Giải phương trình – một dạng toân đê trở nín quâ quen thuộc với người học toân, một dạng toân mă ngay từ Tiểu học câc em đê được lăm quen với nó Băi toân tìm x.. Giờ đđy với chúng ta nó
Trang 1Giải phương trình – một dạng toân đê trở nín quâ quen thuộc với người học toân, một dạng toân mă ngay từ Tiểu học câc em đê được lăm quen với nó (Băi toân tìm x) Giờ đđy với chúng ta nó căng đa dạng hơn, hấp dẫn hơn vă dĩ nhiín sẽ phức tạp hơn rất nhiều
Chúng ta vẫn thường quen với giải phương trình bậc nhất (ở lớp 8), phương trình bậc hai (ở lớp 9) Nhưng ngay từ lớp 6, băi toân tìm nghiệm nguyín đê gđy không ít khó khăn tới học sinh Tuần năy CLB muốn gửi đến câc em Kỳ I về 3 phương phâp tìm nghiệm nguyín Mời câc em tham khảo
GIẠI PHÖÔNG TRÌNH VÔÙI NGHIEÔM NGUYEĐN
KỲ I: 3 PHƯƠNG PHÂP ƯU VIỆT NHẤT
I Phöông phaùp phaùt hieôn tính chia heât cụa moôt aơn
Xeùt PT: ax + by = c (1) , trong ñoù a,b,c ∈ Z; a ≠ 0 hoaịc b ≠ 0
Ta coù ñònh lí: “PT (1) coù nghieôm nguyeđn c ÖCLN(a,b)
Khi ñaõ bieât chaĩc PT (1) coù nghieôm nguyeđn ta seõ tìm caùc phöông phaùp ñeơ giại PT ñoù
Ví dú1 Giại phöông trình vôùi nghieôm nguyeđn : 3x + 17y = 159
Höôùng daên : Ñeơ yù 3x vaø 159 ñeău chia heât cho 3
Giại : Vì 3x vaø 159 ñeău chia heât cho 3 Do ñoù 17y chia heât cho 3 Maø 17 vaø 3 nguyeđn toâ cuøng nhau,
neđn y 3 Ñaịt y = 3t (t ∈ Z)
=> 3x + 17.3t = 159 ⇔ x + 17t = 53 Do ñoù :
=
−
=
t y
t
x 3
17
53
(t ∈ Z)
Thöû lái, ta thaây x, y nghieôm ñuùng phöông trình
Vaôy nghieôm nguyeđn cụa phöông trình : :
=
−
=
t y
t
x 3
17
53
(t ∈ Z).
Baøi taôp töông töï :
1/ Tìm caùc nghieôm nguyeđn cụa phöông trình : a) 2x + 13y = 156 ;
(Ñaùp soâ :
−
=
=
t y
t
x
2 12
13
(neâu phaùt hieôn x 13) hoaịc
=
−
=
t y
t
x 2
13
78
(neâu phaùt hieôn y 2)
(Thöïc chaât caùc nghieôm tređn laø nhö nhau)
b) 35x + 20y = 120
2/ Chöùng minh raỉng khođng toăn tái caùc soâ nguyeđn x, y sao cho 2x 2 + y 2 = 2007
Giại 2x2 2, 2007 2 neđn y2 lẹ ⇒ y = 2k + 1 Ta coù 2x2 + 4k2 + 4k = 2006 Vì 2006 chia 4
dö 2 neđn 2x2 4 töùc x lẹ, x = 2h + 1 Töø ñoù 2(2h + 1)2 + 4k2 + 4k = 2006
⇔ 8h2 + 8h + 4k2 + 4k = 2004 Soẩ 2004 8 maø 8h2 + 8h + 4k2 + 4k 8 Vođ lí Vaôy khođng toăn tái caùc soâ nguyeđn x, y thoûa maõn 2x2 + y2 = 2007
3/ Toăn tái hay khođng m, n ∈ N thoûa maõn m 2 + 2006 = n 2
Giại Ta coù 2006 = n2 – m2 = (n – m)(n + m) Neâu n vaø m khođng cuøng tính chaün, lẹ thì n2 – m2 = (n – m)(n + m) laø soâ lẹ ≠ 2006 Neâu n, m cuøng tính chaün lẹ thì
n2 – m2 = (n – m)(n + m) 4 Nhöng 2006 4 Vaôy khođng toăn tái m, n ∈ N thoûa maõn
m2 + 2006 = n2
Trang 2II/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH RA CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN
Hướng giải quyết chung : Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại Dùng tính chất ẩn là một số nguyên để giải tiếp
Ví dụ 2 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy – x – y = 2
Giải : Biểu thị x theo y : x(y – 1) = y + 2
Ta thấy y khác 1 (vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3, vô nghiệm
Do đó : x = yy+−12 = 1 + y3−1
Để x ∈ Z thì y3−1 ∈ Z => y – 1 ∈Ư(3)
y – 1 = 1 y = 2; x= 4
Ví dụ 3 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 7x + 4y = 23
Giải : Biểu thị y theo x ta được : y = 6 2 41
4
7
23 − = − + x−
x x
Để x ∈ Z thì
4
1
−
x
∈ Z ; Đặt
4
1
−
x
= t (t ∈ Z) => x = 4t + 1 => y = 4 – 7t Thay các giá trị x, y vào PT đã cho ta được nghiệm đúng
Vậy nghiệm nguyên của PT là : x = 4t + 1 ; y = 4 – 7t (t ∈ Z)
III/ PHƯƠNG PHÁP TÌM MỘT NGHIỆM RIÊNG
Ta có định lí : Cho PT ax + by = c (1) trong đó a,b,c ∈ Z ; a ≠ 0 ; b ≠ 0 và (a,b) = 1 Nếu (x0; y0) là một nghiệm nguyên của PT (1) thì PT (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng :
x = x0 + bt
y = y0 - at
Ví dụ : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 5x - 3y = 2
Giải : Cách 1 : Dễ thấy x0 = 1 ; y0 = 1 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của phương trình là :
x= 1 -3t y= 1 – 5t
Cách 2 : Ta cũng thấy x0 = 4 ; y0 = 6 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của phương trình là :
x= 4 -3t y= 6 – 5t
Bài tập : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
1/ 22x – 5y = 77
2/ 7x + 5y = 19
Với t∈ Z
Với t∈ Z
Với t∈ Z