Các phương pháp tính tích phân gần đúng cho hàm số có số biến rất lớn và ứng dụng trong tài chính

Đôi khi chúng ta phải làm việc với những bài toán mà việc tính giá trịchính xác của nó gặp nhiều khó khăn bởi một số lí do như biểu thức toán học cồngkềnh, phức tạp hoặc phải tính một tí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH ĐINH DŨNG

HÀ NỘI - Năm 2013

Mục lục

1.1 Phân rã ANOVA 5

1.1.1 Phân rã ANOVA cổ điển 9

1.1.2 Phân hoạch ANOVA có điểm neo 12

1.2 Phương pháp tính tích phân theo số chiều 14

1.2.1 Sự chặt cụt và rời rạc hóa 14

1.3 Sai số và chi phí 15

1.4 Xây dựng tiên nghiệm sử dụng không gian hàm có trọng 18

2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA 20 2.1 Lưới thưa tổng quát 20

2.2 Mối quan hệ giữa phương pháp tính tích phân trên lưới thưa với phương pháp tính tích phân theo số chiều 21

2.3 Lưới thưa tối ưu trong không gian có trọng 23

2.4 Tỉ lệ giữa chi phí và lợi nhuận 24

2.5 Phân tích chi phí 27

2.6 Phân tích sai số 28

2.7 Phân tích của sai số so với chi phí 30

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH VÀ KẾT QUẢ SỐ 33 3.1 Kết quả số 33

3.1.1 Xây dựng đường đi ngẫu nhiên (RW) 34

3.1.2 Xây dựng cầu Brown (BB) 34

3.1.3 Xây dựng thành phần chủ yếu (PCA) 35

3.2 Tùy chọn kiểu Châu Á 36

3.2.1 Mô hình bài toán 37

3.2.2 Số chiều hiệu dụng 38

3.2.3 Sai số và chi phí tích phân 39

3.3 Trái phiếu lãi suất không 40

3.3.1 Mô hình bài toán 40

3.3.2 Số chiều hiệu dụng 42

3.3.3 Sai số và chi phí tích phân 42

3.4 Trái vụ bảo đảm bằng tài sản thế chấp 43

3.4.1 Mô hình của bài toán 44

3.4.2 Số chiều hiệu dụng 45

3.4.3 Chi phí và sai số tích phân 45

Lời nói đầu

Lý thuyết xấp xỉ là một nhánh của toán học nói chung và giải tích nói riêng.Hiện nay nó đã và đang phát triển mạnh mẽ, thâm nhập vào hầu hết các ngànhtoán học cũng như các ngành khoa học khác như hóa học, vật lí thậm chí cả tàichính toán Đôi khi chúng ta phải làm việc với những bài toán mà việc tính giá trịchính xác của nó gặp nhiều khó khăn bởi một số lí do như biểu thức toán học cồngkềnh, phức tạp hoặc phải tính một tích phân có số chiều rất lớn và nhiều lúc người

ta xem nó như là một thảm họa cần phải khắc phục và loại trừ hay ít nhất cũnglàm giảm nó đi theo một nghĩa nào đó.Với những bài toán như thế việc tính gầnđúng giá trị của nó sao cho sai số tính toán nhỏ nhất là cần thiết

Điều đáng nói là đã xuất hiện nhiều tích phân có số chiều rất lớn trong nhiều môhình bao gồm từ toán học, vật lí, hóa học đến tài chính Trong hầu hết các trườnghợp, các tích phân xuất hiện không thể được tính toán theo công cụ giải tích thôngthường và do vậy phương pháp số cần phải được áp dụng Ở đây một trong nhữngvấn đề tiên quyết là thảm họa của số chiều cần phải được tránh theo ít nhất ở mộtnghĩa nào đó Thảm họa của số chiều thể hiện ở chỗ chi phí để xấp xỉ tích phân với

một độ chính xác ε cho trước phụ thuộc theo hàm mũ vào số chiều của bài toán.

Nó là một trong những trở ngại lớn nhất cho phương pháp số truyền thống với cácbài toán có số chiều cao Điều này đã được nói đến trong [8]

Hơn thế nữa thảm họ của số chiều có thể tìm thấy theo quan điểm của các định

lý phức tạp của lý thuyết số Ở đó, nó thể hiện một vài bài toán tích phân với thuậttoán tốt nhất thậm chí cũng không tránh khỏi thảm họa của số chiều, những bàitoán như thế được gọi là không khả thi Tuy nhiên nhiều bài toán ứng dụng đôi khilại xuất hiện trong lớp bài toán nhỏ hơn có thể là khả thi, thêm vào đó có thể tồntại thuật toán có thể phá vỡ thảm họa của số chiều, thuật toán ngẫu nhiên MonteCarlo (MC) là một trong những thuật toán có dạng như thế Mặc dù tốc độ hội

tụ của nó là khá thấp và phải sử dụng một số lượng tương đối lớn các điểm đánhgiá Sau đó phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) được thay thế cho phương phápMonte Carlo, phương pháp này có thể giành được tốc độ hội tụ nhanh hơn Sai số

của phương pháp này có thể đạt được là ε(n) = O(n −1 (log n) d) cho các hàm dướidấu tích phân có phương sai bị chặn

Với nhiều bài toán trong tài chính, các chuyên gia lý thuyết số đã chứng minhrằng phương pháp tựa Monte Carlo hội tụ gần như độc lập với số chiều, đồng thờinhanh hơn và chính xác hơn phương pháp Monte Carlo

Với những hàm đủ trơn, những kết quả tương tự có thể tìm thấy cho phươngpháp tính tích phân trên lưới thưa Một sự giải thích cho sự thành công của phươngpháp này là dựa trên sự phân tích của phân rã phương sai gọi tắt là ANOVA Trongluận văn, tác giả trình bày lại một số phương pháp tính tích phân gần đúng cho hàm

số có số chiều rất lớn dựa theo nội dung của bài báo: Michael Griebel, Markus Holtz,

"Dimension - wise integration of high - dimensional functions with applications tofinance", Journal of Complexity 26 (2010), pp 455 - 489 Đồng thời cũng dựa theonội dung của bài báo này tác giả cũng đưa ra một vài kết quả số quan trọng vàmột số ứng dụng trong tài chính Cụ thể là, phương pháp tính tích phân được xâydựng trên cơ sở của sự chặt cụt và sự rời rạc hóa của phân rã ANOVA có điểm neo.Những phương pháp này được thiết lập nhằm khai thác số chiều hiệu dụng thấpcủa hàm dưới dấu tích phân mà ở đó phương pháp lưới thưa là một trường hợp đặcbiệt Hơn nữa những phương pháp này có thể được áp dụng theo cách thích nghitheo số chiều và thích nghi địa phương Hiệu quả của chúng được kiểm tra bởi cácchuyên gia số học bằng những tích phân có số chiều rất lớn xuất phát từ tài chính.Nội dung luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Các phương pháp tính tích phân có số chiều rất lớn

Chương này nhắc lại hai phân rã ANOVA, phân rã ANOVA cổ điển và phân rãANOVA có điểm neo Qua đó đưa ra các khái niệm tương ứng của số chiều chặtchụt và số chiều hiệu dụng cho mỗi loại phân rã Sau đó chúng ta sử dụng phân rãANOVA có điểm neo để giới thiệu một lớp phương pháp mới cho việc tính tích phânnhiều biến

Chương 2 Phương pháp tính tích phân tối ưu trên lưới thưa

Chương này trình bày phương pháp lưới thưa tổng quát, lưới thưa cổ điển vàlưới thưa có trọng Qua đó phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố sai số, chi phí vàlợi nhuận của các phương pháp này cho việc tính tích phân nhiều biến

Chương 3 Một số kết quả số và ứng dụng trong tài chính

Chương này trình bày về kết quả số và một số ứng dụng trong tài chính như môhình tùy chọn kiểu Châu Á, trái phiếu không lãi suất và bài toán CMO ( trái vụbảo đảm bằng tài sản thế chấp)

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH ĐinhDũng, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy, thông qua luậnvăn tác giả cũng xin lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong hội đồng phảnbiện đã đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho luận văn của tôi.

Một lần nữa tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồngnghiệp đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn Dothời gian, kinh nghiệm và năng lực còn nhiều hạn chế nên luận văn chắc chắn khôngtránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn, vì vậy tác giả rất mong nhận được nhữngđóng góp ý kiến và phê bình kịp thời của thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luậnvăn được hoàn thiện hơn cả về mặt nội dung lẫn hình thức Tác giả xin chân thànhcảm ơn!

Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Tiến Đà

Chương 1

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CÓ SỐ CHIỀU RẤT LỚN

Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu phép phân tích phương sai cổ điển (ANOVA

cổ điển) và phép phân tích phương sai có điểm neo (ANOVA có điểm neo) của hàm

nhiều biến f Dựa trên những phân rã này, chúng ta sẽ định nghĩa những khái niệm khác nhau về số chiều hiệu dụng của f Để bắt đầu, cho Ω d ⊆ Rd là tập xác định

của f và giả sử dµ(x) =

n

∏

j=0

dµ j (x) là kí hiệu của tích các độ đo được định nghĩa

trên tập con Borel của Ωd Ở đây x = (x1, , x d ) và µ j với j = 1, 2, , d là các độ

Ở đây ta kí hiệu x u là kí hiệu của véc tơ có số chiều là |u| gồm những thành phần

của x mà chỉ số của nó thuộc u và dµ D\u (x) := ∏

j ̸∈u

dµ j (x j)

Phép chiếu này định nghĩa một phân rã f ∈ V (d) thành tổng hữu hạn

sẽ làm việc với không gian một chiều Chúng ta phân tích

Khi đó W là không gian con của V(1)gồm tất cả các hàm thỏa mãn ∫

Ở đây g cũng được chia tương tự giống f

Bây giờ ta xét một ví dụ đơn giản trong trong trường hợp hàm 2 biến sau đây

Tiếp theo chúng ta xem xét trường hợp d − chiều Phép chia một chiều đã giới thiệu

một phân rã tự nhiên của hàm d − chiều từ không gian hàm d− chiều bằng việc xây

f u (x u ) với f u ∈ W u , x u = (x i1, , x i |u| ) và i1, , i |u| ∈ u (3)

được gọi là một phân rã ANOVA của hàm d - chiều.

Ở đây trong (3) có 2d số hạng, trong đó mỗi số hạng f u mô tả sự phụ thuộc của f vào u với độ đo µ Chúng được định nghĩa tường minh

1.1.1 Phân rã ANOVA cổ điển

Trước hết ta sử dụng kí hiệu x u = (x i1, , x i |u| ) với i1, , i |u| ∈ u Khi đó ta có

Định nghĩa 1.1. Cho Ω = [0, 1], D := {1, 2, , d} , dµ(x) = dx và V (d) là khônggian các hàm bình phương khả tích Khi đó phân rã

được gọi là một phân rã ANOVA cổ điển

Phương sai của hàm f có thể viết như sau σ2(f ) = ∑

u⊆D u̸=∅

σ2(f u ), ở đây σ2(f u) là

phương sai của f u Đồng thời giá trị σ

2(f u)

σ2(f ) là chỉ số độ nhạy toàn cục dùng để đomức độ quan trọng tương đối của số hạng f u với f Bây giờ ta dựa vào việc phân tích phương sai, để đưa ra những khái niệm về số chiều hiệu dụng cho α ∈ (0, 1] như

Hai bổ đề sau đưa ra quan hệ giữa số chiều hiệu dụng và sai số xấp xỉ

Bổ đề 1.1 Cho d t kí hiệu là số chiều chặt cụt của f Khi đó với α ∈ (0, 1] và

Bổ đề 1.2 Cho ds là số chiều chồng chất của f Khi đó với α ∈ (0, 1] và f d s :=

1 Từ hai bổ đề trên ta nhận thấy phương pháp tính tích phân tạo ra sai số nhỏ

nếu α gần 1 Các điểm tựa ngẫu nhiên là được phân bố đều theo số chiều lớn đến mức mà ta có thể hi vọng rằng If d t là được xấp xỉ tốt khi số chiều chặt cụt d t nhỏ.Đồng thời đánh giá

|If − If tr | ≤ √1− ασ(f) (10)giải thích một phần thành công của phương pháp lưới thưa cho tích phân có sốchiều cao với những hàm số có số chiều hiệu dụng thấp vì những phương pháp này

có thể tính toán If tr rất hiệu quả khi mà d s hoặc d t nhỏ với sự kết hợp của sự làm

mịn lưới thưa theo số chiều Ở đây f tr = f d t hoặc f tr = f d s

2 Chúng ta có thể lựa chọn Ω =R và độ đo Gauss

Phép chiếu này sinh ra phân rã ANOVA với trọng Gauss Dựa trên phân rã này số

chiều hiệu dụng của f được định nghĩa tương tự như (8) và (9).

1.1.2 Phân hoạch ANOVA có điểm neo

Sử dụng các kí hiệu như trong Định nghĩa 1.1 ta có

Định nghĩa 2.1. Cho Ω = [0, 1] và dµ(x) = δ(x − a)dx là độ đo Dirac đặt tại

a ∈ [0, 1] d cho trước Khi đó phân rã

được gọi là phân rã ANOVA có điểm neo

Ở đây ta sử dụng f (x) | x=a \x i = f (a1, , a i −1 , x i , a i+1 , a d ) và f (x) | x=a \x u =

f (a1, , x1, x i1, , x i u , , a d ) với x u = (x i1, x i2, , x i u ).

Ta thấy rằng các số hạng của phân rã ANOVA có điểm neo do vậy khác với các

số hạng của phân rã phương sai cổ điển ở chỗ là tất cả các hàm dưới dấu tích phân

được thay thế bởi sự đánh giá hàm tại điểm neo a ∈ [0, 1] d cho trước Phương phápnày đã được xem xét trong [2] dưới cái tên Cut-HDMR

Trong khi phân rã ANOVA cổ điển là rất hữu ích để phân tích tầm quan trọngcủa các số hạng với số chiều khác nhau và tương tác giữa chúng nhưng nó khôngđược sử dụng như một công cụ cho việc thiết kế để xây dựng lược đồ tích phân

vì số hạng hằng trong phân hoạch cổ điển yêu cầu phải tính tích phân Phân rãANOVA có điểm neo lại có thuận lợi là số hạng con của nó là khá rẻ để tính toán

vì rằng ta chỉ cần thay việc tính tích phân bằng việc tính giá trị của hàm tại điểm

neo a ∈ [0, 1] d cho trước

Bây giờ ta đưa ra khái niệm mới của số chiều hiệu dụng dựa trên phân rã ANOVA

có điểm neo Số chiều hiệu dụng trong trường hợp cổ điển là dựa trên chuẩn trong

L2

Số chiều hiệu dụng cho trường hợp có điểm neo dựa trên toán tử|I(·)| vì |I(f)| =

| ∫

[0,1] d

f (x)dx | ≤ ||f|| L1 Do vậy nó liên quan đến chuẩn trong L1

Như ta đã thấy số chiều hiệu dụng trong trường hợp cổ điển trực tiếp đưa đếngiới hạn sai số cho xấp xỉ ( điều này được thể hiện trong bổ đề 1.1, bổ đề 1.2), chúng

ta sẽ sử dụng số chiều hiệu dụng trong trường hợp điểm neo để tìm ra sai số chotích phân

là tổng các giá trị tuyệt đối của tích phân của tất cả các số hạng trong phân rã Sau

đó, tương tự như (8), (9) cho α ∈ (0, 1] ta có

Định nghĩa 2.2. Số chiều chặt cụt trong trường hợp có neo là số nguyên dương

Định nghĩa 2.3. Số chiều chồng chất trong trường hợp có điểm neo là số nguyên

dương nhỏ nhất d s sao cho

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

Bổ đề 1.4 Cho d s là số chiều chồng chất của f trong trường hợp có điểm neo ứng với α ∈ (0, 1] và f d s (x) := ∑

|u|≤d s

f u (x u ), khi đó ta có

|If − If d s | ≤ (1 − α)bσ(f ).

Nhận xét: Chúng ta có thể lựa chọn Ω = R và dµ(x) = δ(x − a)φ d (x)dx với

a ∈Rd cho trước và φ d là mật độ Gauss Điều này sinh ra phép chiếu

Bây giờ chúng ta sử dụng phân rã ANOVA có điểm neo để định nghĩa một lớpmới các phương pháp cho việc tính toán tích phân với số chiều cao Ta kí hiệu

Tiếp theo chúng ta phát triển lớp mới các phương pháp tính tích phân Chúng

ta bắt đầu với Ω = [0; 1], lấy µ là độ đo Dirac đặt tại điểm neo a ∈ [0, 1] d Khi đó

Áp toán tử tích phân cho phân rã có điểm neo (3), tích phân d − chiều được phân

hoạch tuyến tính, thành tổng hữu hạn

If i,j +· · · + If 1, ,d (17)

Chú ý là trong vế phải của (17) mỗi tích phân j chiều có C d j số hạng với j =

1, 2, , d Xuất phát từ phân rã (17) chúng ta định nghĩa một lớp phương pháp tính tích phân tổng quát cho việc xấp xỉ của If Chúng ta thực hiện như sau:

1 Chặt cụt: Chúng ta chỉ lấy tập con S của tất cả các chỉ số u ⊆ D, do đó ta đã

chặt cụt tổng (17), ở đây ta giả sử tập S thỏa mãn điều kiện chấp nhận được đó là

được xem là xấp xỉ của If u (dựa vào công thức (16)) Rõ ràng thấy rằng chúng ta

tránh được việc tính toán giá trị tích phân của hàm f u Chúng ta có thể chọn Q u

tùy ý và có thể là khác nhau phụ thuộc vào u.

Bây giờ ta định nghĩa một công thức tính tích phân

Đầu tiên chúng ta xem xét trường hợp của phương pháp tính tích phân tùy ý

Q u Đầu tiên chúng ta có đánh giá sai số

Điều này chứng tỏ rằng sai số của (20) phụ thuộc vào phương pháp tính tích

phân Q u và sự lựa chọn tập chỉ số S Ở đây số hạng thứ hai diễn tả sai số mô hình

hóa theo nghĩa chặt cụt, tuy nhiên số hạng thứ nhất mô tả sai số rời rạc hóa nghĩa

là nó dựa vào sai số của từng số hạng trong phân rã ANOVA có điểm neo

Mục đích của chúng ta trong phần tiếp theo là làm cân bằng chi phí và độ chính

xác bằng việc liên hệ chi phí của phương pháp tính tích phân Q uvới tầm quan trọng

của số hạng f u trong phân rã ANOVA có điểm neo Đầu tiên chúng ta liên hệ độ

chính xác của phương pháp tính tích phân Q u với độ chính xác của phương pháp

A S f Để bắt đầu, chúng ta cố định trước α ∈ (0, 1] và giả sử rằng d s và d t lần lượt

là số chiều chồng chất và số chiều chặt cụt trong trường hợp phân rã ANOVA cóđiểm neo Trước hết chúng ta định nghĩa tập

S d t ,d s :={u ⊆ {1, , d t } : |u|6 d s } (22)Khi đó ta có bổ đề

Bổ đề 1.5 Cho S = S d s ,d t , khi đó với mỗi ε > 0 cho trước và Q u là phép tính tích phân sao cho |I(P u f ) − Q u (P u f ) | ≤ ε(|u|) với ε(j) := ε

định nghĩa của ε(j) ta có thể đánh giá được sai số rời rạc hóa bởi

) ∑k j=1

(

d t j

) ∑k j=1

Vậy bổ đề đã được chứng minh

Tiếp theo ta sẽ liên hệ sai số|If − A S f | với chi phí n = ∑

u ∈S

n u của phương pháp

A S f Thêm nữa mục đích của chúng ta là làm cân bằng chi phí n u với độ chính xác

của chúng Ở đây phương pháp Q u là dựa trên công thức tính tích phân U m với m điểm, và hội tụ với mỗi f ∈ C r ([0, 1]) với tốc độ m −r Khi r = 1 thì ta có thể sử

dụng công thức hình thang, với r tùy ý thì công thức Gauss có thể được sử dụng.

Định lý 1.1 Nếu ta chọn S = S d t ,d s và Q u là tích tenxơ |u| - chiều của quy tắc

dụng d t và d s trong trường hợp có điểm neo nhưng không phụ thuộc vào số chiều d Chứng minh Tương tự như bổ đề trên ta có

|If − A S f |6 If d t ,d s − A S f + 2(1− α)bσ(f ),

ở đây f d t ,d s := ∑

u∈S dt,ds

f u Vì f ∈ C r ([0, 1] d ), đồng thời f u ∈ C r ([0, 1] |u|) với mọi

u ⊆ D nên Q u hội tụ với tốc độ |u| r Theo định nghĩa, Q u cần có n u =

[

n |u| ds

]([ ]− là kí hiệu phần nguyên ) điểm đánh giá hàm sao cho

) ∑k j=1

(

k j

) ∑k j=1

(

k j

Chú ý rằng số hạng đầu tiên trong giới hạn sai số diễn tả sai số rời rạc hóa phụ

thuộc vào n tuy nhiên số hạng thứ hai diễn tả sai số mô hình hóa, nó phụ thuộc vào α, hơn nữa chi phí dùng để giành được một sai số rời rạc hóa đã quy định trước

không phụ thuộc theo số mũ vào số chiều thông thường nhưng lại phụ thuộc vào sốchiều chồng chất trong trường hợp có điểm neo

Trong thực tế số chiều hiệu dụng của f là thường không được biết trước Những

số chiều này cũng có thể không được tính toán vì việc này ít nhất cũng phải trả chiphí đắt như tính tích phân của nó Do vậy thông thường, khó khăn mà chúng ta

hay gặp phải là xác định tập S d t ,d s như đã đề cập ở trên

Để khắc phục được trở ngại này, ở đây chúng ta giả sử rằng hàm dưới dấu tíchphân là được lấy từ lớp hàm nào đó đã được định nghĩa bởi không gian hàm xác định

có trọng γ ≥ 0 nó diễn tả tầm quan trọng của số hạng f u trong phân rã ANOVA

có điểm neo, sau đó ta xác định tập S bao gồm tất cả các chỉ số u tương ứng với trọng lớn nhất γ u Trong phần tiếp theo ta sử dụng

S γ :={u ⊆ D : γ u > ε }

Nhiều hàm f có số chiều hiệu dụng thấp có thể là theo nghĩa chặt cụt hoặc theo

nghĩa chồng chất Với hai lớp hàm này chúng ta có thể hi vọng vào việc xác định

tập chỉ số S γ gồm các số hạng quan trọng nhất cụ thể là

• Trọng phụ thuộc vào bậc được xác định bởi γ u = |u|1 Rõ ràng là trọng nào có

cấp lớn hơn thì bé hơn trong trường hợp có điểm neo Nếu hàm f có số chiều chồng chất nhỏ thì ta có thể hi vọng nhận được một kết quả là tập chỉ số S γ

bao gồm các số hạng quan trọng nhất

với j = 1, 2 , d Theo cách này ta có thể hi vọng tập chỉ số S γ bao gồm các số hạng

quan trọng nhất đối với những hàm f có số chiều chặt cụt nhỏ Chú ý rằng các kí

hiệu này sẽ được sử dụng thường xuyên trong các phần tiếp theo của luận văn Để

ý là cũng có nhiều trọng phổ biến có thể được sử dụng trong việc xây dựng củachúng ta miễn là điều kiện chấp nhận được thỏa mãn Tuy nhiên ở đây chúng ta chỉ

chuyển bài toán lựa chọn tập S thành bài toán xác định trọng γ.

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA

Trong chương này chúng ta sử dụng phương pháp tích tenxơ Q u cho việc xấp xỉ

tích phân If u trong (17) Điều này cho phép chúng ta kết hợp sự chặt cụt của phân

rã ANOVA và rời rạc hóa chuỗi con, đồng thời cho phép cân bằng sai số mô hìnhhóa và sai số rời rạc hóa theo cách tối ưu nhất

Cho hàm một biến f : [0, 1] −→ R và một dãy các số nguyên không giảm

là kí hiệu của một phép tính tích phân với m k điểm x i,k và trọng w i,k đồng thời

chuỗi này hội tụ tới If khi k → ∞ Chúng ta quy ước rằng m1 = 1, U1f = f (12) vàcông thức tính tích phân sai phân

với U m0 = 0 và mọi k ≥ 1 Bây giờ cho f : [0, 1] d →R là hàm nhiều biến Khi đó

tích phân d - chiều có thể được viết thành tổng thu gọn vô hạn

Một lớp đặc biệt các phương pháp tính tích phân cho xấp xỉ của If là dựa vào

sự chặt cụt tổng trên bằng việc sử dụng tập chỉ số xấp xỉ I ⊂ Nd Tập này có thể

coi như là sự làm mịn của tập S ⊆ D Tuy nhiên tập I phải thỏa mãn điều kiện

chấp nhận được đó là

trong đó l 6k nghĩa là l j 6k j với mọi j = 1, 2 , d Theo hướng này phương pháp

lưới thưa tổng quát

thưa với phương pháp tính tích phân theo số chiều

Có một mối quan hệ gần gũi giữa phương pháp trên lưới thưa và phân rã ANOVA

có điểm neo Thực vậy phương pháp lưới thưa có thể được giải thích như là sự làmmịn của phép phân rã ANOVA, bởi trước hết là mở rộng mỗi số hạng của phépphân rã ANOVA thành một cơ sở vô hạn và sau đó chặt cụt sự mở rộng này mộtcách gần đúng Do vậy nó có thể được xem như là trường hợp đặc biệt của phương

pháp (20) ở đây tập S và Q u được chọn một cách hệ thống để khai thác độ trơn

của hàm dưới dấu tích phân Từ đây trở đi điểm neo a = (12, , 12) sẽ được sử dụng.Chúng ta bắt đầu với bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Cho f u và P u f như trong (16) đồng thời kí hiệu

Chứng minh Việc chứng minh bổ đề này khá đơn giản, thật vậy nếu k ∈ N v và v ⊆ u

thì k j = 1 với mọi j ̸∈ u và do vậy ∆ k f = ∆ k (P u f ) vì rằng ∆ k f = ∆ k1⊗∆ k2 ⊗∆ k d

và ∆1f = P ∅ f = f (12) với mọi hàm một biến f Tiếp theo cho k ∈ N u, ta được

∆k (P u f ) = ∆ k f u+∑

v ⊂u

∆k f v

Ta có f v (x v)| x j=1

2 = 0 với mọi j ∈ v, điều này có được là do tính trực giao của

phép phân hoạch có điểm neo, từ đó cho ta kết luận ∆k f v = 0 với mọi v ∈ u và

k ∈ N u, điều này dẫn đến ∆k f = ∆ k (P u f ) = ∆ k f u với mọi k ∈ N u Từ đó suy rađiều phải chứng minh

Bây giờ sử dụng bổ đề trên và If = ∑

Tiếp theo, như đã đề cập ở phần trước ta sẽ chặt cụt tổng này, để bắt đầu ta chọn

tập chỉ số I u ⊂ N u với mọi u ⊆ D (tập này phải thỏa mãn điều kiện chấp nhận

được) khi đó người ta xem

Chứng minh Ta sẽ chứng minh (20) trùng với (33) và (35), thật vậy ta có

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Trong Mục 2.2 chúng ta đã giới thiệu tập chỉ số I ⊂ Nd như là sự làm mịn của

tập S ⊆ D và công thức tính tích phân đặc biệt Q u sao cho phương pháp pháp (20)tương ứng lớp phương pháp lưới thưa tổng quát Trong mục này chúng ta sẽ xác

định tập chỉ số I, tập sẽ làm cân bằng sai số mô hình hóa và sai số rời rạc hóa theo

một cách tối ưu cho hàm dưới dấu tích phân được lấy từ không gian hàm Sobolev

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét công thức tính tích phân một biến U m k trong (25)

được cho bởi công thức hình thang, ta giả sử m1 = 1, U1f = f (0) và m i = 1 + 2i −2

điểm với mọi i> 2, như vậy sự phân tích của chúng ta là dựa trên không gian hàmmột biến

∂x u f (x u , 0)

2dx u

2.4 Tỉ lệ giữa chi phí và lợi nhuận

Với không gian H γmix([0, 1] d ) chúng ta sẽ xác định tập chỉ số I của phương pháp lưới thưa tổng quát SG I có tỉ lệ giữa lợi nhuận và chí phí tốt nhất có thể Đầu tiên

chúng ta kết hợp mỗi chỉ số k ∈Nd với một chi phí địa phương được đặt tên là số

các điểm đánh giá hàm n k được quy định bởi ∆k f Ta có m i6 2i −1 nên dẫn đến

Chứng minh Trước hết ta chứng minh tính chất ... 2

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA

Trong chương sử dụng phương pháp tích tenxơ Q u cho việc xấp xỉ

tích phân If u... phương pháp tính tích phân theo số chiều

Có mối quan hệ gần gũi phương pháp lưới thưa phân rã ANOVA

có điểm neo Thực phương pháp lưới thưa giải thích làmmịn phép phân rã ANOVA,... cơng thức tính tích phân đặc biệt Q u cho phương pháp pháp (20)tương ứng lớp phương pháp lưới thưa tổng quát Trong mục xác

định tập số I, tập làm cân sai số mơ hình