Đặt vấn đề Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy ngh
Trang 1Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG TỐT BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1 Đặt vấn đề
Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn nại không nản lòng khi gặp khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công nghiệp, vận dụng được các kiến thức
đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo là người công dân tốt sống có
kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng
Trong trường phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các em tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, không những thế nó còn hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các bạn …” (Phạm Văn Đồng)
Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí tuệ” Để nắm được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán … từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo
Đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới học sinh còn phải có kỹ năng vận dụng các lớp dưới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8 Nó theo suốt quãng đường học tập của các em Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các
em thực hiện giải toán được nhanh hơn và chính xác Và cũng nhờ nó mà các em
có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý
Trang 2Để học sinh nắm được bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đòi hỏi học sinh phải thấy được cơ sở xây dựng nên bảy hằng đẳng thức Thấy được ứng dụng thực tế của bảy hằng đẳng thức vào giải toán như thế nào? Có như vậy các em mới có động lực trong học tập
Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ
đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức
Trang 3II Giải quyết vấn đề
1 Cơ sở lý luận của vấn đề
- Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên"
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng t cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng
đã nêu : "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trng môn học, đặc điểm đối tợng học sinh, điều kiện của từng
đối tợng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dỡng cho học sinh phơng pháp
tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh"
- Quan điểm dạy học : là những định hớng tổng thể cho các hành động
ph-ơng pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng nh những định hớng về vai trò của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học Quan điểm dạy học là những định hớng mang tính chiến lợc, cơng lĩnh, là mô hình lý thuyết của phơng pháp dạy học Những quan điểm dạy học cơ bản : dạy học giải thích minh hoạ, dạy học gắn với kinh nghiệm, dạy học kế thừa, dạy học định hớng học sinh, dạy học định hớng hành động, giao tiếp; dạy học nghiên cứu, dạy học khám phá, dạy học mở
- Phơng pháp dạy học tích cực :
Việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới đồng bộ từ mục tiêu, nội dung, phơng pháp, phơng thức dạy học đến cách thức đánh giá kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới phơng pháp dạy học
Mục đích của việc đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng phổ thông là thay
đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo phơng pháp dạy học tích cực, nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện luện tập khai thác và sử lý thông tin… Học sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất Tổ hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lý Chú trọng hình thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phơng pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tơng lai Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân học sinh và cho sự phát triển xã hội
Trang 4Phơng pháp dạy học tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động Phơng pháp dạy học tích cực hớng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh, nghĩa là hớng vào phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học chứ không chỉ hớng vào phát huy tính tích cực của ngời dạy
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của học sinh cũng ảnh hởng đến cách dạy của thầy Mặt khác, cũng có trờng hợp học sinh mong muốn đợc học theo Phơng pháp dạy học tích cực nhng giáo viên cha đáp ứng đợc Do vậy, giáo viên cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách dạy theo Phơng pháp dạy học tích cực,
tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh Trong đổi mới phơng pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả
Ph-ơng pháp dạy học tích cực hàm chứa cả phPh-ơng pháp dạy và phPh-ơng pháp học
* Đặc trng của phơng pháp dạy học tích cực :
a) Dạy học tăng cờng phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phơng pháp và phát huy năng lực tự học của HS
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá
e) Tăng cờng khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ giáo viên
- Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục “Đào tạo con ngời phát triển toàn diện” căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2006 - 2007 và nhiệm vụ đầu năm học 2007 -2008 là tiếp tục đổi mới chơng trình SGK, nội dung phơng pháp giáo dục ở tất cả các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản
lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lợng, đồng bộ
về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạo…Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục
2 Thực trạng của vấn đề
Qua cỏc tiết luyện tập cũng như trong quỏ trỡnh học và làm bài của cỏc em cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức đỏng nhớ của cỏc em cũn mơ hồ, lẫn lộn giữa hằng đẳng thức này với hằng đẳng thức kia
Trong quỏ trỡnh làm bài tập học sinh chưa biết dự đoỏn, nhận dạng mà chủ yếu
là giỏo viờn phải hướng dẫn cỏc em bằng những cõu hỏi gợi mở dẫn dắt gần như làm sẵn
Qua bài kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng cỏc hằng đẳng thức vào giải toỏn cũn chậm, chưa linh hoạt hoặc cú sử dụng thỡ cũn nhầm lẫn giữa cỏc hằng đẳng thức với nhau
Trong bài kiểm tra vừa qua cho thấy với một bài tập rỳt gọn:
Trang 5( x− 2) (x+ 2)+(x2 − 5x+ 4) − 2x2
Khi làm bài nhiều em không biết vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
để viết: (x–2)(x+2)=x2–22 mà các em lại thực hiện theo quy tắc nhân đa thức với
đa thức vừa dài dòng và hay sai sót còn đối với đa thức x2–5x+4 thì các em lại phân tích để đưa về dạng hiệu hai bình phương
Hay bài tính (x+2)(x2+1) thay vì các em phải thực hiện nhân đa thức với đa thức thì các em lại ngộ nhận x2+1 là hằng đẳng thức Việc không tìm ra kết quả dẫn đến các em hoang mang, chán nản
Thực tế như trên cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức và vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng túng nên kết quả bài làm còn thấp
Với thực trạng như trên để giúp các em nắm vững và vận dụng tốt các hằng đẳng thức vào giải bài tập cần có các giải pháp như sau
3 Các giải pháp
Với những thực trạng nêu trên, tôi xin đưa ra một số giải pháp sau:
– Việc đầu tiên để các em nắm vững được bảy hằng đẳng thức là giáo viên phải làm cho học sinh thấy được cơ sở để dẫn đến các hằng đẳng thức Các em thấy được sự tiện lợi của các hằng đẳng thức đó trong giải toán
– Đối với hai hằng đẳng thức bình phương một tổng và bình phương một hiệu
nó đều có hạng tử giống nhau chỉ khác nhau về dấu của hạng tử thứ hai, nếu là bình phương một tổng thì tất cả các hạng tử đều mạng dấu cộng còn bình phương một hiệu thì hạng tử thứ hai mang dấu trừ các hạng tử còn lại mang dấu cộng Nên sử dụng các dạng bài tập như điền khuyết, trắc nghiệm đúng sai đề các em có thể củng cố và khắc sâu kiến thức
Ví dụ:
a/ Điền vào chỗ trống để được hằng đẳng thức đúng:
A2+…… +B2= (…+B)2
… – 2AB+B2= (A - B)2
A2… 2AB+B2= (…–…)2
b/ Đánh chữ đúng (Đ) sai (S) vào sau mỗi câu sau
+ Bình phương một tổng bằng tổng hai bình phương
Trang 6+ Bình phương một hiệu bằng hiệu hai bình phương.
+ Tích (a+b)(a+b) là bình phương một tổng
+ Tích (a+b)(a–b) là hiệu hai bình phương
+ Tích (a–b)(a–b) là bình phương một hiệu
Trong khi giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhận dạng khi nào thì có thể sử dụng hai hằng đẳng thức này, đó là các đa thức chỉ chứa ba hạng tử hoặc dùng cách nhóm để trong một nhóm có ba hạng tử thì có thể sử dụng hằng đẳng thức này Khi đó phải xét xem có hạng tử nào có dạng A2, B2 hay không nếu có phải xác định được A2=?; B2=?, từ đó mới phân tích xem hạng tử còn lại
có ở dạng 2AB hay không? Đối với hằng đẳng thức hiệu hai bình phương học sinh phải nắm vững dạng của nó, nếu ta có A2 mà có –B2 thì đó là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2–4xy+y2.Giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm A2=4x2=(2x)2; B2=y2 và sau đó các em phải phân tích –4xy= – 2.2x.y Từ đó các em mới vận dụng thì kết quả tìm được là đúng
Chẳng hạn đa thức x2+2x+4 nhiều em sẽ ngộ nhận đó là hằng đẳng thức bình phương một tổng vì A2=x2; B2=4=22 nhưng ta thấy 2x không có dạng 2AB nên khi các em làm bài hay vấp phải sai lầm như trên
– Có khi muốn vận dụng các em phải biết cách nhóm phù hợp
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x2–9y2–16+24y nhiều em sẽ nhóm hai hạng tử đầu để có hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hai hạng tử sau để đặt nhân tử chung Nhưng nếu các em làm như vậy thì không có kết quả Đối với bài toán này các em phải biết thay đổi vị trí và nhóm thích hợp như sau: 4x2–9y2–16+24y =4x2–9y2+24y–16
=4x2–(9y2–24y+16)
=(2x)2–(3y–4)2
=(2x–3y+4)(2x+3y–4)
Hay khi phân tích đa thức 2xy–x2–y2+16 thành nhân tử Đa số là các em lúng túng không biết nhóm như thế nào cho phù hợp có em sẽ thực hiện như sau: 2xy–x2–y2+16 =(2xy–x2)–(y2–16)
=x(2y–x)–(y+4)(y–4)
Trang 7Đến bước này thì các em không thể làm tiếp được nữa Đối với bài tập này ngoài việc nhóm các hạng tử, các em phải biết giao hoán các hạng tử và khi nhóm thì phải đặt dấu trừ đằng trước dấu ngoặc thì mới xuất hiện dạng hằng đẳng thức Do đó, đòi hỏi các em phải biết suy luận biến đổi 2xy–x2–y2+16=16– (x2–2xy+y2) Nếu các em làm được bước này thì coi như các em đã nắm và vận dụng được kiến thức về hằng đẳng thức bình phương một hiệu Tiếp theo bước này thì học sinh phải nhận ra dạng hằng đẳng thức tiếp theo 16–(x–y)2 là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với A2=16 A=4; B2=(x–y)2 B=x–y Từ đó các em có thể phân tích tiếp 16–(x–y)2 = 42–(x–y)2
=[4–(x–y)][4+(x–y)]
=(4–x+y)(4+x–y)
Đến đây mới là kết quả phân tích của bài toán
Để làm được điều này đối với học sinh khá giỏi thì cũng là một vấn đề đơn giản nhưng đối với học sinh trung bình trở xuống thì các em không dễ gì nhìn ra được, do đó giáo viên phải lấy nhiều bài tập tương tự để các em luyện tập,từ đó các em gặp phải các dạng tương tự các em sẽ biết phân tích lập luận để tìm ra hướng giải quyết Một điều các em thường vấp phải trong khi làm bài, các em thường nhầm lẫn giữa bình phương một hiệu và hiệu hai bình phương, lập phương một tổng (hiệu) với tổng (hiệu) hai lập phương do đó khi hướng dẫn giáo viên phải cho học sinh nhắc lại
Ví dụ: Tính nhanh 1012
Nhiều em sẽ thực hiện như sau: 1012 = (100+1)2=1002+12
=10000+1
=10001
Khi sửa bài giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh thấy rõ là (100+1)2 =1002+12
– Với hai hằng đẳng thức lập phương một tổng và lập phương một hiệu giáo viên cũng cần hướng dẫn cho các em trong những trường hợp nào thì sử dụng chẳng hạn phân tích những hằng đẳng thức có bốn hạng tử ta có thể liên tưởng đến một trong hai hằng đẳng thức này Nếu đa thức có tất cả bốn hạng tử mang dấu cộng thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức lập phương một tổng còn nếu có
cả dấu cộng và dấu trừ thì chỉ có thể rơi vào hằng đẳng thức lập phương một hiệu Giữa hai hằng đẳng thức này giáo viên cũng cần hướng dẫn cho học sinh cách nhớ là các hạng tử giống nhau nhưng đối với lập phương một hiệu thì dấu cộng, trừ xen kẽ nhau
Trang 8Do đó khi vận dụng phải xác định đâu là biểu thức A3, đâu là biểu thức B3
sau đó suy ra A và B từ đó mới phân tích xem có hạng tử 3A2B; 3AB2 hay không?
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 8x3+36x2+54x+27
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm
A3=8x3=(2x)3; A=2x;
B3=27=33; B=3
Từ đó phân tích 36x2=3.(2x)2.3=3A2B
54x=3.2x.32=3AB2
Tất cả các hạng tử đều mang dấu cộng như vậy sẽ là hằng đẳng thức lập phương một tổng
Hoặc phân tích đa thức –x3+9x2–27x+27 mặc dù đa thức có bốn hạng tử
và bậc cao nhất của hạng tử là bậc ba nhưng trong trường hợp này ta ta thấy dấu của các hạng tử không trùng hợp với dấu của hằng đẳng thức nào cả vậy thì câu hỏi đặt ra là ta làm như thế nào để đưa được về hằng đẳng thức lập phương một hiệu, rõ ràng ở đây chỉ có thể đưa về hằng đẳng thức lập phương một hiệu vì có hạng tử mang dấu trừ Lúc này giáo viên hướng dẫn học sinh cách đưa dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc và sau đó tìm A3=? để suy ra A; B3=? để suy ra B và tìm xem
có hạng tử –3A2B và 3AB2 hay không? Rồi mới yêu cầu học sinh trình bày lời giải Khi đó lời giải cụ thể là: –x3+9x2–27x+27 = –(x3–9x2+27x–27)
= –(x3–3.x2.3+3.x.32–33)
= –(x–3)3
– Còn đối với hai hằng đẳng thức: Tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương (A3 ±B3)=(A B A± ) ( 2 mAB B+ 2) thì giáo viên cũng cần phải làm rõ để học sinh nhìn thấy những điểm giống nhau và khác nhau của hai đa thức này Để từ
đó khi gặp các bài tập các em sẽ vận dụng không bị nhầm lẫn
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8x3 + 27 các em phải xác định được A3=8x3; B3=27 từ đó các em mới tìm ra A=2x; B =3 và vận dụng được hằng đẳng thức A3+B3
– Phân tích một đa thức thành nhân tử dùng hằng đẳng thức là một phương pháp đòi hỏi các em phải nắm chắc được các hằng đẳng thức
4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trang 9Sau khi tôi áp dụng các biện pháp khắc phục ở một số lỗi cơ bản của các em học sinh, tôi thấy các em đã bước đầu hạn chế được sai lầm
Chẳng hạn như: Phân tích đa thức thành nhân tử
x2 + 4x−y2 + 4
Lúc này các em đã biết nhóm (x2 + 4x+ − 4) y2
( )2 2
2
⇔(x+ + 2 y x) ( + − 2 y)
Tuy nhiên, do nhận thức của học sinh không đồng đều nên một số học sinh vẫn còn phân tích như sau:
x x y
+ − +
Đến đây các em không tiếp tục phân tích đa thức x2 + 4x y− 2 + 4 thành nhân tử được Có em làm lại theo hướng khác nhưng có những em lại nản chí khi gặp phải trường hợp này
IV Kết luận và kiến nghị
1 Kết luận:
Theo chủ quan của bản thân có thể những giải pháp trên các đồng nghiệp cũng đã sử dụng nhưng tôi xin mạnh dạn viết lại để chúng ta cùng thảo luận và tìm ra những giải pháp có tính khả thi và đạt hiệu quả cao hơn giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt bảy hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân
tử một cách linh hoạt, sáng tạo và không nhầm lẫn Trong qua trình vận dụng rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp
Trang 102 Kiến nghị:
Tôi hi vọng các đồng nghiệp và BGH nhà trường, đóng góp cho sáng kiến kinh nghiệm của tôi, để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn
Tài liệu tham khảo
SGK, SBT Toán 8 Tập 1 Tôn Thân( chủ biên),