Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.. b Cho 2 số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a2 + +b2 c2 là số chính phương..
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN -Bảng A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,5 điểm)
a) Cho A=k4 + 2k3 − 16k2 − 2k+ 15 với k Z∈ Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16
b) Cho 2 số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a2 + +b2 c2 là số chính phương
Câu 2 (5,5 điểm)
a) Giải phương trình: x2 − −x 2 1 16 + x = 2
b) Cho x y, thoả mãn:
3 2
2 2 2
2 4 3 0
2 0
+ − + =
Tính Q =x2 +y2
Câu 3 (3,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3 1 1 3 1 1 3 1 1
+ + + + + +
Trong đó các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện 3
2
a b c+ + ≤
Câu 4 (5,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB VÀ CD vuông góc với nhau
E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D) Nối EC cắt OA tại M;
nối EB cắt OD tại N
a) Chứng minh rằng: AM.ED = 2OM.EA
b) Xác định vị trí điểm E để tổng OM ON
AM +DN đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA
Biết rằng độ dài đoạn thẳng AA , 1 BB CC1 , 1 không lớn hơn 1
Chứng minh rằng: 1
3
ABC
S ≤ (S ABC là diện tích tam giác ABC)
- - - - -Hết- - -
Trang 2Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm học 2008 - 2009 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng A
-CâuNội dungĐiểm14,5a/Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ∈ Z Vì k ∈ Z ⇒ ta xét các trờng hợp:
TH1: k chẵn ⇒ A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ
⇒ A không chia hết cho 2
⇒ A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0 TH2: k lẻ, ta có:
A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ ⇒ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
⇒ A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ với ∀ k ∈ Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0
0,5b/Đặt A = a2 + b2 + c2 Do tích a.b chẵn nên ta xét các trờng hợp sau:TH1: Trong 2 số a, b
có 1 số chẵn và 1 số lẻ
Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ
⇒ a2 M 4; b2 : 4 d 1 ⇒ a2 + b2 : 4 d 1
⇒ a2 + b2 = 4m + 1 (m ∈ N)
Chọn c = 2m ⇒ a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1)1,0TH2: Cả 2 số a, b
cùng chẵn
⇒ a2 + b2 M 4 ⇒ a2 + b2 = 4n (n ∈ N)
Chọn c = n - 1 ⇒ a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) ta luôn tìm c ∈ Z thoả mãn bài toán.1,025,5a/Giải phơng trình x2 x
-2 1 16x -2+ = ĐKXĐ: x 1
16
≥ −
Khi đó phơng trình ⇔ x2 - x = 2( 1 16x 1)+ +
Trang 3§Æt: 1 16x 1 2y+ + = (y 1
2
≥ )
⇔ 1 + 16x = 4y2 -4y + 1 ⇔ 4y2 - 4y = 16x ⇔ y2 - y = 4x (*)
Ta cã:
2 2
(x y)(x y 3) 0
− =
− =
x y
x y 3 0 (lo¹i v× x - vµ y )
=
⇔
Víi x = y thay vµo (*) ⇒ x2 - x = 4x
⇔ x2 - 5x = 0 ⇔ x(x - 5) = 0
⇔ =x 5 (tho¶ m·n)x 0 (lo¹i)=
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ: x = 5
0,25
0,5 1,25
0,5 0,25
0,25b/Cho x, y tho¶ m·n: + − + =
2 2 2
Tõ (1) ⇒ x3 = -2y2 + 4y -3 ⇔ x3 = -2(y2 - 2y + 1) - 1
⇔ x3 = -2(y - 1)2 - 1 ≤ -1 víi ∀ y ⇒ x3 ≤ -1 ⇔ x ≤ -1 (*)
Trang 4Từ (2) ⇒ x2(y2 + 1) = 2y ⇔ x2 = ≤
+
2
2y
1
y 1 với ∀ y
⇒ x2 ≤ 1 ⇔| x |≤ 1 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 (**)
Từ (*) và (**) ⇒ x = -1 thay vào (2) ta đợc:
y2 - 2y + 1 = 0 ⇔ (y - 1)2 = 0 ⇔ y = 1
⇒ (x, y) = (-1, 1) (thoả mãn)
⇒ Q = x2 + y2 = (-1)2 + 12 = 2
1,0
1,0
0,533,0Đặt 1+ =1 x
a b ; 1 + =1 y
b c ; 1 + =1 z
c a ⇒ (x, y, z > 0)
⇒ P = (3 + x)(3 + y)(3 + z)
= 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz
≥ 27 9 (xyz)+ 3 2 +27 xyz3 +xyz (*)
= + ữ + ữ + ữ≥
(vì a, b, c > 0)
2≥ + + ≥ ⇒ ≥2
⇒ abc≤ ⇒1 8 ≥64⇒xyz≥ 8 ≥64
Thay vào (*) ta đợc: P≥ 27 9 64+ 3 2 +27 64 643 +
= 27 + 144 + 108 + 64 = 343 Dấu "=" có khi a = b = c = 1
2 ⇒ Pmin = 343 Khi a = b = c = 1
2 1,5
Trang 50,75 0,5
0,25
45,5a/Xét ∆COM và ∆CED có:
0
ˆ ˆ
O E 90
ˆ
C chung
⇒∆COM ∆CED (g-g)
⇒ CO =OM
CE ED (1)
Do AB, CD là 2 đờng kính vuông
góc với nhau ⇒ = = 0
1 1
Xét ∆AMC và ∆EAC có: = =
0
1 1
ˆ
C chung
⇒∆AMC ∆EAC (g-g) ⇒ AC = AM
mà AC= 2 CO (do ∆ACO vuông cân tại O)
⇒AM = 2 CO = 2 OM
⇒ AM.ED = 2 OM.AE (ĐPCM)
1,0
1,0
N M
D
C
O
B A
E 1 1
Trang 61,0b/T¬ng tù c©u a ta cã:
∆BON ∆BEA ⇒ BO =ON
∆BND ∆BDE ⇒ DN = BD = 2BO
⇒ DN 2 ON
DE = EA ⇒ONEA = DN2 DE ⇒ ONDN = 2 DEEA
Tõ c©u a ta cã: AM.ED = 2 OM.AE ⇒ OMAM = ED
2 EA ⇒ OM ON = 1
mµ OM + ON ≥2 OM ON =2 1 = 2
DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi:
ED EA
⇔ E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá AD
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña OM + ON = 2
⇔ E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AD
0,5
0,5 0,5
Trang 71,051,5Không mất tính tổng quát, giả sử
TH1: 600 ≤ <A 90ˆ 0
kẻ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC
ABC
1
2
mà CH ≤ CC1 ≤ 1 ta có:
1
0 BB
AB
ABC
TH2: A 90ˆ≥ 0 ⇒ AB ≤ BB1 ≤ 1, CH ≤ CC1≤ 1 ABC
⇒ ≤ = < (2)
Từ (1) và (2) SABC 1
3
0,5
0,5
0,5
Chú ý : Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
K H
A
B1
C1