Đối xứng chuẩn và hiện tượng phá vỡ đối xứng tự phát

Các hạt nucleon trung hòa về màu,giống như nguyên tử trung hòa về điện, nhưng giữa chúng vẫn có lực hạt nhân.Tương tác mạnh được mô tả bởi nhóm đối xứng SU3 được truyền thông quacác hạt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ HOÀN

ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ HIỆN TƯỢNG PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội, năm 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ HOÀN

ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ HIỆN TƯỢNG PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN

TS PHÙNG VĂN ĐỒNG

Hà Nội, năm 2015

Lời cảm ơn

Đầu tiên tôi xin gửi lời biết ơn chân thành nhất Thầy Phùng Văn Đồng

vì thầy đã tận tình hướng dẫn, chia sẽ những kinh nghiệm quý báu để tôi có thể

dễ dàng tiếp thu và hoàn thành khóa luận

Xin cảm ơn quí thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đạihọc đã nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi

Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy trong bộ môn vật lý lý thuyết trườngĐại học SPHN 2 đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vật lý từ cổ điển đếnhiện đại Đó chính là cơ sở, nền tảng để tôi hoàn thành khóa luận của mình

Mặc dù đã cố gắng hết sức song do thời gian nghiên cứu có hạn nênnhững vấn đề mà tôi trình bày không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tôi rất mongđược sự đóng góp ý kiến từ phía thầy cô và các bạn để khóa luận của tôi đượchoàn thiện

Hà Nội, ngày 8 tháng 3 năm 2015

Phạm Thị Hoàn

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự cốgắng, nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Phùng Văn Đồng.Những kết quả mà tôi thu được trong đề tài không trùng với kết quả nghiên cứucủa bất kì tác giả nào khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Xin cảm ơn quí thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đạihọc đã nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 3 năm 2015

Phạm Thị Hoàn

Mục lục

1.1 Đối xứng chuẩn 5

1.2 Lý thuyết trường chuẩn 6

1.2.1 Trường Fermion 6

1.2.2 Trường vô hướng 13

2 Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs 15 3 Mô hình chuẩn 22 3.1 Cơ sở của mô hình chuẩn 22

3.2 Cơ chế Higgs 24

3.3 Các tương tác của Higg 30

Danh sách thuật ngữ viết tắt

SM Standard Model VEV Vacuum Expectation Value

1

Mở đầu

Ta biết rằng trong tự nhiên có 4 loại tương tác cơ bản là tương tác hấp dẫn,tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu Tương tác hấp dẫn là mộttương tác bao trùm mọi vật, nó tồn tại giữa tất cả các vật chất không trừ mộtloại vật chất nào Tương tác này tuân theo định luật vạn vật hấp dẫn, tươngtác này điều khiển mọi quá trình trong vũ trụ.Với hạt truyền tương tác này làgraviton Tương tác điện từ là tương tác giữa các hạt mang điện , lực này đượctrung chuyển bởi trường điện từ xảy ra ở quy mô nguyên tử, phân tử Trườngđiện từ được hình dung là dòng các hạt nhỏ gọi là photon cấu thành nên vàchính là hạt truyền tương tác

Tương tác mạnh xảy ra trong liên kết giữa các nucleon trong hạt nhân Tabiết rằng nguyên tử trung hòa về điện, nhưng chúng bao giờ cũng có một phâncực điện và một phân cực từ Do vậy các nguyên tử vẫn có thể tương tác vớinhau nhờ hai phân cực này, khi đó người ta gọi lực liên kết này là lực Van derWaals Hạt nhân bao gồm các proton có thành phần uud và notron có thànhphần ddu Các hạt quark mang màu gọi là màu tích Khi các màu hạt tương tácvới nhau người ta gọi là tương tác mạnh Các hạt nucleon trung hòa về màu,giống như nguyên tử trung hòa về điện, nhưng giữa chúng vẫn có lực hạt nhân.Tương tác mạnh được mô tả bởi nhóm đối xứng SU(3) được truyền thông quacác hạt gluon Có 8 hạt gluon, các gluon có khối lượng bằng không Như vậy, đốixứng chuẩn mô tả được tượng tác chỉ khi hạt truyền có khối lượng bằng không.Vậy còn tương tác yếu? Ta biết rằng trong tự nhiên các hạt nhân luôn có xuhướng biến đổi để trở thành hạt nhân bền vững Các hạt nhân nặng sẽ biến đổiqua các quá trình phóng xạ để trở thành hạt nhân nhẹ bền vững hơn Trongphân rã β có phân rã β+ và phân rã β− , trong phân rã β+ sẽ kèm theo hạtneutrino, phân rãβ− sẽ kèm theo phản hạt neutrino Vậy phân rãβ có kèm theo

Mở đầu

neutrino chính là dấu hiệu nhận biết tương tác yếu Tương tác yếu xảy ra trongkhoảng bán kính hạt nhân Các hạt tương tác vì có yếu tích nên gọi tương tácyếu Các hạt truyền tương tác là W +, W −, Z

Vũ trụ của chúng ta được cấu thành bởi 5% thành phần vật chất thôngthường, 95% thành phần còn lại là vật chất tối và năng lượng tối mà chúng tachưa biết rõ về chúng Trong đó, vật chất tối chiếm 25%, chúng trung hòa vềđiện, không hấp thụ và bức xạ ánh sáng Biểu hiện duy nhất của nó là thôngqua tương tác hấp dẫn Còn lại 70% là năng lượng tối, đặc tính của năng lượngtối chính là sinh lực hấp dẫn Ta biết rằng vật chất ngày nay chỉ được cấu thành

từ các hạt, không có bằng chứng cho phản vật chất Đó chính là vấn đề bất đốixứng vật chất - phản vật chất Câu hỏi đặt ra là số phản hạt đã đi đâu?

Mô hình chuẩn ra đời đã khắc phục 2 khó khăn trước đó là lí thuyết 4 fecmionkhông tái chuẩn hóa được và tương tác mạnh càng khai triển nhiễu loạn càngsai Mô hình chuẩn được cấu thành từ 3 yếu tố cơ bản đó là mẫu quark, đốixứng chuẩn, phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs Quark là một hạt cơ bản

sơ cấp và là một thành phần cơ bản của vật chất Các quark kết hợp với nhautạo thành hạt tổ hợp gọi là các hadron Các quark là những hạt cơ bản duy nhấttrong mô hình chuẩn của vật lí đều tham gia vào 4 tương tác cơ bản, đối với mỗiquark có tương ứng một loại phản hạt gọi là phản quark Đối xứng chuẩn xâydựng các tương tác như đối xứng chuẩn AbelianU (1) cho tương tác điện từ, đốixứng chuẩn của mô hình chuẩn Ta biết rằng lí thuyết chuẩn được đưa vào chính

là lí thuyết tương đối rộng cho tương tác hấp dẫn, đặc tính của lí thuyết chuẩn

là các trường truyền tương tác không có khối lượng do bất biến chuẩn Điều nàytốt cho tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ và tương tác mạnh Riêng đối vớitương tác yếu, đó là tương tác tầm gần do vậy hạt truyền tương tác W, Z phải

có khối lượng lớn Điều này mẫu thuẫn với lí thuyết chuẩn, để giải quyết vấn

đề này người ta phát hiện ra một hiện tượng là hiện tượng phá vỡ đối xứng tựphát thông qua cơ chế Higgs Đây cũng chính là đặc tính của lực yếu Mô hìnhchuẩn với 3 thế hệ fecmion được sắp xếp: thế hệ 1 gồmνe, e, u, d, thế hệ 2 gồm

ν µ , µ, c, s và thế hệ ba gồm ν τ , τ, t, b Mỗi fermion có hai thành phần: phâncực trái và phân cực phải Riêng neutrino chỉ có phân cực trái Photon gắn với

U (1)Q và các gluon gắn với SU (3)C có khối lượng bằng không GW± và GZ làcác hạt Goldstone có khối lượng bằng không và bị ăn bởi các boson chuẩn khốilượng W± và Z Hạt Higgs là hạt cuối cùng được tìm thấy và sinh khối lượng

GVHD: TS Phùng văn Đồng 3 Sv: Phạm Thị Hoàn

Mô hình chuẩn cũng như các lí thuyết mở rộng đều dựa trên 3 ý tưởng cơ sở

đã đề cập( mẫu quark, đối xứng chuẩn, phá vỡ đối xứng tự phát), vì vậy việctìm hiểu về đối xứng chuẩn và sự phá vỡ đối xứng tự phát là cần thiết Trongkhóa luận này chúng tôi đề cập đến 2 vấn đề nêu trên và minh họa chúng bởi môhình chuẩn Đề tài khóa luận được chọn như sau: "Đối xứng chuẩn và hiệntượng phá vỡ đối xứng tự phát" Ngoài mở đầu và kết luận phần chính củakhóa luận gồm:

1 Chương 1: Trình bày về đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

2 Chương 2: Hiện tượng phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs

3 Chương 3: Trình bày về mô hình chuẩn với sự nhấn mạnh 2 ý tưởng trên

Lý thuyết trường lượng tử bao gồm các đối xứng: Nhóm đối xứng nhóm poincare, các biểu diễn unita, nhóm đối xứng trong( nhóm Lie) Cácphương trình trong lý thyết trường lượng tử thường hiệp biến với biến đổi liênquan tới nhóm đối xứng ngoài- nhóm poincare, và thường bất biến với các biếnđổi khác liên quan tới các nhóm đối xứng trong: U (1), SU (2), Ở đây chúng tađặc biệt quan tâm đến các biến đổi liên quan tới nhóm đối xứng trong được biểudiễn qua các toán tử unita.

ngoài-Giả thiết Lagrangian bất biến dưới 1 nhóm biến đổi đối xứngG Nhìn chung,

G là 1 nhóm Lie gồm n vi tử Xa (số vi tử bằng số tham số độc lập)a = 1, 2 , n

thỏa mãn hệ thức giao hoán:

[X a , Xb] = ifabcX c (1.1)

5

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

và các ma trận biểu diễn Ta thỏa mãn hệ thức giao hoán như các vi tử:

[Ta, Tb] = ifabcTc (1.2)Nhóm G là biến đổi Unita do đó fabc là thực và X là Hermitic

Trường vật lý ψ biến đổi như sau:

ψ(x) → ψ0(x) = U ψ(x) (1.3)với U = eiαa X a , a = 1, 2 n là một biến đổi đối xứng

Nếu αa không phụ thuộc vào tọa độ thì nhóm G là nhóm toàn cục( biến đổitoàn cục) Trong đối xứng số fermion, cả số lepton L và số baryon B đều tươngứng với những đối xứng toàn cụcψa → e−iQa θ ψa, chỉ số α để phân biệt lepton vàquark Nếu neutrino không khối lượng, ta có bảo toàn riêng lẻ số lepton thế hệ.Ngược lại, nếu αa phụ thuộc vào tọa độαa = αa(x)tức là tại các điểm khôngthời gian khác nhau các biến đổi đổi đối xứng khác nhau Khi đó G được gọi làđối xứng định xứ hay đối xứng chuẩn

Dưới đối xứng chuẩn nhìn chung Lagrangian không bất biến do biểu thứclagrangian có chứa đạo hàm Khi yêu cầu lý thuyết bất biến chuẩn, chính điềunày sinh động lực để ta đưa vào lý thuyết các trường chuẩn tức là xuất hiệntương tác của trường vật chất với trường chuẩn Ta có các tương tác điện từđược mô tả bởi đối xứng chuẩn nhóm U (1), mô hình thống nhất tương tác điệnyếu dựa trên các đối xứng chuẩn SU (2)L× U (1)Y, đối xứng chuẩn của mô hìnhchuẩn thống nhất 4 tương tác SU (3)C× SU (2)L× U (1)Y hay các tương tác khácđược mô tả bởi đối xứng chuẩn của nhóm Lorent - Poincare

1.2 Lý thuyết trường chuẩn

Trường fermion là các trường vật chất có spin 12 được mô tả bởi spinor Dirac

ψ(x) Ta xét Lagrangian tự do của trường ψ(x)

LF0 = ¯ ψ(x)(iγµ∂µ− m)ψ(x) (1.4)

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

Dưới phép biến đổi U (α) ta có

ψ(x) → ψ0(x) = e−iαa T a ψ(x)

¯ ψ(x) → ¯ ψ0(x) = eiαa T aψ(x)¯ (1.5)Nếu αa phụ thuộc vào x thì ta gọi đó là đối xứng chuẩn định xứ Do đó ta đixây dựng lí thuyết bất biến của pha khi phụ thuộc vào x

ψ(x) → ψ0(x) = e−iαa (x)T a ψ(x)

¯ ψ(x) → ¯ ψ0(x) = eiαa (x)T aψ(x)¯ (1.6)

Ta thấy thành phần ψ(x)∂¯ µψ(x) không bất biến chuẩn Thật vậy

¯

ψ(x)∂µψ(x) → ¯ ψ0(x)∂µψ0(x) = ¯ ψ(x)eiαa (x)T a ∂µ(e−iαa (x)T a ψ(x))

= ¯ ψ(x)∂µψ(x) − iTaψ(x)∂¯ µαa(x)ψ(x) (1.7)còn m ¯ ψψ luôn bất biến chuẩn,

m ¯ ψψ → m ¯ ψ0ψ0 = m ¯ ψU+U ψ

m ¯ ψψ = m ¯ ψψ (1.8)

Do đó L0 không bất biến dưới phép biến đổi U (α) định xứ

Để L0 bất biến dưới phép biến đổi chuẩn, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến Dµ

thay cho đạo hàm thường ∂µ Đạo hàm hiệp biến biến đổi như sau:

Dµψ(x) → [Dµψ(x)]0 = e−iαa (x)T a Dµψ(x) (1.9)với

Dµψ = (∂µ+ igAµaTa)ψ

= (∂µ+ igAµ)ψ (1.10)trong đó A µ ≡ A µa T a là trường chuẩn vecto, g là một hằng số, sẽ khác nhau vớicác tương tác khác nhau Sau khi thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biếnthìL luôn bất biến dưới phép biến đổi do thành phần khối lượng luôn bất biếnchuẩn và thành phần

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

⇒ U−1(∂µU ) + igU−1A0µU = igAµ (1.11)Nhân trái 2 vế với U, nhân phải 2 vế với U−1 vào 2 vế của (1.17) ta được

(∂µU )U−1+ igA0µ = igU AµU−1 (1.12)Chia cả 2 vế cho ig ta được

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

thay Dµ = ∂µ+ igAµ và Dν = ∂ν+ igAν vào (1.17)

Fµν → Fµν0 = U FµνU+ (1.21)

(1.21) là quy luật biến đổi của Fµν

Động năng của trường chuẩn

LA = −1

2T rFµνF

GVHD: TS Phùng văn Đồng 9 Sv: Phạm Thị Hoàn

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

= ∂µAaνTa− ∂νAaµTa + ig[AaµTa, AbνTb]

= ∂µAaνTa− ∂νAaµTa + igAaµAbν[Ta, Tb]

= ∂ µ A aν T a − ∂ ν A aµ T a − gfcbaA cµ AbνT a

= [∂µAaν − ∂νAaµ− gfcbaAcµAbν]Ta

= [∂µAaν − ∂νAaµ− gfabcAbµAcν]Ta

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

Vậy Lagrangian toàn phần bất biến

Số hạng tự tương tác bậc 3 của trường chuẩn: g4∂µ, số hạng tự tương tác bậc

4 của trường chuẩn−g42

Các trường chuẩn không có khối lượng do số hạng khối lượng m2AµAµ khôngbất biến chuẩn

Thật vậy, dưới đối xứng chuẩn nhóm U (1) ta có:

thì trường chuẩn Aµ cũng không có khối lượng

Tổng quát hóa: Lý thuyết trường chuẩn với nhóm SU (n) thì trường chuẩnđều không có khối lượng

Số hạng khối lượng của các fermion

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

Trường vô hướng gồm trường vô hướng thực và trường vô hướng phức Ở đây

ta chỉ xét trường vô hướng phức

Trường vô hướng phức mô tả hạt vô hướng mang điện, Lagrangian tự do củanó

L0= (∂µφ)+(∂µφ) − m2φ+φ (1.39)Tương tự như trường fecmion, dưới phép biến đổi U (α) định xứ αa = αa(x) :

φ(x) → φ0(x) = e−iαa (x)T a φ(x)

¯ φ(x) → ¯ φ0(x) = eiαa (x)T aφ(x)¯ (1.40)thì L0 → L00

Như vậy ta thấy dưới phép biến đổi U (α) định xứ Lagranggian không bất biến

Để Lagrangian bất biến dưới phép biến đổi U (α) định xứ ta đưa vào trườngchuẩn (thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến)

L = (Dµφ)+(Dµφ) − m2φ+φ (1.41)

Ta có

L −→ LU 0= (Dµϕ0)+(Dµϕ0) − m2(ϕ0)+ϕ0 (1.42)

GVHD: TS Phùng văn Đồng 13 Sv: Phạm Thị Hoàn

Đối xứng chuẩn và lí thuyết trường chuẩn

Số hạng thứ 2 trong biểu thức của Lagrangian dưới phép biến đổi U (α)định xứluôn bất biến

Biểu thức của đạo hàm hiệp biến

Dµφ = ∂µφ + igAaµTaφ

= ∂µφ + igAµφ (1.43)với Aµ ≡ AaµTa

Đạo hàm hiệp biến sẽ biến đổi như toán tử trường

Dµφ −→ (DU µφ)0 = U Dµφ (Dµϕ)+−→ (DU µφ0)+ = (Dµφ)+U+

⇒ (Dµφ0)+(Dµφ0) = (Dµφ)+U+U Dµφ

= (Dµφ)+Dµφ

(1.44)Vậy ta có quy luật biến đổi (Dµφ0)+(Dµφ0) = (Dµφ)+Dµφ thay vào biểu thức L0

ta được biểu thức Lagrangian toàn phần bất biến

Ltt= (Dµφ)+(Dµφ) − m2φ+φ

= (∂µφ + igAµφ)+(∂µφ + igAµφ) − m2φ+φ

= (∂µφ)+∂µφ + igAµ(∂µφ)+φ + igAµφ+∂µφ − g2AµAµφ+φ − m2φ+φ (1.45)

= L0+ Lint

Tương tự như trường fecmion, từ quy luật biến đổi của đạo hàm hiệp biến

ta rút ra quy luật biến đổi của trường chuẩn:

A0µ = U AµU−1+ i

g(∂µU )U

Biểu thức của Tenxo cường độ trường

Faµν = ∂µAaν − ∂νAaµ− gfabcAbµAcν (1.47)

Số hạng động năng của trường chuẩn

LA = −1

4FaµνF

µν

Các tương tác chuẩn: tương tác φ+φAµ, tương tác AµAµφ+φ

Tương tác bậc 4 của trường φ: λ4(φ+φ)2

Chương 2

Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và

cơ chế Higgs

Các trường chuẩn mà ta nghiên cứu không có khối lượng do số hạng m2A µ Aµ

không bất biến chuẩn, mà tương tác yếu là tương tác tầm gần nên hạt truyềntrong tương tác yếu phải có khối lượng lớn Vì lí do đó ta cần phải cho trườngchuẩn có khối lượng Giải quyết vấn đề này người ta tìm ra hiện tượng phá vỡđối xứng tự phát thông qua cơ chế Higgs và từ đó cũng chứng minh được rằngphá vỡ đối xứng tự phát cũng là đặc tính của lực yếu

Ta sẽ tìm hiểu hiện tượng này với trường hợp đơn giản: Nhóm U (1) định xứ.Xét trường vô hướng phức có tích U (1) Lagrangian mô tả trường vô hướngphức

L = (∂µφ)∗(∂µφ) − V (φ) (2.1)trong đó V (φ) = m2φ∗φ + λ(φ∗φ)2 Lagrangian trên không bất biến dưới phépbiến đổi U (1) định xứ:

φ(x) →)φ0(x) = e−iα(x)φ(x) (2.2)

Ta có L U (1)−→ L0

Thế năng V (φ) luôn bất biến với phép biến đổi chuẩn, thành phần còn lại

15

Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs

D µ φU (1)−→ (D µ φ)0 = U D µ φ (Dµφ)+ U (1)−→ (Dµφ0)+ = (Dµφ)+U+

⇒ (Dµφ0)+(Dµφ)0 = (Dµφ)+U+U Dµφ

= (Dµφ)+(Dµφ) (2.4)Như vậy, ta có lagragian toàn phần bất biến

A0µ(x) = Aµ(x) + 1

Phá vỡ đối xứng chuẩn tự phát và cơ chế Higgs

Để khảo sát hiện tượng phá vỡ đối xứng tự phát, trước tiên ta tìm cực tiểucủa thế năng

hφi → hφi0= e−iα(x)hφi = hφi

⇔ (1 − iα(x))hφi = hφi

⇔ −iα(x))hφi = 0

Chân không trong trường hợp này là bất biến

Khi φ∗φ = −m2λ2 = hφi2 Điều kiện có phá vỡ đối xứng hφi 2 > 0