CHUYÊN đề GIẢI TÍCH 12 chuyên đề số phức

Tập hợp các số phức được kí hiệu là .. Ngược lại mỗi điểm M a b ; biểu diễn một số phức z a bi  Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức... Do đó ta còn nói z

§1 Số phức

1, Khái niệm số phức:

*Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng a bi , trong đó a, b là các

số thực và số i thoả mãn i 2 1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi 

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của sốphức z a bi 

Tập hợp các số phức được kí hiệu là 

*Chú ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo b 0 + Số phức z a bi  có a 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

*Định nghĩa 2: Hai số phức z a bi  (a b  , ) và z' a b i' ' (a b  ', ' ) đượcgọi là bằng nhau nếu : a a ' và b b ' Khi đó, ta viết: z z '

2, Biểu diễn hình học số phức:

Mỗi số phức z a bi  (a b  , ) được biểu diễn bởi một điểm M a b( ; ) trên mặt

phẳng toạ độ Oxy Ngược lại mỗi điểm M a b( ; ) biểu diễn một số phức z a bi 

Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức Trục Ox gọi

ii, z1z2 z2z1 với mọi z z 1, 2 iii, z   0 0 z z với mọi z  

iv, Với mỗi số phức z a bi  (a b  , ), nếu kí hiệu số phức  a bi là  z thì tacó: z ( )z   z z 0 Số  z được gọi là số đối của số phức z.

*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z1  a b i1 1 , z2 a2b i2 (a b a b  1, , ,1 2 2 )

là tổng của hai số phức z1 và  z2, tức là: z1 ( z2) z1 z2 (a1 a2) ( b b i1 2)

*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:

Mỗi số phức z a bi  (a b  , ) được biểu diễn bởi M a b( ; ) cũng có nghĩa là

4, Phép nhân số phức:

*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z1 a b i1 1 , z2 a2b i2 (a b a b  1, , ,1 2 2 )

là số phức: z z1 2 a a1 2  b b1 2(a b1 2a b i2 1)

*Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi  (a b  , ), ta có:

kz k a bi (  )ka kbi

+ 0.z z 0 0 với mọi z  

*Tính chất của phép nhân số phức:

i, z z1 2 z z2 1 với mọi z z 1, 2 ii, z.1 1. z z với mọi z  

iii, (z z z1 2) 3 z z z1.( 2 3) với mọi z z z  1, ,2 3

iv, z z1.( 2z3)z z1 2z z1 3 với mọi z z z  1, ,2 3

5, Số phức liên hợp và mô đun của số phức:

*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức z a bi  (a b  , ) là a bi và

được kí hiệu là z Như vậy, ta có: z a bi a bi   

*Nhận xét: + Số phức liên hợp của z lại là z, tức là z z Do đó ta còn nói

z và z là hai số phức liên hợp với nhau.

+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúngđối xứng nhau qua trục Ox

+ Nếu z là số thực thì mô đun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó

6, Phép chia cho số phức khác 0:

*Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1 2

z z

mẫu số với z Để ý rằng z z z2.

1.z z z

 

+ Thương z'

z là số phức w sao cho z.wz' Do đó, có thể nói phép chia cho

số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân

3( 3 )

i

i i

(3 2 ) ( 2 ) 19

3(1 2 )

z

i i

Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua các năm:

1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: z (2i)  10 và z z . 25

2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: z  2 và z2 là số thuần ảo.

3,(A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng: z( 2i) (12  2 )i

Cho số phức z thoả mãn: (1 3 )3

1

i z

z i

i z

5

2 3

n

i z

z z

2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện: z34z

3, Tính môđun của số phức z, biết z312i z và z có phần thực dương

4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng: z212 2 (3 i  z)

i z

4, Tìm số phức z thoả mãn: (1 3 ) 2

1

z i

Bài 32: Giải các bài toán sau:

1, Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn: z1 z2 z1 z2 0

Tính giá trị của biểu thức:

z  a  a  a  a i (a  ) và z2  3 2i.Tìm giá trị của tham số a để z1 z2

6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 z2

Bài 33: Giải các bài toán sau:

1, Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn: z 1 3, z 2 4 và z1 z2  37

2

z z z



2, Cho hai số phức z1, z2 Chứng minh rằng: w z z 1 2z z1 2 là 1 số thực.

3, Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn: 2 2

Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm

● Véc tơ u x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi 

● Điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi  , tức là OM



 là số thực

Bài 6: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:

1, z2 là số thực âm 2, (z i )2 là số thuần ảo

 



 

7, z  1 z 1 4 8, z2i  z 2i 6 9, z 5  z5 8

Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:

1, M biểu diễn các số phức z 1 i, trong đó z 1 2i 3

2, M biểu diễn các số phức z 2i, với 2  z 1 i 3

Bài 9: Giải các bài toán sau:

1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1 i 3 z2, biết z  1 2

2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2 z 3 i, biết:

a,3z i 2 z z 9 b, 2z i 2 3 z z1 c, z 2 3 i 5

5

1 316(1 )

i z

4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w  iz 3, biết: z 2zz 1 z 2 6 iz

Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt

biểu diễn các số phức 1 3i ,  2 2i,  4 2i, 1 7i ,  3 4i, 1 3i ,  3 2i

1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành Điểm Q biểu diễn số phức nào?

3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn Tìm tâm và tính bán kính đường tròn đó

Bài 11: Các véc tơ u v , trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

§2.Căn bậc hai của số phức Phương trình bậc hai

1, Căn bậc hai của số phức:

*Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho w2 z

*Phương pháp xác định căn bậc hai của số phức:

Xét số phức z a bi  Gọi w x yi  là căn bậc hai của số phức z

+ Nếu a0,b0 thì z 0 có đúng một căn bậc hai là w 0

+ Nếu a0,b0 thì căn bậc hai của z là w a

+ Nếu a0,b0 thì z a ai2 nên w ai

+ Nếu b 0 thì ta có w2 x2 y22xyi nên

2 2 2

phân biệt: 1

2

b z

Dạng 1: Căn bậc hai và phương trình bậc hai

Bài 1: Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:

2, Hiệu của chúng bằng 6i và tích của chúng bằng 2(7 6 ) i

Bài 9: Giải các bài toán sau:

1, Gọi z z1, 2 là các nghiệm phức của phương trình: z22z10 0 Tính giá trị của các biểu thức: Az12 z22

2, Gọi z z1, 2 là các nghiệm phức của phương trình: z2 2z 5 0 Tính giá trị của các biểu thức: Bz12  z22

3, Gọi z z1, 2 là các nghiệm phức của phương trình: z2 4z 5 0 Tính giá trị của các biểu thức: P z112013z212013

4, Gọi z z1, 2 là các nghiệm phức của phương trình: z2 2 2z 8 0 Tính giá trị của các biểu thức: P z 12013z22013

5, Gọi z z1, 2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 2(1 )i z2 4(2 i z)  5 3 i 0

Tính giá trị của các biểu thức: Az12 z2 2

6, Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: z2 2z 5 0 Tìm

2

12

7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 của phương

trình: z2 2z 5 0 và điểm B biểu diễn số phức 2 1 1

10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn a b c 0 và z là nghiệm

Chứng minh rằng (1) có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình (1).

Bài 10: Cho phương trình: z3 2(1 )i z23iz  1 i 0 (1)

1, Chứng minh rằng z 1 là 1 nghiệm của phương trình (1).

2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:

3 2(1 ) 2 3 1 ( 1)( 2 )

z  i z  iz  i z z az b

3, Giải phương trình đã cho

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm z i :

Bài 14: Gọi z z z1, ,2 3 là các nghiệm phức của phương trình: 27z  3 8 0

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 16: Cho phương trình: 3z4 5z33z24z 2 0 (1)

1, Chứng tỏ rằng z 1 i là 1 nghiệm của phương trình (1).

2, Tìm các còn lại của phương trình (1).

Dạng 3: Hệ phương trình phứcBài 1: Giải các hệ phương trình sau:

§3 Dạng lượng giác của số phức

1, Số phức dưới dạng lượng giác:

Dạng z r (cosisin ) với r 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức

0

z 

+  được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức) Argument của số phức z được đo bằng rađian, mọi argument của z có dạng k2(k  )

+ r là môđun của số phức z, tức là rz

2, Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

Xét hai số phức z1r1(cos1isin )1 ; z2 r2(cos2isin )2 Khi đó ta có:+ z z1 2 r r1 2cos(12)isin(12) , với r10,r2 0

3, Công thức Moivre:

Xét số phức z r (cosisin ) , với mọi số nguyên dương n ta có:

 (cos sin )n cos sin 

*Chú ý: i, Với r 1 ta có (cosisin ) n cosnisinn

ii, Căn bậc hai của số phức z r (cosisin ) (r 0) là hai số phức

Dạng 1: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác

● Chuyển số phức từ dạng đại số z a bi  (a b, ;a2b2 0) sang dạng lượng giác như sau:

Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là z r (cosisin )

● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu  là 1 argument thì mọi argument đều có dạng k2 (k  ) và z n có một argument là n.

● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy ra nếu z z1, 2 lần lượt có một

2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức: z 1  2 1 i

Bài 5: Tuỳ theo góc  , viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, z 1 cosisin 2, z 1 cos isin 3, z 1 cosisin

4, z 1 cos isin 5, z 1 sinicos 6, z 1 sinicos

7, zcosi(1 sin )  8, zcosi(1 sin )  9, 1 cos sin

1 cos sin

i z

Bài 6: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

2, Xác định môđun và argument của số phức:

2, z 4 và một argument của .iz là 

2, zz 9 và một argument của 1 3i z là

4



3, z 1  z 3 và một argument của z  3 bằng một argument của z 3 cộng với

 là 2

3



6, 1 2 z  i 2z và một argument của 3

3

z z



 là

4



7, z 1  z 3i và một argument của .iz là

6



Bài 13: Cho hai số phức z1 2i 2 và z2  1 i 3

1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên

1

z , 2 2

z và

3 1 2 2

Bài 14: Cho hai số phức 1 3 cos sin



1, Viết z z z1, ,2 3 dưới dạng lượng giác.

2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos7

i z

Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải toánBài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

i z

i z

(1 )3

i D

i z

5

2 3

n

i z

Bài 6: Giải các bài toán sau:

1, Tính giá trị của biểu thức: A 1 i 3 (1 )6  i 5(1 ) 1i 5  i 36