Phương pháp tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình tuyến tính

ơy lƠ m t ch đ quan tr ng trong ch ng trình ph thông... Ch ng minh.. Ch ng minh... Ch ng minh.

M U

Nhi u bƠi toán th c t d n đ n các ph ng trình, h ph ng trình tuy n tính

v i h s nguyên mƠ ta ph i tìm đ c nghi m nguyên c a ph ng trình vƠ h

ph ng trình nƠy Ph ng trình nh th th ng đ c g i lƠ ph ng trình

i-ô-ph ng tuy n tính ơy lƠ m t ch đ quan tr ng trong ch ng trình ph thông Trong l ch s toán h c đư có r t nhi u các nhƠ toán h c nghiên c u v ch đ nƠy Tuy nhiên, s l ng các v n đ c n đ c gi i quy t còn r t nhi u

Lu n v n nƠy có m c đích tìm hi u vƠ trình bƠy các thu t toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình vƠ h ph ng trình tuy n tính v i các h s nguyên

N i dung lu n v n đ c chia thƠnh 3 ch ng:

Ch ng 1 "Ki n th c chu n b ” nh c l i các khái ni m c s vƠ ph n d c a phép chia hai s nguyên, s nguyên t vƠ h p s , c chung l n nh t c a hai hay nhi u s nguyên, thu t toán -clít tìm c chung l n nh t, đ c p t i khái ni m

đ ng d vƠ bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình i-ô-ph ng tuy n tính

c a hai hay nhi u bi n s , đi u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph ng trình

Ch ng 2 "Ph ng trình tuy n tính" đ c p t i khái ni m nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình tuy n tính v i h s nguyên

c a hai hay nhi u bi n s Trình bƠy hai thu t toán tìm nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình tuy n tính vƠ ch ng minh tính đúng đ n

c a các thu t toán gi i, cùng v i các ví d s minh h a cho thu t toán

Ch ng 3 "H ph ng trình tuy n tính" đ c p t i các bƠi toán th c t d n t i

h ph ng trình tuy n tính v i các h s nguyên vƠ trình bƠy các thu t toán gi i h

ph ng trình tuy n tính, ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán gi i, cùng v i các ng d ng có liên quan c a các bƠi toán đ c xét Tìm nghi m nguyên d ng

c a h ph ng trình tuy n tính v i h s nguyên

Do th i gian vƠ ki n th c còn h n ch nên ch c ch n lu n v n nƠy còn có

nh ng thi u sót nh t đ nh, kính mong quí th y cô vƠ các b n đóng góp ý ki n đ tác

gi ti p t c hoƠn thi n lu n v n sau nƠy

Nhơn d p nƠy, tác gi lu n v n xin bƠy t lòng bi t n sơu s c t i GS.TS Tr n

V Thi u, đư t n tình giúp đ trong su t quá trình lƠm lu n v n Tác gi c ng xin chơn thƠnh c m n các th y, cô giáo B môn toán đư nhi t tình gi ng d y, các cán b Phòng sau đ i h c vƠ qu n lý khoa h c, Ban giám hi u Tr ng đ i h c

Th ng Long đư quan tơm, đ ng viên vƠ t o m i đi u ki n thu n l i trong quá trình tác gi h c t p vƠ nghiên c u t i Tr ng

HƠ N i, tháng 05 n m 2016

Tác gi

Lê Minh Qu nh Hoa

Ch ng 1

KI N TH C CHU N B

Ch ng nƠy nh c l i khái ni m ph n d c a phép chia hai s nguyên, c chung l n nh t c a hai hay nhi u s nguyên, thu t toán -clit tìm c chung l n

nh t vƠ đ c p t i bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình tuy n tính v i h

s nguyên c a hai hay nhi u bi n s , đi u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph ng trình N i dung c a ch ng đ c tham kh o t các tƠi li u [1], [2] vƠ [4]

1.1.1 c s vƠ ph n d

Xét t p s nguyên = {0,  1,  2, } T lý thuy t s , ta có k t qu sau

nh lỦ 1.1.(Thu t toán chia) V i m i a, b  , b  0, t n t i duy nh t q, r ,

0  r < |b|, sao cho a = bq + r (Chia a cho b đ c q lƠ th ng s , r lƠ ph n d )

Ví d 1.1. a) V i a = 23, b = 5 ta có q = 4, r = 3, vì 23 = 54 + 3

b) V i a = 17, b = - 3 ta có q = - 5, r = 2, vì 17 = (- 3)(- 5) + 2

c) V i a = - 11, b = 2 ta có q = - 6, r = 1, vì - 11 = 2(- 6) + 1

d) V i a = - 9, b = - 4 ta có q = 3, r = 3, vì - 9 = (- 4)3 + 3

nh ngh a 1.1. V i a, b  , ta nói a lƠ c (divisor) c a b n u t n t i s

nguyên x sao cho a.x = b Trong tr ng h p nƠy ta nói r ng b chia h t (divisible) cho a hay b lƠ b i (multiple) c a a vƠ vi t a | b (đ c lƠ a lƠ c c a b) Trái l i, ta nói a không lƠ c c a b vƠ vi t a b

Ví d 1.2. Do 2 vƠ - 3 lƠ c c a 6 nên ta vi t 2 | 6 vƠ - 3 | 6 Nh ng 4 không lƠ

c c a 6 nên ta vi t 4 6

BƠi t p 1.1.Gi s a, b, c, m, n  N u a | b vƠ a | c thì a | (mb + nc)

nh ngh a 1.2. V i b t k a  , các đi u sau đơy luôn đúng:

1 | a, - 1 | a, a | a, - a | a

Ta nói 1, - 1, a vƠ - a lƠ các c t m th ng (trivial divisors) c a a; 1 vƠ -1 g i

s s d ng (a, b) đ ch c chung l n nh t c a a vƠ b

Ví d 1.5. Hưy tìm c chung l n nh t c a 8 vƠ 20 Ta th y các c c a 8 lƠ

±1, ±2, ±4, ±8; vƠ các c c a 20 lƠ ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 T đó, c chung c a 8 vƠ

20 lƠ ±1, ±2, ±4 Vì th , c chung l n nh t c a 8 vƠ 20 lƠ 4 Ta vi t gcd (8, 20) = 4

ho c (8, 20) = 4 Có th ki m tra l i r ng (12, - 9) = 3; (- 15, 20) = 5; (- 3, - 7) = 1

nh ngh a 1.5. N u c chung l n nh t (a, b) = 1 thì ta nói hai s nguyên a

vƠ b lƠ nguyên t cùng nhau (relatively prime)

nh lỦ 1.3. N u a, b  và (a, b) = d thì (a/d, b/d) = 1

Ví d 1.6. Hưy tìm c chung l n nh t c a 20 vƠ 45 B ng cách phơn tích ra

th a s nguyên t ta có 20 = 22×5 vƠ 45 = 32×5 T đó, ta tìm đ c c chung l n

nh t c a 20 vƠ 45 b ng 5, t c lƠ (20, 45) = 5 Ta th y

(20/5, 45/5) = (4, 9) = 1

nh lỦ 1.4.N u a, b, c  sao cho a | bc và a, b nguyên t cùng nhau thì a | c

nh lỦ 1.5. Cho a, b, c  Khi đó (a + cb, b) = (a, b)

nh ngh a 1.6. Cho a, b  T h p tuy n tính (linear combination) c a a vƠ

b lƠ t ng có d ng ax + by, trong đó x, y 

nh lỦ 1.6. Cho hai s a, b  Khi đó d = (a, b) là s nguyên d ng nh

Do đó (52, 117) = 13 V i b t k x, y tìm đ c s nguyên k nghi m đúng

ph ng trình 52x + 117y = 13k Tìm x vƠ y cho ta k = 2, t c lƠ x, y th a mưn 52x + 117y = 13×2 = 26 Chia c hai v cho 13, ph ng trình rút g n còn 4x + 9y = 2 Ta tìm đ c x = 5 vƠ y = - 2, vì 4×5 - 9×2 = 20 - 18 = 2

1.1.3 c chung l n nh t c a nhi u s nguyên

nh ngh a 1.7. Ta m r ng đ nh ngh a c chung l n nh t cho n s nguyên

v i n ≥ 2 Xét n s nguyên, không cùng b ng 0 Ta đ nh ngh a c chung l n nh t

c a chúng lƠ s l n nh t trong các c chung c a n s đó vƠ vi t (a1, a2, , an)

Ví d 1.11. Có th th y (2, 6, 14) = 2 vƠ (7, 21, 49) = 7

Tuy nhiên, đôi khi ta g p nhi u h n ba s nguyên ho c nhi u s ph c t p mƠ

ta không th d dƠng tìm đ c c chung c a chúng Trong nh ng tr ng h p nh

đ ng d v i nhau vƠo cùng m t l p M i s nguyên ch đ c đ t m t vƠ ch m t

l p nh th vƠ b t k c p s nguyên x, y l y ra t cùng m t l p s th a mưn x  y (mod m) Các l p nƠy g i lƠ l p th ng d modulo m (residue classes), ký hi u lƠ

am, trong đó a lƠ m t ph n t trong l p đó M t t p ch a đúng m t ph n t c a m i

l p th ng d có th đ c vi t thƠnh /m Ví d khi m = 4, ta có th vi t /4 = {0, 1, 2, 3} V i m t s phép toán, c th lƠ c ng, tr , nhơn vƠ l y th a, thì m t

ph n t b t k c a l p lƠ đ i di n cho c l p, ngh a lƠ th c hi n các phép toán nƠy

trên các ph n t đ i di n c a hai l p s cho k t qu l p th ng d gi ng nh áp d ng cho ph n t b t k c a m i l p đó V i các phép toán khác, ví d c chung l n

Do đó m có ngh ch đ o trong phép nhơn modulo n ฀

M c nƠy đ c p t i thu t toán –clít quen thu c đ tìm c chung l n nh t

c a hai s nguyên d ng ó lƠ thu t toán c c k nhanh đ tìm c chung l n nh t

nh lỦ 1.12 (Thu t toán –clít) tìm c chung l n nh t c a hai s a và b

ta đ t r- 1 = a, r0 = b, r i tính liên ti p th ng qi+1 và s d ri+1 theo

ri-1 = riqi+1 + ri+1

v i i = 0, 1, 2, cho t i khi g p s d rn+1 = 0 Khi đó, s d khác không cu i cùng

 Bi u di n d = (a, b) d i d ng t h p tuy n tính c a a vƠ b

Ta đư bi t cách tìm c chung l n nh t c a hai s nguyên b ng thu t toán

-clít Gi s rn = (a, b), a > b, rn-2 = rn-1×qn + rn vƠ rn-1 = rn×qn+1 + 0

Khi ta mu n vi t c chung l n nh t c a hai s nguyên d i d ng m t t h p tuy n tính c a nh ng s nguyên nƠy, ta s d ng quy trình sau

ng th c (a, b) = rn = rn-2 - rn-1×qn cho th y (a, b) lƠ m t t h p tuy n tính c a rn-2 vƠ rn-1 T đ ng th c tr c đó rn-3 = rn-2×qn-1 + rn-1 suy ra

rn-1 = rn-3 - rn-2×qn-1

Vì v y, ta nh n đ c

rn = rn-2 - (rn-3 - rn-2×qn-1)×qn = rn-2(1 + qn-1×qn) - qn×rn-3

Bi u th c cu i cho th y rn lƠ m t t h p tuy n tính c a rn-2 vƠ rn-3

Ta ti p t c quá trình "bi u di n (a, b) nh t h p tuy n tính c a m i c p s

d " cho t i khi tìm đ c (a, b) nh t h p tuy n tính c a a vƠ b

V i c p s d ri vƠ ri-1 ta có bi u di n (a, b) = k×ri + m×ri-1

Do ri = ri-2 - ri-1×qi nên ta có

(a, b) = k×(ri-2 - ri-1×qi) + m×ri-1

l n nh t c a a và b

Ví d 1.16.Tìm s nguyên x vƠ y sao cho 161x + 1274y = (161, 1274)

Tr c h t ta s d ng thu t toán -clit đ tìm (161, 1274) Ta có

nh ngh a 1.9. Ph ng trình i-ô-ph ng lƠ ph ng trình đa th c v i các h

s nguyên vƠ nghi m c a ph ng trình c ng lƠ các s nguyên

Ví d 1.17.Sau đơy lƠ m t s ph ng trình i-ô-ph ng b c 1, 2 vƠ 3:

trong đó a1, a2, , an, b  vƠ a1, a2, , an không cùng b ng 0 Ví d ph ng trình tuy n tính hai bi n: ax + by = c v i a, b, c

V n đ đ t ra lƠ xác đ nh xem m t ph ng trình tuy n tính đư cho có nghi m nguyên hay không? N u có thì tìm t t c các nghi m nguyên c a ph ng trình?

nh lý sau đơy cho m t đi u ki n c n vƠ đ cho s t n t i nghi m nguyên c a

ph ng trình tuy n tính (2.1)

nh lỦ 1.14. Cho a, b và c  v i a, b không cùng b ng 0 Ph ng trình tuy n tính ax + by = c có nghi m nguyên khi và ch khi d = (a, b) là c c a c

Ch ng minh. ( ) Gi s x0 vƠ y0 lƠ m t nghi m nguyên Khi đó ax0 + by0 =

c Do d | a vƠ d | b nên theo nh lý 1.7, d | (ax0 + by0), t c d lƠ c c a c

( ) Gi s d | c Khi đó c = d×k v i k  Theo nh lý 1.6, có th vi t (a, b)

nh m t t h p tuy n tính c a a vƠ b Do đó, t n t i u, v th a mưn d = a×u + b×v Nhơn hai v v i k ta đ c c = d×k = a(u×k) + b(v×k) Ch ng t ph ng trình

ax + by = c có nghi m nguyên x = u×k, y = v×k)

Ví d 1.18 Tìm nghi m c a ph ng trình 126x + 54y = 11 S d ng thu t toán -clit ta tìm đ c (126, 54) = 18 Do 11 không chia h t cho 18 nên theo nh

lý 1.14, ph ng trình đư cho không có nghi m nguyên

nh lý 1.14 đ c m r ng cho ph ng trình có nhi u h n hai bi n

nh lỦ 1.15. Cho a1,a2, ,an,c và a1,a2, ,an 0 Ph ng trình tuy n tính

cxax

ax

a1 1 2 2   n n  có nghi m nguyên khi và ch khi c chia h t cho

a1,a2, ,an.

d  H n n a, n u ph ng trình có nghi m nguyên thì ph ng trình

s có vô s nghi m nguyên

Ch ng minh. ( ) Gi s x1,x2, ,xn lƠ m t nghi m Khi đó

a1x1 a2x2  anxn c

Do d a1, d a2, , d an nên theo nh lý 1.7,

d  a1x1  a2x2   anxn ,

t c d lƠ c c a c hay c chia h t cho d   a1, a2, , an

( ) Gi s d  a1,a2, ,anvàd c Ta ch ng minh ph ng trình

a1x1a2x2  anxn c

có vô s nghi m nguyên Mu n th , ta dùng ph ng pháp quy n p

nh lý 2.2 cho th y đi u kh ng đ nh nƠy đúng v i n = 2 Gi s đi u nƠy đúng v i n = k, t c lƠ ph ng trình

Vì th , theo gi thi t quy n p, ph ng trình (*) có vô s nghi m ( do (*) c ng

lƠ ph ng trình i-ô-ph ng tuy n tính k bi n) vƠ ta hoƠn thƠnh ch ng minh đ nh lý

theo quy n p

Tóm l i, ch ng nƠy đư trình bƠy l i m t s khái ni m c b n c a lý thuy t s :

c s vƠ ph n d , s nguyên t vƠ h p s , c chung l n nh t, thu t toán -clit,

đ ng d vƠ bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình i-ô-ph ng tuy n tính vƠ

đi u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph ng trình i-ô-ph ng tuy n tính

Ch ng 2

Ch ng nƠy đ c p t i khái ni m nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên

t ng quát c a ph ng trình tuy n tính v i các h s nguyên c a hai hay nhi u bi n

s Ti p đó trình bƠy hai thu t toán, khác v i thu t toán -clit đư bi t, tìm nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình vƠ ch ng minh tính đúng đ n c a các thu t toán, cùng v i các ví d s minh h a thu t toán N i dung c a ch ng đ c tham

Gi s h  ( - t p các s t nhiên) vƠ fi : h  , i = 1, , n (hƠm c a n

đ i s nguyên vƠ nh n giá tr nguyên) Sau đơy ta nêu m t s khái ni m c n thi t

nh ngh a 2.1. x0 = (x10, , x0n) lƠ m t nghi m nguyên riêng c a ph ng trình (2.1) n u m i x0

i  vƠ a1x0

1 + + anx0n = b

nh ngh a 2.2. x = (f1(k1, , kh), , fn(k1, ,kh)) lƠ m t nghi m nguyên

a) a1f1(k1, , kh) + + anfn(k1, ,kh) = b, k = (k1, , kh)  hvƠ

b) V i m i nghi m nguyên riêng x0 = (x10, , x0n) c a ph ng trình (2.1) đ u

t n t i k0 = (k10, , k0h)  h sao cho xi0 = fi(k10, , k0h), i = 1, , n

Nghi m nguyên t ng quát có th đ c bi u di n b i các hƠm tuy n tính

V i 1  i  n ta xét các hƠm fi = ci1k1 + + cihkh + di v i ci1, , cih, di 

nh ngh a 2.3. A = (cij)nh g i lƠ ma tr n t ng ngv i nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình (2.1)

nh ngh a 2.4.Các s nguyên k1, , ks, 1  s  h, g i lƠ đ c l p n u các c t

t ng ng c a ma tr n A lƠ đ c l p tuy n tính

nh ngh a 2.5. M t nghi m nguyên lƠ s - l n b t đ nh n u s t i đa các tham

s đ c l p b ng s

nh lỦ 2.1.Nghi m nguyên t ng quát c a (2.1) là (n - 1) - l n b t đ nh

Có th xem ch ng minh đ nh lý trong [2], tr 4 - 6

Tr c khi trình bƠy thu t toán m i, ta nh c l i công th c tính nghi m nguyên

t ng quát đư bi t, d a trên c chung l n nh t V i ph ng trình hai bi n ta có:

nh lỦ 2.2. Cho a, b  và d = (a, b) Ph ng trình ax + by = c có nghi m nguyên khi và ch khi d là c c a c N u d | c thì ph ng trình có vô s nghi m nguyên H n n a, n u x = x0, y = y0 là m t nghi m nguyên riêng c a ph ng trình thì nghi m t ng quát c a ph ng trình có d ng

x = x0 +

d

b ×k và y = y0 -

da ×k v i k 

 tìm nghi m nguyên riêng c a ph ng trình ax + by = c ta s d ng nh

lý 1.13 vƠ Thu t toán -clit m r ng (xemVí d 1.16)

Ví d 2.1. Tìm nghi m riêng vƠ nghi m t ng quát c a ph ng trình:

10x + 4y = 16 (a = 10, b = 4 vƠ c = 16)

Thu t toán -clit cho ta d = (10, 4) = 2 Do d = 2 lƠ c c a c = 16 nên theo

nh lý 1.14, ph ng trình đư cho có nghi m tìm nghi m riêng x0, y0 c a

ph ng trình, áp d ng thu t toán -clit m r ng, ta tìm đ c 2 = 10×1 - 4×2 Nhơn

hai v v i 8 ta có 16 = 108 + 4(- 16) T đó cho th y: x0 = 8, y0 = - 16 lƠ m t nghi m riêng c a ph ng trình

Theo nh lý 2.2, nghi m t ng quát c a ph ng trình đư cho có d ng:

x = 8 +

2

k4 = 8 + 2k, y = - 16 -

2

k10 = - 16 - 5k, k

 nh lý 2.2 đ c m r ng cho ph ng trình v i nhi u h n hai bi n s

Theo l 2.2, nghi m t ng quát c a ph ng trình 4w + 5z = 7 lƠ

w = - 7 + 5n, z = 7 - 4n, n

Ti p theo, ta tìm x vƠ y t ph ng trình x + 2y = w hay

x + 2y = - 7 + 5n v i (1, 2) = 1 lƠ c s c a - 7 + 5n

Có th th y ph ng trình nƠy có m t nghi m riêng lƠ x0 = - 7 + 5n vƠ y0 = 0

T đó nghi m t ng quát c a ph ng trình lƠ

 u vƠo: Ph ng trình tuy n tính a1x1 + + anxn = b v i ai, b  , xi lƠ n

s nguyên c n tìm, i = 1, , n, vƠ ít nh t m t ai  0

 u ra: Cho bi t ph ng trình có nghi m nguyên hay không N u ph ng trình có nghi m nguyên thì cho ra nghi m t ng quát c a ph ng trình

Thu t toán g m 9 b c nh sau:

B c 1. Tính d = (a1, , an) - c chung l n nh t c a a1, , an

B c 2. N u d | b (d lƠ c c a b hay b chia h t cho d) thì "ph ng trình có nghi m nguyên": Chuy n t i B c 3 N u d b (b không chia h t cho d) thì

"ph ng trình không có nghi m nguyên": D ng thu t toán

(A) t xi = - (a1x1 + + ai-1xi-1 + ai+1xi+1 + + anxn - b)ai

(B) Thay giá tr c a xi vƠo bi u th c c a các bi n đư đ c xác đ nh B c 8 (C) L n l t gán các tham s nguyên k1, k2, , kn-1 cho các bi n v ph i các

ja

a, q = 

b ([x] lƠ s nguyên l n nh t nh h n hay b ng x)

B c 8. t xi = - q1x1 - - qi-1xi-1 - qi+1xi+1 - - qnxn + q - th Thay giá tr c a

xi vƠo bi u th c c a các bi n đư đ c xác đ nh tr c đó B c 8

B c 9. t l i a1 := r1, , ai-1 := ri-1, ai+1 = ri+1, , an := rn vƠ

ai := - ai, b := r, xi = th, h := h + 1

vƠ tr l i B c 4 v i ph ng trình m i:

a1x1 + + ai-1xi-1 + aith + ai+1xi+1 + + anxn = b

 minh h a cho thu t toán nêu trên, ta xét ví d sau

Ví d 2.3.Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình v i các h s nguyên 4 n:

6x1 - 12x2 - 8x3 + 22x4 = 14

Gi i. Áp d ng thu t toán v a trình bƠy:

1 c chung l n nh t d = (6, - 12, - 8, 22) = 2

2 Do 2 | 14 (2 lƠ c s c a 14) nên ph ng trình có nghi m nguyên

3 t h := 1 Do |d| = |2|  1 nên chia hai v c a ph ng trình cho 2 ta đ c:

4 Tính s a := min {|- 3|, |2|, |2|} = 2 vƠ ch s đ t min i = 3

5 Do a  1 nên chuy n sang B c 7

7 Vi t l i các h s aj, j  i = 3 d ng:

Ki m tra l i cho th y nghi m nƠy th a mưn ph ng trình tuy n tính đư cho ฀

 ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán, ta c n t i các b đ sau đơy

B đ 2.1.Thu t toán trên đây là h u h n

Ch ng minh.Gi s a1x1 + a2x2 + + anxn = b lƠ ph ng trình tuy n tính ban

đ u, v i ít nh t m t ai  0 B ng cách đánh s l i các bi n vƠ đ i d u hai v c a

ph ng trình n u c n, ta có th gi thi t r ng

s 0

nx

a = b', v i |a1| < |ai|, i = 2, , n, |b'| < |b| vƠ a1 = - a1 T đó suy ra

s 0

ia

a, q = 

b ([x] - s nguyên l n nh t  x)

n - a1(- x1 0 - q2x02 - … - qnx0

n + q) = r - a1t10+ r2x02 + … + rnx0

n = r

n lƠ m t nghi m riêng c a ph ng trình (2.3) k1 = k0

n - b) a1 = x10, x2 = x02, … , xn = x0

n ฀

B đ 2.5.Xét ph ng trình tuy n tính a1x1 + a2x2 + + anxn = b v i

s 0

Ch ng minh.Chia hai v c a ph ng trình cho a1 vƠ áp d ng B đ 2.4 ฀

nh lỦ 2.3 (Tính đúng đ n c a thu t toán) Thu t toán cho nghi m t ng quát

c a ph ng trình tuy n tính a1x1 + a2x2 + + anxn = b v i ai, b  và ai  0

Ch ng minh. Theo B đ 2.1, thu t toán lƠ h u h n Tính đúng đ n c a các

B c 1, 2, 3 lƠ rõ rƠng B c 4 luôn có min |as| b i vì có ít nh t m t ai  0 Tính đúng đ n c a thao tác (A) B c 6 suy ra t các B đ 2.4 vƠ 2.5 t ng ng Thu t toán nƠy trình bƠy ph ng pháp nh n đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình ban đ u thông qua nghi m t ng quát c a ph ng trình tuy n tính nh n đ c sau khi thu t toán đư th c hi n m t s vòng l p (theo các B đ 2.2 vƠ 2.3), t B

đ 2.3 suy ra r ng vi c nh n đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình tuy n tính ban đ u t ng đ ng v i tính nghi m t ng quát c a ph ng trình B c 6 A) mƠ nghi m t ng quát c a ph ng trình đó đ c cho b i thu t toán (theo B đ 2.4 vƠ

2.5) nh lý đư đ c ch ng minh xong ฀

= (a1, , an) lƠ c chung l n nh t c a a1, , an Theo đ nh lý đư bi t c a lý thuy t

s , ph ng trình (2.5) có nghi m nguyên khi vƠ ch khi d | b (d lƠ c c a b)

N u ph ng trình có nghi m nguyên vƠ d  1, ta chia ph ng trình cho d Khi

đó d = 1

Có hai tr ng h p đ c bi t:

a) N u m i ai = 0 thì ph ng trình có nghi m nguyên t ng quát lƠ xi = ki  ,

i = 1, , n, khi b = 0 (đó lƠ tr ng h p duy nh t có nghi m nguyên t ng quát lƠ n - l n b t đ nh) vƠ ph ng trình vô nghi m khi b  0

b) N u i, 1  i  n, sao cho ai =  1 thì nghi m nguyên t ng quát lƠ

s

ska

b vƠ xs = ks  , s  {1, , n} \ {i}

Hai tr ng h p trên đơy lƠ t m th ng nên s b b qua Thu t toán cho m i

tr ng h p còn l i đ c mô t nh sau:

u vƠo:Ph ng trình tuy n tính a1x1 + + anxn = b, ai, b  , ai   1, i = 1, , n (2.6)

v i ít nh t m t ai  0 vƠ (a1, , an) = 1, t c c chung l n nh t c a a1, , an b ng 1

u ra: Nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình

Thu t toán d ng l p g m 5 b c nh sau:

B c 1. t h := 1 (s bi n nguyên m i), p := 1 (s bi u th c c a bi n m i)

B c 2. Tìm r vƠ c p ch s (i, j) sao cho

(n u có nhi u c p (i, j) đ t c c ti u thì ta ch n m t c p b t k trong s đó)

B c 3.N u |r|  1 thì chuy n t i B c 4 N u |r| = 1 thì

xi := r

 

,bxat

a

n

j , i s 1 s s s h