Chuyên đề 8: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM Tóm tắt giáo khoa: I... Đạo hàm trên một khoảng: Định nghĩa: Hàm số y=fx có đạo hàm trên khoảng J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
Trang 1Chuyên đề 8: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐẠO HÀM
Tóm tắt giáo khoa:
I Đạo hàm của hàm số tại một điểm:
1 Số gia: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b)
Gọi Δx là số sao cho x0+ Δ ∈x (a;b)
0
• Δx gọi là số gia tại điểm x0
• Hiệu f(x0+ Δ −x) f(x ), ký hiệu Δy, gọi là số gia của hàm số tại điểm x0 ứng với số gia Δx
2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b)
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỷ số giữa số gia của hàm số Δy và số gia của biến số Δx tại điểm x0 khi số gia của
biến số dần tới 0
f(x x) f(x ) y
f '(x ) lim lim
+ Δ − Δ
38
Ghi nhớ: Để tìm đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa, ta cần thực hiện hai bước sau
• Bước 1: Tính Δy theo công thức Δ =y f(x0 + Δ −x) f(x )0
• Bước 2: Tìm giới hạn
x 0
y lim x
Δ →
Δ Δ
Chú ý:
• Nếu đặt x x= 0+ Δx thì Δ =y f(x) f(x )− 0 và khi Δ →x 0 thì x→x0
Khi đó ta có:
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x
→
−
=
−
• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó
Ví dụ: Tìm đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa tại điểm x0
2
0
0
0
a) f(x) x 3x ; x 2
1
2x 1 c) f(x) x 3 ; x 6
−
3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
• Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0) (C) là đồ thị của hàm số
M (x ;f(x )) (C)0 0 0 ∈ và là tiếp tuyến của (C) tại MΔ
Trang 2(C): y=f(x)
0
0 f(x )
y
0
a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
• Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M (x ;f(x ))0 0 0
0
k f '(x )=
b) Phương trình tiếp tuyến:
• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0;f(x0)) là:
y f '(x )(x x ) f(x )= − +
4) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:
a) Vận tốc tức thời:
Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyển động với phương trình s s(t)= là v(t ) s'(t )0 = 0
b) Cường độ tức thời:
Cường độ tức thời tại thời điểm t0 (hay cường độ tại thời điểm t0) của một dòng điện với điện lượng q q= (t) là i(t ) q'(t )0 = 0
II Đạo hàm một bên:
Định nghĩa:
1) Đạo hàm bên trái của hàm số y=f( )x tại điểm , kí hiệu x0 f′( )x−0
f′( )x−0 =
x
y lim
Δ
−
→
0
0
x f x f lim x
−
−
→ 2) Đạo hàm bên phải của hàm số y=f( )x tại điểm , kí hiệu x0 f′( )x+0
f′( )x+0 =
x
y lim
Δ
+
→
0
0
x f x f lim x
−
+
→
Định lý:
Nếu hàm số y=f( )x tồn tại f′( )x−0 = f′( )x+0 = M ⇒f′( )x0 =M
III Đạo hàm trên một khoảng:
Định nghĩa: Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0 bất kỳ thuộc J
II Các quy tắc tính đạo hàm:
1 Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số:
Trang 31 Đạo hàm của tổng ( hiệu ): (u±v)′ =u′±v′
2 Đạo hàm của tích:
( )u.v ′ =u′.v+u.v′ Đặc biệt ( )C.u ′ =C.u′ Với C là hằng số
3 Đạo hàm của thương:
2 v
v u v u v
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
′ −
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 Đạo hàm của hàm số hợp:
Cho hai hàm số y=f( )u và u=g( )x khi đó y=f[ ]g( )x được gọi là hàm hợp của hai hàm số trên, khi đó: y ′x = y ′u u ′x
2 Đạo hàm của các hàm số cơ bản:
( )C ′ =0 ( C là hằng số ) Hàm số hợp u=f( )x
( )xα ′ =αxα − 1 ( )uα ′=αuα − 1.u′
2 1 1
x x
−
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1 u
u u
′
−
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ( )
x
x 2
1
=
u
u u
2
′
=
′
( )x x
e
( )ax ′=axlna với (0< a≠1) ( )au ′=au.u′lna với (0< a≠1)
a ln x x loga ′ = 1 với (0< a≠1) ( )
a ln u
u u
=
′ với (0< a≠1) ( )
x x
u
u u
=
′
(ln x) 1
x
′
u
′ ′
=
x cos
u cos
u tgu ′ = ′ = + 2 ′
x sin gx
cot ′ = −21 =−1+ 2 ( ) ( cotg u).u
u sin
u gu
cot ′ = − ′ =− + 2 ′
d cx
b c d a d cx
b ax
+
−
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
1 1
1 1 1
2 1 1
1
b x a
c a b b x b a x a a b
x a
c bx ax
+
− + +
=
′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau
40
Trang 4( )3
1 1) y x 4x 5x 11 2) y 2x 5x 1
3 2x 1 3) y= 4) y x 3x 7 3x 2
+
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
2
1) y 3x 6x 2x 5x 2) y 3cosx 2sin x
3x 2x 6 3) y=(2x 5x)(x 2x ) 4) y
x 2
−
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1) y 2) y 2 cos
4 2
1 x cosx sin x 3) y= 4) y ln(cosx) sinx cosx
−
−
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1) y= x 4−x 2)
1 2
3 +
+
=
x
x
y 3)
1 2
2
−
=
x
x y
4) y=e−x2+x 5)
x
x e
y= 6) y x2 lnx
2
=
7)
x
x y
ln
= 8) y= x−2+ 4−x 9) y= x+ 2−x2
Trang 5TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa:
42
Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x )xác định trên khoảng (a;b)
2 ( ) 1
( 2
1 : )
; ( 2
, 1
b) (a;
trên (tăng) biến
đồng
•
• [ f ] đn ⇔ [ ∀ x 1 , x 2 ∈ ( a ; b ) : x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) ]
b) (a;
trên (giảm) biến
nghịch
x y
ĐỊNH LÝ LAGRANGE:
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [ ]a;b và có đạo hàm trong khoảng ( )a;b thì tồn tại điểm c a;b∈( ) sao cho :
f(b) f(a)
f '(c)
b a
−
=
−
Ví dụ:Tìm số c trong định lí Lagrange áp dụng cho hàm số y f(x) 2x= = 2−5x 3+ trên đoạn [ ]0;4
1 Điều kiện cần của tính đơn điệu:
Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
⎢⎣
b) (a;
khoảng trên
(tăng) biến
đồng
⎢⎣
⇒ f ' ( ) 0 x (a; b)
b) (a;
khoảng trên
(giảm) biến
nghịch f
2 Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
• ⎢⎣⎡ 'f (x) > 0 ∀ x ∈ (a; b)⎥⎦⎤ ⇒ [ f đồng biến (tăng) trên (a; b) ]
• ⎢⎣⎡ 'f (x) < 0 ∀ x ∈ (a; b)⎥⎦⎤ ⇒ [ f nghịch biến (giảm) trên (a; b) ]
• ⎢⎣⎡ 'f (x) = 0 ∀ x ∈ (a; b)⎥⎦⎤ ⇒ [ f không đổi trên (a; b) ]
) (
' x
f
)
(x
f
) (
' x
f
)
(x
f
−
) (
f
(
f
2
x
) 1
x
1
x x2
) ( :
) (C y = f x
x y
1
x x2
) (x1 f
) (x2 f
O
Trang 6Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
b) (a;
của điểm hạn
hữu
số một tại ra xảy chỉ thức đẳng
b) (a;
x 0 (x)
'f
f ⇒
∈
∀
≥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
b) (a;
của điểm hạn
hữu
số một tại ra xảy chỉ thức đẳng
b) (a;
x 0 (x)
'f
f ⇒
∈
∀
≤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Minh họa định lý:
Định lý 4 : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
• [ f đồng biến (tăng) trên (a; b) ] ⇔ ⎢⎣⎡ 'f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a; b)⎥⎦⎤
⎢⎣
b) (a;
trên (giảm) biến
f
⎢⎣
b) (a;
trên đổi
f
) (
' x
f
)
(x
f
+ 0
x
) ( ' x f
) (x f
− 0
x
3 Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số:
y = f (x)ta có thể thực hiện như sau:
Muốn xét chiều biến thiên của hàm số
Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số : D=?
Bước 2: Tính f ' x ( ) và xét dấu f ' x ( )
Bước 3: Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1) y= x 4−x 2)
1 2
3 +
+
=
x
x
y 3)
1 2
2
−
=
x
x y
4) y=e−x2+x 5)
x
x e
y= 6) y x2 lnx
2
=
7)
x
x y
ln
= 8) y= x−2+ 4−x 9) y= x+ 2−x2
Trang 7Bài 2: Cho hàm số 3 2 2 (2 1) 3 2
3
1 )
Bài 3: Tìm m để hàm số 3 ( 1) 2 ( 3) 4
3
−
Bài 4: Cho hàm số
3
2 ) 3 2 ( 2 ) 1 ( 3 3
1 )
Với giá trị nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R
Bài 5: Cho hàm số
1 2
) (
− + +
=
=
x
m x
x f
Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
Bài 6: Cho hàm số
1
1 3 ) 2 (
2 2 ) (
−
+
− + +
−
=
=
x
m x m x x
f
Tìm a để hàm số (1) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
Bài 7: Cho hàm số 1 3 2 (2 1) 2
3
y= x −ax + a− x a− + Tìm a để hàm số nghịch biến trong khoảng (-2;0)
Bài 8: Cho hàm số y=x3−mx2 +x+1 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1;2)
Bài 9: Cho hàm số 2 1
1
x mx y
x
=
− Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và (1;+∞)
44
Trang 8CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa
I Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b)
x
y
a x0 b
O
) (x0 f
)
(x
f
) ( : ) (C y= f x
x y
O
a x x0 b
)
(x
f
) (x0
f (C):y= f(x)
•
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
0 x
\ V x ) 0 f(x f(x)
0
•
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
0 x
\ V x ) 0 f(x f(x)
n 0
II.Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat : Giả sử y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và ( ; )
x ∈
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0 ( ' f
0 x tại trị cực đạt
x tại hàm đạo có f
Ý nghĩa hình học của định lý:
Nếu hàm số y = f x ( )có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì tiếp tuyến của đường cong (C):y = f x ( ) tại điểm M(x0,f(x0)) phải cùng phương với Ox
III Điều kiện đủ để hàm số có cưcï trị:
1) Định lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 ( có thể trừ
tại điểm x0)
•
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
từ dấu đổi '
f
mà 0 x qua đi x khi Nếu
) (x
•
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇒ +
từ dấu đổi '
f
mà 0 x qua đi x khi
Nếu
) (x
Bảng tóm tắt:
) ( ' x f
) (x f
+ 0
x
0
−
) ( ' x f
) (x f
+ 0
x
CD
Trang 92) Định lý 2: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x0 và f'(x0)=0, f''(x0)≠0
•
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Nếu f '' )< 0 ⇒ f đạt CỰC ĐẠI tại x0
0
( x
•
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Nếu f ''( x0 ) > 0 ⇒ f đạt CỰC TIỂU tại x 0
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số:
1) y = x 4 − x 2)
1 2
3 +
+
=
x
x
y 3)
1 2
2
−
=
x
x y
4) y = e − x 2 + x 5)
x
x e
y = 6) y x 2 ln x
2
=
7)
x
x y
ln
= 8) y = x − 2 + 4 − x 9) y = x + 2 x − 2
Bài 2: Cho hàm số y = x 3 + 2 ( m − 1 ) x 2 + ( m 2 − 4 m + 1 ) x − 2 ( m 2 + 1 ) Tìm m để y đạt cực đại, cực tiểu tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2)
1
( 2
1 2
1 1
x
Bài 3: Cho hàm số
1 2
2
+
=
mx
mx x
y Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn
2 1
4 2
Bài 4: Tìm m để hàm số
m x
mx x
2
đạt cực đại tại x = 2
Bài 5: Giả sử hàm số
) (
) ( ) (
x v
x u x
f = đạt cực trị tại x0 Chứng minh rằng nếu
) 0 thì
0
(
v
) 0 ( '
) 0 (
' ) 0
(
x v
x
u x
Áp dụng : Tìm giá trị cực trị của hàm số:
2
5 3
2
+
=
x
x x
y
Bài 6: Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d Chia f(x) cho f'(x), ta được:
β
α + + +
x
f ( ) ' ( ).( )
Giả sử f(x) đạt cực trị tại x0 Chứng minh rằng : = α + β
0
) 0
f
Áp dụng : Tìm giá trị cực trị của hàm số: y = x 3 − 3 x 2 − 3 x + 2
46
Trang 10Bài 7: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số
x mx
y = + 1 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm)
đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng
2 1
Bài 8: Cho hàm số
m x
mx x y
+
+ +
= 2 1 Tìm m sao cho hàm số đạt cực đại tại x = -1
Bài 9: Cho hàm số (2 1) 2
3
y
Tìm m sao cho hàm số có hai cực trị có hoành độ dương
Bài 10: Cho hàm số y= x3 −3mx2 +(m2 +2m−3)x+4 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung
Bài 11: Cho hàm số :y=(x m− )3−3x
Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 12: Cho hàm số : y mx= 4+(m2−9)x2+10
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị
Bài 14: Cho hàm số 2
1
x mx y
x
+
=
− Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10
Trang 11GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x ) xác định trên D
• Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∈
∈
∀
≤
M D
M x f
)
D x )
(
0 f(x cho sao 0
x tại Tồn
Ký hiệu: y
D x Max M
∈
=
• Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∈
∈
∀
≥
m D
x f
)
D x m ) (
0 f(x cho sao 0
x tại Tồn
Ký hiệu: y
D x
m
∈
0
M
)
(x
f
x
x
y
0
x
) ( : ) (C y= f x
m D
Minh họa:
2 Các phương pháp tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f (x ) trên D
a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 1: Tìm GTLN và nhỏ nhất của hàm số :
x
x
y = + 2 với x > 0
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số : y = x − 2 + 4 − x
b) Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt hoặc hệ phương trình
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2 2
3 2 + +
+
=
x x
x y
b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT của hàm số f trên D rồi suy ra kết qua
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số : y = 4 x 3 − 3 x 4
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số :
x
x
y = 2 + 2 với x > 0
48
Trang 12Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = x − 2 + 4 − x
Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = sin 2x - x trên ⎢⎣⎡− 2 ; 2⎥⎦⎤
π π
Ví dụ 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
cosx 2
sinx +
=
y trên [ ] 0 ; π
Ví dụ 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = x + 2 x − 2
Ví dụ 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
2
1 2 cos
Ví dụ 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
2
1 ) 4 cos 2 sin 1 (
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
y = x 4 − 3 x 3 − 2 x 2 + 9 x với x ∈ [− 2 ; 2]
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
x x
y = sin 2 − trên ⎢⎣⎡− 2 ; 2⎥⎦⎤
π π
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
y = x 2 e x trên [− 3 ; 2]
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y 5cosx cos5x = − trên [ − π π 4 4] ;
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2 2
3 2 + +
+
=
x x
x
Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = x + 12 − 3 x 2
Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = ( x + 2 ) 4 − x 2
Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
y = ( 3 − x ) x 2 + 1 với x ∈ [ 0 ; 2 ]
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : = + +
+
2
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
= 2sin − 4 sin trên đoạn 0; 3 ⎡⎣ π⎤⎦
3
Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
f ( x ) = cos 2 2 x + 2 (sin x + cos x ) 2 − 3 sin 2 x
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số sau :
Trang 13y 4cos x 3 3sinx 7sin x = 2 + + 2
Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
1 sin 2
sin
1 sin
+ +
+
=
x x
x y
Bài 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
= 2(1 sin2 cos4 ) + − 1 (cos4 − cos8 )
2
Bài 15: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 2(sin 3 x + cos ) 8sin cos 3 x + x x
-Hết -
50
