Bài Giảng Backtracking Algorithm

Ứng dụng của giải thuật Backtracking Để giải quyết các bài toán thỏa mãn ràng buộc constraint satisfaction problems như crosswords, verbal arithmetic, Sudoku, ... Ý tư

Backtracking algorithm

Nội dung

 Tư tưởng giải thuật

 Giải thuật tìm hoán vị

 Giải thuật mã đi tuần

 Giải thuật tám hậu

Backtracking algorithm

 Là 1 giải thuật chung để tìm tất cả lời giải

cho 1 bài toán, bằng cách xây dựng từng bước các ứng viên (candidate) cho lời

giải và loại bỏ ("backtracks") 1 ứng viên

nào đó ngay khi phát hiện ứng viên đó

không thể dẫn đến 1 lời giải hợp lệ

Backtracking algorithm

 Bài toán tiêu biểu:

 Tám hậu eight queens puzzle: 1 ứng viên đáng kể cho bài toán là sắp xếp k hậu vào k hàng đầu tiên của bàn cờ trong những hàng và cột khác nhau sao cho không có 2 hậu nào tấn công nhau Bất kz lời giải nào mà chứa 2 hậu có thể tấn công nhau đều phải loại trừ ngay vì không thể nào đưa đến kết

quả cuối cùng được

Ứng dụng của giải thuật Backtracking

 Để giải quyết các bài toán thỏa mãn ràng buộc

(constraint satisfaction problems) như

crosswords, verbal arithmetic, Sudoku,

 Để giải các bài toán tối ưu hóa tổ hợp

(combinatorial optimization problems) như

parsing, knapsack problem …

Ý tưởng phương pháp

 Có thể xem nghiệm bài toán là một vector x

= (x1, x2, ,xn) mà xi được chọn trong Ai

nào đó

 Giả sử đã chọn được k-1 thành phần x1, x2, ., xk-1 của x

 Kế đến chọn thành phần xk bằng cách duyệt mọi khả năng có thể (trong Ak) để đề cử cho x

Ý tưởng phương pháp

 Với mỗi khả năng j, kiểm tra xem có chấp nhận được không, có 2 trường hợp:

 Nếu chấp nhận j thì xác định xk theo j, khi

k = n thì có một lời giải, ngược lại thì tiếp tục xác định xk+1

 ƒNếu thử tất cả các khả năng xk∈ Ak mà không có khả năng nào được chấp nhận thì quay lui lại bước trước để xác định lại

Ý tưởng phương pháp

 Tại mỗi bước đi qua, khi xác định xk, cần phải ghi nhớ những khả năng nào đã được thử để tránh trùng lặp

 Có thể sử dụng một stack để ghi nhớ

những khả năng đã được thử ⇒ dùng kỹ

thuật đệ qui để thiết kế thuật toán

Lược đồ giải thuật

Nhận xét về lược đồ giải thuật

 Cần chỉ rõ tập khả năng {1, …, nk} và kiểm tra

<accepting j>

 Nói chung, ngoài sự phụ thuộc vào j, các xi còn phụ thuộc vào việc chọn các thành phần ở các bước trước

 Vì vậy, có thể phải ghi nhớ trạng thái của quá

trình tìm kiếm sau khi xác định xk theo j và trả lại trạng thái cũ sau lời gọi Back_Tracking(k+1)

 Các trạng thái được ghi nhận bởi biến toàn cục

Đặc điểm của giải thuật backtracking

“Các bước trong giải thuật đều hướng về lời giải đầy đủ và ghi lại thông tin mỗi bước mà

sau đó nó có thể bị tháo gỡ và xóa đi khi phát

hiện rằng bước này đã không dẫn đến lời giải

đầy đủ, tức là một bước đi dẫn đến “ tình thế

bế tắc ”(dead-end) (Hành vi này được gọi là

quay lui -bactracking.)

 ƒpk nhận giá trị j =1, 2, , n và khác với p1, p2, , pk-1

 Dùng biến logic bj (j =1, , n) để ghi nhận j đã được

gán cho một pi trong hoán vị

 Các bj được khởi tạo là true và được gán bằng false nếu đã sử dụng j

Ví dụ

Knight’s Tour Problem

Knight’s Tour Problem

 Cho một bàn cờ n  n với n 2 ô Quân mã – di

chuyển theo luật chơi cờ vua – được đặt trên bàn

cờ tại ô đầu tiên có tọa độ x0, y0

 Cần tìm một lộ trình gồm n 2 –1 bước sao cho phủ

toàn bộ bàn cờ (mỗi ô được viếng đúng một lần)

 Để tiến tới bài toán phủ n2 ô là xét bài toán:

 Thực hiện bước đi kế tiếp, hay

 Phát hiện rằng không kiếm được bước đi hợp lệ kế tiếp

Ý tưởng giải thuật tìm bước đi kế tiếp

procedure try next move;

begin initialize selection of moves;

try next move;

if not successful then erase previous recording end

Cách biểu diễn dữ liệu

• Biểu diễn bàn cờ bằng ma trận h

type index = 1 n ;var h: array[index, index] of integer;

• Biểu diễn trạng thái các ô cờ

h[x, y] = 0: ô <x,y> chưa hề được viếngh[x, y] = i: ô <x,y> đã được viếng tại bước

chuyển thứ i (1 i n2)

• Điều kiện “board not full”  “i < n2”

• Gọi u, v: tọa độ của ô sẽ chuyển đến

•

Tinh chỉnh giải thuật

procedure try(i: integer; x,y : index; var q: boolean);

var u, v: integer; q1 : boolean;

begin initialize selection for moves;

repeat let u, v be the coordinates of the next move ;

if (1un)  (1vn)  (h[u,v]=0) then

Cho tọa độ của ô hiện hành <x, y>, có 8 khả năng để chọn ô kế tiếp <u, v> để đi tới Chúng được đánh số từ 1 đến 8 như sau:



Sự tinh chế sau cùng

Cách đơn giản nhất để đạt được tọa độ u,

v từ x, y là bằng cách cộng độ sai biệt toạ

độ tại hai mảng a và b.

Và k được dùng để đánh số ứng viên

(candidate) kế tiếp Có tối đa 8 ứng

viên cho 1 lần di chuyển

for j:=1 to n do

write(h[i,j]:5); writeln

end else writeln (‘NO

SOLUTION’)

Giải thuật mã đi tuần

program knightstour (output);

const n = 5; nsq = 25;

type index = 1 n

var i,j: index; q: boolean;

s: set of index;

a,b: array [1 8] of integer;

h: array [index, index] of integer;

procedure try (i: integer; x, y: index; var q:boolean);

var k,u,v : integer; q1: boolean;

try(i+1, u,v,q1);

if  q1 then h[u,v]:=0 end

else q1:=true end

until q1  (k =8);

Thủ tục đệ quy được khởi

động bằng lệnh gọi với tọa

độ khởi đầu x0, y0 , từ đó mã

bắt đầu đi tuần.

Bài toán 8 con hậu

Eight queens puzzle

Bài toán này đã được C.F Gauss khảo sát năm

1850, nhưng ông ta không hoàn toàn giải quyết được

“Tám con hậu được đặt vào bàn cờ sao cho

không có con hậu nào có thể tấn công con hậu nào”.

Luật cờ: Một con hậu có thể tấn công các con

Eight queens puzzle

Cách biểu diễn dữ liệu

• Làm cách nào để diễn tả 8 con hậu trên bàn cờ?

var x: array[1 8] of integer;

a: array[1 8] of Boolean;

b: array[b1 b2] of Boolean;

c: array[c1 c2] of Boolean;

với

x[i] chỉ vị trí của con hậu trên cột thứ i;

a[j] cho biết có con hậu trên hàng thứ j hay không?

b[k] cho biết có con hậu trên đường chéo  thứ k

Giải thuật tổng quát

procedure try (i: integer);

try (i + 1);

if not successful then remove queen end

Tinh chỉnh giải thuật

•Trên cùng một đường chéo chiều 

Tinh chỉnh giải thuật

• setqueen được tinh chế như sau:

x[i]:=j; a[j]:=false;

b[i+j]:=false;c[i-j]:=false;

• removequeen được tinh chế như sau :

a[j] = true; b[i+j] = true ; c[i-j] := true

Điều kiện safe được diễn tả như sau:

a[j]  b[i+j]  c[i-j]

Giải thuật sau cùng

try (i+1, q);

if  q then begin

a[j]:=true; b[i+j]:=true;

c[i-j]:=true

end end else q:=true

Giải thuật sau cùng (tt)

begin

for i:= 1 to 8 do a[i]:=true;

for i:= 2 to 16 do b[i]:=true;

for i:= –7 to 7 do c[i]:=true;

Sự mở rộng: Tìm tất cả các lời giải

Sự mở rộng là tìm không chỉ một lời giải

mà tất cả những lời giải của bài toán đã

cho

tìm thấy và ghi lại, ta tiếp tục xét ứng viên

kế trong quá trình chọn ứng viên một cách

Giải thuật tổng quát

procedure try(i: integer);

Giải thuật mở rộng

Để đơn giản hóa điều kiện dừng của quá trình

chọn, phát biểu repeat được thay thế bằng phát biểu for

if a[j]  b[i+j]  c[i-j] then begin

begin

for i:= 1 to 8 do a[i]:=true;

for i:= 2 to 16 do b[i]:=true;

for i:= –7 to 7 do c[i]:=true;

try(1);

end

Giải thuật mở rộng có thể sản sinh tất cả 92 lời giải

cho bài toán 8 con hậu

Nhưng thật ra chỉ có 12 lời giải thật sự khác biệt nhau

Mười hai lời giải đó được liệt kê trong bảng sau: