+Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua điểm uốn.. +Ba cực trị tạo thành một tam giác cân.. Lập bản biến thiên Xem sách.. Định tham số m để hàm số có hai điểm cực trị dương... Tìm tập hợp đ
Trang 1CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(Chương trình phổ thông)
Nguyễn Lái
GV THPT Chuyên Lương Văn Chánh
1.Cực trị của hàm số bậc ba y = ax 3 +bx 2 + cx + d ( a≠0)
Gọi y’= 3ax 2 + 2bx + c ; và y b2 3ac
Δ
+Để hàm số có cực trị (hai cực trị) ⇔ Δy' > 0(⇔p/t y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt) +Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua điểm uốn
+Chia đa thức y cho ý ,hàm số viết lại y = (mx + n).y’ + px + q
Giả sử (x 1 ,y 1 );(x 2 ,y 2 ) là hai cực trị nên y’(x 1 ) = y’(x 2 ) = 0 hai toạ độ cực trị thoả mãn phương trình y = px + q, ,là phương trình đường thẳng đi qua hai CĐ,CT
⇒
+Để hai giá trị CĐ,CT trái dấu nhau
2 '
max min
0
Δ >
⎪
0 + + <
<
⎩
(⇔phương trình y = ax 3 +bx 2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt )
2.Cực trị của hàm số hữu tỉ dạng ( , ' 0)
' '
2
≠ +
+ +
b x a
c bx ax y Gọi ' ' 2 2 ' 2 ' ' ( ) 2
aa x ab x bb a c h x
y
+Để hàm số có cực trị (hai cực trị)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠
−
>
Δ
⇔
0 ) '
' (
0
a
b h h
(⇔p/t y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
'
'
a
b
+Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua giao điểm hai tiệm cận
+Hàm số có dạng
'
2 '
' 0
' '
' ' 2
a
b
ax v
u v
u y
v
u v v u y v
u
Giả sử (x 1 ,y 1 );(x 2 ,y 2 ) là hai cực trị nên y’(x 1 ) = y’(x 2 ) = 0 hai toạ độ cực trị thoả mãn phương trình
⇒
'
2
a
b ax
y = + , là phương trình đường thẳng đi qua hai CĐ,CT
+Để hai giá trị CĐ,CT trái dấu nhau ⇔phương trình 0
' '
2
= +
+ +
=
b x a
c bx ax
3.Cực trị của hàm trùng phương :y = ax 4 + bx 2 + c ( a≠0)
Gọi y’ = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b); và tích a.b
• Hàm số chỉ có một cực trị ⇔a.b 0 (≥ ⇔p/t y’ = 0 chỉ có một nghiệm)
• Hàm số có ba cực trị ⇔a.b < 0 ) (⇔p/t y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt)
+Ba cực trị tạo thành một tam giác cân
Chú ý:Để nhận biết tại điểm x 0 là hoành độ của CĐ hay CT,ta có hai dấu hiệu:
1 Lập bản biến thiên (Xem sách)
2 + x 0 là điểm cực đại
⎩
⎨
⎧
<
=
⇔
0 ) (' '
0 ) ('
0
0
x y
x y
+ x 0 là điểm cực tiểu
⎩
⎨
⎧
>
=
⇔
0 ) (' '
0 ) ('
0
0
x y
x y
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Cho đường cong (Cm) có phương trình y = x3 – 3(m+1)x2 + 6(m +1)x + 1
1 Định tham số m để hàm số có hai điểm cực trị dương
Trang 22 Định tham số m để hàm số nhận x=3 + 3 là điểm cực tiểu
Bài 2 Định tham số m để đường cong y = x4 – 2mx2 + m – 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
Bài 3.Tìm tham số m để hàm số
1
3 )
5 2 (
2
+
+ + +
−
=
x
m x m x
x >1.Hãy xác định đó là điểm CĐ hay CT
Bài 4.Tìm m để hàm hàm số
x mx
y= +1 có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của của đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng
2
1
Bài 5 Tìm tập hợp điểm cực tiểu của hàm số.
1
) 2 (
2 2
−
− +
=
x
x m x
Câu 6 Tìm tập hợp trung điẻm của hai cực trị của hàm số
3
2 3
1 3 − 2 − + +
= x mx x m
Câu 7 Chứng minh với mọi m hàm số
m x
mx x y
+
+ +
= 2 1 có hai điểm cực trị M,N Định m để MN nhỏ nhất
Câu 8.Tìm m để hàm số
1
1 2 ) 2 5 (
2
−
+ +
−
−
=
x
m x m x
cực đại ,cực tiểu nhỏ hơn 2 5
Bài 9.Tìm m dể hàm số
1
1 2 ) 2 3 (
2
−
− + + +
=
x
m x m x
cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2
đường thẳng đi qua hai cực trị đi qua điểm M(-1;4)
2 )
1 (
y
Bài 11 Định tham số m để hám số
1
1 2 3
2
−
+ + +
=
x
m mx mx
y có hai cực trị nằm về hai phía với trục Ox
Bài 12.Định tham số m để hai giá trị CĐ,CT hàm số
1
1 3 ) 3 (
2
−
+ + +
−
=
x
m x m x
Bài 13 Với giá trị nào của tham số k thì hàm số
1
5 2
2
−
− +
−
=
x
kx x
y có cực đại ,cực tiểu và các điểm cực đại cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng (d) 2x – y = 0
Bài 14.Tìm tham số m để hàm số
1 2
4 ) 1 3 (
2
−
+ +
−
=
x
m x m x
đường thẳng (d) x+y+1 = 0
Bài 15 Định tham số m để đường cong y = x3 – 3x2 –mx + 2 có CĐ,CT cách đều đường thẳng (d) = x – 1
Bài 16 Định m đẻ hàm số
m x
m x x y
−
+
−
= 2 2 3 có hai cực trị thỏa mãn y cd −y ct >8
Bài 17.Tìm m để đồ thị hàm số
1
2 3 ) 2 (
2
+
+ + + +
=
x
m x m x
2
1
2
2cd +y ct >
Bài 18 Định m để y= (x – 1 )(x 2 – 4mx -3m + 1) có hai giá trị cực trị trái dấu nhau