Không kể thời gian giao đề I.. Chứng minh rằng SAB ⊥ SAC.. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC.
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011.
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 Môn: TOÁN Lớp 11
Thời gian: 90 phút Không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1 n n
3
2 3 1 lim
2 1
+ − +
x
x
x2 x
0
2 1 1 lim
3
Câu II (2,0 điểm)
1 Cho hàm số:
= −
x x khi x
m khi x
2
1
2 1 1 Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
2 Chứng minh rằng:
S 12 1C201122010 22 2C201122009 32 3C201122008 20112 2011 0C20112 32009.2011.2013
Câu III (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SB⊥(ABC)
, SB a= 3.
1 Chứng minh rằng (SAB) (⊥ SAC) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC )
2 Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho AM = x (0<x<a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) đi qua M và vuông góc với AB Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu IVa (1,0 điểm).
Chứng minh rằng phương trình (1−m x2) 5−3x− =1 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Câu Va (2,0 điểm).
1 Cho hàm số y f x= ( )=x3−3x2−9x+5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1
2 Giải phương trình: f’(x) = 0 biết rằng f(x) = 3sinx−cosx+x
B Theo chương trình Nâng cao
Câu IVb (1,0 điểm) Một cấp số cộng và cấp số nhân đều là dãy số tăng và có ba số hạng Biết rằng: Số hạng thứ nhất của cấp số cộng và cấp số nhân bằng 3 Số hạng thứ hai của cấp số cộng
và cấp số nhân bằng nhau Số hạng thứ ba của cấp số nhân bằng 9
5 số hạng thứ ba của cấp số cộng Tìm cấp số cộng và cấp số nhân đó
Câu Vb (2,0 điểm).
1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) x 12
x
−
− biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng y =4x+2011
2 Cho hàm số y = sin2x + 2sinx + 5 Giải phương trình y’ = 0
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: SBD:
Trang 2Híng dÉn chÊm bµi kiÓm tra häc k× II n¨m häc 2010 - 2011
M«n: To¸n líp 11
Thêi gian: 90 phót
I PhÇn chung (7,0 ®iÓm)
1
2.0
1
I
n n
3
3 1 2
2 3 1
2 1
1,0
3
0,5 + 0,5
2
2,0
1 x→ f x( ) = x→ x=
lim lim 1; f(1) = 2m +1
Để f(x) liên tục tại 1 thì lim ( )x→1 f x = f(1)⇔2m+ = ⇔ =1 1 m 0
0,5 0,5
2
(2 +x)2011 = c20110 22011+c12011.22010x c+ 20112 22009x2+ + c20112011 2011x
Lấy đạo hàm theo x ta được
2011(2 +x)2010 = 1 2010 2 2009 2011 2010
2011.2 2 2011.2 2011 2011
Nhân cả hai vế với x,
2011(2 +x)2010.x = c12011.22010.x+2c20112 22009x2+ + 2011c20112011 2011x
Lại lấy đạo hàm hai vế:
2011(2 +x)2010 +2011.2010(2+x)2009.x = =
2011.2 2 2011.2 2011 2011
Thay x = 1, ta được S = 2013.2011.32009
0,25 0,25
0,25 0,25
3
3,0
1
SAB , SAC SAC SAB
Vì (SAC) (⊥ SAB) và (SAC) (∩ SAB) =SA
nên gọi H là hình chiếu của B trên SA
⇒ ⊥ ⇒d B SAC( ,( ) ) =BH
a BH
BH = BA + BS = a + a ⇒ =
0,75
0,25 0,5
2
Dựng thiết diện là hình thang vuông MNPQ
MNPQ
S = MN NP MQ+ = ax a x−
MNPQ
x a x
S = ax a x− ≤ a + − = a
Suy ra, diện tích thiết diện lớn nhất bằng 3 3
8 a khi
2
a
x=
0,5
0,5 0,25
II PhÇn riªng (3.0 ®iÓm)
C P
S
B
A
H Q M
N
Trang 34a
Đặt f x( ) = −(1 m x2) 5 −3x−1 f x( ) = −(1 m x2) 5−3x−1 liên tục trên R
f ( )0 = −1; f ( )− =1 m2+1 f ( ) ( )−1 f 0 = −(m2+ < ∀1) 0 m
Suy ra f(x) luôn có nghiệm trên (-1;0) hay f(x) luôn có nghiệm với mọi m
0,25 0,5 0,25
5a
2,0
1
y f x= ( )=x3−3x2−9x+5 ⇒ y′ =3x2 −6x−9
Với x=1ta có y = -6; y′( )1 = −12 Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y= f x− − ⇔ = −y x− − ⇔ = −y x+
0,5 0,5
2
( ) ( )
' 3 cos sinx 1
' 0 3 cos sinx 1 0 cos sinx
2
6 6
−
0,5
0,5
N©ng cao
4b
Gọi CSC là: 3, a, b thì cấp số nhân là 3, a, 9
5b Điều kiện 3<a<9
5b Theo tính chất của CSC và CSN ta có hệ phương trình:
2
2 3 27 5
= +
=
Biến đổi đưa về phương trình:
2
5a −54a+ =81 0
Giải phương trình ta được a = 9 ( 9
5
a= loại) Vậy CSC là: 3,9,15; CSN là 3,9,27
0,25
0,5 0,25
5b
2,0
1
Gọi x0 là hoành đọ tiếp điểm Theo giả thiết ta có ( )2
0
4 2
x
−
Giải phương trình ta được: x0 = 0 và x0 = 4
Với x0 =0 TT có dạng: 1 1
4 2
y= − x+
Với x0 = 4 TT có dạng: 1 35
4 2
y= − x+
0,25 0,25 0,5
2 y = sin2x + 2sinx + 5; y’= 2cos2x +2cosx
y’(x) = 0 ⇔2cos2x +2 cosx = 0⇔2cos2x+ cosx - 1 = 0
cos 1
1 cos
2
x
=−
=
2 3
= +
=± +
0,5 0,5
+ Bµi III kh«ng vÏ h×nh hoÆc sai c¬ b¶n th× kh«ng cho ®iÓm.