Bai giang XSTK-Phan1-Chuong2.pdf

Bai giang XSTK-Phan1-Chuong2.pdf

CHƯƠNG 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Nội dung

‰ Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) và phân loại cácĐLNN Quy luật phân phối xác suất (PPXS) của ĐLNN

‰ Bảng PPXS của ĐLNN rời rạc Hàm PPXS của ĐLNN ( rời rạc hay liên tục) Hàm mật độ xác suất của ĐLNN liên tục

‰ Các phép tốn trên các ĐLNN Hàm của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

‰ Các đặc trưng số cơ bản của ĐLNN

‰ Các phân phối thơng dụng: Nhị thức, Siêu bội, Poisson, Chuẩn

‰ Phương pháp tính xấp xỉ giữa các phân phối xác suất

1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN - QUYLUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Ví dụ 2.1

Bảng dưới đây ghi kết quả khảo sát số xe máy hiện cĩ ở 6.487 hộ gia đình tại Tp

Hồ Chí Minh năm 2003

Số xe máy (X) Số hộ (ni) Tần suất

Giả sử ta chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình trong 6487 hộ trên, gọi X là số xe máy

của hộ đã chọn tại thời điểm khảo sát Khi đĩ X là một đại lượng vì nĩ cĩ thể nhận các

giá trị số (0, 1, …, 5); tuy nhiên ta khơng thể biết trước một cách chắc chắn giá trị của X

bằng bao nhiêu vì nĩ tùy thuộc vào hộ được chọn Nĩi cách khác X cĩ thể nhận một giá trị ngẫu nhiên thuộc tập {0, 1, …, 5} Ta bảo X là một đại lượng ngẫu nhiên

Ví dụ 2.2

Một xạ thủ bắn một viên đạn trúng vào bia hình trịn bán kính 50cm Gọi K là khoảng cách ( đo bằng cm) từ tâm của bia đến điểm chạm của viên đạn vào bia Khi đĩ T

cũng là một đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị thuộc tập [0, 50]

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê II.2

1.1 MÔ TẢ KHÁI NIỆM ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN – PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

‰ Đại lượng ngẫu nhiên (cịn gọi là biến ngẫu nhiên) là một đại lượng (tức

là cân, đong, đo hoặc đếm được) mà cĩ thể nhận giá trị bất kỳ thuộc một tập hợp số xác định một cách ngẫu nhiên với xác suất nhất định ĐLNN thường được ký hiệu bởi các chữ X, Y, Z , … Cịn các giá trị của ĐLNN

thường được ký hiệu bởi x, y, z, …

Trong ví dụ 2.1, đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị một cách ngẫu nhiên thuộc tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}, ta viết X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Khả năng (xác suất) để X nhận giá trị 3

là 27,7% Trong ví dụ 2.2, đại lượng ngẫu nhiên K nhận giá trị một cách ngẫu nhiên

thuộc tập [0, 50cm] Căn cứ vào tập giá trị của ĐLNN, ta phân chúng thành hai loại: rời rạc và liên tục Cụ thể, ta cĩ phân loại dưới đây

‰ Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đĩ là ĐLNN mà tập các giá trị cĩ thể cĩ

của nĩ là một tập rời rạc, tức là cĩ thể đánh số thành một dãy (hữu hạn hay

vơ hạn)

‰ Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đĩ là ĐLNN mà tập các giá trị cĩ thể cĩ

của nĩ là một đoạn hay khoảng (hữu hạn hay vơ hạn)

Nhận xét quan trọng

• Cần phân biệt ĐLNN với BCNN ĐLNN thì nhận giá trị này khác một cách ngẫu nhiên nhưng khơng cĩ xác suất, BCNN là một sự kiện cĩ thể xẩy ra sau khi thực hiện phép thử với xác suất xác định nhưng BCNN khơng cĩ giá trị

• Tuy nhiên ĐLNN và BCNN cĩ mối quan hệ khăng khít với nhau Cụ thể, khi gán cho mỗi ĐLNN một giá trị cụ thể hoặc một ràng buộc nào đĩ về giá trị, ta sẽ nhận được một BCNN với xác suất xác định Về mặt hình thức, cĩ thể hình dung ĐLNN như là hàm của BCNN trên khơng gian các biến cố sơ cấp

• Trở lại ví dụ 2.1 Ta cĩ (X=3) là một BCNN với P(X=3) = 0,277 Tương

tự (X<3), (X>3), (X≤3), (X≥3) cũng là những BCNN mà cĩ thể dễ dàng tính xác suất của chúng theo bảng số liệu đã cho

• Một cách tổng quát, với mỗi ĐLNN X tùy ý và x, y là hai số thực bất kỳ (x<y), (X<x), (X=x), (X>x), (X≤x), (X≥x), (x<X<y), đều là các BC mà nĩi chung là ngẫu nhiên Qua xác suất của các BC này, ta sẽ biết được những giá trị nào hoặc những khoảng giá trị nào X dễ nhận, những giá trị nào hay những khoảng giá trị nào X ít nhận hay khơng thể nhận Nĩi một cách khác, xác suất của những BC đĩ (khi cho x, y chạy khắp tập số thực)

phản ánh quy luật phân phối xác suất của X

1.2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN RỜØI RẠC

Đối với ĐLNN rời rạc, quy luật PPXS thường được cho bằng bảng

‰ Bảng phân phối xác suất: Đĩ là bảng liệt kê tất cả các giá trị cĩ thể cĩ

của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X cùng với xác suất để X nhận từng giá trị đĩ

X x1 x2 … xn … (nếu vô hạn)

XS tương ứng

P(X = xi)

‰ Tính chất đặc trưng: Các xác suất tương ứng pi trong bảng PPXS có hai

tính chất đặc trưng sau đây

(i) 0 ≤ pi ≤1;

(ii) np 1

1

i∑ i =

=

‰ Các tính chất khác

(i) P(a ≤ X < b) =

i

i

a x b

p

≤∑< ;

(ii) P(a < X < b) =

i

i

a x b

p

<∑< Tương tự cho các BCNN với các dấu bất đẳng thức khác

Ví duï 2.3

Xét lại ví dụ 2.1 Chọn ngẫu nhiên một hộ, đặt X là số xe máy của hộ được chọn

Khi đó X là ĐLNN có các giá trị là thuộc tập{0,1, 2,3, 4,5}

a) Tìm quy luật PPXS của đại lượng ngẫu nhiên X (tức là lập bảng PPXS của X) b) Tính xác suất để của BCNN (2<X<5)

Giải

a) Chúng ta sẽ tính xác suất tương ứng để X nhận từng các giá trị của nó Bảng PPXS của X như sau:

b) P(2<X<5) = 0,277 + 0,050 = 0, 327

Ví duï 2.4

Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều 0,8 Gọi X là số viên đạn anh ta bắn trúng bia Hãy lập bảng phân phối xác

suất của X

Giải

Ta có X = {0, 1, 2, 3} Ta cần tìm P(X = k), k = 0, 1, 2, 3

Xem phép thử là bắn 1 viên đạn và A là biến cố viên đạn đó trúng mục tiêu Ta có P(A) = 0,8 không đổi ở mỗi lần bắn nên đây là một dãy 3 phép thử Bernoulli với p = 0,8 ;

q = 1 – p = 0,2 Áp dụng công thức Bernoulli, ta được

P(X = 0) = P3(0 ; 0,8) = 00,80.0,23 = 0,008 ;

3

C

P(X = 1) = P3(1 ; 0,8) = 0,81 1.0,22 = 0,96 ;

3

C

P(X = 2) = P3(2 ; 0,8) = 20,82.0,21 = 0,384 ;

3

C

P(X = 3) = P3(3 ; 0,8) = 00,83.0,20 = 0,512

3

C

Vậy, bảng phân phối xác suất của X là

P 0,008 0,096 0,384 0,512

1.3 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

‰ Hàm phân phối xác suất của ĐLNN tùy ý X (rời rạc hay liên tục) là hàm số

F(x) xác định trên tập số thực bởi cơng thức sau

F(x) = P(X < x) , x ∈ \

‰ Tính chất : Hàm phân phối xác suất cĩ các tính chất sau

(1) F(x) là hàm khơng giảm và liên tục trái;

(2) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀ x ∈ \ ; (3) lim ( ) = 0

−∞

x

1 ) (

+∞

(4) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a), với mọi a, b ∈ \ , a < b

F(x) đặc trưng cho loại của ĐLNN X theo nghĩa sau

(5) F(x) gián đoạn khi và chỉ khi X rời rạc;

(6) F(x) liên tục trên \ khi và chỉ khi X liên tục

‰ Chú ý: Ba tính chất đầu đặc trưng cho hàm PPXS theo nghĩa sau đây: nếu

F(x) là hàm số xác định trên \ và cĩ các tính chất (1), (2), (3) thì F(x) là hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đĩ Hàm PPXS cịn gọi

là hàm tích lũy xác suất

‰ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hữu hạn cĩ bảng phân phối xác suất như sau

( x1 < x2 < … < xn), thì hàm phân phối xác suất của X là

1 2 1

1

0

( )

1

n

n

x x

x x x p

F x

x x

−

−

≤

⎧

⎪⎪

= ⎨

⎪

>

⎪⎩

,nếu ,nếu

,nếu ,nếu

II.4 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

1.4 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC

Khác với bảng PPXS của ĐLNN rời rạc, hàm PPXS khơng cho ta biết rõ PPXS của ĐLNN trong lân cận của bất kỳ điểm nào trên trục số Hơn nữa, cần chú ý rằng nếu X

là ĐLNN liên tục thì P(X=x) = 0 với mọi số thực x Ta sẽ dưa vào khái niệm hàm mật độ xác suất cho ĐLNN liên tục

‰ Hàm mật độ xác suất của ĐLNN liên tục X là hàm f(x) định nghĩa như sau

f(x): =

0

lim

x

x

Δ → +

≤ ≤ + Δ

lim

x

x

Δ → +

− Δ ≤ ≤

Tất nhiên là trong giả thiết rằng cả hai giới hạn đĩ tồn tại hữu hạn

‰ Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X cĩ hàm phân phối xác suất F(x) khả vi thì hàm mật độ XS chính là đạo hàm của hàm PPXS: f(x) = F’(x), x∈ \

‰ Tính chất: Hàm mật độ xác suất cĩ các tính chất sau

(1) f(x) ≥ 0, x ∈ \ ;

(2) +∞∫ ;

∞

−

= 1 )

( dx x f

Ngược lại , một hàm số f(x) cĩ các tính chất (1), (2) phải là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đĩ

(3) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = ∫ ;

a

b

dx x

f( ) (a,b ∈ , a < b) \

(4) F(x) = ∫ , x ∈ \

∞

−

x

dt t

f )(

1.5 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ĐLNN – HÀM TRÊN ĐLNN

1.5.1 C ÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ĐLNN

Để đơn giản, ta chỉ xét phép cộng và nhân trên các ĐLNN rời rạc Giả sử

X và Y là các ĐLNN rời rạc cĩ bảng phân phối xácsuất như sau

P p’1 p’2 … p’n Khi đĩ X + Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất là

Trong đĩ zk là các giá trị khác nhau của các tổng xi + yj và p’’k = ,

i j k

i j

x y

p p z

+∑= Cịn XY là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất là

Trong đĩ zk là các giá trị khác nhau của các tích xiyj và p’’k = ,

i j k

i j

x y

p p z

=

∑

1.5.2 H ÀM TRÊN ĐLNN

Nếu ta cĩ một hàm số ϕ được xác định trên tập tất cả các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X thì Y = ϕ(X) trở thành một đại lượng ngẫu nhiên mới cĩ cùng luật PPXS với X Giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Y được xác địnhtheo giá trị của X thơng qua hàm ϕ

Giả sử ta cĩ quy luật phân phối xác suất của X như sau

Khi đĩ, , ta xác định các giá trị yi của Y=ϕ(X) bởi y i =ϕ(x i), i=1,n

Chú ý nếu ϕ(xi)= ϕ(xj) thì ta đặt y*= ϕ(xi)= ϕ(xj) và cộng dồn xác suất của chúng lại:

p(Y = y*) = pi + pj

Ví dụ 2.5

Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y cĩ bảng phân phối xác suất lần lượt là

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng X+Y, XY

Giải Đối với từng phép tốn đã cho ta lập bảng ghi các giá trị và xác suất tương ứng

a) Trường hợp X+Y

X

Y

Y

0,2 0,3 0,5

II.6 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

Từ Bảng 1 và Bảng 2 suy ra

X+Y = {−1, 0, 1, 2, 3, 4},

P (X+Y = -1) = 0,08 ,

P (X+Y = 0) = 0,12 ,

P (X+Y = 1) = 0,20 + 0,06 = 0,26 ,

P (X+Y = 2) = 0,09 + 0,06 = 0,15 ,

P (X+Y = 3) = 0,15 + 0,09 = 0,24 ,

P (X+Y = 4) = 0,15

Vậy, bảng phân phối xác suất của X+Y là

X+Y -1 0 1 2 3 4

b) Trường hợp XY

Ta chỉ cần lập lại bảng giá trị của tích XY tương tự như Bảng 1, nhưng kết

quả ở mỗi ô giữa trong bảng mới sẽ là tích các giá trị thuộc dòng 1 lần lượt với các giá trị thuộc cột 1 (xem Bảng 3)

X

Y

0 1 2

-1 0 -1 -2

1 0 1 2

2 0 2 4

Bảng 3

Từ Bảng 3 và Bảng 2 suy ra

XY = {−2 −, 1, 0, 1, 2, 4},

P (XY = -2) = 0,20 ,

P (XY = -1) = 0,12 ,

P (XY = 0) = 0,08 + 0,06 + 0,06 = 0,20 ,

P (XY = 1) = 0,09 ,

P (XY = 2) = 0,15 + 0,09 = 0,24 ,

P (XY = 4) = 0,15

Vậy, bảng phân phối xác suất của XY là

XY -2 -1 0 1 2 3

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê II.8

Lưu ý: Bảng 1 và Bảng 2 cĩ thể ghi chung thành một bảng (xem Bảng A) ; Bảng 3

và Bảng 2 cĩ thể ghi chung thành một bảng (xem Bảng B) Trong hai bảng này, gĩc trái của mỗi ơ ghi giá trị, gĩc phải ghi xác suất tương ứng

X

Y

0

0,2

1 0,3

2 0,5

X

Y

0 1 2

-1

0,4

-1

0,08

0 0,12

1 0,20

-1 0

0,08

-1 0,12

-2 0,20

1

0,3

1

0,06

2 0,09

3 0,15

1 0

0,06

1 0,09

2 0,15

2

0,3

2

0,06

3 0,09

4 0,12

2 0

0,06

2 0,09

4 0,15

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

[1] Cĩ 10 sản phẩm, trong đĩ cĩ 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên (cĩ hồn lại) 3 sản phẩm từ

10 sản phẩm này Gọi X là số phế phẩm cĩ trong 3 sản phẩm lấy ra Lập bảng phân phối xác suất của X

[2] Cĩ 2 hộp, mỗi hộp đựng 25 sản phẩm Hộp thứ nhất cĩ 2 sản phẩm khơng đạt tiêu

chuẩn Hộp thứ 2 cĩ 5 sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn Lấy 2 sản phẩm để kiểm tra nếu:

a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm Tìm luật phân phối của số sản phẩm đạt tiêu chuẩn cĩ trong 2 sản phẩm được lấy ra?

b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm (khơng hồn lại) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 2 sản phẩm được lấy ra?

[3] Cĩ 100 bĩng đèn trong đĩ 10 bĩng hỏng Lấy ngẫu nhiên 5 bĩng (khơng hồn lại)

Gọi X là số bĩng hỏng cĩ trong 5 bĩng được lấy ra Tìm số bĩng hỏng trung bình

[4] Một lơ hàng cĩ tỷ lệ phế phẩm là 5% Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại100 sản phẩm để

kiểm tra Tìm kỳ vọng của số phế phẩm (số phế phẩm trung bình) cĩ trong 100 sản phẩm được lấy ra

[5] Cĩ 4 lơ hàng L1, L2, L3, L4 lần lượt cĩ tỷ lệ phế phẩm là 5%, 2%, 6%, 4% Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lơ hàng 2 sản phẩm Tính kỳ vọng của phế phẩm cĩ trong 8 sản phẩm được lấy ra

[6] Cho đại lượng ngẫu nhiên X cĩ bảng phân phối xác suất sau đây

a) Tính a

b) Tính P(X ≥ 5), P(X < 3)

c) Tìm giá trị bé nhất của k sao cho P(X ≤ k) ≥

2

1

[7] Trong một hộp cĩ 10 sản phẩm, trong đĩ cĩ 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra Hãy lập bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất của X Vẽ đồ thị hàm số đĩ

[8] Một túi chứa 10 tấm thẻ đỏ và 6 tấm thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ

a) Gọi X là số thẻ đỏ lấy được Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

b) Giả sử rút mỗi tấm thẻ đỏ được 5 điểm, thẻ xanh được 8 điểm Gọi Y là số điểm tổng cộng trên 3 thẻ rút ra Hãy tìm hàm phân phối xác suất của Y

[9] Cĩ hai hộp bi, hộp thứ nhất cĩ 3 bi xanh và 1 bi đỏ, hộp thứ hai cĩ 2 bi xanh và 2

bi đỏ Từ hộp thứ nhất lấy ra 2 viên bi bỏ vào hộp thứ hai Sau đĩ lại lấy 2 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ nhất Gọi X, Y là số bi đỏ tương ứng ở hai hộp đĩ sau hai lần chuyển bi Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, Y

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê II.10

[10] Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y độc lập với các bảng phân phối xác suất như sau

Hãy lập bảng phân phối xác suất của X2, X + Y, 2Y, X – Y, XY

[11] Gieo đồng thời hai con súc sắc Gọi X1, X2 lần lượt là số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc đĩ Tìm bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau đây

a) Y1 = X1 + X2

b) Y2 = X1 – X2

c) Y3 = max(X1, X2)

[12] Một người cĩ một chùm chìa khĩa gồm 5 chiếc giống nhau, trong đĩ chỉ cĩ 2 chiếc

mở được cửa Người đĩ thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong bỏ ra ngồi) cho đến khi tìm đúng chìa mở được cửa Gọi X là số lần thứ cần thiết Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X

[13] Một ơtơ đi trên đoạn đường cĩ 3 đèn tín hiệu giao thơng hoạt động độc lập Tính kì vọng, phương sai, độ lệch của số lần ơtơ dừng khi đi trên đoạn đường đĩ, biết rằng chỉ tín hiệu xanh mới được phép đi và

a) cả 3 đèn đều cĩ thời gian tín hiệu xanh là 30 giây, tín hiệu vàng là 5 giây, tín hiệu đỏ là 15 giây

b) ở đèn thứ nhất thời gian dành cho ba tín hiệu đĩ lần lượt là : 40 giây, 10 giây,

30 giây ; ở đèn thứ hai : 25 giây, 5 giây, 10 giây ; ở đèn thứ ba 20 giây, 5 giây, 35 giây

[14] Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập cĩ bảng phân phối xác suất như sau

Tìm bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X + Y, XY

[15] Xác suất để một máy đĩng hộp sản xuất ra phế phẩm là 0,005 Tính xác suất để trong 800 sản phẩm do máy đĩng hộp cĩ khơng quá 10 phế phẩm

[16] Theo kinh nghiệm, một loại thĩc giống nào đĩ cĩ tỷ lệ nảy nầm là 99% Gieo thử

5 hạt thĩc Gọi X là số hạt thĩc nảy mầm trong 5 hạt thĩc gieo thử

a) Lập bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X

b) Tính số hạt thĩc nảy mầm trung bình và độ lêch chuẩn của 5 hạt thĩc

[17] Xác suất để một khách hàng của một cơng ty bảo hiểm hàng khơng gặp tai nạn máy bay là 0,02 Tính xác suất để 100 người được cơng ty này bảo hiểm cĩ đúng 1 người bị tai nạn máy bay

[18] Một tổng đài điện thoại nào đĩ nhận được trung bình 300 cuộc gọi đến trong 1 giờ Tính xác suất để tổng đài này nhận được đúng 3 cuộc gọi đến trong 1 phút