1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị C tai hai điểm M,N sao cho tứ giác AMBN là hình thoi.. Gọi M, N lần lượt là trung điểm c
Trang 1BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011
-
-Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Gọi A, B là các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị
(C) tai hai điểm M,N sao cho tứ giác AMBN là hình thoi.
Câu 2 (2 điểm)
1/ Giải phương trình: 2sin(x +
4
π
).cos(x +
6
π
) + cos2x = 0.
2/ Giải hệ phương trình:
+ +
= +
−
−
− + +
=
−
− +
− +
1 )
5 3 ( log
2 4 4 6 3 3 3
1 2
2 2
y x y x
y x xy y
x y x y
x
.
Câu 3 (1 điểm).
Tính tích phân: I = ∫
−
0
1
2 2
2 ) 1 (
) 1 (
dx x
x
.
Câu 4 (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = 2a, BC = a 3 Cạnh bên SA = 2a
và SA ⊥ mp(ABC) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC.
1/ Tính thể tích khối tứ diện BCMN.
2/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
Câu 5 (1 điểm)
Cho x, y là hai số dương thay đổi, có tổng bằng
4
17 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
3 11 2 1
2
+ +
+ + + +
=
xy
y y
x y x x
Câu 6 (2 điểm).
1/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm là H(3;
4
1
− ), tâm đường tròn ngoại tiếp
là K(0;
8
29
), trung điểm cạnh BC là M( ; 3
2
5 ) Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C ; biết hoành độ của B lớn hơn hoành độ của C.
2/ Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(12;-3;11) và hai đường thẳng:
1 1
6 7
x
1 2
1 5
−
=
+
x
Xác định tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho đường thẳng AM cắt đồng thời cả hai đường thẳng d1 và d2.
Câu 7 (1 điểm) Tính mô đun của số phức z =
4 3 1
1
+
−
i
i
.
Trang 2
-HẾT -ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 - 3x 2 + 2
* Tập xác định: D = R.
* Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 ⇔ x x = = 2 0; y’> 0 ⇔ x x < > 2 0 và y’< 0 ⇔0<x<2
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ; 0 ); ( 2 ; +∞ )và hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT= - 2
Các giới hạn: = ±∞
±∞
BBT:
* Vẽ đồ thị:
2/ Viết phương trình đường thẳng:
Đồ thị nhận điểm uốn là tâm đối xứng nên trung điểm của hai điểm cực trị là tâm đối xứng I(1, 0)
Tứ giác AMBN là hình thoi ⇔MN là đường trung trực của AB ⇔d vuông góc với AB tại I
AB ( 2; -4) là VTPT của d hay: n( 1,-2) cũng là VTPT của d
Vậy d: 1( x – 1) – 2(y – 0) = 0 ⇔d: x – 2y – 1 = 0
1 điểm
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
1 điểm
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
1/ Giải phương trình: 2sin(x +
4
π
).cos(x +
6
π
) + cos2x = 0 (2.1)
Ta có: cos2x = sin(2x + )
2
π
= 2sin (x +
4
π
).cos(x +
4
π
) Từ đó:
(2.1) ⇔2sin (x +
4
π
) cos(x +
6
π
) + 2sin (x +
4
π
).cos(x +
4
π
) = 0
⇔2sin (x +
4
π
).[ cos(x +
6
π
) + cos(x +
4
π
)] = 0
⇔4sin (x +
4
π
).cos (x +
24
5 π
).cos
24
π
= 0 ⇔
= +
= +
0 ) 24
5 cos(
0 ) 4 sin(
π
π
x
x
⇔
+
= +
= +
π π π
π π
k x
k x
2 24 5
4
Vậy nghiệm của phương trình là:
+
=
+
−
=
π π
π π
k x
k x
24 7
4
( k∈ Z )
2/ Giải hệ phương trình:
+ +
= +
−
−
− + +
=
−
− +
− +
1 )
5 3 ( log
2 4 4 6 3 3 3
1 2
2 2
y x y x
y x xy y
x y x y
x
Đặt x + y = t Phương trình thứ nhất trở thành: t − 1 + 3 − t = 3 t2 − 4 t − 2 (đ/k: t∈[1;3])
⇔ ( t − 1 − 1 ) + ( 3 − t − 1 ) = 3 t2 − 4 t − 4 ⇔
1 3
2 1
1
2
+
−
−
− +
−
−
t
t t
t
=(t – 2)(3t + 2)
⇔(t – 2).[ 3t + (2 -
1 1
1
+
−
t ) + 3 1
1
+
− t ] = 0 ⇔t – 2 = 0 ⇔ t = 2 ( Biểu thức trong ngoặc vuông dương với mọi t∈[1;3] )
1 điểm
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0.25 đ
-1 điểm
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
Trang 3Với t = 2 tức là x + y = 2 ⇔y = 2 – x Thế vào phương trình thứ hai của hệ được:
log2( 10 – 2x) = 3 ⇔10 – 2x = 8 ⇔ x = 1 suy ra y =1
Tính tích phân: I = ∫
−
0
1
2 2
2 ) 1 (
) 1 (
dx x
x
Đặt: x = tant với t )
2
; 2 ( − π π
t
dt
2 cos ; Đổi cận: x = -1 thì t = 4
π
− ; x =0 thì t =0
−
−
−
−
=
−
=
4
0
4
2 2 0
4
2 4
2
2 cos )
1 (tan cos cos
cos
1
1
tan
π π
π
dt t dt
t t t
dt
t
t
=
2
1
| 2 sin 2
4
−
=
−
−π
Lưu ý: Không chia cả tử và mẫu cho x 2 vì x = 0 thuộc tập xác định của hàm số lấy tích phân.
0,5 đ 0,5 đ
Câu 4 :
1/ Gọi H là trung điểm của AC
Ta có: NH// SA ⇒NH⊥(ABC) và NH =a
SMBC =
2
1
BM.BC =
2
3 2
a
Thể tích khối tứ diện BCNM là:
VN.BCM = NH SBCM
3
1
=
6
3a3 (đ.v.tt)
2/ Gọi L là trung điểm của SA Ta có LM// SB
⇒mp( LMC) // SB Từ đó:
d( SB, CM) = d( SB , (LMC)) = d(B, (LMC))
= d( A, (LMC)) ( Vì M là trung điểm AB)
Hạ AI ⊥CM ⇒CI⊥(LAI) Hạ AK ⊥LI
Ta có: AK ⊥ (LMC) ⇒d(A, (LMC)) = AK
.∆IMA đồng dạng với ∆BMC nên:
MC
MA
BC
2
3
2
7
AK =
LI
AI
AL.
=
7
21
a Vậy: d (SB, CM) =
7
21
a .
Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ với B≡O(0;0;0) và A(2a;0;0) ∈Ox, C(0; a 3 ;0) ∈Oy Khi đó:
S (2a;0;2a); M là trung điểm của AB ⇒M( a;0;0); …
1 điểm
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Ta có: P = ( x +
y
1
) 2 + 11( x +
y
1
) +
y
x 1
3
+ Đặt: t = x + 1 y > 0 Ta có:
P = t2 + 11t +
t
3
= ( t–
2
1
)2 + (12t +
t
3
) –
4
1
t
t 3 12 2
4
1
=
4
47
Đẳng thức xảy ra khi t =
2
1
Giải hệ:
= +
= +
2
1 1
4 17
y
x
y
x
được: x =
4
1
và y = 4 Vậy: min P =
4
47
đạt được khi x =
4
1
và y = 4.
Cách 2: P’ = 2t + 11 – 32
t = 0 khi t = 2
1
Lập bảng biến thiên suy ra kết quả.
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
S
a N
L
a
K H
A C
a
a 3
I M a
B
Trang 4Câu 6: 2 điểm 1/ Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C?
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua K thì AA’ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy
ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành ⇒ M là trung điểm của A’H ⇒ H A = 2 . M K = 2( )
8
5
; 2
5
4
5
)
Từ đó xác định được: A( -2;1)
Ta có: R = KA = KB = KC =
8
697 là bán kính vòng tròn ngoại tiếp ABC.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: x2 +( y –
8
29
)2 =
64
697
hay x2 + y2 –
4
29
y +
4
9
= 0
Phương trình cạnh BC: 4x – y – 7 = 0
=
=
=
=
⇔
= +
− +
=
−
−
1
; 2
5
; 3 0
4
9 4 29
0 7 4
2
y x y
y x
y x
.Vì xB >xC nên B(3;5), C(2;1)
Vậy: A( - 2; 1), B(3;5) và C(2;1)
2/ Xác định tọa độ M?
Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và d1; (Q) là mặt phẳng đi qua A và d2
Nếu điểm M tồn tại thì M là giao của 3 mặt phẳng: (P), (Q) và (Oxy)
Lập PTTQ (P): 3x – 7y – 7z + 20 = 0 PTTQ (Q): 13x – 7y – 17z + 10 = 0
Hệ phương trình tọa độ M:
=
= +
−
−
= +
−
−
0
0 10 17 7 13
0 20 7 7 3
z
z y x
z y x
⇔
=
=
=
0 7 23 1
z y
x
⇔M(1; ; 0 ).
7 23
Chứng tỏ AM cắt d1 và d2 được thỏa mãn Vậy: M(1; ; 0 ).
7 23
Cách 2: Gọi B,C lần lượt là giao điểm của AM với d1 và d2
B( 5+7t1; 6+t2; -1 +2t1) và C(5t2; -1 +2t2; 1 + 3t2)
Căn cứ vào điều kiện 2 véc tơ A B , A C cùng phương để lập được hệ 2 phương trình 2 ẩn t1, t2
Giải hệ tìm được t1, t2 Từ đó lập được phương trình đường thẳng AM suy ra M
1 điểm
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
1 điểm
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
Ta có: (1 – i )4 = [(1 –i)2]2 = (-2i)2 = - 4; (1+ 3i)4 = [(1+ 3i)2]2 = ( -2 + 2 3i)2 = - 8 - 8 3i
Từ đó: z =
8
3 1 ) 3 1 ( 2
i
−
=
1 64
3 64
1
=
0,5 đ 0,5 đ
