Phần 1: Phân sốcác phép tính về phân số A.. là các PS tối giản 2.. QĐMS Là đa các PS về cùng mẫu số... Khi đó ta chọn PS trung gian có TS PS này, mẫu PS kia lập thành PS trung gian... C
Trang 1Phần 1: Phân số
các phép tính về phân số
A Lý thuyết
1 KNPS, TCPS
• b a là PS (a, b là số tự nhiên, b ≠ 0), trong đó a là tử số, b là mẫu số
• b a là thơng của phép chia : a: b
• Nếu b = 10, 100, 1000, thì
b
a
là PS thập phân
• Tính chất:
b
a
=
m b
m a
ì
ì
(m ≠ 0)
b
a
=
m b
m a
:
:
(m ≠ 0)
• PS tối giản: là PS không thể thu gọn đợc nữa (tử số và mẫu số không cùng chia chia số nào khác1)
VD:
3
2
;
7
5
;
11
9
;
37
23
; là các PS tối giản
2 QĐMS, SS 2 PS
a QĐMS
Là đa các PS về cùng mẫu số Các bớc quy đồng:
+ Tìm đợc mẫu số chung (nhỏ nhất)
+ Tiến hành QĐ
VD: QĐ MS các PS:
a)
3
2
và
4
3
Ta có :
3
2
=
4 3
4 2
ì
ì
=
12
8
;
4
3
=
3 4
3 3
ì
ì
=
12 9
b)
8
1
và
6
5
Ta có :
8
1
=
3 8
3 1
ì
ì
=
24
3
;
6
5
=
4 6
4 5
ì
ì
=
24 20
c)
6
1
;
4
3
và
10
7
Ta có:
6
1
=
10 6
10 1
ì
ì
=
60
10
;
4
3
=
15 4
15 3
ì
ì
=
60
45
;
10
7
=
6 10
6 7
ì
ì
=
60 42
b SSPS
• SSPS với 1: + Nếu a > b thì
b
a
> 1 VD:
15
17
> 1 + Nếu a < b thì
b
a
< 1 VD:
3
2
< 1 + Nếu a = b thì
b
a
= 1 VD:
5
5
= 1
• SS 2 PS cùng mẫu: trong 2 PS cùng mẫu, PS nào có TS lớn hơn thì PS đó lớn hơn.
VD: SS 2 PS : a)
3
2
và
4
3
b)
12
7
và
18
11
Giải
a) Ta có :
3
2
=
4 3
4 2
ì
ì
=
12
8
;
4
3
=
3 4
3 3
ì
ì
=
12 9
Trang 2Vì :
12
8
<
12
9
nên
3
2
<
4
3
b) Ta có :
12
7
=
3 12
3 7
ì
ì
=
36
21
;
18
11
=
2 18
2 11
ì
ì
=
36 22
Vì
36
21
<
36
22
nên
12
7
<
18 11
• SS 2 PS cùng tử: Trong 2 PS cùng tử số, PS nào có mẫu lớn hơn thì bé hơn.
VD: So sánh 2 PS :
a)
15
4
và
17
4
b)
23
6
và
31
9
c)
35
12
và
43 18
Giải
a) Vì : 15 < 17 nên
15
4
>
17 4
b) Ta có :
23
6
=
3 23
3 6
ì
ì
=
69
18
;
31
9
=
2 31
2 9
ì
ì
=
69 18
Vì
69
18
<
69
18
nên
23
6
<
31 9
c) Ta có:
35
12
=
3 35
3 12
ì
ì
=
105
36
;
43
18
=
2 43
2 18
ì
ì
=
86 36
Vì
105
36
<
86
36
nên
35
12
<
43 18
• SS 2 PS dựa vào phần bù đơn vị, phần bù đến 1 số nào đó
+ Phần bù đơn vị của PS là
+ Trong 2 PS, PS nào có phần bù đơn vị lớn hơn thì PS đó nhỏ hơn,
VD : SS 2 PS:
a)
7
5
và
2007
2005
b)
9
6
và
1998
1995
c)
40
19
và
16
7
d)
24
7
và
39
12
e)
2424
2323
và
363636 353535
Giải a) Ta thấy PS
7
5
có phần bù đơn vị là 1 -
7
5
=
7 2
PS
2007
2005
có phần bù đơn vị là 1 -
2007
2005
=
2007 2
Vì:
7
2
>
2007
2
nên
7
5
<
2007 2005
b) Ta thấy PS
9
6
có phần bù đơn vị là 1 -
9
6
=
9 3
PS
1998
1995
có phần bù đơn vị là 1 -
1998
1995
=
1998 3
Vì:
9
3
>
1998
3
nên
9
6
<
1998 1995
c) Ta thấy PS
40
19
có phần bù đến
2
1
đơn vị là
2
1
-
40
19
=
40 1
PS
16
7
có phần bù đến
2
1
đơn vị là
2
1
-
16
7
=
16 1
Vì:
40
1
<
16
1
nên
40
19
>
16 7
Trang 3d) Ta thấy PS
24
7
có phần bù đến
3
1
đơn vị là
3
1
-
24
7
=
24 1
PS
39
12
có phần bù đến
3
1
đơn vị là
3
1
-
39
12
=
39 1
Vì:
24
1
>
39
1
nên
24
7
<
39 12
e) Ta có:
2424
2323
=
101 : 2424
101 : 2323
=
24
23
;
363636
353535
=
10101 : 363636
10101 : 353535
=
36 35
Ta thấy PS
24
23
có phần bù đơn vị là 1 -
24
23
=
24 1
PS
36
35
có phần bù đơn vị là 1 -
36
35
=
36 1
Vì:
24
1
>
36
1
nên
24
23
<
36
35
do đó:
2424
2323
<
363636 353535
BTVN
1) Rút gọn các PS sau:
32
18
;
3737
2323
;
424242
313131
;
453453
375375
;
576576576 123123123
2) SS bằng cách hợp lý:
a)
12
7
và
18
11
b)
31
4
và
43
6
c)
125
121
và
2007
2003
d)
200
199
và
2000
1999
e)
48
23
và
28
13
(PBĐV =
2
1
) f)
33
10
và
51
16
(PBĐV =
3
1
) h)
4343
3737
và
295887
234669
• SS dựa vào PS trung gian
+ Nếu a > b > c thì a > c
+ Nếu a < b < c thì a < c
Tr ờng hợp 1 : Tử số PS thứ nhất bé (lớn) hơn TS PS thứ 2 còn mẫu số PS thứ nhất bé (lớn) hơn
MS PS thứ 2 Khi đó ta chọn PS trung gian có TS PS này, mẫu PS kia lập thành PS trung gian.
VD1: So sánh:
37
15
và
36 17
Cách 1: chọn
36
15
làm PS trung gian
Ta có:
37
15
<
36
15
<
36
17 ⇒
37
15
<
36 17
Cách 2: chọn
37
17
làm PS trung gian
Ta có :
37
15
<
37
17
<
36
17 ⇒
37
15
<
36 17
VD2: So sánh:
427
375
và
451
373
(thực hiện tơng tự)
Tr ờng hợp 2 : Ước lợng PS trung gian
VD1: So sánh:
40
19
và
51
26
Nhận xét: 19 = non nửa của 40; 26 = già nửa của 51
⇒ ta lấy
2
1
làm PS trung gian
Ta có:
40
19
<
40
20
=
2
1
;
51
26
>
52
26
=
2
1 ⇒
40
19
<
2
1
<
51
26
hay
40
19
<
51 26
Trang 4VD2:
31
10
và
50
17
Ta có :
31
10
<
30
10
=
3
1
;
50
17
>
51
17
=
3
1 ⇒
31
10
<
3
1
<
50
17
hay
31
10
<
50 17
VD3:
50
21
và
27 10
Ta có :
50
21
>
50
20
=
5
2
;
27
10
<
25
10
=
5
2 ⇒
50
21
>
5
2
>
27
10
hay
27
10
<
50 21
BTVN
1) Rút gọn các PS sau:
a)
272727
252525
b)
473473473
321321321
c)
234669
122436
d)
243486 123246
2) SS các PS sau bằng cách hợp lí:
a)
30
7
và
12
5
(QĐMS)
b)
25
12
và
17
9
(PS trung gian
2
1
) c)
326496
132639
và
316293
153045
( có thể rút gọn rồi SS, hoặc SS luôn bằng PS trung gian lấy TS của PS này với MS của PS kia)
d)
219
215
và
2005
2001
(phần bù đơn vị là 1) e)
203
199
và
2035
1995
(phần b đơn vị là 1) f)
427
315
và
429
313
(SS bằng PS trung gian lấy TS của PS này với MS của PS kia) g)
100
34
và
47
15
(PS trung gian
3
1
) h)
99
25
và
49
12
(PS trung gian
4
1
) i)
8181
2020
và
636363
161616
(rút gọn rồi SS = PS trung gian
4
1
)
3 Các phép tính về PS
a Phép cộng, trừ PS
- Tính chất:
+ Phép cộng có t/c giao hoán, kết hợp
+ Phép trừ: trừ đi 1 tổng:
b
a
- (
d
c
+ e f ) =
b
a
-
d
c
- e f Trừ đi một hiệu:
b
a
- (
d
c
- e f ) =
b
a
-
d
c
+ e f
b Phép nhân:
b
a ì
d
c
=
d b
c a
ì
ì
( chú ý: nên rút gọn trớc khi nhân)
- Tìm giá trị PS của 1 số:
b
a
của số A là
b
a ì A VD1: Tìm
8
5
của 40
Trang 5C1:
8
5
của 40 là: 40: 8 ì 5 = 25
C2:
8
5
của 40 là:
8
5 ì 40 = 25 VD2: Tìm
4
3
của 100 ; Tìm
7
2
của 63
- Tính chất: + Phép nhân có t/c giao hoán, kết hợp
+ Nhân một số với một tổng (hiệu):
b
a ì (
d
c
+ e f -
h
g
) =
b
a ì
d
c
+
b
a ì
f
e
-
b
a ì
h g
+ Hệ quả:
b
a ì
d
c
+
b
a ì
f
e
-
b
a ì
h
g
=
b
a ì (
d
c
+ e f -
h
g
) VD: Tính: a)
7
2 ì
15
1
+
7
2 ì
15
8
+
7
2 ì
15
6
=
7
2 ì (
15
1
+
15
8
+
15
6
) =
7
2 ì 1 =
7 2
b)
31
1 ì 15 +
31
1 ì 8 +
31
1 ì 9 -
31
1
=
31
1 ì (15 + 9 + 8 - 1) =
31
1 ì 31 = 1
c)
4
25
18
21
25
17
−
ì
+
ì
= (1717+ì1)25ì25+21−4 =
4 25 25 17
21 25 17
− +
ì
+
ì
=
21 25 17
21 25 17
+
ì
+
ì
= 1 d)
203 314
217
14 315
217
+
ì
−
ì
=
203 314 217
14 ) 1 314 ( 217
+
ì
− +
ì
=
203 314 217
14 217 314 217
+
ì
− +
ì
=
203 314 217
203 314 217
+
ì
+
ì
= 1 e)
11 2004
2006
1995 2006
2003
−
ì
+
ì
= 20062003ìì(20032006++11995)−11 =
11 2006 2003
2006
1995 2006
2003
− +
ì
+
ì
=
1995 2003
2006
1995 2006
2003
+
ì
+
ì
= 1 f)
2008 2001
2007
2006 2007
2003
+
ì
−
ì
=
2008 2001
2007
2006 2007
) 2 2001 (
+
ì
−
ì +
=
2008 2001
2007
2006 5014
2007 2001
+
ì
− +
ì
=
2008 2001
2007
2008 2007
2001
+
ì
+
ì
= 1
c Phép chia:
b
a
:
d
c
=
b
a ì
c d
+ Chú ý: Tìm một số khi biết giá trị PS của nó:
VD1: Biết
4
3
của lớp học là 30 em Hỏi lớp học có bao nhiêu bạn?
Giải:
C1: Số học sinh của lớp học đó là: 30 : 3 ì 4 = 40 (em)
C2: 30 :
4
3
= 40 (em) VD2: Biết
7
5
số HS trong lớp là nữ Tìm số học sinh của lớp đó nếu lớp đó có 25 em nữ
Giải:
C1: Số học sinh của lớp đó là: 25: 5 ì 7 = 35 (em)
C2: 25 :
7
5
= 35 (em) BTVN
1) SS các PS
a)
31
15
và
23
27
(
2
1
) b)
40
39
và
28
13
(nhân
28
13
với 3 rồi so sánh) c)
235
231
và
2359
2319
(nhân
235 231
với 10 rồi so sánh theo phần bù đơn vị là 1)
Trang 6d)
2525
1717
và
275481
153045
(rút gọn rồi so sánh với ps trung gian
27
17
) e)
2003 2004
2005
2005 2004
2003
−
ì
+
ì
và 1 (tách 2005 = 2003 + 2) 2) Tìm PS của một số
a)
5
4
của 20
b) Biết
8
5
của một số tự nhiên là 30 Tìm số tự nhiên đó?
B Bài tập
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2 <
3
3
−
n
< 3 b) 1 ≤
5
1
+
n
≤ 2 Giải a) Ta có: 2 <
3
3
−
n
< 3
⇒
3
6
<
3
3
−
n
<
3
9
⇒ 6 < n- 3 < 9 (*)
C1: ⇒ 6 + 3 < n-3 + 3 < 9 + 3
⇒ 9 < n < 12
Mà n là số tự nhiên nên n = 10, 11
C2: ⇒ n- 3 = 7 hoặc = 8
+ Nếu n - 3 = 7 ⇒n = 10
+ Nếu n - 3 = 8 ⇒ n = 11
b) Ta có: 1 ≤
5
1
+
n
≤ 2
⇒
5
5
≤
5
1
+
n
≤
5
10
⇒ 5 ≤ n+ 1 ≤ 10
⇒ 5 - 1 ≤ n+ 1- 1 ≤ 10 -1
⇒ 4 ≤ n ≤ 9 Vì n là số tự nhiên nên n = 4, 5, 6,7 8, 9
Bài 2 : Tìm 2 số tự nhiên liên tiếp x, y sao cho:
a) x <
3
17
< y b) x <
14
23
< y Giải a) Ta có: x <
3
17
< y
⇒ x < 5
3
2
< y Mà x, y là 2 số tự nhiên liên tiếp nên x = 5, y = 6
b) x <
14
23
< y
⇒ x < 1
14
9
< y Mà x, y là 2 số tự nhiên liên tiếp nên x = 1, y = 2
Bài 3: Tìm tất cả các PS cóa tích của TS và MS = 18 Tính tổng và tích của tất cả các PS đó
Giải
18 = 1 ì 18 = 18 ì1 = 9 ì 2 = 2 ì 9 = 3 ì6 = 6 ì 3
⇒ Các PS có tích của TS và MS = 18 là :
1
18
;
18
1
;
6
3
;
3
6
;
9
2
;
2 9
Tổng của các PS đó là:
1
18
+
18
1
+
6
3
+
3
6
+
9
2
+
2
9
=
18
81 4 36 9 1
324 + + + + +
=
18 455
Trang 7Tích của các PS đó là:
1
18 ì
18
1 ì
6
3 ì
3
6 ì
9
2 ì
2
9
= 1 Bài 4: H y phân tích các PS sau thành tổng của 3 PS tối giản có cùng mẫu số:ã
a)
9
10
b)
12
13
c)
18
15
d)
15
13
e)
20 11
Giải a)
9
10
=
9
4 5
1 + +
=
9
1
+
9
5
+
9
4
b)
12
13
=
12
7 5
1 + +
=
12
1
+
12
5
+
12 7
c)
18
15
=
18
7 7
1 + +
=
18
1
+
18
7
+
18
7
d)
15
13
=
15
4 7
2 + +
=
15
2
+
15
7
+
15 4
e)
20
11
=
20
1 7
3 + +
=
20
3
+
20
7
+
20 1
Bài 5: Hai kho thóc chứa tất cả 400 tấn thóc Nếu chuyển
5
1
số thóc trong kho1 sang kho 2 thì số thóc ở hai kho bằng nhau Tìm số thóc ở mỗi kho lúc đầu?
Giải Cách 1: Theo bài ra ta có:
5 1
Kho 1: 400
Kho 2: tấn
Dựa vào sơ đồ ta thấy:
Số thóc kho 1 sau khi chuyển sang là: 400: 2= 200 (tấn)
Số thóc kho 1 lúc đầu là: 200 : 4 ì5 = 250 (tấn)
Số thóc kho 2 lúc đầu là: 400 - 250 = 150 (tấn)
Đáp số: kho 1: 25o tấn
kho 2: 150 tấn
Cách 2: Vì sau khi chuyển số thóc ở hai kho = nhau nên số thóc kho 1 là:
400 : 2 = 200 (tấn)
Do ta đ chuyển ã
5
1
số thóc kho 1 sang kho 2 nên số thóc còn lại ở kho chỉ =
5
4
số thóc kho 1 lúc đầu, vậy
5
4
số thóc kho 1 lúc đầu chính là 200 tấn Do đó số thóc lúc đầu là: 200 :
5
4
= 250 (tấn)
Số thóc kho 2 lúc đầu là: 400 -250 = 150 (tấn)
Đáp số: kho 1: 250 tấn
kho 2: 150 tấn
Bài 6: H y viết các PS sau dã ới dạng tổng của 3 PS có tử = 1, mẫu khác nhau
a)
12
7
b)
15
9
c)
18
11
d)
20
8
e)
16
13
f)
5
1
g)
7 1
Giải a)
12
7
=
12
4 2
1 + +
=
12
1
+
6
1
+
3
1
b)
15
9
=
15
3 5
1 + +
=
15
1
+
5
1
+
3
1
c)
18
11
=
18
3 6
2 + +
=
9
1
+
3
1
+
6
1
d)
20
8
=
20
1 2
5 + +
=
4
1
+
10
1
+
20
1
(các câu khác làm tơng tự) Bài 7: a) Tìm tất cả các phân số có mẫu số là 9, sao cho mỗi ps đó lớn hơn nhng <
6 5
b) Tìm tất cả các phân số có tử số bằng 10 Sao cho mỗi phân số đó lớn hơn
5
2
nhng <
6 5
Trang 8
Bµi 8: Hai th viÖn cã c¶ th¶y 15 200 cuèn s¸ch Nõu chuyÓn
3
2
sè s¸ch ë th viÖn 1 sang th viÖn 2 th×
sè s¸ch ë th viÖn 1 kÐm sè s¸ch ë th viÖn 2 lµ 200 cuèn TÝnh sè s¸ch ë mçi th viÖn lóc ®Çu?