Các phương pháp tính tích phân và những vấn đề liên quan khi dạy học tích phân_unprotected

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --- PHẠM NGỌC HIẾU CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHI DẠY HỌC TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

PHẠM NGỌC HIẾU

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHI DẠY HỌC TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

-

PHẠM NGỌC HIẾU – C00445

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHI DẠY HỌC TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS VŨ ĐÌNH PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2016

3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ dẫn tận tình của thầy hướng dẫn

và sự trợ giúp của các thầy cô ở khoa Toán – Tin trường Đại Học Thăng Long

Hà Nội

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, TS Vũ Đình Phượng đã tận tình giảng dạy, chỉ bảo và ủng hộ trong suốt quá trình làm luận văn của tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng đào tạo cùng các thầy

cô ở khoa Toán – Tin Trường Đại Học Thăng Long Hà Nội và các bạn học viên lớp Cao Học Toán Bắc Giang đã giúp đỡ, động viên ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, tổ chuyên môn Toán – Tin, các đồng nghiệp Trường trung học phổ thông Yên Dũng số 1 Bắc Giang đã tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả

Phạm Ngọc Hiếu

BẢN CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan về tính trung thực, hợp pháp của luận văn Các kết

quả, số liệu trong luận văn là trung thực không sao chép ở các tài liệu khác

Tác giả

Phạm Ngọc Hiếu

5

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu…….……… 6

Chương 1 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ……….8

1.5 Nguyên hàm…….……….……… ………8

1.6 Tích phân……… 10

1.7 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng……… 14

1.8 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay……… 14

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN……… 16

2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 16

2.2 Phương pháp đổi biến số 16

2.3 Phương pháp tích phân từng phần 20

Chương 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP KHI DẠY TÍCH PHÂN 27

3.1 Dạng 1 Tính tích phân bằng công thức 27

3.2.Dạng 2 Tích Phân của các hàm số có mẫu chứa tam thức bậc hai 28

3.3 Dạng 3 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ 41

3.4 Dạng 4 Tích phân của hàm số lượng giác 56

3.5 Dạng 5 Tích phân của hàm số vô tỉ 80

3.6 Dạng 6 Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 92

3.7 Dạng 7 Một số tích phân của hàm đặc biệt 94

3.8 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 96

3.9 Ứng dụng tích phân tính thể tích của khối tròn xoay 101

3.10 Một số sai lầm thường gặp khi giải toán tích phân 104

3.11 Giải bài toán tích phân bằng nhiều cách khác nhau 108

3.12 Bài tập vận dụng……… 113

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 120

DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO 121

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ở phổ thông thì nguyên hàm, tích phân là một mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình giải tích 12 nói riêng và trong toàn bộ chương trình toán phổ thông nói chung Các bài toán về tích phân thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Đại Học - Cao đẳng trước đây và trong kì thi trung học phổ thông Quốc Gia hiện nay

Tuy nhiên trong nhiều năm dạy học tích phân tôi thấy học sinh thường rất khó tiếp cận kiến thức về nguyên hàm, tích phân Thực tế tích phân ở phổ thông không quá phức tạp mà do các em thiếu kĩ năng giải toán, qua đó dẫn đến những sai lầm cơ bản Hơn nữa mỗi một bài tập học sinh thường chỉ tìm

ra một lời giải trong khi bài đó có nhiều cách giải và các cách giải đó có thể

áp dụng cho những bài toán khác

Hiện nay, có rất nhiều tài liệu viết về đề tài nguyên hàm tích phân và các tài liệu tham khảo đó đã đưa ra đầy đủ các dạng toán, nhưng chưa chú trọng tới những bài toán với nhiều các giải khác nhau, hệ thống bài tập từ dễ đến

khó, qua đó chưa phát triển được năng lực cho mọi đối tượng học sinh trong quá trình dạy học Vì vậy tôi chọn đề tài: “Các phương pháp tính tích phân và những vấn đề liên quan khi dạy học tích phân’’

với mong muốn giúp học sinh tiếp cận các bài toán về tích phân một cách chủ động và dễ dàng hơn

7

+Đưa ra một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán tích phân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Học sinh trung học phổ thông

+ Các dạng và phương pháp giải tích phân dùng dể luyện thi trung học phổ thông Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lí luận

+ Điều tra quan sát

+ Thực nghiệm giảng dạy

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Hệ thống lại kiến thức cơ bản

+ Hệ thống các định nghĩa, định lí, tính chất của nguyên hàm, tích phân

Chương 2 Các phương pháp tính tích phân

+ Trình bày lại các phương pháp tính tích phân trong sách giáo khoa giải

tích 12

+ Đưa ra một số dạng tích phân giải bằng phương pháp tích phân tưng

phần thường gặp

Chương 3 Một số vấn đề thường gặp khi dạy học tích phân

+ Đưa ra một số dạng tích phân thường gặp và phương pháp giải

+ Đưa ra một số bài toán tích phân giải bằng nhiều cách khác nhau + Đưa ra một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán tích phân + Đưa ra một số bài tập áp dụng

CHƯƠNG 1 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó

a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f

trên K;

b) Ngược lại, Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C

sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K

+ Từ định lí 1 ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên

hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với C R  Vậy F(x) + C với CRlà

họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, kí hiệu f x dx  Vậy  f x dx  F x C,CR.

f x dx



Trong trường hợp a < b, ta gọi ( )

b a

11

b

b a a

1.2.2.10 Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a b , ; 

 

   ( ) ( ) x a;b

f x g x và f x g x không đồng nhất với nhau trên [a; b]    ,

x a

f x

dx f x dx c

1.3.1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới

hạn bởi các đường y f x ,x  a,xb và trục hoành là b  

a

S f x dx

1.3.2 Diện tích hình phẳng

1.3.2.1 Trường hợp 1

Cho hai hàm số f x và   g x liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình  

phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y  g x ,x  a,xb là

b a

f x g x , a  α β b

1.4.ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY 1.4.1 Trường hợp 1

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f ( x ) 0  x a;b, y  0, x a và xb a b quay quanh trục Ox

15

xg( y ) 0  y c;d, x , 0 y  c và y  d (c d) quay quanh trục

Oy là  

d 2 c

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

2.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Phương pháp Biến đổi tích phân sau đó sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

1

I x x  dx

1 3 2

f t x t x dx f u du

Cách thực hiện:

17

ut x du t x dx

Bước 2: Đổi cận: Khi x  b u t b( ) Khi x  a u t a( );

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

( )

( ) '( ) ( )

t b b

π 3

3 3

2

1 1

3 π π

3 3

1 ;

I e e  dx b)

1 1 0

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

19

 

β b

I  f x dx f φ t φ t dt tiếp tục tính tích phân mới

Ví dụ 2.2.2.1 Hãy tính các tích phân sau:

a)

2

2 0

I  4x dx; b)

1

2 0

4 4 4

udvuv  vdu

 

2.3.2 Cách thực hiện



Giải:

Đặt

2 2

2

1 sin 4cos 2

+) Ta phải đặt u f x  vì sau mỗi lần đặt bậc của f x giảm một đơn vị  

Nếu ta đặt ngƣợc lại thì bậc của f x tăng lên và nhƣ vậy tích phân thu đƣợc  

phức tạp hơn tích phân ban đầu

2.3.4 Dạng 2:  f x g x dx    Trong đó ( )f x là hàm đa thức hoặc hàm phân

thức hữu tỉ còng x là một trong các hàm: lnaxb;lognaxb a, 0

1

x dx

dv

v x

25

2 2

Nhận xét: Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau

đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính

1cos lnsin ln

Đặt    

3 2

1sin lncos ln

Nhận xét: +) Trong dạng này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó

trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính

+) Ta có thể tính tích phân này bằng cách Đặt t lnx x e t hay

2 2 0

.1

x dx I

x

x x





sin





Ví dụ 3.2.3.1 Tính

1 2 0

2 0

4

   (Theo kết quả Ví dụ 3.2.1)

Ví dụ 3.2.3.2 Tính

1 2 0

2 1

.2

dx I

2

dx I

dx J

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân của các hàm số có chung mẫu là

5

dx B

dx I

33

Ta có,

2 1 2

dx J

5 1

.(1 ) 1

x

e dx I

2 2

2(1 2)1

1 3

xdx I

I

u u

1 3

1 3

22

24

xdx A

1 3

dx B

B

u u

1 2 2

x x

x

A. x2  2x 3 +

3 2

) 1 )(

x B Ax

3 2

2

x x dx

dx I

1 1

dx I

.1

dx I

+ Khi Q(x) =a x1 b1a x2 b2  a x n b n với a a a 1 2 n 0 thì tìm các hệ số

43

Ví dụ 3.3.1.2 Tính

2 3 0

45

Tính

1 2 0

Nhận xét: Mẫu là tích của hai tam thức bậc hai và bậc của tử nhỏ hơn bậc của

mẫu nên ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để tách tích phân

Giải: Ta đi tìm bốn hệ số a, b, c, d sao cho

dx I

x

x x

1

21

u u

u u

3

u

du u

3 2

.1

,

4

m m

Từ đó ta thu được một hệ thức truy hồi

+) Nếu phương trình ax2 bx c 0 vô nghiệm thì ta có thể đặt

2 2

4tan

49

1

2 0

1

;1

dx I

;1106.2 2x 3

1

du I

 



53

Sau đó sử dụng phương pháp hệ số bất định để tách tích phân

3.3.7 Sử dụng khai triển taylor

Lý thuyết: Đa thức f n x có khai triển Taylor tại điểm x = a là

.1

3.3.8 Sử dụng các phương pháp phân tích khác

Ví dụ 3.3.8.1 Tính

2 2

4 1

.1

Ví dụ 3.3.8.3 Tính

6 0

1.1

Như vậy ta đã chuyển được toàn bộ biểu thức dưới dấu tích phân theo cos x

và cosd x hay sin x và sin d x

+) Nếu n = 3 hoặc 3k thì ta có thể sử dụng các công thức

57

Ví dụ 3.4.1.1 Tính 2 6

0sin

+) Nếu n chẵn thì ta biến đổi:

1

.sin

59

Ví dụ 3.4.2.2 Tính 6 3

0

1.cos

+) Nếu n chẵn thì biến đổi

I  cot xdx.

sinsin x sinx d x

ln cos sin  ln 2;

  x x  

Ta có hệ

1

ln 2

2 44

sin

.cos 1

3.4.6 Dạng: R(sin ,cos )x x dx,Với (sin , cos )R x  x  R(sin ,cos )x x Phương pháp giải

Biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến usinx

Ví dụ 3.4.6 Tính

3 2 2016 6

cos

.sin

.cos sin cos

Ví dụ 3.4.9 Tính 2

0

8sin cos 7

.2sin cos 2

32ln 2sin cos 2 2ln 4 2ln 3 2ln ;

8sin cos

.2cos sin

2 0

2 2cos sin 3 2cos sin

2 0

2cos sin

;2cos sin

Tính 2

0

2

;2cos sin

Tìm 3 số A, B, C sao cho msin2 xnsin cosx xkcos2x

Asinx Bcosx a sinx bcosx

Nhận xét: Nếu a b 0  thì sinxasinxb ; 

Nếu a b π  thì sinxa sinxb 

Nhận xét: Nếu a b 0  thì cosxacosxb ; 

Nếu a b π  thì cosxa cosxb 

x dx x

 ta có thể làm tương tự

Ví dụ 3.4.15.1 Tính

2016 4

6 0

tan

.cos

75

Ví dụ 3.4.15.2 Tính

5 3 3 0

tan

.cos

0

1cos x cos x dcosx



Ví dụ 3.4.15.3 Tính

2 2

3

cot

.sin

40

14

1 cos

I u

 I 

Nhận xét: Trong bài này sau khi đổi biến thì I bằng một tích phân mới mà

việc tính tổng của tích phân đó với I dễ dàng

3.4.18 Sử dụng tổng hợp các công thức biến đổi lƣợng giác

Ví dụ 3.4.18.1 Tính

2

0cos cos 2 cos3

 2    2

4

x x

cos sin sin 2 sin cos sin 2 sin 2 sin 2

.(3 1) (5 4)

1 3

x



    

1 3 4 5

x

x x

dx

=

8 27

3 1

21 u du =

8 27

3 3 3

m n

 

2 2

2

11

t bx

a  với s là mẫu số của phân số q;

ax   với s là mẫu số của phân số q

Ví dụ 3.5.5.1 Tính:

16

3 4

1

dx I

1x t Giải:

+ Nếu tích phân có dạng  x, xa b x thì đặt   2

sin

x  a b a t với

0; 2

  

Nhận xét: Khi sử dụng phương pháp lượng giác hoá ta cần phải đặt điều kiện

cho biến t bởi vì:

+) Khi đổi cận tích phân ứng mỗi giá trị x ta chỉ xác định duy nhất một giá

1 3

dx  t dt

t

21

33

1sin sin sin

5 4

t t

93

Bảng xét dấu

x 3 1 2 2

.1

sin

01

x dx x

1

;1

Do f x lẻ trên đoạn    ;  nên theo bổ đề 1.2.3 ta có

3.8.1 Dạng 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường y f x( ), xa x, b và trục hoành

Phương pháp giải

Bước 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x( ), xa x, b

và trục hoành là ( ) ;

b a

S  f x dx

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b];

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( )

b a

f x dx



Đặt

2

1ln

3 9

9 3

Phương pháp giải:

y f x yg x  [với f x và   g x cùng không âm (hoặc cùng không  

dương)  x x x i; i1, trong đó x x i; i1là 2 nghiệm liền nhau của phương trình

3.10 MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Trong quá trình dạy học tích phân, tôi thấy học sinh thường mắc một số sai lầm cơ bản Trong luận văn này tôi xin trình bày một số sai lầm mà tôi thường

gặp

Ví dụ 3.10.1 Tính tích phân:

2 0

.4

Nguyên nhân sai lầm là: 1;0;1  2 1; 2 1   mà khi u = 0 hoặc

u = -1 hoặc u = 1 thì hàm số dưới dấu tích phân không có nghĩa.

Nguyên nhân sai lầm là: 0  1;1 mà khi x = 0 thì hàm số dưới dấu tích

phân không có nghĩa

Lời giải đúng: Ví dụ 3.2.13.1

Ví dụ 3.10.3 Tính

2

2 0

2 0

4 4sin 2cos



Nguyên nhân sai lầm là: Khi đổi biến không đặt điều kiện cho biến t vì vậy

ứng với mỗi giá trị của x thì có nhiều giá trị của t

2

1 1

2

5 5

I  cxd x dx

109

+) Nếu k nhỏ thì việc giải theo cách 1 sẽ đơn giản hơn

+) Nếu k rất lớn và n nhỏ thì giải theo cách 1 sẽ phức tạp hơn Khi đó lựa

chọn cách 2 hoặc cách 3 hợp lý hơn

+) Nếu k và n cùng lớn thi nên giải theo cách 1 hoặc cách 3.Trong trường hợp này nếu lựa chọn cách 3 thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (nếu n < k) hoặc k lần (nếu k < n)

Ví dụ 3.11.2 Tính 2

0

sin

.cos sin

sin cossin cos



 và

2 2

1

1

t x

.1

1 costan

cos

t

dt t t

2sin

t dt

113

4

2 2

t

dt t t

;2

x

dx x

dx

x x

7)

3 3 0

sin

;cos

10)

tan 4 2 0

;cos

sin

;cos

tan ;

sin x xdx



19)

x dx x



22)

4 3

2 4

;4

x dx

x 

 23)

0sin ;

;(1 )

x dx x



 26)

4 0

tan

;cos

π

x dx x

27)

/3 4 /6

;sin cos

π π

34)

2 2 4

;

xdx sin x





 35)

6 2 0

;cos

xdx x



 36)

6 0

1

;1

x

dx x

ln(3 ) ;

x x dx 38)

2 2 1( 1) ;

x e dx 39)

3 2 0sin tan ;



115

40)

5 2 2ln( 1) ;

x x dx 41)

3 1

;2



45)

3 4 2 0

sin

;cos

ln(1 ) ;

x x dx 48)

4cos 3sin

;(cos sin )



52)

1

0( 1)  ;

x e dx 53)

1 3 0(  3 1) ;

 x x dx 54)

0sin ;

sin

;cos

/2 2 0

;1

;1

x dx

x 

 66)

/2

2 0

2 0

70) 2

1

ln

;(ln 1)



 75)

2 0

1 cos sin cos

π π

x

dx

Bài 3.12.5 Cho f(x) liên tục trên R : f x( ) f( x) 22cos 2 x  x R;

7)yxe y x; 0;x0;x1 (Đại Học Kinh Tế Quốc Dân 94);

8) yx x2;  y2 (Đại Học Thương Mại 96);

9)ye y x; ex;x1 (Đại Học Tài Chính Kế Toán 2000);

   (Đại Học Công Đoàn 99);

14)x y x;   y 2 0;y0 (Đại Học Công Đoàn 2000);

15)y lnkk 0 ; y 0;x 1;x 2

x

16)yx3 4x2  x 6;y0 (Đại Học Nông Nghiệp I 98B);

17)

2 2

 (Đại Học Nông Nghiệp I 99A);

18)yx3 3x2 2;y0;x0;x2 (Đại Học Nông Nghiệp I 99B);

19)y0;xy3 1 0;x  y 1 0 (Đại Học Nông Nghiệp I 2000A);

20)y x2 1 ;y x 5 (Đại Học Sƣ Phạm I 2000A);

21) y x2 4x3 ;y3 (Đại Học Sƣ Phạm I 2000B);

10

y x y x x (Đại Học Quốc Gia Hà Nội 93);

23)yx y3;  x2 (Đại Học Quốc gia 97A);