MỘT số GIẢI PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”

TRƯỜNG THPT VĂN QUÁNCHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC “MỘT SỐ GIẢI PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN” Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung Tổ: Toán – Lý... CHUYÊN ĐỀ ÔN THI

TRƯỜNG THPT VĂN QUÁN

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC

“MỘT SỐ GIẢI PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung Tổ: Toán – Lý

Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

Năm học: 2013 - 2014

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC

“MỘT SỐ GIẢI PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung

Tổ : Toán - Lí

Đơn vị công tác: Trường THPT Văn Quán - Lập Thạch - Vĩnh Phúc

Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi ĐH – CĐ

Số tiết dự kiến:05T trên lớp + 05T tự học

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình Toán Giải tích 12 học sinh được làm quen với bài toán tính tích phân Đây là phần kiến thức rất quan trọng, thường có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học – Cao đẳng Có rất nhiều phương pháp tính tích phân, trong đó có phương pháp tích phân từng phần Đây là một phương pháp cơ bản, nhưng nếu học sinh không biết cách lựa chọn u và dv thì sẽ dẫn đến bài toán phức tạp Thông thường ta đặt dv cho phần dễ thấy nguyên hàm và u là phần còn lại, bởi vì từ u tìm du thì chắc chắn tìm được còn từ dv mà tìm v thì không phải dễ

Chuyên đề này nhằm ôn tập cho các em học sinh các kiến thức cơ bản khi tính tích phân và các dạng toán cơ bản khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

B NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN

1 Định nghĩa tích phân:

Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên

hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến

b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: b f x dx( )

a∫

Vậy b f x dx F x( ) ( )b a F b( ) F a( )

2 Các tính chất của tích phân:

+ Tính chất 1: b kf x dx k f x dx( ) b ( )

+ Tính chất 2: b[ ( )f x g x dx( )] b f x dx( ) b g x dx( )

+ Tính chất 3: b f x dx( ) c f x dx( ) b f x dx( ) (a c b)

3 Định lí:

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì

b u x v x dx( ) ( )' ( ( ) ( ))u x v x b a b u x v x dx'( ) ( )

Hay b u dv uv b a b v du

4.Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp:

C GIẢI PHÁP

 Giải pháp 1 : Nếu gặp tích phân

• Dạng 1 :b P x( ).sin( x )dx

a∫ α +β ta đặt u P x dv sin(( )αx β)dx







=

= + ta có '( )

1 cos( )

du P x dx









=

0dx C=

x a x

a

∫

dx x C= +

∫ ∫cosxdx=sinx C+

1

( 1) 1

x

α α

+

= + ≠ −

∫ + ∫sinxdx= −cosx C+

ln ( 0)

∫

e dx e= +C

∫

Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

• Dạng 2 :b P x( ).cos( x )dx

a∫ α +β ta đặt u P x dv cos(( )αx β)dx







=

= + ta có '( )

1 sin( )

du P x dx









=

• Dạng 3 :b P x e( ) ( x )dx

a

α β+

∫ ta đặt u P x( )x

dv eα βdx







=

+

= ta có

'( )

1

du P x dx

x

α









=

+

=

• Dạng 4 :b f x( ).ln( x )dx

a∫ α +β ta đặt u dv ln(f x dxα( )x β)





= ta có

( )

x

v F x

α

α β









= +

=

Ví dụ 1 : Tính tích phân A=

π

0

(2x-1)sin2xdx

∫

Giải

Đặt u = 2x - 1 ⇒ du = 2dx ;

dv = sin2x dx ⇒ v =

2

cos2x

−

0

2x 1 os2x os2xdx 2 1 sin 2x

π

Ví dụ 2: Tính tích phân B= ∫2

1

dx lnx

Giải

Đặt u = lnx ⇒ du =

x dx

dv = dx ⇒ v = x

suy ra: B =

2 2 1 1

2

1

x

Ví dụ 3: Tính tích phân C = 2(x 3)e dx2x

Giải

Đặt u = x - 3 ⇒ du = dx

dv = e2xdx ⇒ v = 1 2x

2e

suy ra: C = ( ) 2x 2 2 2x 4 2 2x 2 4 2

1

e

∫

*) Chú ý: Có những tích phân phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần Mỗi

lần từng phần thì mũ của biểu thức u giảm một bậc cho tới khi không còn mũ

Ví dụ 4: Tính tích phân I = ∫ + −

π

0

(x

Giải

Đặt u = x2 + 3x - 1 ⇒ du = (2x + 3)dx ;

dv = sin2x dx ⇒ v =

2

cos2x

−

π

2

0

0

π

π

π

π π

∫

Sau đó ta phải tính: J=∫π +

0

3)cos2xdx (2x

Đặt u = 2x + 3 ; ⇒ du = 2dx ;

dv = cos2x dx ⇒ v =

2 sin2x

Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

0

1

∫

Ví dụ 5: Tính tích phân H = ∫ − + +

e

1

2 2

(x

Giải

Đặt u = ln2x ⇒ du = dx

x 2lnx

dv = (x3 – 4x2 + x + 2)dx ⇒ v = 2x

2

x 3

4x 4

+ +

−

Suy ra:

e

1

e

2

1 e

1

1

H

e

∫

∫

∫

Sau đó ta phải tính:

1

2 lnx dx

∫

đặt: u = lnx ; ⇒ du =

x

dx ;

dv = 2)dx

2

x 3

4x 4

x (

2 3

+ +

4

x 9

4x 16

+ +

−

e 3 2

1

e

1

4 3

2 lnx dx

1

1

K

e x

e

e

∫

∫

2 3635

e

Suy ra H= 3 4 8e3 2 3635

64 27 8 1728

= + + +

• Bài tập rèn luyện:

Tính các tích phân sau đây:

1 2

0

) ( 1)sin

π

=∫ −

2 2 1

) 3 x

−

= ∫

2 2 3

1

) (3 1) ln

π

3 4

0

x

4

d I = ∫ − ( từng phần 3 lần )

2

5

1

e I =∫ − − ( từng phần 4 lần )

2

6

1

f I = ∫ + − ( từng phần 3 lần )

 Giải pháp 2: Nếu gặp tích phân

• Dạng 1: I =b x

e sin(mx n)dx a

∫

ta đặt

sin( )

x

u e

α β







+

=

= + ta có

1 cos( )

x

m

α β α











+

=

Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

(hoặc có thể đặt ngược lại u sin(mx n x )

dv eα βdx







+

= ta có

.cos( ) 1

x

α









+

• Dạng 2: J = b x

e cos(mx n)dx a

∫

ta đặt

os( )

x

u e

dv c mx n dx

α β







+

=

= + ta có

1 sin( )

x

m

α β α











+

=

(hoặc có thể đặt ngược lại u cos(x mx n)

dv eα βdx







+

= ta có

.sin( ) 1

x

α









+

*) Chú ý: Từng phần lần thứ nhất thì dạng 1 chuyển sang dạng 2, từng phần lần

thứ hai thì lại về dạng cũ Khi đó ta được một phương trình với I (hoặc J) là ẩn số, giải tìm I (hoặc J)

Ví dụ : Tính tích phân I = π∫

0

1 -2x sin3x dx e

Giải

Đặt u = e2x-1 ⇒ du = 2e2x-1 dx

dv = sin3x ⇒ v =

3

cos3x

−

suy ra: I = π

0

1 2x cos3x) (e

3

1 −

0

1 -2x cos3x dx e

3 2

= )

e

1 (e

3

1 2π 1

+

0

1 -2x cos3x dx e

3

2

( dạng I chuyển về J )

Gọi J =π∫

0

1 -2x cos3x dx e

Đặt u = e2x-1⇒ du = 2e2x-1 dx

dv = cos3x ⇒ v =

3 sin3x

suy ra: J = 1(e2x 1sin3x) 2

0

π

− − I ( dạng J lại chuyển về I )

Do đó: I = )

e

1 (e

3

1 2π 1

+

− - 94I

Vậy: I = )

e

1 (e

13

3 2π 1

+

−

• Bài tập rèn luy ện:

Tính các tích phân sau đây:

a) I =∫π −

0

x

2

x cos

e b) 4 sin

0

x

π

= ∫

 Giải pháp 3: Lựa chọn nguyên hàm v phù hợp để tính tích phân dễ dàng hơn

Ví dụ 1 : Tính tích phân M =5 ( )

2

2xln x− 1 dx

∫

Giải:

Đặt u = ln(x-1) ⇒ du = x1−1 dx

dv = 2xdx ⇒ v = x2−1

suy ra: M = 2 ( ) 5 2 5( )

x

x

−

−

= ( )2

5

25ln 4 25ln 4

2

x+

*) Lưu ý: Ta đã chọn nguyên hàm v = x2 −1 thay vì chọn v = x như quen thuộc 2

Với sự lựa chọn này vdu có biểu thức đẹp hơn và nhờ đó việc tính tích phân sẽ thuận lợi hơn

Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

Ví dụ 2 : Tính tích phân N =1 ( )

0

ln 2x+ 1 dx

∫

Giải:

Đặt u = ln(2x+1) ⇒ du = 2x2+1 dx

dv = dx ⇒ v = x+12

suy ra: N = ( ) 1

0

ln 2 1 ln 3 ln 3 1

 ÷

*) Lưu ý: Ta đã chọn nguyên hàm v = 1

2

x+ thay vì chọn v = x

• Bài tập rèn luy ện:

Tính các tích phân sau đây:

a) 1 ( )

0

e x

−

+

∫ b) 1 ( )2

0

xln x+ 1 dx

∫

dv = cosnx ⇒ v = sinnx

n 1

D KẾT LUẬN

Trên đây là nội dung chuyên đề “Một số giải pháp tính tích phân bằng

phương pháp tích phân từng phần” Chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi

tốt nghiệp và ôn thi Đại học – Cao đẳng Chuyên đề giúp cho học sinh tính tích phân từng phần tốt hơn và nhanh hơn nếu gặp các dạng này, nếu gặp dạng tương

tự thì cũng có thể làm được Hoặc ít ra cũng lựa chọn cách đặt đúng đối với một bài tích phân nào đó nếu dùng phương pháp tích phân từng phần

Chuyên đề đã được áp dụng cho lớp 12A1, 12A3, 12A5 Nhìn chung các em đã biết cách nhận biết các bài tích phân phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần, biết cách đặt u và dv phù hợp, biết tích phân nào phải từng phần nhiều lần, tích phân nào có hai cách đặt Đặc biệt lớp 12A1 rất nhanh trong bài toán nhận biết lựa chọn nguyên hàm v sao cho phù hợp để tính tích phân đơn giản hơn

E TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Văn Hạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục

2 Vũ Tuấn, Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục

3 Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục

4 TS Nguyễn Cam, Phân loại- phân tích và phương pháp giải toán tích phân, NXB ĐHQG Hà Nội

Tổ trưởng

Trần Quang Huy

Người thực hiện

Nguyễn Thị Hồng

Nhung