ÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNvÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Trang 2CHUYÊN đỀ:ỢCÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNỢ GV: NGUYỄN DUY KHÔI
LỜI NÓI đẦU
Ngày nay phép tắnh vi tắch phân chiếm một vị trắ hết sức quan trọng trong Toán học, tắch phân ựược ứng dụng rộng rãi như ựể tắnh diện tắch hình phẳng, thể tắch khối tròn xoay,
nó còn là ựối tượng nghiên cứu của giải tắch, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình ựạo hàm riêng Ngoài ra phép tắnh tắch phân còn ựược
ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học
Phép tắnh tắch phân ựược bắt ựầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo
ựược phổ biến trong tất cả các trường đại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ
hai trong chương trình học đại cương Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh đại học phép tắnh tắch phân hầu như luôn có trong các ựề thi môn Toán của khối A, khối B và cả khối D Bên cạnh ựó, phép tắnh tắch phân cũng là một trong những nội dung ựể thi tuyển sinh ựầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh
Với tầm quan trọng của phép tắnh tắch phân, chắnh vì thế mà tôi viết một số kinh nghiệm giảng dạy tắnh tắch phân của khối 12 với chuyên ựề ỘTÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - đỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦNỢ ựể
phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ựể các em ựạt kết quả cao trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh đại học và giúp cho các em có nền tảng trong những năm học đại cương của đại học
Trong phần nội dung chuyên ựề dưới ựây, tôi xin ựược nêu ra một số bài tập minh họa cơ bản tắnh tắch phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tắch, phương pháp ựổi biến số, phương pháp tắch phân từng phần Các bài tập ựề nghị là các ựề thi Tốt nghiệp THPT và ựề thi tuyển sinh đại học Cao ựẳng của các năm ựể các em học sinh rèn luyện kỹ năng tắnh tắch phân và phần cuối của chuyên ựề là một số câu hỏi trắc nghiệm tắch phân
Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày chuyên ựề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ựược sự góp ý chân tình của quý Thầy Cô trong Hội ựồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh đồng Nai Nhân dịp này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ựạo nhà trường tạo ựiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô trong tổ Toán trường Nam Hà, các ựồng nghiệp, bạn bè ựã ựóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành chuyên ựề này Tôi xin chân thành cám ơn./
Trang 3CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI
MỤC LỤC
Lời nói ñầu 1
I Nguyên hàm:
I.4 Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung 4
II Tích phân:
ðịnh lý về phương pháp ñổi biến số loại 1 13 Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 1 14
Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16
Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 28
III Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính
CASIO fx570-MS 29 Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30
Trang 4CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI
I NGUYÊN HÀM:
I.1 ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi
x∈(a;b):
F’(x) = f(x) VD1: a)Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R
b)Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1
x trên (0;+∞)
I.2 ðỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) ñều có thể viết dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số
Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào ñó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C
Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và
ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất ñịnh)
Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C
VD2: a) 2
2xdx = x + C
cos x
∫
I.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM:
1) ( ∫ f(x)dx ) ' f(x)
=
2) ∫ a.f(x)dx=a f(x)dx ∫ a 0( ≠ ) 3) ∫f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x)dx±∫ g(x)dx 4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒∫ f u(x) u'(x)dx ( ) =F u(x) +C ( )
x
6cosx.sinxdx = -6 cosx.d cosx = -3cos +C
Trang 5CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI
I.4 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP
α
α ≠
≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
x x
2 2
2 2
dx = x + C
x
+ 1 dx
= ln x + C (x 0) x
e dx = e + C
a
a dx = + C 0 < a 1
lna cosx dx = sinx + C sinx dx = -cosx + C dx
= 1+ tg x dx = tgx + C (x k )
dx
= 1+ cotg x dx si
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
x
/
n
( )
α
α
≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
u u
2 2
2
du = u + C
u
+1 du
= ln u + C (u = u(x) 0) u
e du = e + C
a
a du = + C 0 < a 1
lna cosu du = sinu + C sinu du = - cosu + C du
= 1+ tg u du = tgu + C (u k
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
9/
)
du
= 1+ c
otg u du = -cotgu + C (u k )
CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP:
( )
α α
≠
≠ α
≠ ≠
≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
ax+b ax +b
kx kx
1
dx = 2 x + C (x 0) x
ax + b 1
dx = ln ax + b + C (a 0)
1
a a
a dx = + C 0 k R, 0 < a 1
k.lna
1 cos ax + b dx = sin ax + b
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7
+ C (a 0) a
1 sin ax + b dx =
π
≠
∫
∫
∫
ax + b + C (a 0)
tgx dx = - ln cosx + C (x k )
2 cotgx dx = ln sinx + C (
/
k
8
)
CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA:
m
n m
a a = a
= a ;
1/
2/
3/
= a
a = a ; a = a
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
a CÔNG THỨC HẠ BẬC:
1/ sin x = 1 1- cos2x 2 cos x = 1 1+ cos2x
b CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1 cosa.cosb = cos a - b + cos a + b
2 1 sina.sinb = cos a - b - cos a + b
2 1 sina.cosb = sin a - b + sin a + b
2
1/
2/
3/
Trang 6CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI
NHẬN XÉT
Trang 7
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI
Trang 8
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI
