tim nghiẹm nguyên

CHUYÊN ĐỀ TÌM NGHIỆM NGUYÊN... Phương trình Bµi tËp 1... Hệ phương trình Bµi tËp 1: Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau.. Tìm nghiệm nguyên của hệ pt sau... Vậy hệ đã cho vô nghiệ

CHUYÊN ĐỀ TÌM NGHIỆM NGUYÊN

A Phương trình Bµi tËp 1

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – x2 = 91 ( 1 )

Giải:

⇔ ( y + x)(y − x) ) = 91

{

1 13 7

y x

y x

y x

y x

+ =

− =

+ =

− =

©

ª

ª

ª

46 45 10 3

y x y x

=

=

=

=

© ª ª ª

vậy nghiệm của phương trình là:

(45;46), (-45;-46), (45;-46),(-45;46), (3;10),(-3;-10),(-3;10),(3;-10)

Tổng quát:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (a y)2 –(b x)2 = c.d ( 1 )

( HD: giải tương tự như trên )

Bµi tËp 2

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x.y - 4x =35- 5y ( 1 )

Giải:

(1) ⇔ (y-4)(x+5)= 15

vì x, y ∈ Z và 15= 1.15=3.5=(-1)(-5)=(-3)(-5) nên:

{ { 5 5 5 15

4 3 ; 4 1

Giải ra ta được nghiệm (x;y) của phương trình là:

(0;7) ,(10;5) , (-10;1) , (-20;3)

Tổng quát:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình dạng: axy + bx+ cy +d =0

Bµi tËp 3

Tìm tất cả cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn hệ thức:

x2 – 656xy -657y2 = 1983

Giải:

ta có: x2 +xy - 657xy – 657y2 = 1983 => x( x+y) – 656y(x+y) = 1983

 (x+y)(x-657y)=1983 và (x+y) – (x – 656y ) = 658y: 658

 Do đó 1983 phải phân tích thành một tích hai thừa số nguyên có hiệu chia hết cho 658

1983= ( 3)( 661) ( 1)( 1983)+− +− = +− +−

Nên ta có các hệ sau:

657 3 à 657 661

x +−y v x +−y

giải các hệ trên ta được nghiệm: (660;1), (-660;-1) , (4; -1 ) , ( -4; 1 )

Tổng quát:

Tìm tất cả cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn hệ thức:

x2 – axy –(a+1)y2 = ( 3a-2)(a-2)

(HD: cách giải tương tự như trên )

Bµi tËp 4:

tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2x + 2y+ 2z = 2336 với x< y < z (1)

(1) <=> 2x( 1+ 2y-x + 2z-x ) = 25 73

 { 2 x 2 5

1 2y x− 2z x− 73

=

+ + = vì ( 1+ 2y-x + 2z-x ) lẻ nên

=> x=5 và 2y-x( 1 + 2z-y ) = 23 9

=> x=5; y=8; z= 11

thử lại vào ( 1) đúng vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là;

( 5;8;11)

Tổng quát:

tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2x + 2y+ 2z = 2n p với x< y < z, p∈P (1)

( HD: làm tương tự như trên )

Một số bài toán tìm nghiệm nguyên:

1 x2- 25= y(y+6)

2 x2+x+6=y2

3 3

2x2-6y2=x+332

4 2m - 2n =2014

5 x2(x+2y) – y2(y+2x)=2013

6 x4 =y2(y-x2) tổng quát: x4n = y2n( y-x2n )

7 (x+5)(y+6) = 3xy

8 y3- x3 = 91 có thể thay 91 bằng 2013

9 x+y= xy

10.x2 +x+ 2013 = y2

11.x2= y2 + 2y +13

12.x2-6xy + 5y2 = 121 có thể thay 121 bằng n2

13.xy -2x+ 3y =27 ; 3x2+ 10 xy +8y2 =96

14.2n + 122 = y2 -32

15.4x2 + 4x + y2 = 24, x2 - 8 xy + 17y2 =169

16.17( xyzt+ xy+xt+zt+ 1) = 54( yzt+y+t)

17.101(x2y2z2 +x2+z2

) = 913 (y2z2 + 1)

18.6x2 + 5y2 = 74

19.2x – 3y = -5xy + 39

20.xy2 + 2xy + x – 216y = 0

21.chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên

x3 + y3 + z3 = 30419751951995

x5 + x4y - 5x3y2 – 15x2y3 + 4xy4 + 12y5 = 33

x2+ xy+ y2 – x2y2 = 0

22.x14 + x24 +…+ x144 = 1999

23.2x + 1 =3y

24 x2 + y2 + z2 = 2015

25.19x2 + 5y2 + 1995z= 9505 +3

26.x3 + 7y = y3 + 7x

27.x2 + ( x+y)2 = (x+9)2

28.x4 + y4 = 11x4

29.xy = z2

30.x(x2 – 1)(x2 – 4) = 73y – 83

31.x2 + 8( 2 – y) = z2 với x < y < 10

32.1+x+x2+x3 = 1987y

33.(x+1)3+( x+2)3+(x+3)3+(x+4)3 = ( x+ 5 )3

34.( x2+1)y- ( x2-1)y = ( 2x)y

35 x3 + 3 = 4y(y+1)

36.3x = 4y+ 1

37.x! + y! =( x+y)!

38.x! + y! = 10z+9

39.2x 3y = 1+ 5x

40.7x = 2y3z -1

41.(x,y) = 1 và 2 2

7 25

x y

x y

+

42.chứng minh rằng phương trình

1 1 1 1

1995

B Hệ phương trình

Bµi tËp 1: Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau

{ 2 2

x xy y

− − = (1)

x xy y

− − =

x y x+ − = y

Giải pt:(x+y)(x-657y)=1983=661.3

{

-661 3

657 3 657 661

x

+

− + = + =

thay vào pt trên ta thấy chỉ có 4

1

x y

+

−

− +

 =





=

 là nghiệm cần tìm của hệ trên.

Bµi tËp 2 Tìm nghiệm nguyên của hệ pt sau

3 ( )( 3)( 3) 8

x y z

+ + =









(2)

(2) ⇔  +(x x+ + =y z y y)( −33)(z− =3) 8 (2)(1)

Thay (1) v o (2) ta à có: ( x-3)(y-3)(z-3) =8

mặt khác có: 8=1.1.8= (-1)(-1).8=(1).(-1).(-8)= 2.2.2= (-2)(-2)(2)= 2.1.4 =…

thay các cặp giá trị vào để tìm x,y,z

3

3

3

x y z

− =



 − =



 − =



Bµi tËp 3 Tìm nghiệm nguyên của hệ pt sau:

( 1) 1999

( 1) 2001

x yzt

y xzt

z xyt

t xyz

+ =









HD: từ hệ trên ta thấy x, y, z, t là các số lẻ do đó x(yzt+1) chẵn điều này mâu thuẫn Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Bµi tËp 4 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ sau:

2 2 2

 (4)

HD:

(4) ⇔

2 2 2

2 2 2

(1)

4 ( ) 4 ( ) 4( ) (2)

 = +







thay (1) vào (2) ta được : xy( xy-4x-4y+8)=0

Vì xy>0 nên xy-4x-4y+8=0

4

y

x

−

− − vậy (y-4) là ước của 8

từ đó ta tìm được nghiệm nguyên dương của hệ là:

Một số bài tập tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

2

x y z

xy z

+ + =





2.

3 3 3 3

3

x y z

x y z

 + + =

 + + =



3. 2 2

0

3 5 345

x y z

+ + =





4.