
ĐS: 3
8
I
2 1
2 0
1 1
x
x
(KD-2013)
Giải
Trang 6
1
1 2 0
(Khi tính các tích phân dạng này học sinh tỏ ra lúng túng khi đưa f x dx dF x( ) ( ) Làm thật nhiều bài tập các em sẽ rút ra kinh nghiệm làm bài thôi)
Bài tập tự luyện : Tính các tích phân
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3. 4
0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
6 1
sin(ln )
e
x dx x
7 2
1
2
0
x
e xdx
8
2
3
sin xcos xdx
9
2 sin
4
x
e cosxdx
10
2
4
sin
cosx
1 2 0
x
e xdx
12
2
3
sin xcos xdx
13
2
3
sin xcos xdx
14 2
0
sin
1 3
x dx cosx
sin(ln )
e
x dx x
2/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Đổi biến số loại 1:
Để tính tích phân [ ( )] ( )/
b
a
f u x u x dx
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Đặt t = u(x) và tính dt u x dx /( )
Bước 2 Đổi cận: x a t u a ( ), x b t u b ( )
Bước 3 [ ( )] ( )/ ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
Trang 7
* Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Hàm f x( ,( ( )) ) x n t( )x
Hàm f x( ,n( ))x Đặt tn( )x
Hàm f x( ,n( ),x m( ))x Đặt tmn( )x
f x
2
x
t
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính tích phân a/ I =
3
0 1
x x dx
b/
1
0 2
I x x dx (KB-2013)
Giải:
Đặt t = 1x2 t2 1 x2 2tdt2xdx
Đổi cận: 1
Khi đó
2 1
b/ Hướng dẫn Đặt t 2 x2 Đ/s 2 2 1
3
0
sin
x
x
Giải
Đặt t cosx dt sin xdx
Đổi cận :
Trang 8
1
2
Ví dụ 3 : Tính tích phân
2 3 1
dx I
Hướng dẫn
Đặt t6 x
2 2 3 2 6 2 5 6ln
2
Bài tập tự luyện : Tính các tích phân
1
1
2
0
1
x x dx
2
1
2 0
1
x x dx
1
3 2 0
1
x x dx
4
3
x
dx
x
5
1
0 1
x x dx
6
2 3 1
1
1dx
x x
7
1
1 ln
e
x
dx x
1
1 3ln ln
e
dx x
9
1
0 2 1
x dx
x
10
3 5 3
2
0
2
1
dx x
1
0 1
x x dx
12 2 2
os 0 sinx.cos
c x
Đổi biến số loại 2:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )
b
a
f x dx
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Đặt x = u(t) và tính dx u t dt /( )
Bước 2 Đổi cận: x a t , x b t
Bước 3 ( ) [ ( )] ( )/ ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
*Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
Trang 9
2 2
| | os ,0
2 2
| |
a
t a
c t
2 2
| | ot ,0
a x
a x
hoặc a x
a x
Đặt x a cos 2t
Ví dụ 1 Tính tích phân
1 2
2 0
1 1
x
(Hàm số chứa ( )x nhưng đặt theo cách 1 ta không giải quyết được bài toán này)
Giải
x t t dx tdt
Đổi cận
1
2
cos
1 sin
t t
6
6 0 0
0
dt t
Vậy
6
I
Ví dụ 2 Tính tích phân
1 2
01
dx I
x
Giải
x t t dx x dt
Trang 10
4
2
t
t
Vậy
4
I
Ví dụ 3 Tính tích phân
2
0
2 2
x
x
Giải
Đặt x 2cos 2t dx 4sin 2tdt
Đổi cận:
0
4 2
8
2
2(1 os2 )
2(1 os2 )
4 2 2
2
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân
1
1
2
0
1
1x dx
2
1 2 1
1
2 2dx
1 2 0
1
1dx
x
4
4
2
0
4 x dx
5
2 2 2
2
0 1
x dx x
6.
2
1 4
x x dx
7
2
3
2
dx
x x
8.
1
3 2 0
1 x dx
9
3 2
3 2
3 3
dx x
Đổi biến số Loại 3:
Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ thông thường:
a
a
có thể lựa chọn việc đặt xt
Với 2
có thể lựa chọn việc đặt x t
Trang 11
0
có thể lựa chọn việc đặt x t
2
0
có thể lựa chọn việc đặt x 2 t
b
a
I f x dx có thể lựa chọn việc đặt x a b t
Một số tích phân đặc biệt thường gặp
2
0
os / sin
os sin
dx
(Thường Đ/s=
4
)
a
a
Nếu f x là hàm lẻ đặt xt Đ/s =0
1
a x a
a
Nếu f x là hàm chẵn đặt xt
Ví dụ 1 Tính tích phân
1 2004 1 sinx
Khi gặp tích phân trên ,nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tích phân từng phần song phương pháp đó lại không áp dụng được cho tích phân này
Giải
Viết lại dưới dạng:
Xét tích phân:
0 2004 1 sin
Đặt x t dxdt
I t t dt x xdx (2) Thay (2) vào (1) ta được I 0
0
osx osx sinx
c
c
Giải
Đặt
2
x t dxdt
Trang 12
Đổi cận
0
2 0 2
2
Ta có 2
0
4 2
I J
I
Lưu ý chung : khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số thì “đổi biến phái đổi cận”
Bài tập tự luyện : Tính các tích phân
1
1
2012
1
sin x
0
cos
x dx
1
1
cos 1
x
xdx e
0
sin
4 os
2 sin
3x 1
xdx
6.2 13
0
osx osx sinx
c
dx c
7
4
4
os sin
6x 1
dx
8
2
2 2
os
4 sin
x c x
dx x
9.
2 2 2
2
.sin
1 2x
dx
3/ Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d u x v x v x u x dx
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
Loại 1:
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
cos
Loại 2: f x( ) ln( )ax dx
Đặt: ln( )( )
( )
dx du
x
dv f x dx
v f x dx
Trang 13
Loại 3: sin
e ax cosax ax dx
Đặt:
os sin
sin cos
1 ax
ax
ac ax
ax
dv e dx
a
Để sử dụng có hiệu quả phương pháp tích phân từng phần khi tính tích phân điều quan trọng nhất làm sao chọn hàm u một cách thích hợp Phép chọn u làm sao để dễ dàng tìm được v tính được vdu dễ dàng.
Ví dụ 1 Tính tích phân
1
2 0
I x e dx KD
Giải
2
1 2
x x
du dx
u x
dv e dx
( 2)
Ví dụ 2 Tính tích phân a/
3 2 2
b/
2 2 2 1
1
x
x
Giải
a/ Đặt
2
2
3 3 2 2 2
1
x
x
3 3 2 2 2
1
1
x
3ln 3 2
b/ Hướng dẫn
2 2 1
1 (1 ) ln
x
Đặt
2
1 ln
1
x
v x x
x
Trang 14
Đ/s 5ln 2 3
2
Ví dụ 3 Tính tích phân 2
0 sin
x
Giải
Đặt u sinx x du xcosxdx
2 2
0
2 0
2
( 1 )
2
e
Lưu ý:Tính tích phân dạng này thường quay lại tích phân ban đầu
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân
1
3
3
1
ln
e x
dx
x
1
ln
e
x xdx
1
2 0
x x dx
1
ln
e
x xdx
3 3 1
ln
e
x dx x
6
1
ln
e
x xdx
7
1
2
0
x x dx
1
ln
e
x xdx
0
10
1
1
e
x xdx
x
2 2 1
12
3
2
4
tan
x xdx
13
2
5
1
ln x dx
x
2
0
cos
x xdx
1
0
x
xe dx
4/Liên kết giữa phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần
Trang 15
Trong một số bài toán phải đổi biến số sau đó mới sử dụng tích phân từng phần,hoặc sử dụng đồng thời cả 2 phương pháp
0 sinx os
x
Giải
Đổi cận
1 2
1
Sử dụng tích phân từng phần Đs: 1 2
2
I e
Ví dụ 2: Tính tích phân
3
8 3 0 sin
Giải
Đặt t3 x x t 3 dx3t dt2
Đổi cận
3
2 2
0
3 sin
Sử dụng tích phần từng phần 2 lần Đs I 3 6
Bài tập tự luyện: Tính tích phân
1
1
0
x e x dx
5
2
ln ln(ln )
e
e
x
0 (x sin x e ).cosxdx
4
1
0
os
5
1
0
sin xdx
6
2
2
0 sin
Trang 16
3
2
6
ln sinx
8.
4
1
x
e dx
9.
4
1
ln 9 x
dx x
Phần 3:TUYỂN TẬP ĐỀ THI TÍCH PHÂN TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY
(2002-2013)
1 KA - 2013:
2 2 2 1
1
ln
x
x
2 KB - 2013
1
2 0
3
3 KD - 2013
2 0
( 1) 1
x
x
3
2 1
1 ln x 1
x
5 KB - 2012
x
2
0
1 sin 2
2 1
32 4
7 KA – 2011 4
0
sin ( 1) cos sin cos
2 4 2 ln
8 KB – 2011 3
2 0
1 sin cos
x
9 KD – 2011
4
0
x
x
3
10 CĐ– 2011
2
1
( 1)
x
x x
11 KA-2010
0
2
1 2
x
e
e
1
ln (ln 2)
e
x
e
x
Trang 17
14 CĐ – 2010
1
0
1
x
x
0 (cos 1) cos
16 KB – 2009
3
2 1
3 ln ( 1)
x
x
17 KD – 2009
3
1 x 1
dx I
e
; ĐS: ln(e31) ln( e1) 2
0
tan cos 2
x
x
; ĐS: 10 3 127 2ln(2 3)
0
sin
4 sin 2 2(1 sin cos )
I
20 KD – 2008
2 3 1
ln x
x
1 ln
e
4
32
e
0
sin 2
x
23 KB – 2006
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx I
e e
2
24 KD – 2006
1
2 0
( 2) x
2
5 3 2
e
0
sin 2 sin
1 3cos
x
34 27
0
sin 2 cos
1 cos
x
0 ( x cos ) cos
28 KA – 2004
2
x
x
Trang 18
29 KB – 2004
0
1 3ln ln
e
x
30 KD – 2004
3 2 2
31 KA – 2003
2 3
2
dx I
x x
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
1
ln 2 2
33 KD – 2003
2 2 0
34 CĐ – 2007
2007 1
2 1 2
1
Vĩnh Tường ngày 06 tháng 03 năm 2014
Phùng Thị Điệp