Giai on tap ham so phan thuc

Có 6 điểm thuộc đồ thị C có tọa nguyên 2 Viết phương trình tiếp tuyến của C, tiếp tuyến đi qua K6;5 + Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua K... Chứng minh M là trung điểm PQ... 10 V

Giải 13 câu ôn tập hàm số phan thức : Cho hàm số y = x 2



 ; đồ thị (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên Tìm các điểm trên (C) có tọa độ nguyên

TXD : D= R\{2}

+ Tiệm cận:

vì

x lim (2)







 = + ;

x lim (2)





x 2



 = => x =2 là tiệm cận đứng

vì

x lim  x 2 x 2   = x lim  2 1 x 2 1 x   =1 => y =1 là tiệm cận ngang

+ Đạo hàm y’= 4 2 (x 2)   < 0 ,  x D Hàm số nghịch biến trên (∞;2) ; (2;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 2 +∞

y’  

y 1 +∞

∞ 1

+ Đồ thị : Đồ thị cắt Ox tại A(2;0)

Đồ thị cắt trục Oy tại M(0;1)

Nhận I(2;1) làm tâm đối xứng

+ Viết lại : y= 1+ 4

x2 Điểm M(x;y)  (C) có tọa độ nguyên

=> 4

x2 là số nguyên

Các trường hợp xảy ra :

 x2=1 => x=3 ; y= 5 Điểm M1(3;5)

 x2=1 => x= 1 ; y=3 Điểm M2(1;3)

 x2=2 => x=4 ; y=3 Điểm M3(4;3)

 x2=2 => x=0 ; y=1 Điểm M4(0;1)

 x2=4 => x=6; y=2 Điểm M5(6;2)

 x2=4 => x=2; y=0 Điểm M6(2;0)

y=1

3

x

y

O 2

1

2

4

Có 6 điểm thuộc đồ thị (C) có tọa nguyên

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C),

tiếp tuyến đi qua K(6;5)

+ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua K

Phương trình : y= k(x+6)+5 (d)

+ Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) <=>

2

k(x 6) 5 (1)

x 2 4

k (2) (x 2)





 





 Thay (2) vào (1) ta có : x 2





 (x+6) +5 ( đk x≠ 2)

<=> x24 =4(x+6)+5(x2)2 <=> x2 4 = 4x 24+5x2 20x +20

<=> 4x224x=0 <=> x = 0  x=6

Khi x=0 thì k = 1 và khi x=6 thì k= 1

4 Có hai tiếp tuyến qua K là :  y =(x+6)+5 <=> y= x1

 y=1

4(x+6)+5 <=> y= 1

4x+7 2 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3

=> hệ số góc của tiếp tuyến k= 4

+ Giải pt : y’=4 <=> 4 2



 =4 <=>(x2)2 =1 <=>x=1  x=3

=> hai điểm tương ứng : M1(1;3) ; M2(3;5)

Suy ra có 2 tiếp tuyến thỏa đk đề bài : y= 4(x1)3

 y= 4(x3)+5

4) Cho  : y= x3m Chứng minh rằng  luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B Tìm m để AB ngắn nhất

+ Phương trình hoành độ giao điểm : x 2



 =x3m (*) Điều kiện : x≠ 2

Pt (*) <=> x+2 = (x3m)(x2) <=> x2 (3m+3).x +6m2=0 (1)

Ta có  = (3m+3)2 4(6m2) =9m2 +18m +924m+8=9m26m+17

=(3m1)2 +16 > 0 , m

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

 Giả sử hai nghiệm là x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt(1)

định lý Viét : 1 2







và A(x1; x13m) ; B(x2; x23m)

(x x ) (x 3m x 3m) = 2

2(x x )

2(x x ) 8x x = 2 3m 3  28 6m 2  

2 (3m 1)  16

ABmin = 32 khi 3m1 =0 <=> m =1

3 5) Chứng minh : 2y” +y.y’y’= 0

+ Đạo hàm cấp 1: y’= 4 2

(x2)

Đạo hàm cấp hai : y”= 8 3

(x2)

Ta có VT =2 8 3

(x2) +x 2

x 2



4 (x2)

= 16 3

(x2) + 4(x 2) 4(x3 2)

VT = VP ( đpcm)

6) Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0)  (C) , cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm P, Q Chứng minh M là trung điểm PQ

+ Đạo hàm y’= 4 2

(x2) Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0)  (C) có dạng là :

0

4 (x 2) (xx0) + 0

0



 ( x0  2) + Tiếp tuyến cắt TCĐ : x=2

=> yP = 2

0

4 (x 2) (2x0) + 0

0



0

4

x 2+ 0

0



0



 và điểm P(2;x0 6



 )

+Tiếp tuyến cắt TCN : y=1

0

4 (x 2) (xQx0) + 0

0





<=> 2

0

4

(x 2) xQ = 0

2 0

4x (x 2) + 0

0



 1

<=>4xQ = 4x0 + 2

0

x 4 ( 2

0

x 4x0 +4) <=>xQ = 2x0 2 Vậy Q(2x0 2;1)

Mà : x P x Q

2



=2 2x 0 2 2

=x0

y P y Q

2



=

0

0

1

2







0

2(x 2)



0



 Suy ra M là trung điểm của PQ

7) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho MN ngắn nhất

+ Viết lại hàm số y= 1+ 4

x2 Hai nhánh của đồ thị ngăn cách bởi tiệm cận đứng x =2

+ Gọi M thuộc nhánh phải M(2+a; 1+4

a ) ,

N thuộc nhánh trái N(2b;14

b) với a, b > 0 Độ dài MN= (2 b 2 a)2 (1 4 1 4)2

MN= a2 b2 2ab 162 162 32

ab

     = (a2 162) (b2 162) (2ab 32)

ab

 2 a 2 162 2 b 2 162 2 2ab.32

ab

MNmin = 32 khi

2 2

2 2

16 a a 16 b b 32 2ab ab

























 a=b=2

Vậy M(4;3) và N(0 ;1)

8) Tìm các điểm trên đồ thị (C) cách đều hai trục tọa độ

+ điểm M(x;y)  (C) cách đều hai trục tọa độ

tức là : d(M;Ox) = d(M;Oy) <=> yM = xM <=> x 2



<=>

x

x







 





 



<=>

2 2





<=>

2 2





<=>

x

2

x

2













Hai điểm đó là : M1(3 17

2



;3 17

2



); M2(3 17

2



;3 17

2



)

9) Chứng minh tích số các khoảng cách từ điểm M(x0;y0)  (C) đến hai tiệm cận bằng một số không đổi

M(x;y)  (C) và y= 1+ 4

x  2 ; x≠1 + Tiệm cận đứng : x=2 ;

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : d 1 = d(M;TCĐ)= x 2 

+ Tiệm cận ngang : y=1 ;

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang :

x  2 + Tích hai khoảng cách : d 1 d 2 = x 2  4

x  2 =4 ( hằng số )

10) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho  OAB cân tại O

=> tiếp tuyến song song với đường thẳng y=  x

=> hệ số góc k=  1

TH1: k=1

Phương trình : y’= k <=> 4 2



 =1 <=> (x2)2 =4 ( vô nghiệm) TH2: k=1

Phương trình:y’= k <=> 4 2



 =1<=> (x2)2 =4 <=> x=0  x=4

 Tại điểm M 1 (0;1)

Phương trình tiếp tuyến là : y=x1

 Tại điểm M 2 (4;3)

Phương trình tiếp tuyến là : y=(x4)+ 3<=> y= x+ 7

11) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ

+ Hình phẳng :

y













 





Pt : x 2



 =0 <=> x=2

+ Diện tích hình phẳng cần tìm : S=

0

2

.dx







0

2

.dx









=

0

2

4

x 2



 



2=04ln2 +(2+4ln4)=4ln2 2 12) Cho hình (H) quay quanh trục Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành

+Hình phẳng :

y













 





quay quanh Ox

+ V=

2 0

2

.dx







2 0

2

4







0

2 2





= (x +8ln x2  16

x2) 0

2=(0+8ln2+8) (2+8ln4+4)

=(68ln2) (đvtt)

13) Cho hình (H) quay quanh trục Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành :

y





 => yx2y =x+2 <=> x= 2y 2

y 1





+Hình phẳng :

x

y 1













 





quay quanh Oy

Pt : 2y 2

y 1



 =0 <=> y=1

+ V=

2 0

1

2y 2

.dx

y 1





2 0

1

4

y 1







0

2 1





= (4x +16lny 1  16

y 1 ) 0

1=(0+16ln1+16) (4+16ln2+8)

=(1216ln2) ( đvtt)

