Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2016 gồm : 1) Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 2) Phần II. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá. 3) Phần III. Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2015. Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và giải quyết nó một cách dễ dàng.
Trang 1Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2016 gồm :
1) Phần I Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 2) Phần II Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá.
3) Phần III Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2015.
Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết Nguyễn Thế Duytrình bày Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và giải quyết nó một cách dễ dàng
Phần I Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàmsố.
xy
x2 y2
x 2 y xy 1 x, y
Bài toán 1 Giải hệ phương trình :
1 x2 2x
1
x y
x 2 y2
Lời giải Điều kiện : x y 0 ; xy 0
Phương trình đầu của hệ phương trình được viết lại thành :
x y 2xy x y 1
x y 1 x y 1 2 1 x y
x 2 y2 x y 0
Vớix y 1thế xuống phương trình hai chúng ta có :
y 1 7
x 2
3x 2 4x 1 0
7
Với x y x2 y2thế xuống phương trình hai chúng ta có :
2
2
1 2x x 2 x 2 y2 2 x 1 0 x 1
x2 y2
x y 1 y 0
;
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : x, y 2 7 ; 1 7 2 7 ; 1
7
x 3 y3 3x 2 6x 3y 4 0
x, y Bài toán 2 Giải hệ phương trình :
x 1 y 1 x 6 y 6 x 2 5x 12y
Lời giải Điều kiện :x ; y 1
Phương trình một tương đương với :
x 3x 6x 4 y 3y x 1 3 x 1 y 3y y x 1
Thế vào phương trình hai ta được :
Trang 2 x 1 x 2 x 6 x 7 x 2 7x 12
x 1 x 2 2 x 6 x 7 3 x2 2x 8
x 2 2 x 7 3
x 2 0
Do x 2 nên
x 6 0
suy ra :
x 1 x 6 x 4 x2 x2 x6 x6 1 0
x 22 x 7 3 x 7 3 x 2 2
Từ đó suy ra x, y 2, 3 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Bài toán 3 Giải hệ phương trình : 2x
2 xy x 1 x 3y y2 x y 2
4x 2 y2 4xy 6x 3y 2 0
Lời giải Điều kiện : 2x 2 xy x 1 0 ; x 3y y2 0
Xử lý phương trình hai chúng ta có :
4x y 4xy 6x 3y 2 0 2x 1 y 2x 2 y 0 y 2x 1
y 2x 2
Với y 2x 2 thế xuống phương trình hai thì :
2 2
3
x
4x 2 x 1 4x 2 x 2 3x 3x
4x 2 x 1 4x 2 x 2
4x 2 x 1 4x 2 x 2 1 2 4x 2 x 1 3x 1
x
x 0
1
2x 4x x 1 3x 1
4x2 4x 2 x 1 3x 1
Với y 2x 1 thế xuống phương trình hai thì : 4x2 1 4x2 3x 2 3x 1 Ý
2 3 tưởng giải tương tự trường hợp trên ta được x
3 3
Do đó hệ phương trình có nghiệm x, y 1, 0 ; 2
, 1
xy x y xy 2 x y y
Bài toán 4 Giải hệ phương trình :
x 1 y xy x x 2 4
Lời giải Điều kiện : x, y 0 ; xy x y xy 2 0
Chúng ta có :
xy xy xy 2 x y y xyxy xy 2y x y 0
x y
x y y xy 2 x y y xy 2
x y
xyx y xy 2y xyxy xy 2y x y
0
2
x 1
Từ phương trình hai :y xy x x x 1 x 1 2 2
x 1
Trang 3y xy 2
x y
xy x y xy 2 y
Do đó từ phương trình một x y 0 suy ra thế xuống phương trình hai ta được :
2
x y 1
x y 0
2x 3x 4 0 x y 1
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên
x 2 2 xy 1 2 y 2 6 2y2
Bài toán 5 Giải hệ phương trình :
x y y 1 5
Lời giải Điều kiện : xy 1 ; y 2
Cộng chéo theo vế của hệ phương trình ta được :
x 2 5 2 xy 1 2 y 2 6 2y2 x y y 1
x 2 5 2 xy 1 2 y 2 7 2y2 x 2 2y2 2xy 2y
xy 1 y 2 y xy 1 xy 1 y 2 xy y 1 0
xy y 1
2
Với xy y 1kết hợp với phương trình hai chúng ta có :
xy y 1
x y y 1 5 x, y 2, 1 ; 1 2,
1 ; 2 1,
xy 1 ; y 2
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên
2y2 4xy 3y 4x 1 3 y 1 y 2x
y 1 y 2x 2 y x 1
Lời giải Điều kiện : y 1 ; y 2x
Bình phương phương trình hai ta được : 2 y 1 y 2x 1 y 1 y 2x 1
4 Phương trình một được viết lại thành : 2y2 3y 1 4x y 1 3 y 1 y 1 y 2x
Từ hai điều trên suy ra :
4
y 2
2y 3y 1 2 y 4 y 1 y 1 y 1 2y 1 3 y 1 y
Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm 41 5 23 ,2
x, y 72 4 , ; 24
x 3y 1 x y 2x 2y 1 8
x 5 2 x y 9y
Lời giải Điều kiện : x y ; 2y 1
Trang 4 a x y
x y a2
Đặt b 2y 1
2y 1 b
a,b 0 x 9y a2 4b2 4
2x 2a2 b2 1
x 3y 2b2 a2 2 khi đó hệ phương trình trở thành :
a2 2b2 1 a b2 2a2 1 b 8 a 2b 1
b 1
a2 2b2 1 a b2 2a2 1 b 8
a2 2a 1 4b2
x y 1 x 2
2y 1 1 y 1
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Bài toán 8 Giải hệ phương trình :
y 1 x y x y 1 y x 2
x, y
y2
x 8 y x2 8 8
Lời giải Điều kiện : x y 0 và x 8
Đặt
a x y
b y a2 b2 x khi đó phương trình một của hệ phương trình trở thành :
2
b2 1 a a2 1 b a2 b2 2 a 1 b 1 a b 2 0
Phương trình hai của hệ phương trình được viết lại thành :
x y2 8 8 y x2 8 x2 y2 8 16x y2 8 64 y2 x2 8
x 2x y 8 y 8 0 x y 8 0 x y 8
Với
a 1
x y 1 x y 1 x 4, 5
y 3, 5
x y 8 y 1 y 8
Với b 1
y 1 x 3
y 1
x y 8 x y 8
Với a b 2 0 x y y 2 0 phương trình vô nghiệm vì x y y 0
Kết hợp với điều ta được nghiệm của hệ phương trình là 9 7
2 2
x, y 3, 1 ; ,
Bài toán 9 Giải hệ phương trình :
x y x y 2xy 4
x, y 2
xy x y 8 x 2 y2 4x y 1 4y x 1
1
Lời giải Điều kiện : x, y 1
Phương trình một được viết lại thành : x y 4 x 2 y2 2xy x y 4 2xy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
2
2x 2 y 1 x 4y 4
4x y 1 4y x 1 x 2 y2 4 x y 8
2y 2 x 1 y2 4x 4
2
Từ điều trên và kết hợp với phương trình hai đa được :
xy x y 8 2 x2 y2 4 x y 8 6 x y 2xy x y 16 12 x y
2
Từ 1 và 2 suy ra : x y 4 x y 12 x y 16 0 x y 4 0 x y 4
Trang 5
2x y 1
x y 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2y x 1 x y 2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Bài toán 10 Giải hệ phương trình :
2
x y 2y 1 x y 5 x, y
y 2 xy y
Lời giải Điều kiện : x y 0
Đặt
a x y
b 2y 1
a b x y 1, khi đó phương trình một trở thành : a b a b 4
Từ cách đặt, ta có :
a xy x y a2
a2b2 a2 b2 xy1x y2y12xy 2y2y2 1
2y 1 b
b 2y 1
Mặt khác , từ phương trình hai : 2xy 2y 2y2 4 nên suy ra a2b2 a2 b2 3
Do đó ta có hệ phương trình :
2 2 2 2 3
a2 b2 a b 4 x 2
y
a b a b a b 1 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu
Bài toán 11 Giải hệ phương trình :
x y y y x y 1 x xy y2
x, y
x y 3x 2 2x 3x y 1 0
Lời giải Điều kiện : x y 1
Đặt
a x y
b y
khi đó phương trình một trở thành :
2
ab a b ab a b 1 ab a b 1 a b 1 a b 1 ab a b 1 Vớiabab1ta có :
xy y 1 x y y xy y 1 x x y 1 y 1 y 1 0 x y 1
Đặtt y 1 0 y t2 1thế xuống phương trình hai chúng ta có :
2
2
x y 1 1 2
x 2 t2 1 3x 2 2x 2 3x t 0 t 1 x 3 t 1 x 2 0
x y111
TH1 Với y 1 thế vào phương trình ta có : x 1 hoặc x 2
TH2 Với x y 1thế vào phương trình ta có :
y 1 y 1 1 2 y 1 y 1 2 y 1 0 y 1 0 y 1
y1 y11 1 y1 y12 y11 0 vô nghiệm vìV T 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y 1,1 ; 2,1
Trang 6
Bài toán 12 Giải hệ phương trình :
y3 2 y 1 x y 2y 1
x, y
y y y 2 2y y x y y2x
Lời giải Điều kiện : x y Khi đó phương trình hai có dạng :
y y x y y y x y 2 0
y y x y 2
Xử lý phương trình một chúng ta được :
y 1
y 1 y2 y 1 2 y 1 x y 0
y2 y 1 2 x y
Với y 1thế xuống phương trình hai suy ra x 0
Với y2 y 1 2 x y ta có :
1
2
2
y y 1 2 x y y2 y 1 2 x y
y 2 y y 1 0
2y 2y x y 2
y y 1 2 x y y2 y 1 2 x y
y 2y x y 4 y y 3y 4 0 2
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều trên
Bài toán 13 Giải hệ phương trình :
x 1 x y x y 1 x 9
x, y
x 2 2x 4 x 2 xy xy y 17
Lời giải Điều kiện : x y và x 0
Đặt
a x y
b x khi đó phương trình một trở thành : a b 2 1 b a2 1 9
Mặt khác phương trình hai được biểu diễn dưới dạng :
x2 xy 2 a2 b2 21
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương
2 2
ab a b a b 9
ab 2 a b 21 2ab
Đặt
t a b
u ab
2
ut t 9 t u 1 9 u 2
t 3
u 2 t 21 2u u 2 t 21 2u
Vậy nên x y, x là nghiệm của phương trình:
2 X 1 x 1 x 4
X 3X 2 0 X
2 or
y 3 y 3 Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x, y 1, 3 ; 4, 3
x 3 3y3 3x 2y xy2 x 3y
Bài toán 14 Giải hệ phương trình : 2x 1 x, y
x
3x 36y 1 x 3 27y
Lời giải Điều kiện : x, y
Chúng ta có :
2x y 21 ab 2
2 2
Trang 7
x 3y 3x y xy x 3y x 3y x y x 3y 0
2
2
3 6 3 2 2
3 6 3 2 2 2
2
3 2 2
3 6 3 2 2 2 2
x 3y x 2 y2 1 0 x 3y x 2 9y2 x 3 27y3 Thế vào phương trình hai ta được :
3x 3 4x 2 1 3 x 6 2x 3 x 2 3x 3 3x 2 x 1 3 x 6 2x 3 x 2 x 2 x
x 1 3x 1 x
x 1 3x 1
x 2x x x 2x x x x x x
x 1 3x 2 1 0
3 6
x 2x x x 2x x x x x x x 0 ptvn
3 3
Do đó hệ phương trình có nghiệm là : x, y 1, 1 ;
; ,
3 3 3 3
1 , 1
2
x 2x y y 16 2x
2 x y x 1 2 x y 11
Lời giải Điều kiện : x 0 ; x y 11 0
Phương trình một đã cho trở thành :
2x6 x4y2 16y3 2x2y3 2 x6 8y3 x2y2 x2 2y 0
2 x2 2y x4 2x2
y 4y2 x2
y2 x2 2y 0 x2 2y
Với x 2 2y thế xuống phương trình hai chúng ta có :
x 0
x 2 2x 1 x x 2 2x 22
x 2 2x 3 x 1 x 2 2x 22 5
x 1 x 3 x 1 x 1 x 3
0
x 1 x 2 2x 22 5 Mặt khác:
2 1
x 3
x 3 x 3 x 2x 22 4 1 0 x 0
x 2 2x 22 5 x2 2x 22 5 1
Do đó x 1 y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
2
2
2
y 1 2x y x 2 x xy 0
x, y Bài toán 16 Giải hệ phương trình :
x y 2xy 3x 2 0
Lời giải Điều kiện : 2x y
Xét phương trình một , ta có :
y 1 2x y x 2 x xy 0 y 1 2x y y 1 x 1 x 2 y 1
y 1 x 1 2x y x 1 2x y x 1 2x y
2 Mặt khác , từ phương trình hai : 3x 2 x y 0 x 0 hay x 1 2x y 0 suy ra
x2 y2
y 1 x 1 2x y x y 2x y x y
2xy 2x y
Trang 8 x 2 y2 2xy 2x y
Kết hợp với phương trình hai ta được : x 2 y2 2xy 3x 2 0
y 0
x y ; 2x y
Vậy x,y 2,0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu
Bài toán 17 Giải hệ phương trình :
y 1 x 1 y 1 2
x 4y x 1 6 5 x 1 1 x 1 y 1
Lời giải Điều kiện : x 2 1 ; y 1
Đặt
b2
a x 2 1 0 x 2 a2 1
y 1
b y 1 0
2
a b b2 2 ab2 b3 2
2 b3 2
a 4ab 6 5a b a 3 4ab2 3ab2 3b3 5a2b
a 4b 5 a 6 5a 1 ab
ab b 2 a 3b a 3
a b a 3b 0
b 2
a 7ab 5a b 3b 0 b 1
a 3
Với
b 1
x 2 1 3 x 2 10 khi đó ta có :
y 1 1 y 2
x, y 10, 2 ; 10, 2
x x y x y 2y 2y3 1
8x 8y 2 x y 3 8y 2x 2 3x 1
Lời giải Điều kiện : x y 0 ; y 0
Từ phương trình một chúng ta có :
x x y x y 2y2 2y x 2 xy 2y2 x y 2y 0
x y
x y x 2 y 0
x y
x 2y 1 0
x y 2y x y 2y
1 Mặt khác với điều kiện : x y 0 ; y 0 thì x y y
x y 2y
0 nên vônghiệm
1 3 4 4
Với x y 0 thì phương trình hai trở thành :
8x2 8x 3 8x 2x2 3x 1 4 x 2x2 3x 1 2 2
2 2x 2 3x 1 1 x 13
2 2x 2 3x 1 4x 1 x 1 7 1
; 3
7 1
; 7 Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm : x, y 3 13 ;
1
2x 1
Trang 92
x y x
1 x 1 x y
x 2 x 1 y2 y x 1 0
2 2
Lời giải Điều kiện : x 1 ; x y x 1 0
Đặtt x 1 0 x t2 1 khi đó phương trình một trở thành :
t2 t y 1 t2 t 1 y2 t2 t y 1 t 1 t2 y2
t t y 1 t 1
y t y t 0 y t y t y t 0
t2 t y 1 t 1 t2 t y 1 t 1
Từ phương trình hai chúng ta có :
x112 2 2
y y x 1 0 y y 0 y 0;1 y t 0
Do đó suy ra được :1 y t t2 t y 1 t 1 0hay nói cách khác từ phương trình một
ta có : y t y x 1 thế xuống phương trình hai thì:
y3
y2
5 5 5 1
y x 1 0
0
x, y 1, 0 ;
2y 1 0
y 1 2
y y
Do vậy hệ phương trình có nghiệm kể trên
3
y y 4 3x x 2 x 2
x y 5 x y 2y 4 0
Lời giải Điều kiện : x y ; x 2
a x y
Đặt
b x y 0
a b2 2y khi đó phương trình hai trở thành :
a 5 b a b2 4 0 a b 1 b2 5b 4
a b 1 b 1 b 4 a b 4 x y 4 x y
Mặt khác , xét phương trình một chúng ta có :
y 3 y x 2 4 x 2 3 x 2 2
y 3 y x 2 3 2
3 x 2 4 x 2 2
y3 y x 2 1 3
x 2 1 y x 2 1
Do đó hệ phương trình ban đầu trở thành :
2
x y 4 x y
x 2 y 2 x 2 y 2
x 2 y 1 0
y y 1 y 3y 3 y 3y3 y x 3
x 2 y 1 0
x 2 y 1 0 x 2 y 1 0 y 2
Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y 3, 2
y 1 x x y 2
x
x, y
Bài toán 21 Giải hệ phương trình :
4x 9y 16 9xy 7x 9y
Lời giải Điều kiện : x y 1
Trang 102 2
a x y
Đặt
b y 1
a b 1 x khi đó chúng ta có : pt 1 a b a 2 b 2 1 2
Với điều ta đã đặt thì a2
b2 xy y y2 x mặt khác từ phương trình hai ta có :
4x2 16x 16 9 xy y y2 x 4 x 2 2
9a2b2
2x 4 3ab 2a2 2b2 2 3ab
2x 4 3ab 0 2a2 2b2 2 3ab 0
Như vậy hệ phương trình đã cho trở thành :
a b a2 b2 1 2 a b a2 b2 1 2
2a 2b 2 3ab 2a 2b 2 3ab 0
Giải hai hệ trên bằng phương pháp ẩn phụ cho ta nghiệm của hệ ban đầu là : x, y 2, 2 ; 2,1
2
y2 8x 9 3 xy 12 6x 1
2 x y 10x 6y 12 y x 2
Lời giải Điều kiện : x 2 ; y 0 ; y2 8x 9
Xử lý phương trình hai ta có :
2 x y 2 10x 6y 12 y x 2 2 x y 2 10x 6y 12 x 2 y2
2x2y 2 x22y x2 y 2x2y2
x2 y 0
x 2 y x 2 y 0 x 2 y x 2 y 0 y x 2 0
Với y x 2 thế nên phương trình một ta được :
x2 4x 13 3x2 4x 12 1 x 2 y 4
Sở dĩ phương trình cuối dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta sẽ giải quyết dễ dàng Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x, y 2, 4
2 2
y 1 y x 1 1
x
x, y Bài toán 23 Giải hệ phương trình :
x y 16x 16y 12 20xy
Lời giải Điều kiện : x, y 1
b2
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm kể trên
a x 1 0 x a2 1
y 1
b y 1 0
a2 1 b b2 1 a 1 ab a b a b 1 a b ab 1 1
Xét phương trình hai :
Mặt khác : a2
b2 x 1 y 1 16 xy x y 1 16a2
b2 nên ta có :
xy 2 2 16a b xy 2 4ab a 1 b 1 2 4ab
Cuối cùng ta được hệ phương trình :
a 0,b 1 x, y 1,2
a2
b2 a2 b2 4ab 1
1,b 0
a b ab 1 1 x, y 2,1