CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
*Hàm y = sinx và y = cosx có TXĐ:R
Tập giá trị: -1 ≤ sinx ≤ 1 hoặc |sinx| ≤ 1
-1 ≤ cosx ≤ 1 hoặc |cosx| ≤ 1
Chu kỳ: 2π
sin (x+k 2π) = sinx (k∈Z)
cos (x+k 2π) = cosx (k∈Z)
*Hàm y = tgx có TXĐ:D
D={x∈R|x ≠
2
π + kπ} ; k∈Z
Chu kỳ: π
tg (x+kπ) = tgx (k∈Z)
*Hàm y = cotgx có TXĐ:D
D={x∈R|x ≠ kπ} ; k∈Z
Chu kỳ: π
cotg (x+kπ) = cotgx (k∈Z)
sin2x + cos2x = 1 ; ∀x∈R
x
2
cos
1
= 1 + tg2x cos2x = 1 tg2x
1 + (x≠π +kπ
2 ; k∈Z)
x
2
sin
1
= 1 + cotg2x sin2x = 1 cotg2x
1 + (x ≠ kπ , k∈Z) tgx cotgx = 1 (x ≠ , )
2
k π ∈ tgx = cot1gx ; cotgx = tgx1
I) Cung đối: αvà (-α )
cos(-α ) = cosα sin(-α) = - sinα tg(-α ) = - tgα cotg(-α) = - cotgα
II) Cung bù: (α và π - α )
sin(π - α ) = sinα cos(π - α ) = - cosα tg(π - α ) = - tgα cotg(π - α ) = - cotgα
III) Cung phụ: (α và π −α
cos(π −2 α )= sinα sin(π −2 α )= cosα tg(π −2 α ) = cotgα cotg(π −2 α )= tgα
IV) Cung π (hơn kém π): (α và π + α ) cos(π + α) = - cosα
sin(π + α ) = - sinα tg(π + α ) = tgα cotg(π + α ) = cotgα
V) Cung hơn kémπ2:(α và π +α
(Bổ sung)
sin(π +2 α) = cosα cos(π +2 α) = - sinα tg(π +2 α ) = -cotgα cotg(π +2 α ) = - tgα
VI) Công thức cộng:
cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa sina(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa tg(a+b) =
tgb tga
tgb tga
1− + tg(a-b) = 1tga+tga tgb.tgb
−
cotg(a+b)=
gb ga
gb ga
cot cot
1 cot cot
+
− cotg(a-b)= cotcotga gb.cot−cotgb ga1
+
VII) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa cos2a= cos2a – sin2a = 2cos2a – 1
= 1 – 2sin2a tg2a = 1 tga tg2a
2
− (a;2a≠π2+kπ;k∈Z)
VIII) Công thức hạ bậc:
cos2a =
2
2 cos
; sin2a =
2
2 cos
tg2a =
a
a
2 cos 1
2 cos 1 +
−
IX) Công thức tính theo tg
2
a
=t:
Đặt t = tg
2
a
(
2
a
≠
2
π + kπ) sina = 2
1
2
t
t
+ ; cosa = 2
2
1
1
t
t
+
−
; tga = 2
1
2
t t
−
Trang 2X) Công thức nhân ba: (Bổ sung)
Công thức biến đổi tích thành tổng:
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản:
Biến đổi về phương trình cơ bản → giải được
Một số trường hợp đặc biệt:
cosx = 1 x = k2π cosx = -1 x = π + k2π cosx = 0 x = π2+ kπ sinx = 1 x = π2+ k2π sinx = -1 x = -π2+ k2π sinx = 0 x = kπ
Các hằng đẳng thức:
cosa + sina = 2 cos
− 4
π
a
= 2 sin
+ 4
π
a
cosa – sina = 2 cos
+ 4
π
a
sina – cos a = 2 sin
− 4
π
a
1 ± sin2a = (cosa±sina)2 cotga + tga =
a
sin 2 cotga - tga = 2cotg2a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
sin3a = 3sina – 4sin3a
tg3a =
a tg
a tg tga
3
3
3 1
3
−
−
cosa.cosb =
2
1 [cos(a+b) + cos(a-b)]
sina.sinb =
2
1 [cos(a-b) – cos(a+b)]
sina.cosb =
2
1 [sin(a+b) + sin(a-b)]
sinx + siny = 2.sin
2
y
x+ cos 2
y
x−
sinx - siny = 2.cos
2
y
x+ sin 2
y
x−
cosx + cosy = 2.cos
2
y
x+ cos 2
y
x−
cosx - cosy = - 2.sin
2
y
x+ sin 2
y
x−
tga + tgb =
b a
b a
cos cos
) sin( +
tga - tgb =
b a
b a
cos cos
) sin( −
cotga + cotgb=
b a
b a
sin sin
) sin( +
(Bổ sung) cotga - cotgb =
b a
a b
sin sin
) sin( −
cosx = cosα
+
−
=
+
=
π α
π α 2
2
k x
k x
(k∈Z)
sinx = sinα
+
−
=
+
=
π α π
π α
2
2
k x
k x
(k∈Z) tgx = tgα x = α + kπ
cotgx = cotgα x = α + kπ
cosx = - cosα cosx = cos(π±α ) sinx = - sinα sinx = sin (-α ) tgx = - tgα tgx = tg (-α ) cotgx= - cotgα cotgx = cotg (-α ) cosx = sinα cosx = cos(
2
π
-α ) cosx = m cosx = coxα (đặt m = cosα ) sinx = m sinx = sinα (đặt m = sinα )
(Điều kiện: -1≤ m ≤ 1)
tgx = m tgx = tgα (đặt m = tgα ) cotgx = m cotgx = cotgα (đặt m=tgα )