- Với các kết quả gần đúng, trừ nửa số điểm của kết quả đó nếu thí sinh sai đúng một chữ số cuối cùng trường hợp sai các chữ số khác thì không cho điểm kết quả đó.. - Nếu kết quả đúng mà
Trang 1HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT NĂM HỌC 2010 – 2011
(HD này có 04 trang)
Quy ước chấm:
- Các kết quả có đơn vị đi kèm thì trừ 0,5 đ với một kết quả thiếu đơn vị (chỉ trừ nếu thí sinh không
ghi đơn vị ở kết quả cuối cùng – kết quả ở ô bên phải).
- Với các kết quả gần đúng, trừ nửa số điểm của kết quả đó nếu thí sinh sai đúng một chữ số cuối
cùng (trường hợp sai các chữ số khác thì không cho điểm kết quả đó).
- Các kết quả xấp xỉ mà thí sinh không dùng đúng dấu thì trừ 0,5 đ / một lỗi.
- Nếu kết quả đúng mà lời giải sai thì không cho điểm toàn bộ phần đó.
Câu 1 (5 điểm) Cho hàm số y= f x( ) (ln )= x x+cos x
a) Tính S1 = f( )π + f f( ( )).π
b) Tính S2 = f '( )π + f f'( ( )).π
Kết quả a) S1≈1,6728 (2,5 đ) b) S2 ≈1,8295 (1,8032) (2,5 đ) Câu 2 (5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( )= 4−x2 +x
Kết quả: max ( ) 2 2 2,8284, min ( )f x = ≈ f x = −2. (5 đ) Câu 3 (5 điểm) Gọi M N là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số , y x= +3 x2 − +x 10
Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng MN
y = x + x− ⇒ =y y x+ − x+
(1,5 đ) Phương trình đường thẳng : 8 91
MN y= − x+ (1,5 đ)
91
145
d d O MN= = (1 đ)
7,5571
d ≈
(1 đ)
Câu 4 (5 điểm) Giải phương trình: sinx+ 7 cosx=2 2 sin 2x (1)
2
k x
= +
(với os 1 1 ).
2 2
c
α = − (1 đ)
Chú ý: Thí sinh có thể ghi kết quả theo đơn vị độ.
1,2094 2
(1 đ)
2 0,6441
3
k
(1 đ)
Trang 2Câu 5 (5 điểm) Giải hệ phương trình:
3
2011 (2)
x xy
+ = +
+ =
Hàm số f t( )= +t3 3t đồng biến trên ¡ Do vậy từ (1) suy ra
x y= (2 đ)
2011 0
x y
=
(2 đ)
12,2976
x y= ≈
(1 đ)
Câu 6 (5 điểm) Một xạ thủ bắn súng có xác suất bắn trúng vòng 10 là 0,4 Hỏi xạ thủ
đó phải bắn ít nhất bao nhiêu viên đạn để xác suất có ít nhất một viên trúng vòng 10 lớn hơn 0,9999?
Gọi n là số viên đạn mà xạ thủ sẽ phải bắn A là biến cố “trong
n viên đạn bắn có ít nhất một viên trúng vòng 10” Khi đó A là
biến cố “cả n viên đạn bắn đều trượt vòng 10”
Ta có: ( ) (0,6) P A = n (2 đ)
Vậy ( ) 1 (0,6)P A = − n >0,9999⇔ ≥n 19. (2 đ)
19
n=
(1 đ)
Câu 7 (5 điểm) Cho dãy số { }u xác định như sau: n 1 2 3
u + u − u − n
a) Tính i
i
u t
i
= với i∈{5,7,11,13}.
b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì u chia hết cho p p
a) Tính trực tiếp trên máy tính
b) Từ phương trình đặc trưng λ3 =7λ− ⇔ ∈6 λ {1;2; 3}− , suy ra
1 2n ( 3) ,n 1,2,
n
u = + + − n= (1 đ)
Với p=2, p=3 thì khẳng định là đúng
Với p≥5,p là số nguyên tố, theo định lý nhỏ Fermat ta có:
( )
2 2 (mod )
p
p
p
p
≡
− ≡ −
Vậy u p p M với mọi p nguyên tố (2 đ)
a)
t = −
t = −
11 15 918
t = −
13 122 010
t = −
(2 đ)
Câu 8 (5 điểm) Cho đường tròn ( ) :C x2+ y2 −2x y+ − =7 0 và đường thẳng ( ) :d y x= . a) Tìm tọa độ giao điểm của ( )C với ( ) d
b) Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (4;1)A và các giao điểm của ( )C với ( ) d
Trang 3a) Tọa độ giao điểm của ( )C với ( ) d là nghiệm hệ phương trình:
2
x y
=
+ − + − = ⇔
Tính trên máy tính ta được kết quả (1 đ)
b) Từ (*) suy ra 2 2
1
x + y − x+ y− = C Vì (4;1)A thỏa mãn phương trình ( )C nên 1 ( )C là đường tròn cần tìm (21
đ)
a) (2,1375;2,1375) ( 1,6375; 1,6375)− −
(2 đ)
Câu 9 (5 điểm) Có một cái phễu như hình vẽ Nửa trên của nó có dạng hình trụ, nửa
dưới của nó có dạng hình nón khớp với nửa trên Ban đầu người ta đổ nước vào phễu đầy đến vạch khớp giữa nửa trên và nửa dưới (vạch liền) Sau đó thả một viên bi sắt đặc dạng khối cầu vào trong phễu thì nước trong phễu dâng lên thêm 2cm (vạch đứt) Biết hình trụ ở nửa trên cao 10cm, đường kính miệng phễu là 20cm, điểm cao nhất của viên
bi cách mặt trên của phễu 13cm Tính thể tích viên bi và lượng nước có trong phễu
*) Thể tích viên bi là 2
1 2 .10 200
V = π = π (1 đ)
*) Kí hiệu như hình vẽ Gọi h OO R AO= ', = ', bán kính viên bi là
'
IJ OA r h R
+
Vậy h OJ JK KO' r h2 R2 r 3 (*).
R
+
Thay giá trị của 3 3 1 3
150 4
V r
π
= = và giải (*) bằng máy tính ta tìm được h≈20,37063946 Từ đó tính được thể tích lượng nước
trong phễu theo công thức 2 1 2
3
V = h Rπ (1 đ)
3
1 628,3185
(0,5 đ)
3
2 2133, 2084
(0,5 đ)
Câu 10 (5 điểm) Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD biết α = ·ACB=86 ,0
BAC CAD DAB ABC CBD DBA ACD BCD+ + = + + = + = và AC CB+ =10cm.
Ta dùng phương pháp trải hình lên mặt phẳng Trải tứ diện
ABCD lên mặt phẳng ( ABD) :
10 cm
• O
• O’
I J
A .
.K
Trang 42, 3, 1.
Khi đó, do ·BAC CAD DAB ABC CBD DBA+· +· = · + · +· =1800 nên
1, , 2
C A C và C B C thẳng hàng Hơn nữa do ·1, , 3 ACD BCD+· =1800
nên tứ giác C C DC nội tiếp được (2 đ)1 2 3
Đặt x AC y BC= , = . Ta có:
·
·
2 3
2
0
2
1
2 1
4
( ) tan
2
α α α
α
α
−
= + Thay số ta tính được S (2 đ)
2
111,0613
(1 đ)
-Hết -Ghi chú: Nếu thí sinh giải bài theo cách khác thì cho điểm theo các phần đúng tương
ứng, nhưng phải đảm bảo tỉ lệ giữa cách giải và đáp án.