Ôn thi tốt nghiệp 12++

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ.. - Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu d

I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương

y ax = 4+ bx2+ c a , ( ≠ 0).

1.Tập xác định: D = R.

2 Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên:

- Đạo hàm y' = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b).

- Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số.

* Cực trị:

- Nếu qua x 0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-)

thì hàm số đạt cực đại tại x 0 ; y CĐ = y(x 0 ).

- Nếu qua x 0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+)

thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ;y CT = y(x 0 ).

* Giới hạn:

x

a

a

→±∞

+∞ >



* Bảng biến thiên:

3 Vẽ đồ thị:

- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ

trục toạ độ.

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng

lên hệ trục toạ độ.

* Lưu ý:

+) Khoảng phải chứa +∞, y’ luôn cùng dấu a

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=x4−2x2−3

Giải:

1 Tập xác định: D = ¡ (y= f x( )=x4−2x2−3)

2 Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên:y'=4x3−4x= 0 ⇔ x= ± 1 hoặc x = 0

⇒Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1;0)− và (1;+∞); hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (0;1).

* Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y CĐ =f(0)= –3

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm :

xCT = − ⇒ 1 y CT = f(− 1 )= – 4 và xCT = 1 ⇒ y CT = f(1 )= – 4

* Giới hạn: limx→−∞y= +∞ lim

→+∞ = +∞

* Bảng biến thiên:

•

3 Đồ thị:

Ta có:

3

x

x x

x

 = −

− − = ⇔ 

=



Đồ thị cắt Ox tại điểm:

( − 3;0) và ( 3;0) y(0)=-3 nên đồ thị cắt Oy tại điểm: (0;-3).

2 1

-1

-2 -3

-4

-6 -4 -2 -1 2 4 6

f x( ) = x 4 -2⋅x 2 -3

1

-3

2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức :

y ax b(ac 0)

cx d

+

1 Tập xác định: D = R x\{ }0 với 0 d

x c

= −

2 Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên: ( )2

ad cb y

cx d

−

′ =

- Nếu y' > 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (

0

; x

−∞ ) ,(x0 ; + ∞ ).

- Nếu y' < 0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

(−∞; x0),(x0;+ ∞).

* Cực trị: Hàm số không có cực trị.

* Giới hạn và tiệm cận:

- Tìm các giới hạn khi x→ ±∞ →,x ( )x0 ±

- Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = x0 làm tiệm

cận đứng và đường thẳng

y = a

c làm tiệm cận ngang.

* Bảng biến thiên:

3 Đồ thị

- Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ.

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các

điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục tọa độ.

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2 1

1

x x

−

−

1 Tập xác định: D = ¡ \{1}

2 Sự biến thiên của hàm số

* Chiều biến thiên: 2

1

( 1)

x

−

= < ∀ ∈

− Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ ;1) và (1; + ∞).

* Cực trị: Hàm số không có cực trị

* Giới hạn và tiệm cận:

lim 2

x

y

→+∞ =

; lim 2

x

y

→−∞ =

=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang

lim lim ; lim lim

=>Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng

PHẦN I : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2

- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1

- đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng.

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba y ax = 3 + bx 2 + + cx d a , ≠ 0

a) Các bước khảo sát :

1 Tập xác định: D = R.

2 Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên:

- Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

- Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số

* Cực trị:

- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì

hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y(x0)

- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì

hàm số đạt cực tiểu tại x0 ;yCT = y(x0)

* Giới hạn:

x

a

ax bx cx d

a

→+∞

+∞ >

 + + + = −∞ <



x

a

ax bx cx d

a

→−∞

−∞ >





* Bảng biến thiên:

3 Vẽ đồ thị:

- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ

trục toạ độ

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng

lên hệ trục toạ độ

b) Một số tính chất ( sử dụng cần chưa chứng minh)

* Điểm uốn là tâm đối xứng

* Điểm uốn là trung điểm của đọan thẳng nối điểm cực

đại và cực tiểu

* Đồ thì luôn cắt trục hoàn tại ít nhất một điểm và nhiều

nhất 3 điểm

* Nếu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có 1

điểm cực đại và cực tiểu , khi đó

Ví dụ:Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x 3 + 3x 2 +1

Giải:

1.Tập xác định: D = R.

2 Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên:

- Ta có : y’ = -3x2 + 6x y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Dấu y’ :

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

* Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 5 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1

* Giới hạn:

→−∞ = +∞ →+∞ = −∞

* Bảng biến thiên:

Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp

* Nếu y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số

không có cực trị

3 Vẽ đồ thị:

- Giao trục tung tại điểm (0;1)

- Đi qua điểm (-1;5), (3;1) +) Đồ thị hàm số nhận điểm (1; 3) làm tâm đối xứng

SƠ ĐỒ CHUNG VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Tập xác định.

Tìm TXĐ của hàm số.

2 Sự biến thiên.

* Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính y’

+ Tìm các điểm xi: f’(xi)=0 hoặc f’(xi) không xác

định

+ Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm

số

* Tìm cực trị

* Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực

suy ra tiệm cận (nếu có)

* Lập bảng biến thiên

(Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

3 Đồ thị:

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định

ở trên để vẽ đồ thị

Xác định thêm một số điểm đặc biệt khác

BÀI TẬP:

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

a)y = f x ( ) = + x3 3 x2− 4 ; b)y f x = ( ) = − + x3 3 x

c) y = f x ( ) = − x3 1 ; d) y f x = ( ) = − 2 x3+ 3 ; e)

3 3 2 4

y x = − x + ; f) y x= −3 3x2+9x+1

Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

a) 2 1

1

x y x

+

=

− ; b)

1

x y x

+

= + ; c)

1

y x

=

Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

( )

y = f x = x + x − ; b) y = f x ( ) = x4− 2 x2 ; c) y = f x ( ) = x4+ x2

Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

a) y = x2− 2 x + 3 ; b) 2 1

1

x y x

+

= +

c)

1

x

y e = +

; d) y sin( )

3

x π

với x∈[0;3π]

II.CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm trên đồ thị

PHƯƠNG PHÁP:

* Hàm số y = f(x) có đồ thị (C), điểm Mo(xo;yo) thuộc (C) Tiếp tuyến tại Mocó hệ số góc k=f’(xo)và có phương trình :

y – yo = f’(xo)(x – xo)

• Để viết phương trình tiếp tuyến trên cần xác định: xo , yo và f’(xo)

Ví dụ 1: Cho đường cong (C) y = x3

Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(-1 ; -1)

b.Tại điểm có hoành độ bằng –2

c.Tại điểm có tung độ bằng –8

Giải:

y = f(x) = x3 , f’(x) = 3x2 xác định trên R

a) Ta có A(-1 ; -1) thuộc (C)

xo = - 1 , yo = - 1 , f’(-1) = 3

Vậy tiếp tuyến : y + 1 = 3(x + 1)

hay y = 3x + 2

b)Ta có x0= -2⇒ yo= f( 2)− = −8 f '( 2) 12− =

⇒ Phương trình tiếp tuyến là :

y = 12(x+2) – 8 hay y =12x + 16

c)Ta có tung độ y0= –8

⇔ f(x0)= – 8 ⇔ 3

0

x = – 8 ⇔ x0= – 2

Ví dụ 3: Cho hàm số 2x 1

y

x 2

+

=

− (C) Viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị (C),biết hệ số góc của nó bằng -5

Giải:

* Tiếp tuyến tại điểm (xo; yo)

có hệ số góc bằng –5 khi chỉ khi :

0

5

5 (x 2)

− ⇔ x0 = 3 hay x0 = 1

* Với x0 = 3 ⇒ y0 =f (3) = 7 và y’(3) = –5 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 7= –5(x –3) hay y = –5x + 22

* Với x0 = 1⇒ y0(1) = -3 và y’(1) = –5 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 3 = -5(x – 1) hay y = -5x + 2

* Vậy có 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k = –5 là

⇒ f’(x0)=12

⇒ Phương trình tiếp tuyến là:

y = 12(x+2) – 8 hay y = 12x + 16

d1 : y = –5x + 22 và d2: y = -5x + 2

Ví dụ 3: Cho đường cong (C) y = x3 Viết phương trình

tiếp tuyến tại các điểm trên (C):

a) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = 3x + 1

b*)Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

(d) : 2x + 3y – 4 = 0

Giải:

Ta có : y = f(x) = x3 , f’(x) = 3x2 xác định trên R

a) Vì tiếp tuyến song song với y = 3x + 1

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

⇔f’(x0) = 3 ⇔ 3.x20 = 3 ⇔ x0 = ±1

Với xo=1 ⇒f(xo)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y

= 3(x –1) + 1 hay y = 3x – 2 ( thỏa nãn)

Với x0=-1 ⇒ f(x0)= –1 ⇒

Phương trình tiếp tuyến là:

y = 3(x +1) –1 hay y = 3x + 2 ( thỏa nãn)

Ví dụ 4 Cho hàm số y = 1 3

3x − x+ có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt

tia Ox và tia Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2OA

Giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến :

k= tanα = – OB

OA= – 2

Giả sử (xo;yo) là các tiếp điểm

⇒f’(xo) = xo – 2 = – 2 ⇔ xo = 0 ⇒ yo = f(0) = 3

Vậy tiếp tuyến : y – 3 = – 2(x – 0) hay y = –2x + 3

BÀI TẬP:

Bài 1:Cho hàm số y= f x( )= −2x3+3 (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A nằm trên (C) có hoành độ bằng -1

ĐS: y = − − 6 x 1

Bài 2:Cho hàm số y = f x ( ) = − x3 1.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox

ĐS: y=3x−3

Bài3 :Cho hàm số y = f x ( ) = x4− 2 x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm uốn

Bài 4 : Cho hàm số

4 4

y x

=

− (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3.

* Chú ý : Đường thẳng

d 1 : y = k 1 x + b 1 và d 2 : y = k 2 x + b 2

+) Song song khi { 1 2

=

≠

+) Vuông góc khi k k1 2 = − 1

* Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm (thuộc chương trình nâng cao).

• Theo CT nâng cao :

+) Hai hàm số y =f(x) và y =g(x) tiếp xúc nhau tại các điểm thỏa

mãn : { ( ) ( ) '( ) '( )

f x g x

f x g x

=

=

+) Đường thẳng y =kx + b là tiếp tuyến của đò thị hàm số y =f(x)

khi chỉ khi :{ ( ) x

'( )

=

Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp

Bài toán 2: Bài toán tương giao.

PHƯƠNG PHÁP:

* Cho hai hàm số y =f(x) có đồ thị (C1) và y =g(x) có đồ thị (C2) +) Phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = g(x) (1)

+) Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình (1) +) Khi đó các giao điểm (xo; f(xo) )

* Đường thẳng y = m ( y = k(m)) là đường thẳng song song trục hoành cắt trục tung tại điểm ( 0 ;m)

Dạng 1 Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiên) biện luận số nghiệm của phương trình

Ví dụ 1 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (C)

.Tìm toạ độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng

y = 4

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm :

x3 – 3x2 + 4 = 4

⇔ x3 – 3x2= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

+) Với x = 0 ⇒ Giao điểm (0 ;4)

+) Với x = 3 ⇒ Giao điểm (3 ;4)

Ví dụ 2 Tìm toạ độ các giao điểm của đồ thị hàm số

y = 2x3 + 3x2 (C)và hàm số y = 6x2 – 2x + 1 (P)

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm :

2x3 + 3x2 = 6x2 – 2x + 1

⇔ 2x3 – 3x2+ 2x – 1= 0

⇔ (x – 1)(2x2 – x + 1)

⇔ x = 1

+) Với xo = 1⇒yo = 6xo – 2xo + 1

⇒ Giao điểm (1 ;5)

Ví dụ 3 Cho hàm số: y = − + x3 3 x2 − 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b)Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phương trình: − + x3 3 x2− = 1 m

Hướng dẫn

b) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị y = − + x3 3 x2− 1 và y = m

Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:

>







=







3

* ¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

m < -1 3

* ph ¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

m = -1

* -1< m < 3: Ph ¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm

m

Ph m

Ví dụ 4 Cho hàm số 1 3 3 2 5

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình

x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Giải:

Ví dụ 5 a) Khảo sát đồ thị hàm số y x= +3 3x2−4

b) Biện luận số nghiệm phương trình:

sin3x - 2cos2x = m + 1 theo tham số m

Giải:

b) Đặt sinx = t

( − ≤ ≤ 1 t 1 )

Phương trình sin3x - 3cos2x = m + 1 trở thành :

t3 – 3(1 – t2) = m ⇔ t3 +3t2 – 4 = m Xét hàm số :

b) x3 – 6x2 + m = 0

⇔ 1 3 3 2 5 5

m

x − x + = +

Để phương trình có 3

nghiệm phân biệt thì

đường thẳng

y = 5

4

m+ cắt (C) tại 3

điểm phân biệt ,khi đó : y =f(t) = t

3 +3t2–4 trên [ − 1;1 ]

* Dựa vào đồ thị hàm số y x= +3 3x2−4 Ta có đồ thị hàm số y =f(t) (nét liên trên hình )

* Vậy + Với m<- 4 hoặc m>1 phương trình vô nghiệm +Với m <- 4 hoặc -2<m<0 phương trình có một nghiệm + Với - 4<m<-2 phương trình có hai nghiệm

4

m

− < + < ⇔ − < +12 m 20 20<

⇔ − < <32 m 0

Vậy với m (∈ −32 0; ) thì phương trình có 3 nghiệm

thực phân biệt

Dạng 2 Dựa vào tính chất phương trình biện luận số giao điểm của hai đồ thị.

Ví dụ 1 Xác định m để hàm số 2 1

1

mx y x

−

= + (Cm) cắt đường thẳng y = x + m tại 2 điểm phân biệt

Giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm :

2 1

1

mx

x

−

+ = x + m

⇔ x2+ (1 – m)x +m +1 = 0 (1) với x ≠ -1

*Để hàm số (Cm) cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt

thì (1) có 2 nghiệm khác -1 ,khi đó :

1 0 0

( 1) 0

2

a

m m f

≠

≠

− + + + ≠

⇔

− ≠



1 2

m

≠ −

⇔

− − >







1 2

3 2 3

3 2 3

m m m

≠ −

> +













( ; 3 2 3) (3 2 3; )

m

*Vậy m∈ −∞ −( ; 3 2 3) (∪ +3 2 3;+∞)thì(Cm) cắt

đường thẳng tại 2 điểm phân biệt

Ví dụ 2 Xác định m để hàm số 1 4 3 2 5

y = mx − x + (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm :

4 2

4mx −2x + = ⇔ mx4− 6 x2+ 20 0 = (1)

* Đặt x2 = t , Phương trình (1) trở thành : ⇔ mt2− + 6 t 20 0 = (2)

*Để hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì (1) có

4 nghiệm phân biệt ,suy ra (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ,khi đó :

0

9 ' 0 9 20 0

0 9

20

0 20 / 0

m m

m

>

∆ > − >

0;

20

∈  ÷ thì(Cm) trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Ví dụ 3 Xác định m để parabol y = x2 – 2mx + 1+m2

cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt A và

B nằm về cùng một phía với trục hoành

Giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm :

x2 – 2mx + 1+ m2 = 2x + 1

⇔ x2 – 2(m+1)x + m2 = 0 (*)

* Để parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì

phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt , khi đó :

∆

’> 0 ⇔(m +1)2 – m2 > 0 ⇔ 2m + 1 > 0

1 2

m

⇔ > −

* Giả sử x1 và x2 là hai nhiệm của (*),

khi đó

2

1 2

x x m

x x m

=





 A(x1 ;y1)với y1 = 2x1+1 và B(x2 ;y2)với y2 = 2x2 + 1

* Vì A và B nằm về cùng một phía với trục hoành

⇒y1.y2 > 0 ⇔ (2x1 + 1)( 2x2 + 1) > 0

⇔ 4 x1 x2 + 2(x1 + x2 ) + 1 > 0

⇔ 4m2 + 2(2m + 2) + 1 > 0

⇔ 4m2 + 4m + 5 > 0 ( luôn đúng )

* Vậy 1

2

m> − thỏa mãn bài toán

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số y= f x( )= +x3 3x2−4 a) khảo sát hàm số

b) Biện luận số nghiệm phương trình x3+3x2+ =m 0 tuỳ theo giá trị của tham số m

Bài 2: Cho hàm số ( ) 1 4 2 3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình 4 2

x + x + = m tuỳ theo giá trị của tham số m

Bài 3: Xác định m để hàm số y mx= 3+2x2+ −1 2m.cắt đường thẳng y = 3x –m tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn

x +x +x =

Bài 4: Bài 5: Cho hàm số ( ) 2 1

1

x

x

+

− .Tìm các giá trị m để

đường thẳng y mx = + 2 cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt (ĐS: m < -12 hoặc m > 0)

*Định lý về dấu tam thức bậc hai : f(x) = ax2 + bx + c (a ≠0)

2 4 , ' '2 , '

2

b

b ac b ac b

* ) Nếu ∆< 0(∆’< 0) thì a.f(x) >0 với x R∀ ∈

* ) Nếu ∆

= 0(∆

’= 0) thì a.f(x) >0 với 2

b x a

−

∀ ≠

* ) Nếu ∆> 0(∆’= 0) , tam thức có hai nghiệm (x1<x2) a.f(x) >0 khi

2 1

x x

x x

>

<



 (hay x ∈ −∞( ;x1) (∪ x2; +∞) a.f(x) <0 khi x1< < x x2 (hay x ∈ ( x x1 2; ) )

Dạng 3 Biến đổi đồ thị trong bài toán tương giao.

Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp

Bài toỏn 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1 Tỡm cực trị của hàm số.

Phương phỏp: Dựa vào 2 qui tắc để tỡm cực trị của hàm số y = f(x)

Qui tắc I.

B1: Tỡm tập xỏc định

B2: Tớnh f’(x) Tỡm cỏc điểm tại điểm f’(x) = 0 hoặc f’(x)

khụng xỏc định

B3 Lập bảng biến thiờn

B4: Từ bảng biến thiờn suy ra cỏc cực trị

Qui tắc II.

B1: Tỡm tập xỏc định

B2: Giải phương trỡnh f’(x) = 0, tỡm cỏc nghiệm xi B3: Tớnh f ”(xi)

B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị + f ”(xi) > 0 thỡ hàm số cĩ cực tiểu tại xi; + f ”(xi) < 0 thỡ hàm số cĩ cực đại tại xi)

•Chỳ ý: Qui tắc 2 thường dựng với hàm số lượng giỏc hoặc việc giải phương trỡnh f’(x) = 0 phức tạp.

Vớ dụ 1 Tỡm cực trị của hàm số 3 2

y= x + x − x−

Giải:

Cỏch 1 (Qui tắcI )

* Tập xỏc định : D = R

* Ta cú:

2

2

2

3

x

x

= + −

=



= ⇔ + − = ⇔  = −

* Bảng biến thiờn

Vậy x =-3 là điểm cực đại và ycđ =71

x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54

Cỏch 1 (Qui tắc II)

* Tập xỏc định : D = R

* Ta cú:

2

2

2

3

x

x

=



* y”= 12x + 6

* Mặt khỏc : y’’(2) = 30 > 0 nờn hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và

yct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nờn hàm số đạt cực đại tại x = -3 và

ycđ =71

Bài tập: Tỡm cực trị của cỏc hàm số sau:

) y = 10 + 15x + 6x ; b) y = x 8 432 ; c) y = x 4 - x ; d) y = ; e) y =

+

π

∈

f) y = x - sin2x + 2 ; g) y = 3 - 2cosx - cos2x ; h) y = 2sinx + cos2x với x [0; ]

Dạng 2 Xỏc lập hàm số khi biết cực trị

Phương phỏp: Để tỡm điều kiện sao cho hàm

số y = f(x) đạt cực trị tại x = a

* B1: Tớnh y’ = f’(x)

* B2: Giải phương trỡnh f’(a) = 0 tỡm được m

* B3: Thử lại giỏ trị a thoả món điều kiện đó

nờu ( vỡ hàm số đạt cực trị tại a thỡ

f’(a) = 0 khụng kể CĐ hay CT)

Vớ dụ 1 Tỡm m để hàm số y = x3 –3mx2 +(m -1)x +2 đạt cực tiểu tại x = 2

Giải:

2

y = x − mx m+ − Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thỡ y’(2) = 0

3.(2) 6 2m m 1 0 m 1

Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 cĩ :

2

x

y x x y

x

=



= − ⇒ = ⇔  = tại x = 2 hàm số đạt giỏ trịcực tiểu Vậy m = 1 là giỏ trị cần tỡm

Bài 1 Xỏc định m để hàm số y mx= 3+3x2+5x+2 đạt cực đại tại x = 2

Bài 2 Tỡm m để hàm số 3 2 2

( ) 5 có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm số có CĐ hay CT 3

y x= −mx + m− x+

Bài 3 Tỡm m để hàm số y x = 3− 2 mx2+ m x2 − 2 đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 4 Tỡm cỏc hệ số a, b, c sao cho hàm số: f x ( ) = x3+ ax2 + bx c + đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2

Dạng 3 Tỡm m để hàm số cú cực trị và cực trị thoả món một tớnh chất nào đú.’

B1: Tỡm m để hàm số cú cực trị

B2: Vận dụng cỏc kiến thức khỏc Chỳ ý:

* Hàm số y = ax3+ bx2+ + cx d a ( ≠ 0) cú cực trị

khi và chỉ khi phương trỡnh y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt.

* Cực trị của hàm phõn thức = ( )

( )

p x y

Q x Giả sử x0 là điểm cực

trị của y, thỡ giỏ trị của y(x 0 ) cú thể được tớnh bằng hai cỏch: hoặc

( 0) hoặc y(x )0

( 0) '( 0)

y x

Vớ dụ Xỏc định m để cỏc hàm số sau cú cực đại và cực tiểu

+

2

3 2

)y = ( 6) 1 ; )y =

x

Hướng dẫn

a TXĐ: R

= 2 + + +

Để hàm số cú cực trị thỡ phương trỡnh:

2 2 6 0 có 2 nghiệm phân biệt

x + mx m+ + =

>



⇔ ∆ = 2− − > ⇔  < − 3

2

m

m

b TXĐ: Ă \ { } − 2

=

2

'

àm số có cực đại, cực tiểu khi ' 0 ó hai nghiệm phân biệt

4 4 4 0 ó hai nghiệm phân biệt khác -2

0

y

m

m

Bài 1 Tỡm m để hàm số

= 3 − 3 2 + 2 Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT?

y x mx

Bài 2 Cho hàm số y = 2 x3+ − ã2 12 x − 13 Tỡm a để hàm

số cú cực đại, cực tiểu và cỏc điểm cực tiểu của đồ thị cỏch đều

trục tung.

Bài 3 Hàm số = 3 − 2( + 1) 2 + 4 − 1

3

m

y x m x mx Tỡm m để hàm số

cú cực đại cực tiểu.

Bài 4 Cho hàm số = + − −

+

2

x mx m y

x Xỏc định m để hàm số

cú cực đại và cực tiểu.

Bài toỏn 6: Điểm co

Vớ dụ 1: Cho hàm số 3x 1

y

x 1

−

= + cú đồ thị (H) Tỡm cỏc điểm trờn (H) cú toạ độ là cỏc số nguyờn.

Giải :

Ta cú 3x 1 4

−

+ + Điểm M(xo;yo) ∈ (H) với x, y thuộc Z

4 Z

x 1

+ ⇒ x + 1 là ước số của 4

 + = −  = −

 + =  =

⇒ ⇒ + = − = −

 + =  =

+ = − = −

Vậy trờn (H) cú 6 điểm cú tọa độ là cỏc số nguyờn : (0;-1), (–2;7), (1;1), (–3;5), (3;2), (–5;4)

Tài liệu lưu hành nội bộ “ễn tập mụn Toỏn cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp

Bài toán 7 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

PHƯƠNG PHÁP:

Cách 1: (Áp dụng chung)

- Lập bảng biến thiên của f x ( )trên D

- Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN

Cách 2: (Nếu f x ( )liên tục trên D = [a;b])

- Tìm các điểmx x1, , ,2 … xntrên khoảng (a;b)

mà tại đó f x,( ) bằng 0 hoặc f x,( )không tồn

tại

- Tínhf a f x ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )1 f x2 … f xn f b

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các

số trên

-Ta có min ( )[ ; ] , max ( )[ ; ]

Cách 3: (Dùng tính chất bất đẳng thức)

m ≤ f x ( ) ≤ Mvà

có f(x1) = m,f(x2) = M với x1∈D, x2∈D,

Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

1

y x

x

= + trên khoảng (0; +∞ )

Giải(C1)

* Xét hàm số y = f x ( ) = + x 1

x trên D =(0; +∞ )

* Ta có:

2

2

−

Ta có lim ( )0

* Bảng biến thiên

* Vậy ( )

(0; )

minf x 2

x∈ +∞

= khi x = 1 Hàm số không có giá trị lớn nhất

Ví dụ2:Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm

số f (x) x = 2 − ln(1 2x) − trên đoạn [-2; 0]

Giải(C2):

* Xét hàm số f (x) x = 2 − ln(1 2x) − trên D = [-2;0]

* Ta có : f’(x) = 2x + 2 4x2 2x 2

− + +

=

f’(x) =0 ⇔ x = 1(loại) hay x =−12 (nhận);

* Vì f(x) liên tục trên [-2; 0] , mà

f(x) 4 – ln5 0 1 ln 2

4−

* Vậy : max f (x) 4 ln 5 [ 2;0]

− = − khi x = – 2

[ 2;0]min f (x) 1 ln 2

4

− = − khi x = −12

Ví dụ3:Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

( ) cos sin

Giải(C3):

* f x( ) cos= 4x+sin4x

= (cos2x + sin2x )2 – 2sin2x cos2x = 1 – 12sin22x

Ta có 0 ≤ sin22x ≤ 1 ⇔ 0 ≥ –12sin22x ≥ – 12 ⇔ 1 ≥ 1 – 1

2sin22x ≥ 1

2 2

sin 2x 1

min ( )

= ⇔ = +

=

2

sin 2 max ( ) 1 x=0

2

*LƯU Ý :

* Mổi phương pháp đều hiệu quả với từng bài toán khác

nhau do đó phải căn cứ vào điều kiện từng bài toán cụ thể ,

ở góc độ thi tốt nghiệp các em nên quan tâm nhiều tới

cách 1 là chủ yếu.

* Có thể sở dụng đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn (áp

dụng cho các bài toán khó).

Ví dụ 4:Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y = sin3x+ sinx + cos2x

Giải:

*LƯU Ý :

* Mổi phương pháp đều hiệu quả với từng bài toán khác

nhau do đó phải căn cứ vào điều kiện từng bài toán cụ thể ,

ở góc độ thi tốt nghiệp các em nên quan tâm nhiều tới

cách 1 và cách 2

* Có thể sở dụng đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn

Bài 1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) các hàm số

3

) f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4]

b) f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]

c) f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]

d) f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]

x x

e) y= 3x+2cosx trên 0;

2

π

 ;

f) 2 1

1

x y

x x

+

=

− + ; j) y x = + 4 − x2

g) y = cos 22 x − sin cos x x + 4 ; l)y c= os4x+sin6x

h) y= −(3 x) x2+1 trên đoạn [0;2] ;

i ) f x ( ) = 3 x3− 2 x2− 5 x + 1 trên [ ] 0;3 ; k) ( )

x x

e

f x

e e

= + trên đoạn [ ln 2 ; ln 4] ; m) f x ( ) ln( = x + 5 + x2)trên đoạn [-2;2]

+∞

+∞

0

2

+

-y y'

+∞

1 0

x

Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp