các bài toán thuận và đảo

trình bày về các bài toán thuận và đảo

Th/ly hlidng dlin: TS Le Ba Khanh Trinh Cac hili loan thuqn dao clla x[{p xl Pade

Chuo'ng II:

CAC HAl TOAN THU~N VA DAO

I GIOI THItU

Trong Iy thuye't hQi tl;lcua xftp xi Fadethl co mQt lOp dic bai toan dong vai tro quail trQng hang d:lu, do Ia cac bai toan thu~n; trong do vai gia thuye't dl;Ia tren tinh chftt cua ham giai tich f, co th~ ke't Iu~n duqc dang di~u ti~m c~n cua

cac cl1c di~m cua xftp xi Fade tuong ling va sv hQi W ciia cac xftp xi nay Cac

ke't qua chinh v~ huang nay duqc tdnh bay trong cac bai baa cua Hadamard [1], Montessus deBallore [2] trong do chung minh mQtdinh Iy v~ sv hQiWciia hang th(Im cuabang Fade trong dla Dm m -phan hlnh Cllaham f vai DmIa dla

md Ian nhftt co tam t~i zero trong do f co th~ thac tri~n phan hlnh bell trong

sao cho co khang qua m cvc di~m MQt ke't qua tl1'dngtv dO'ivai tnIang hqp xftp xi Fade da di~m bell trong hlnh trim aan vi duqctdnh bay bdi E B San

[5] Ke't qua t6ng quat bon nua dii dlIqC A.A Gonchar tdnh bay trong [6]

Thai gian g:lnday trong Iy thuye'txftp xi Fade,nglIaita quail tam nhi~ude'n

cac bai toan dao Trong do vai gia thuye't v~ dang di~u ti~m c~n clla cac cvc di~m cua cac ham tren bang Fade cua ham f co th~ dan de'n ke't Iu~n v~ sl1 thac tri~n phan hlnh cua ham f va cac di~m ky di ciia no (cac cvc di~m Cllaf) Nhung bai toan nhlI v~y thlIang ph<itsinh tu cac ling dl;lllgthl;ICte' Cllaxftp xi

Fade.Cac ke't qua chinh v~ huang nay duqc tdnh bay bdi Gonchar [8] - trong

do Gonchar giai quye't bai toan ma ta sv thac tri~n phan hlnh Clla ham f (xac dinh dla Dm),ma ham f cho bdi chu6i lfiy thua vai cac d~i Iuqng di;ictIlIng cho dang di~u ti~m c~n cua cac Cl;ICdi~m Clla hang thu m Cllabang Fade Cllaham

f Trong truang hqp di;icbi~t Gonchar dii ch(Ing minh dng t~p cac di~m trong mi~n phuc C ma cac cvc di~m cua hang thu m Cllabang Fade hQi W rhea to'c

dQ cftp sO'nh~n chinh Ia t~p cac cvc di~m clla f trong dla Dm Suetin cling chung minh ding cac di~m bell trong dla Dm ma cac C~ICdi~m Cllahang thu m cua bang Fade hQi W de'n (khang c:ln gia thuye't v~ to'c dQ hQi W) Ia cl1cdi~m cua f tuc Ia cac di~m ky di clla f bell tr:ongdla Dm Suetin [11] cling xem xet mO'ilien h~ giua dang di~u ti~m c~n cua cac cvc di~m hang thu m cua bang Fade clla ham f vai cac di~m ky di tren bi~'n cua Dm.Cac phl1'dngphap dlIqCsir dl;lng d tren cling co th~ phat tri~n d~ chung minh cac bai toan dao tuong tl1

Thlly hlidng ddn: TS Le Ba Khanh Trinh Cac hili loan thuqn dao Gila x('{p xl Fade

tnI'ong hQp xa'p Xl Fade da ditSm d<;lngnQi suy kitSu Newton Tuy nhien, trong truong hQp nQi suy tdng quat (ngay ca d6i voi truong hQp nQi suy cac ditSm trong hinh troll don vi) vi~c giai quye't cac bai toan dao di'i phat sinh ra nhi~u va'n d~ phac t<;lPva kh6 khan

Tren thvc te'dtS giai quye't cac bai toan dao cho tnI'ong hQp xa'p Xl Fade md rQng ta phai sa dl;lng di~u ki~n m<;lnhhon so voi cac bai toan thu~n cho bang ex

- cac nUt nQi suy Cac di~u ki~n d6 se duQc nha:c de'n trong cac phan tie'p theo (Xem cac di~u ki~n (W) va (K) trong m~lCIII cua cling chuang nay)

II M{)C TIE U

Lu~n van dlI'QChoan thanh voi cac ml;lc tieu sail day:

1 Md rQng cac ke't qua thu~n cua xa'p XlFade cd ditSncho xa'p XlFade da ditSm

2 H~ th6ng cac ke't qua dao trong truong hQp xa'p XlFade cd ditSn

Trong qua trinh chang minh cac ke't qua tren d~c bi~t Ia cac ke't qua dao, dva vao sV phan tich va tdng hQp cac phuong phap chang minh di'i dlI'QCtrinh bay trong cac c6ng trinh moi nha't, tac gia di'i dua ra mQt so d6 chang minh th6ng nha't cho cac ke't qua duQCtrinh bay trong lu~n van

So d6 chung minh cua tac gia sa dl;lngnhii'ng danh gia quan tn;mg cua xa'p Xl Fade cd ditSn cling nhlI' md rQng (xem xac danh gia (1), (2), (3), va (4) d

chuang III) Nhii'ngdanh gia nay c6 ynghla quye't dinh trong vi~c md rQng chang minh d6i voi cac ke't qua thu~n va h~ th6ng, rUt gQn, don gian chang minh ke't qua dao so voi mQt so'bai baa di'iduQc c6ng b6 truoc day

BtSti~n cho vi~c phat bitSucac dinh ly thu~n va dao cua xa'p XlFade, ta dl(a

ra mQt so' d<;liluQng quan trQng c6 lien quan de'n dang di~u ti~m c~n cua cac cvc ditSmcua xa'p XlFade 7tn,mva t6c dQhQiW ciia cac c~(cditSmd6

A cAc D~I Lu'<JNGD4.CTRUNGpANG DltU TI(tM C~N CUAcAc

AI

CVC DIEM

Xet hang tham ciia xa'p XlFade cd ditSncling nhlI'md rQng,

Thl'ly hlldng dlin: TS Le Ba Khanh Trinh Cac bai loan thuQn dao clla xfip xl Fade

'ITn= 'ITn,m,n= 0,1,2""

Khi do day ta co t~p \fInm= L n l'~n 2""'~n, f:", ,mn la t~p cac cl1c di€m huu h<;lncua 'ITn(vai m cho trliac c6 dinh), n =0,1,2" ,

Vai a la mQt di€m cho trliac trong mi@n phuc C Dliai day ta xet cac ham

~(a), 8ia) va A(a) di;ic trling cho dang di~u ti~m c~n cua cac cl1c di€m clia clia t~p \fIn,md6i vai ditim a

1 Ham ~(a)

Ham ~(a) dliQc xac dinh nhli sail:

l

1/n

~(a) = lim TII~n,j;a

n~(jJ j=l

Trang do khoang cach Call giua hai ditim z va z' clla mi@n phuc md rQng C dliQc ky hi~u Ia Iz;z'l

Co thti tha'y dug ~(a) la d<;lilliQng di;ictrling cho t6c dQ hQi W cua cac Cl1c ditim cua 'ITnv~ a Hitin nhien 0 ~ ~(a) ~ 1

2 Ham 8j(a)

Gia sa dug vai m6i n nhung cvc ditim ~n,j E \fin dliQc sllp xep rhea thu tl! kh6ng giam theo khoang cach tinh tu ditim a NghIa la:

I~n,l -al ~1~n,2 -al ~oo.~I~n,mn -al

Bi;it:

_

1/n 8j(a)= hm ~n,j;a

n~oo

Trang do 8ia) dliQc xac dinh nhli tren vaij =1,2, m' (m' = hm mil)' Con

n~oo vaij =m'+l",.m ta dinh 8ia) =1 V~y 8ia) xac dinh 'v'j=1, ,mva ta cling d~

dang tha'y dliQc 0 ~ 8ia) ~ 1

Ham 8ia), j =loon la d<;lilliQng di;ie tIling cho t6e dQ hQi tl;!rhea ea'p s6 nhan eua m6i evc ditim eua 'ITn v~ a.

Thlly hztdng dJn: TS Le Ba Khanh Trinh Cae hili loan thu{jn duo eua xflp xl Fade

3 Ham A(a)

Dva vao 8ia) va ~(a) ta dinh them mQt khai ni~m nua Ia so' eve ditim elia Ten

tie'n v~ a theo dip so' nhan - do IaA(a) du'<;jexae dinh nhu' sau:

. Ne'u ~(a) =1 (khi do Hitea cae 8j(a)=1) thl Ie(a) = 1

. Ne'u ~(a) < 1 thl khi do co mQt so'Ie nao do sao eho 1 S Ies m ma

8}(a) s 82(a) s s 8)Ja) < 1 va 8)c+}(a)= 1 (hoi;ie Ie = m); trong tru'ong h<;jpnay ta di;it ~l(a) = Ie

Ham Ie(a) eho bie't co baa nhieu "eve ditim" (day eve di~m da du'<;jesiip thli

tV)elia Tentie'n v~ a theo t6e dQ ea'p so'nhan.

B MIEN VA BAN KINH PHAN HINH CUA HAM GIAI TICH

Cho f Ia mQt ham ehinh hlnh tren mQtcontinum K Xet phep bie'n hlnh baa giae:

<p:C\K~C\B

trong do B Ia hlnh tron don vi (Izl :::;1)

Tli day v~ sau ta e6dinh ham <p: kz + ~ + a~ + z z + vdi k la mQt so' dliong

Thea nguyen Iy tu'ongling bien, vdi R > 1 thl m6i bien trail r R(elia hlnh trail Drd6ng tam va ehlia B) tliong ling vdi bien eang HR (elia mi~n don lien XR) HRdu'<;jegQiIa mQtdliong mli'eco ban kinh R eila K

HRI

<p HR2

Minh ho~ 1: Cae du:iJngmae HR tU:(/flgang wJi cae du:iJngtrim FR

Thlly hlidng dJn: TS Le Ea Khanh Trinh Cac blLi loan thu{jn duo clla x{[p xl Fade

Tu'ong ling voi vi~c dinh nghla iliac tri~n phan hinh rhea cac hinh troll Cn

nhu' trong tru'ong hQp cd di~n, ta cling co th~ dinh nghla mi€n thac tri~n phan

hinh trong tru'ong hQp ma rQng nhu' san: mi€n thac tri~n m - phan hint clia f giai rich lIen continum KIa mi€n Xm = XR(m)Ion nhftt (R(m) IOn nhftt) trong do

f co th~ thac tri~n thanh ham phan hinh co kh6ng qua m c1!c di~m (tinh ca sO' bQi) Ban kinh R(m) (hay ky hi~u don gian hon la Rm) du'Qc gQi la ban kinh

m-ph an hinh

B~ nga:n gQn tu day ta dung cac ky hi~u san: Hm = HR(m), 1m =I R(m), DI11 =

DR(m)'

C PHA T BIEU CAC BAI TOAN THU~N VA DAO

1 Bili tmin thm}n

Nhlt ta di'inoi bai roan thu~n dO'ivoi xftp XlFade ma rQng dltQCxet voi mQt

di€u ki~n clia bang a - cac nO'tnQi suy (ma hftu he't cac ling dl;lngth1!cte'd€u thoa) ma ta gQila di€u ki~n ye'u:

(W)

1/n

<pn(z)

1 bell trong C \ K khi n ~ co

Trong do:

suy clia bang bang a

, voi n = 1,2, an,j la cac nO'tnQi

<p: C \ K ~ C \ B la anh x~ baa giac nhu' di'i xac dinh aphftn lIen

Khi do cac ke't qua chinh clia bai roan thu~n trong tru'ong hQp xftp XlFade ma rQngdu'Qcphat bi~u b?ing dinh ly san:

Djnh Iy 3

djnh) ia hang xap xl Fade m(j rQng thli m cua ham f trong truijng hqp t(tp cac nut nQi SlAYcua bdng a thod man di~u ki?n yeu (W).

hlnh cua ham f).

Thli'y hlidng dJn: TS Le Ba Khanh Trinh Cac hiLi loan thu{jn dao czla x{{p xl Fade Khi do:

1 Li(a) S 1<r(a)1

Rm

2 A(a) ~ v(a)

.

Nhljll xet:

Khing dinh 1 cho thiy cac cvc di€'m cua 'ITntie'n v~ cac cvc di€'m ciia f rit nhanh theo cip so'nhan (xem phftn y fight a cua ham ~(a) dii n6i d tren)

Khing dinh 2 c6 nghia la so'cac cvc di€'m cua 'ITntie'n v~ cac cvc di€'m clla f vdi tac dQcip so' nhan kh6ng it hon b~c cua cvc di€'m d6

2 Hili tmin dao

Khac vdi cac dinh ly thu~n ma vit?cmd rQng cho tnlang hQp xip XlFade da di€'m chI cftn doi hoi di~u kit?n ye'u (W) (hftu he't cac bang cac nUtnQisuy th~IC te' d~u thai di~u kit?n nay); vit?c md rQng cac dinh ly dao g~p nhi~u kh6 khan hon va dIng chI mdi d~t dl1QcmQt vai ke't qua blldc dftu ma quail trQng nhit phai k€' de'n la cac dinh ly dao dai vdi trl1anghQp xip Xltrong hinh troll don vi dl1Qctrinh bay trong c6ng trinh nghien CUu[14] Trong d6 di~u kit?n ye'u (W) dii kh6ng cho phep md rQng cac bai toan dao va dl1Qcthay the' b~ng di~u kit?n m~nh hon (K):

(K) COn(z)- n ~~ 1II(z)'Y

z

bell trong C \ B khi n ~ 00

(duqc thail dol Val nhi~u bang cac nut n(Ji suy tren thl/c te)

Dl1di day la phat bi€'u va chung minh ke't qua dao cho tnlang hQp xip Xl

Fade cd di€'n So dd chung minh cac ke't qua nay dlIQCchQn lQc va trinh bay

saGcho thang nhit vdi cac chung minh cua ke't qua thu~n cling nhli c6 nhi~u di€'m don gian, nit gQn hon so vdi cac chung minh dii dl1Qcc6ng b6 trong thai gian gftn day

Thliy hztdng dlin: TS Le Ba Khanh Trinh Cac hili loan lhu{)n dao czla xli}) xl Pade

DinhIf 4

phac C saG cho co it nhat mf)t qCc diflm cila xap xl Fade hang tha m, JT,/titn v~

Khi do ta co ktt luc;tnsau:

lal

R

2 Ntu ,d(a) < 1 thl a lei qCcdi/!m cilaftren hlnh trim thac trifln phan hlnh Dmvoi cap v(a)::: A(a)

.

Nhqn xet:

Kh~ng dinh 1 cho tha'y ding ban kinh thac tri~n m - phan hlnh ph~l thuQc vao t6c dQ hQi W ciia cac cl1c di~m hang thli m

Kh~ng dinh 2 co nghla Ia a mQtct;(cdi~m cua f trong Dmvdi ca'p kh6ng nho

han so'cac c~tcdi~m cua nIlhQiW v6 a theo t6c dQca'p so'nhan.

Cu6i cling t6ng h<;Jpke't qua ciia cac dinh ly thu~n va dao da nell, ta co dlt<;JC dinh ly quail tn;mg (cho trttong h<;Jpxa'p XlFade c6 di~n) san day:

. Dinh If 5

Cho ham phac f E H(O), va a ;z':0 la mf)t di/!m cho truoc ben trong mdn thac tri/!n phan hlnh Dm Khi d6 nhilng phat bi/!u sau la tuang duang:

1 f co mf)t qCcdiflm tqti a.

2 Co it nhat mf)t cifc diflmcilaxap xlFade hang thzi m, Ten titn v~ a (khi n

f co).

3.v(a)=A(a)

la[

4 Rm= ~(a)

Thliy huung dtin: TS Le Ba Khanh Trinh Cae hili loan thufjn dao eila xli]) xl Pade

'I Nhljn xet:

Kh~ng dinh 1 trong dinh lj 5 th1.1cchill chinh Ia gia thie't trong cac dinh Iy thu:;in(xem dinh lj 3) va dtiQcxet nhti Ia ke't qua cac dinh Iy dao (xem dink lj

4)

Kh~ng dinh 2 trong dinh lj 5 thong thtiong dtiQcxet nhti Ia gia thie't trong cac dinh Iy dao (xem dinh lj 4) va Ia ke't Iu:;ind cac dinh Iy thu:;in(xem dinh

lj 3).

Dilu n=n trong cac d~ng thilc 3 va 4 cua dinh lj 5 dtiQc suy ra tu cac dilu

bill d~ng thilc cua cac dinh lj 3 va 4.

Dinh lj 5 phan anh m6i lien h~ chf;itche giua tinh chill thac tri~n phan hlnh

cua mQt ham voi dang di~u ti~m c:;incua cac c~icdi~m cua xilp XlPade (hang

thil m) cua ham d6

D CAC CONG C{) GIAI QUYET VAN DE

1 Chu~n boa ma u sf)

Ta Iuon gia sir 'ITn= Pn , trong d6 Pn va Qn Ia cac da thilc khong c6 chung

Qn

khong di~m ('ITnt6i gian) Trong trtiong hQp nay t:;ipnhung khong di~m cila Qn

Ia Wn,m= kn,1'~n,2""'~n,mn cling chinh Ia t:;ipcac c~icdi~m huu h?n ciia

'ITn.Ta c6 th~ chutln boa:

[

~

.

-I

J

I~ 1

::0;1

I

r 1

>1 ~n,l

Voi81.1chutln boa nay thl Qn(z) bi chf;ind~u tIeD mQi compact K c C,

IIQnllK =maxIQn(z)I<C

ZEK

Trong d6 C Ia mQt hi'ing s6dQc I:;ipd6i voi n, 0 < C < 00.

Va cling c:1n n6i them dng, trong nhung gl dtiQc trlnh bay trong nhung ph:1ntie'p IDeo , C dtiQc ky hi~u nhti Ia nhung hi'ing s6dtiong (n6i chung Ia

Thliy hliflng dlin: TS U! Ba Khanh Trinh Cac bai loan thuQn ddo clla xlip xl Pade

khac nhau) dQc l~p d6i voi n (co th~ ph~ thuQc VaG cac tham so' lien quail

khac) Quy tioc lIen cling ap d~ng cho CJ, C2,

2 HQit1,1a -dell

B~t M la mQt t~p bi ch~n ba't ky trong mi~n phuc C Ta dinh nghTa mQt dQ

do a nhti san:

a(M) = inf Ldiam (D v )

trong do infimum (ch~n dtioi dung) cua t6ng cac dtiong kinh dtiQc la'y rhea ta't

ca cac h~ dTa {Dv} phil M

Ta noi day ham {go}hQit~la - d~u de'n mQtham g trong mi~n phuc G c C ,

va vie't la gn~ gE G khi n ~ 00 ne'u \icompact KeG va mQt so' E > 0 cho

trtioc thl:

1 Co mQt t~p e =e(E) c K saG cho a(e) < E

cr

2 gn ~ g lIen K\ e

.

3 B6 de 1 (b6 de Gonchar [5])

Cho {go},n = 0,1,2, la mQt day cac ham phan hlnh trong mi~n G co kh6ng

cr qua m ct.I'cdi~m trong G Gia sa ding gn~ g bell trong G Khi do:

1 g la mQtham phan hlnh trong G va kh6ng co qua m ct.I'cdi~m trong G

2 M6i ct.I'cdi~m cua g trong G thu hUt (khi n ~ 00) cac c~ic di~m cila gn voi s61tiQng it nha't b?ing so' b~c cua no

.

Voi ham f E H(K), ta ky hi~u Q=Q(f) lamQt da thuc b~c mas m ma cac

kh6ng di~m cua no tIling voi cac ct.I'cdi~m cua ham f (de'm ca so' bQi) trong Xm.Ba thuc Q cling dtiQc chuiin hoa nhti qui t~c ta da lam voi da thuc Qn Khi

do ta co:

F = Qf E H(Xm)

Th/iy hlidng dlin: TS Le Ed Khdnh Trinh Cde beli todn thuqn daD Clla xfip xl Fade

Cho E > 0 ba't ky va d!nh nghla mQt t~p ma J8 = J8(f) nhti san: vdi n =

1,2, Cho Jn8 la mQt El6mn2 Hin c~n cua t~p \fin=, Lf",n 1,C:n2"",C:n m, n nhung cvc di6m hUll h~n cua 1!n;JO,8la E/6m - Hin c~n cua nhung cl1c di6m clia f trong Xm.

£)~t J8 = UJ n,E ta co: 0'(18)< E va J81c J82ne'u El < E2.Cho mQt t~p K c C

n::::O

ba't ky, d~t K(E)=K\J8

TITd!nh nghla cua In,8ta co th6 ki6m chung dlt<;5cba't ding thuc san:

min IQn (z)1> Cn -2m, n =1,2,

zEK(E)

dung vdi m6i t~p compact K c C va \it > O

Khi a E C* =C\{O}, hai ham ma tadang di~u ti~m c~n clia clia cac cl1c di6m \fin Ia i1(a) va /.l(a) co th6 xay dvng rhea cach ttiong dltcJng nhti san: la'y mQt dla ma U ba't ky tam t~i a (hay ba't ky mQt t~p ma U b! ch~n chua a) thl:

-I I

lln i1(a) = lim Il En,j - a

n~oo U

Trang do Il dti<;5cxac d!nh Ia rich tIeD ta't ca cac chI sO'j saG cho En,jE U Va

U

_

I [

lln 8ia) =n~oolim En,j - a

Co th6 nh~n tha'y ding vdi Qn(z) da dti<;5cchuftn boa thl:

i1(a) = lim IQn (a)1

n~oo

4 B6 d~ 2 (b6 d~ Kakehashi [4])

Cho mQt day s6thvc khang am {Xn}saG cho lim X~n = X, 0 < x < +00,

n~oo khi do tan t9-imQtday sO'th~tcdtiong {Yn}thoa man cac di~u ki~n san:

1 Yn = AnXn,trang do {An}Ia mQt day don di~u cac s6dltcJng saG cho limn~oo(An+l/An)= 1.

Thliy hlidng dOn: TS Le Ba Khanh Trinh Cae hili loan thllijn dao Clla x{{p xl Fade

2 Yn ;:::: Xn Vn E N, va Yn = Xn theo illQt day con nao do Ao=Ao( {Xn}) C N.

.

Day {Yn}voi cac tinh chit (i) va (ii) tren duQc gQi la day chinh quy hoa cua day {Xn}va dtiQcky hi~u Ia:

{Yn}=iR( {Xn}).