Giáo án bồi dưỡng giỏi lớp 8

Ngày giảng: Chiều: ............ CHUYÊN ĐỀ 1 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC NGUYÊN I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số hằng đẳng thức cơ bản Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n – Tam giác Pascal 2.Kỹ năng Vận dụng tốt kiển thức trên vào giải toán 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới I. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1. (a  b)2 = a2  2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; = ; 2. (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b); (a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n – Tam giác Pascal Đỉnh 1 Dòng 1 (n = 1) 1 1 Dòng 2 (n = 2) 1 2 1 Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triển (x + y)n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 và với n = 5 thì : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lời giải A = (x + y) + z3 – (x + y) – z3 – z – (x – y)3 – z + (x – y)3 = (x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3 – (x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3 – z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3 – z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3 = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lời giải a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lời giải a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) (a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = (a + b + c)3 – a3 – (b3 + c3) = (b + c)(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2 – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)a(a + b) + c(a + b) = 3(a + b)(b + c)(c + a) Ví dụ 4. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lời giải Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z  (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z). Tương tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm) Bài tập: 1. Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4. 2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 4. Chứng minh rằng nếu: 5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 thì x = y = z. 6. a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì . b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 thì . 7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 8. Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 9. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945. 11. Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b. 12. Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98. Hãy tính : E = a2 + b2. 13. Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2. Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ............. CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới I.Một số khái niệm cơ bản : 1. Đa thức Đa thức là một biểu thức đại số trong đó phép tính thực hiện đối với các biến chỉ là phép cộng, trừ, nhân. (đa thức là một biểu thức nguyên ). Ví dụ: Biểu thức: f(x) = 5x3 x2 + 3x + 7 là một đa thức của biến (ẩn) x. Biểu thức: g(y) = 7y2+ 3y 6 là một đa thức của biến (ẩn) y. Biểu thức: h(x,y) = 5x3y 3x2y2 2y3 + 7 là một đa thức của hai biến (ẩn) x và y. 2. Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đơn thức và đa thức có bậc nhỏ hơn. Ví dụ: a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1). b) x5 + x4 + 1 = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1). II. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1. Phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp : + Trước hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức. + Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. + Đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Các hạng tử trong dấu ngoặc là thương của phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung. b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1) A = 5x2y – 10xy2 2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) 3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z). Giải : 1) A = 5x2y – 10xy2 Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có A = 5x2y – 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x 2y). 2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung : B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y – 7z) 6y(3y 7z) = (3y – 7z)( 2x – 6y) = (3y – 7z).2(x – 3y) = 2(3y – 7z)(x – 3y). 3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z) Đổi dấu – (4yx2 + yz2)(z – y2) = (4yx2 + yz2)( y2 – z), ta có thừa số (y2 – z) chung: C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y2 – z) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)( 2x2y – yz ) + (4yx2 + yz2) + 6x2z = (y2 – z) 2x2y + 4yx2 + 6x2z = (y2 – z) 2xy2 + 4yx2 + 6x2z = (y2 – z) 2x2(y + 2y + 3z) = (y2 – z) 2x2(3y + 3z) = (y2 – z) 2x2 .3(y + z) = 6x2(y2 – z)(y + z). Khai thác bài toán: Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa số chung , ta có thể giải các bài toán tương tự như sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức Q = (x + 2z)(3x2 + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x) Bài toán 1.2: Phân tích đa thức P = 3a(b2 – 2c) – (a – 4)(2c – b2) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức H = 3xmy – 9xny2 + 15xn+1 với m, n N, m > n. 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tiếp theo) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức. a) Phương pháp: Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. 1) D = x2 – x + 2) E = 9(x + 5)2 – (x +7)2 3) F = – x3 + 9x2 – 27x + 27 4) G = 8 – 27a3b6 Giải : 1) D = x2 – x + = 2) E = 9(x + 5)2 – (x + 7)2 = 3(x + 5)2 – (x + 7)2 = 3(x+5) + x +73(x+5) – (x+7) = (4x + 22)(2x + 8) = 4(2x + 11)(x + 4) 3) F = x3 + 9x2 – 27x + 27 = = (x +3)3. 4) G = 8 – 27a3b6 = 23 (3ab2)3 = (2 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4). 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: a)Phương pháp: Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích. Lưu ý: Thường thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau b)Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1) x2 – xy + x – y 2) x2 2xy z2 + y2 + 2zt – t2 3) 9 – x2 + 2xy – y2 Giải : Ta thấy các hạng tử đều không có thừa số chung cũng không thấy có dạng hằng đẳng thức. Vì thế ta sẽ nhóm hạng tử với nhau để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức để phân tích tiếp: 1) x2 – xy + x – y Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư ta có : x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) =(x – y)(x + 1). Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) = (x + 1)(x – y). 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tiếp theo) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới 4. Phương pháp phối hợp các phương pháp. a) Phương pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên chú ý chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên như sau : Bước 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay không? • Có nhân tử chung: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bước 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng. • Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bước 2. Bước 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phương pháp hằng đẳng thức. Nếu không thì chuyển qua bước 3. Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung. b) Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 2) 2a2 – 12ab + 18b2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 . Giải: 1) Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài và tiếp tục phân tích đa thức ở trong ngoặc: 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) Đặt nhân tử chung = 2 (x2 + 2x + 1) – y2 Nhóm các hạng tử thích hợp của đa thức trong ngoặc. = 2(x + 1)2 – y2 Xuất hiện hằng đẳng thức = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) Dùng hằng đẳng thức Như vậy thứ tự ưu tiên là: Đặt nhân tử chung dùng hằng đẳng thức nhóm hạng tử. Vậy 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y). 2) 2a2 – 12ab + 18b2 Cách giải tương tự câu a) : 2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2) = 2(a – 3b)2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 5xy2z + 5xz + 10xyz2 = 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + 1 + 2yz) = 5xz (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2) = 5xz(x – 1)2 – (y – z)2 = 5xz(x – 1 – y + z)(x – 1 + y – z). Khai thác bài toán: Bằng phương pháp phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức I = Bài toán 1.2: Phân tích đa thức K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bài toán 1.3: Phân tích đa thức L = . 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tiếp theo) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới 5. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a) Phương pháp: Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó. Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp. b) Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích: x2 – 6x + 8 Cách 1: Tách số hạng thứ hai x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4). Cách 2: Tách số hạng thứ 3 x2 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 – 1)(x – 3 + 1) = (x – 4)( x – 2). Cách 3: x2 – 6x + 8 = x2 – 4 – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 4) Cách 4: x2 – 6x + 8 = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4) = (x – 4)( x + 4 – 6) = (x – 4) ( x – 2). Cách 5 : x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x – 2)2 – 2( x – 2) = (x – 2)( x – 2 – 2) = ( x – 2)(x – 4). Mặc dù có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là cách sau: Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. + Chọn hai thừa số có tổng bằng b. Khi đó hạng tử bx đã được tách thành 2 hạng tử bậc nhất. Ví dụ 2: 4x2 – 4x – 3 Ta có tích: ac = 4.( –3) = – 12 Phân tích : – 12 = –1.12 = 1.( –12) = – 2.6 = –3.4 = 3.( – 4) Chọn 2 thừa số có tổng là : – 4 đó là 2 và (–6) 4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x – 3) Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương. 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x +1 – 4 = ( 2x – 1) – 22 = ( 2x – 1 – 2)( 2x – 1 + 2) = (2x + 1)(2x – 3) Ví dụ 3: 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = ( 2x – 2 – x)(2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 5xy + 2y2 ; b) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y). Hướng dẫn a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Ta tách hạng tử thứ 2 : 2x2 5xy + 2y2 = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y) = (x 2y)(2x y) a) Nhận xét z x = (y z) (x y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z) Chú ý : 1) Ở câu b) ta có thể tách y z = (x y) (z x) (hoặc z x= (y z) (x y)) 2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần VII). 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tiếp theo) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới 6. Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ). a) Phương pháp: Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài toán được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích. b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 3) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2 Giải: 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + 1 = y x2 + x + 2 = y + 1 f(x) = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + 1 , ta được: f(x) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến đây ta phân tích tiếp: x2 + x – 2 = x2 – x + 2x – 2 = x(x – 1) + 2(x – 1) = (x – 1)(x + 2) x2 + x + 5 = x2 + x + Vì nên Và x2 +x + 5 không thể phân tích được nữa. Kết quả: f(x) = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5). 2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 24 Đặt y = x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6 = y + 2 và ta được: h(x) = y(y + 2) – 24 = y2 + 2y – 24 = y2 4y + 6y – 24 = y(y – 4) + 6(y – 4) = (y – 4)(y +6) Thay y = x2 +5x + 4 , ta được: h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) Kết quả: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10). 3) g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m, ta có: g(x) = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz, ta được : g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Kết quả: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tiếp theo) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới 7. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. a) Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích. Thông thường hay đưa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt. b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) a3 + b3 + c3 – 3abc Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 – 1 Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phương pháp nhóm: x5 – 1 = x5 – x + x – 1 = (x5 – x) + (x – 1) = x(x4 – 1) + ( x – 1) = x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x 1) = x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)x(x + 1)(x2 + 1) + 1. 3) 4x4 + 81 Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng đẳng thức: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x) 4) x8 + x4 + 1 Ta sẽ thêm và bớt x4 sau đó nhóm các hạng tử sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích tiếp: x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 – x4 = (x4 + 1)2 – x4 = (x4 + 1 – x2)(x4 + 1 + x2) =(x4 – x2 + 1)(x4 + 2x2 – x2 + 1) =(x4 – x2 + 1)(x2 + 1)2 – x2 =( x4 – x2 + 1)(x2 + 1 + x2)(x2 + 1 – x2) = (x4 – x2 + 1)(2x2 + 1). 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định: a)Phương pháp : Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau. b) Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) f(x) = x2 + 3x + 2 Vì hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là (x2) là 1 nên f(x) có thể phân tích thành hai nhân tử x + a, x + b, ta có: x2 + 3x + 2 = (x + a)(x + b) x2 + 3x + 2 = x2 + (a + b)x + ab Từ a + b = 3 => a= 3 – b. Đem thế vào ab = 2, ta được: ab = 2 => b(3 – b) = 2 –b2 + 3b – 2 = 0 –b2 + b + 2b 2 = 0 –b(b – 1) + 2(b – 1) = 0 (b – 1)(b – 2) = 0 Cho b = 1 => a = 2 hoặc b = 2 => a = 1. Trong cả hai trường hợp này ta đều được kết quả: f(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). Vậy f(x) = (x +1)(x + 2). Chú ý: Có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng cách tách và nhóm các hạng tử: x2 + 3x + 2 = x2 + x+ 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2). 2) g(x) = x3 – 19x – 30 Kết quả phải tìm có dạng: (x + a)(x2 + bx + c = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức đồng nhất, nên ta có: Vì a,c thuộc số nguyên và tích ac = –30, do đó a, c là ước của –30 hay a, c ={ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } a = 2, c = 15 khi đó b = –2 thoả mãn hệ trên. Vậy g(x) = x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) 3) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Dễ thấy 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy nếu đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd Từ hệ phương trình trên ta tìm được: a = b = d = 1, c = 5 Vậy h(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5). 4) k(x) = x4 6x3 + 12x2 14x + 3 Thử: x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 bd =3 mà b,d Z => b  Với b =3 => d =1 Vậy: Vậy k(x) = x4 – 6x3 +12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x +1). 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tiếp theo) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới 9. Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức: a) Phương pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.  Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x). P(x) = (x – a)Q(x) Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho (x – a). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).  Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x= b thì ta có thể phân tích đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x). P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x + ab, ta có thương đúng của phép chia là Q(x). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).  Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì sao? Thế nào là nghiệm số kép? Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x). Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x). Do đó, ta có : P(x) = (x – a)2R(x). Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x). b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) P(x) = x3 – 2x – 4 Ta thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có một nghiệm là x = 2. Do đó, ta có : P(x) = (x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2, ta được thương là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Ta thấy Q(x) nên Q(x) không thể phân tích được nữa. Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x 2)(x2 + 2x + 2) 2) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4 Ta nhận thấy đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là 1 và 2. Vì P(1) = 0 và P(2) = 0. Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , ta được thương đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 Ta thấy Q(x) nên Q(x) không thể phân tích được nữa. Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2). 3) P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức P(x) trên là: (– 1); 1; (–12); 12 ; (–32); 32 ; –3… Sau khi kiểm tra ta thấy x = 12 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x – 12) hay (2x – 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1). 2x3 5x2 + 8x – 3 = 2x3 x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3 = x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1) = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3). Hoặc chia P(x) cho (x – 1) ta được thương đúng là: x2 – 2x + 3 P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3) Vậy P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3) 4) P(x) = x3 + 3x – 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x – a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra – ac = – 4 suy ra a là ước của – 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi. Ước của (– 4) là –1; 1; – 2; 2; – 4; 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức. Suy ra đa thức chứa nhân tử ( x – 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x – 1) Cách 1: P(x) = x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1) = ( x – 1)(x2 + 4x + 4) = (x – 1)(x + 2)2 Cách 2: P(x) = x3 + 3x2 – 4 = x3 – 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1)( x2 + x + 1) + 3(x2 – 1) = ( x – 1)( x + 2)2 Cách 3: Chia P(x) cho (x – 1) ta được thương đúng là: (x2 + 4x + 4) = (x + 2)2 P(x) = x3 + 3x2 – 4 = ( x – 1)( x + 2)2. Chú ý: + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x – 1). + Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1). Ví dụ: Đa thức : x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 – 5 + 8 – 4 = 0 Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1) Đa thức: 5x3 – 5x2 + 3x + 9 có (– 5) + 9 = 1+ 3 Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x + 1). + Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng pq trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất. 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tiếp theo) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Một số khái niệm cơ bản Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ năng Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới 10. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Ví dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 6x3 + 12x2 14x 3 Lời giải Thử với x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 6x3 + 12x2 14x + 3. Đồng nhất các hệ số ta được : Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành 2c = 14 (6) = 8. Do đó c = 4, a = 2. Vậy x4 6x3 + 12x2 14x + 3 = (x2 2x + 3)(x2 4x + 1). 11. PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại. Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y). Lời giải Thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y). Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa thừa số (y – z), (z – x). Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) 12. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT 1. Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 3abc Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 3abc. b) (x y)3 + (y z)3 + (z x)3. Lời giải a) a3 + b3 + c3 3abc = (a + b)3 3a2b 3ab2 + c3 3abc = (a + b)3 + c3 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a + b)2 (a + b)c + c2 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) b) Đặt x y = a, y z = b, z x = c thì a + b + c. Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc. Vậy (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 = 3(x y)(y z)(z x) 2. Đưa về đa thức : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Ví dụ 21. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 a3 b3 c3. b) 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3. Lời giải a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 = (a + b) + c3 a3 b3 c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) a3 b3 c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) (a + b)(a2 ab + b2) = (a + b)(a + b)2 + 3c(a + b + c) (a2 ab + b2) = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)b(a + c) + c(a + c) = 3(a + b)(b + c)(c + a). b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c). Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3 a3 b3 c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ...... ....... CHUYÊN ĐỀ 3 TÍNH CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN I. Mục tiêu 1.Kiến thức Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết. 2.Kỹ năng Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới I. Chứng minh quan hệ chia hết Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z) a Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m + Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó + Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k b. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia m cho n Ví dụ1: hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau A 5.7.9.16= 5040 Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì : a a3 –a chia hết cho 3 b a5a chia hết cho 5 Giải: a a3a = (a1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3 b A= a5a = a(a21) (a2+1) • Cách 1: Ta xết mọi trường hợp về số dư khi chia a cho 5 Nếu a= 5 k (k Z) thì A 5 (1) Nếu a= 5k 1 thì a21 = (5k2 1) 2 1 = 25k2 10k 5 A 5 (2) Nếu a= 5k 2 thì a2+1 = (5k 2)2 + 1 = 25 k2 20k +5 A 5 (3) Từ (1),(2),(3) A 5, n Z Cách 2: Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 : + Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp + Một số hạng chứa thừa số 5 Ta có : a5a = a( a21) (a2+1) = a(a21)(a24 +5) = a(a21) (a24) + 5a(a21) = a(a1)(a+1) (a+2)(a2) 5a (a21) Mà = a(a1)(a+1) (a+2)(a2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp ) 5a (a21) 5 Do đó a5a 5 Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5. Ta có: a5a – (a2)(a1)a(a+1)(a+2) = a5a – (a2 4)a(a21) = a5a (a3 4a)(a21) = a5a a5 + a3 +4a3 4a = 5a3 – 5a 5 a5a – (a2)(a1)a(a+1)(a+2) 5 Mà (a2)(a1)a(a+1)(a+2) 5 a5a 5(Tính chất chia hết của một hiệu) c Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng đẳng thức: an – bn = (a – b)( an1 + an2b+ an3b2+ …+abn2+ bn1) (HĐT 8) an + bn = (a + b)( an1 an2b+ an3b2 … abn2+ bn1) (HĐT 9) Sử dụng tam giác Paxc Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên. Do đó: Với a, b Z, n N: an – bn chia hết cho a – b( a b) a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số của a) (a+1)n = Bsa +1 (a1)2n = Bsa +1 (a1)2n+1 = Bsa 1 VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn. Giải: + Cách 1: Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì: A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – 1 = 255 17. Vậy A 17 Nếu n lẻ thì : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mà n lẻ thì 16n + 1 16+1=17 (HĐT 9) A không chia hết cho 17 +Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn) Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17 Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17 Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, n N d Ngoài ra còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết. • VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004….2004 Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ………………………. a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhóm 2004 Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi hai số đó là am và an ( 1 n 0 nên 3n – 5 > 0. Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngưyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2 Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố. Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố 13 b 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) Biến đổi tương tự ta được n = 0. Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố 3 c A = . Do A là số tự nhiên nên n(n + 3) 4. Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4 Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố Nếu n = 4k với k Z, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố Nếu n + 3 = 4k với k Z, k > 1 thì A = k(4k 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số. Vậy với n = 4 thì là số nguyên tố 7 Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhườ khách đến thăm trường gặp hai học sinh. Người khách hỏi: Có lẽ hai em bằng tuổi nhau? Bạn Mai trả lời: Không, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều là số chẵn. Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không? Người khách đã suy luận thế nào? Giải: Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn. Gọi năm sinh của Mai là thì 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a {1; 3; 5; 7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980. 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập trong sách nâng cao toán 8 Ngày giảng: Chiều: ............. CHUYÊN ĐỀ 4 TỨ GIÁC, HÌNH THANG I. Mục tiêu 1.Kiến thức Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng Chứng minh bằng nhau, tính toán 2.Kỹ năng Vận dụng tốt làm các bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, chứng minh bằng nhau, tính toán 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới I. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng . Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD (ABCD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD . Hai đường phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh C,D,K thẳng hàng . HD : Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh được DAK cân tại D. Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA  BK là phân giác của góc B .  Đpcm. TIP : Bài này có thể cm theo hướng : Gọi K là giao điểm của hai phân giác các góc A và B . Cm KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm . Bài toán 1b : Cho tứ giác ABCD. Gọi A’B’C’D’ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’,DD’ đồng quy . HD : Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung điểm của A’C . Tam giác CAA’ có EJ là đường trung bình nên EJAA’. Tam giác FEJ có AA’ qua trung điểm A’ của FJ và với EJ nên AA’ qua trung điểm I của FE. Hoàn toàn tương tự chứng minh được BB’, CC’,DD’ qua I Các đường thẳng trên đồng quy tại I . II. Bài tập về chứng minh bằng nhau . Bài toán 2a : Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác NMPH là hình thang cân . HD : MNHP là hình thang MP = AC2 ( Đường TB ) HN = AC2 ( Đường TT )  đpcm Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lượt là trung điểm của AB và DC. Đường thẳng AD cắt đường thẳng MN tại E. Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại F. Chứng minh AEM = BFM . HD : Gọi I là trung điểm của BD. Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD2=BC2). IM DE và IN CF  đpcm . III. Bài tập tính toán . Bài toán 3a : Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác . HD : Trong tam giác MKE được MKE = 1800 (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 1800 D . KMD = (1800 C B)2 KED = (1800 AB)2 Thay vào ta được : MKE = 1800 ((1800CB +1800AB )2 +1800D) = (3600 3600 +A+C+2B 3600 +2D)2 = (A+B+C+D+B+D3600)2= (B+D)2 Bài toán 3b : Cho hình thang ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của hai đáy AD và BC. O là điểm thuộc MN. Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang . Đường thẳng này cắt AB,CD lần lượt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF . HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ). Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để được SEMN =SFMN Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lượt là hai đường cao của hai tam giác  OE =OF 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập: Ngày giảng: Chiều: ............. CHUYÊN ĐỀ 4 TỨ GIÁC, HÌNH THANG (tiếp) I. Mục tiêu 1.Kiến thức Quỹ tích , dựng hình Cực trị hình học 2.Kỹ năng Vận dụng tốt làm các bài tập về quỹ tích, dựng hình, cực trị hình học 3.Thái độ Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán. Giúp các em yêu thích học toán II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Phấn màu, sách tham khảo 2. Học sinh: III. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra 3. Bài mới IV. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . Bài toán 4a : Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đường thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau . Phân tích : Giả sử AM là đường thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE cắt BC tại I . Có : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI  SABC = SEBC => BE AC. Cách dựng : Dựng đường chéo AC. Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt AC tại E. Lấy M là trung điểm của DE. AM là đường thẳng cần dựng . TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tương đương ( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên . Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đường thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau . Phân tích : Giả sử đã dựng được IJ . Sử dụng phương pháp biến đổi về tam giác tương đương .Ta có các bước phân tích : Xác định điểm F trên tia DC sao cho SIJCB = SIJF . Lúc đó SBIC = SFIC .Suy ra BFIC . Xác định điểm E trên tia CD sao cho SIJAD = SIJE . Lúc đó SAID = SEID .Suy ra AEID . Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF . Cách dựng : Qua A dựng đường thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đường thẳng song song với IC cắt DC tại F. Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đường thẳng cần dựng . V. Bài toán cực trị hình học . Bài toán 5a : Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất . Giải : Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đường chéo . M  O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ nhất . Thật vậy, M  O ta có : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD . Với M bất kỳ trong tứ giác ta có : MA +MC  AC; MB + MD  BD  MA +MB +MC +MD  AC + BD.  MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M  O D Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC  AC . C Dấu “ =” xảy ra lúc MAC M Với ba điểm M; B; D có MB + MD  BD . O Dấu “=” xảy ra lúc M  BD  MA + MB +MC +MD  AC + BD A B Dấu “=” xảy ra lúc MAC và MBD  M  O ( Với O là giao điểm hai đường chéo ) . Bài toán 5b : Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại . C Giải : B Gọi I là trung điểm của AC ta có : C MI = BC 2 M I N IN = AD 2 I  MI + IN = ( BC +AD) 2 Lại có với ba điểm M,I,N thì MI + IN  MN A D  MN  (BC + AD) 2 =>đpcm . 4. Củng cố Hệ thống nội dung đã ôn 5. Hướng dẫn học ở nhà Làm các bài tập: Ngày giảng: Chiều: ............. CHUYÊN ĐỀ 5 HÌNH B

Trang 1

- Rèn luyện tính linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tính toán

- Giúp các em yêu thích học toán

hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên Người ta gọi bảng trên

là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn Chẳng hạn, với n = 4 thì :

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Trang 2

Ví dụ 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lời giảia) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

Trang 3

Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4.

2 Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức :

Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945

11 Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0 Hãy tính : D = a + b

12 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98 Hãy tính : E = a2 + b2

13 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

Trang 4

- Một số khái niệm cơ bản

-Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2.Kỹ năng

- Vận dụng tốt các phương pháp và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử

3.Thái độ

Biểu thức: f(x) = 5x3- x2 + 3x + 7 là một đa thức của biến (ẩn) x

Biểu thức: g(y) = 7y2+ 3y - 6 là một đa thức của biến (ẩn) y

Biểu thức: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + 7 là một đa thức của hai biến (ẩn) x

và y

2 Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đơn thức và đa thức có bậc nhỏ hơn

Ví dụ:

a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1)

b) x5 + x4 + 1 = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)

II Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

a) Phương pháp :

+ Trước hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức.

+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân

2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

Trang 5

Giải :

1) A = 5x2y – 10xy2

Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có

A = 5x2y – 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y

= 5xy(x - 2y)

2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)

Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung :

B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)

= 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z)

= (3y – 7z)( 2x – 6y)

= (3y – 7z).2(x – 3y)

= 2(3y – 7z)(x – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

Đổi dấu – (4yx2 + yz2)(z – y2) = (4yx2 + yz2)( y2 – z), ta có thừa số (y2 – z) chung:

C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

= (y2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y2 – z) + 6x2z(y2 – z)

Khai thác bài toán:

Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa số chung ,

ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Trang 6

2.Kỹ năng

3.Thái độ

Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các

hằng đẳng thức (nếu có thể) Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích

Trang 7

= (2- 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4).

3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

a)Phương pháp:

Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức, ta

có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích

Lưu ý: Thường thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau

Trang 8

2.Kỹ năng

3.Thái độ

• Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bước 2

Bước 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phương pháp

hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua bước 3

Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng đẳng

thức hoặc nhân tử chung

Trang 9

Cách giải tương tự câu a) :

2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2)

Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

I = 3n2 −12n 27 3m+ − 2

K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

L = 7a c 14a c 7ac5 + 3 − 2 + 28c 7ac 28 + −

Trang 10

2.Kỹ năng

3.Thái độ

Mặc dù có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là cách sau:

Trang 11

* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp

nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới

Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau:

* Đối với đa thức nhiều biến

Ví dụ 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;

b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

Hướng dẫn

a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c

Ta tách hạng tử thứ 2 :

2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)

1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))

2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay

x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0 Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần VII).

Trang 12

2.Kỹ năng

3.Thái độ

Trang 13

= y2 + 2y – 24

= y2 - 4y + 6y – 24 = y(y – 4) + 6(y – 4)

= (y – 4)(y +6)Thay y = x2 +5x + 4 , ta được:

h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10)

= x(x + 5)(x2 + 5x + 10)Kết quả: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)

Trang 14

2.Kỹ năng

3.Thái độ

b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)

= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)2) x5 – 1

Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phương pháp nhóm:

x5 – 1 = x5 – x + x – 1

= (x5 – x) + (x – 1)

= x(x4 – 1) + ( x – 1)

= x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x+1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1]

3) 4x4 + 81

Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng đẳng thức: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2

= ( 2x2 + 9)2 – (6x)2

= (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)

4) x8 + x4 + 1

Trang 15

Ta sẽ thêm và bớt x4 sau đó nhóm các hạng tử sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích tiếp:

Trong cả hai trường hợp này ta đều được kết quả:

Trang 16

(x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd

Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có:

x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd

6761

Trang 17

2.Kỹ năng

3.Thái độ

 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x)

P(x) = (x – a)Q(x)

Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho (x – a) Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x)

 Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x= b thì ta có thể phân tích

đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x)

P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)

Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x + ab, ta

có thương đúng của phép chia là Q(x) Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x)

 Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì sao?

Thế nào là nghiệm số kép?

Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x)

Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x)

Do đó, ta có : P(x) = (x – a)2R(x)

Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a

Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x)

b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trang 18

2x3 - 5x2 + 8x – 3 = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3

= x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1) = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)

Hoặc chia P(x) cho (x – 1) ta được thương đúng là: x2 – 2x + 3

Trang 19

⇒ P(x) = x3 + 3x2 – 4 = ( x – 1)( x + 2)2.

Chú ý:

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x – 1).

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử

bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1).

Ví dụ:

* Đa thức : x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 – 5 + 8 – 4 = 0

Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1)

* Đa thức: 5x3 – 5x2 + 3x + 9 có (– 5) + 9 = 1+ 3

Suy ra đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số ( x + 1)

+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất

Trang 20

2.Kỹ năng

3.Thái độ

10 PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3

Lời giải

Thử với x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd

= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Đồng nhất các hệ số ta được :

Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3} Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành

2c = -14 - (-6) = -8 Do đó c = -4, a = -2

Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

11 PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại

Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y)

Lời giải

Thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0 Như vậy P chứa thừa số (x – y)

Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh) Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x)

Trang 21

Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x,

y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được:

4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1

Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)

12 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT

1 Đưa về đa thức : a 3 + b 3 + c 3 - 3abc

Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 Đưa về đa thức : (a + b + c) 3 - a 3 - b 3 - c 3

Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c)

Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

Theo kết quả câu a) ta có :

Trang 22

- Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm

số dư và tìm điều kiện chia hết

2.Kỹ năng

- Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh

3.Thái độ

I Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n∈N hoặc n ∈Z)

a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m

+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k

b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia

m cho n

* Ví dụ1:

hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau ⇒ A M5.7.9.16= 5040

Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì :

a/ a3 –a chia hết cho 3

Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :

+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp

+ Một số hạng chứa thừa số 5

Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1)

Trang 23

Sử dụng tam giác Paxc

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của

⇒A không chia hết cho 17

+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn)

- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17

- Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17

Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, ∀ n ∈N

d/ Ngoài ra còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết

• VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004….2004

Trang 24

Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.Gọi hai số đó là am và an ( 1 ≤ n <m ≤2004) thì am - an M2003

Trang 25

2.Kỹ năng

3.Thái độ

a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1

Ta có : 2100 = 2 299= 2 (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)

= BS9 – 2 = BS9 + 7

Vậy 2100 chia cho 9 dư 7

b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1

Ta có:

2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn)

Vậy 2100 chia cho 25 dư 1

* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân

- Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 ch 10000 = 24.54

Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) M16

Trang 26

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:

Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B

VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1

Trang 27

2.Kỹ năng

3.Thái độ

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn

b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ

Giải

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4)

a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n

Giải:

Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2 = n2(n2 + 2)(n2 – 1)

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1

Xét các trường hợp:

+ Với n = 2k⇒A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) M8+ Với n = 2k +1 ⇒A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2

M8

Trang 28

Tương tự xét các trường hợp n = 3a, n= 3a ± 1 để chứng minh AM9

Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p

- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hết cho p

Ta có 504 = 32 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một

Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3

Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504

Ta có: + Nếu a chẵn⇒ a3 chia hết cho 8

Nếu a lẻ⇒ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp⇒(a3-1) (a3 + 1) M cho 8

Vậy AM8 , 19 9a ∀n∈N (1)

+ Nếu aM7 ⇒a3

M7 ⇒ AM7 Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 1M7⇒(a3-1) (a3 + 1) M7(Định lí Phéc ma)

Vậy AM7 , ∀ ∀n∈N (2)

+ Nếu aM3 ⇒a3

M9⇒ AM9Nếu a không chia hấe cho 3 ⇒ a = 3k ±1⇒ a3 = ( 3k ± 3)3= BS9±1

Trang 29

c/ A = 3 3

4

n + n Do A là số tự nhiên nên n(n + 3)

M4

Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4

- Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố

- Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố

-Nếu n = 4k với k∈Z, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số

- Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố

- Nếu n + 3 = 4k với k∈Z, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên

A là hợp số

Vậy với n = 4 thì 3 3

4

n + n là số nguyên tố 7

Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn

Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhườ khách đến thăm trường gặp hai học sinh Người khách hỏi:

- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?

Bạn Mai trả lời:

- Không, em hơn bạn em một tuổi Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều là số chẵn

- Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không?

Người khách đã suy luận thế nào?

Giải:

Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn

Gọi năm sinh của Mai là 19 9a thì 1 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng này là số chẵn thì a∈{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	0,93 MB

Giáo án bồi dưỡng giỏi lớp 8

Tỡm điều kiện chia hết

Cỏc bài toỏn tổng hợp Bài toỏn: